CC BY
58
Раздел II. Методика преподавания математики
УДК 372.016:51 ББК 74.489
А.С. Гондаревская, М.Г. Макарченко
МЕТОДИКА ЭСКИЗИРОВАНИЯ ГРАФИКОВ РАЗЛИЧНЫХ ВИДОВ ФУНКЦИЙ
И ЕЕ РЕЗУЛЬТАТИВНОСТЬ
Аннотация. Данная статья посвящена разработке методики обучения эскизированию графиков различного уровня сложности. Эффективность применения данной методики проверялась в вузе и в школе.
Ключевые слова: функция, график функции, эскизирование графика функции, приемы обучения, критерий знаков, эксперимент.
A.S. Gondarevskaya, M.G.Makarchenko TECHNIQUE OF SKETCHING GRAPHS OF FUNCTIONS AND ITS IMPACT
Abstract. This article focuses on the development of training methodology of sketching graphs of various levels of complexity. The effectiveness of this methodology was investigated at the high school and in the secondary school.
Key words: function, graph of a function, sketching the graph of a function, method of teaching, the criterion marks, experimentation.
Известно, что построение графиков функций является сложным процессом для людей с различной степенью подготовленности. Основной причиной этого служит то, что школьники, как и студенты, не умеют целостно представлять и выделять отдельные свойства функций, которые выражаются аналитически. Проблему, которую в ходе данного исследования надо было решить, можно сформулировать следующим образом: нахождение путей обучения учащихся целостному «видению» свойств функций и их графической интерпретации.
Цель исследования: разработка методики построения эскизов графиков функций и проверка ее эффективности в школе и в ВУЗе.
Объектом исследования будем считать процесс обучения студентов и школьников (обучающихся) построению эскизов графиков функций различного уровня сложности.
Предметом исследования будем считать обучение приемам эскизирования графиков функций.
Сущность приемов построения эскизов графиков функций.
«Под эскизированием графика функций мы будем понимать построение эскиза (наброска) графика функции без проведения полного исследования функций по общей схеме. Вместе с тем такой эскиз должен достаточно точно отображать основные элементы поведение функции, а именно поведения функции в окрестностях граничных точек и точек разрыва, в нулях и на бесконечности» [3, 60].
Представляем два приема эскизирования графиков функций:
1) построение искомого эскиза графика, используя «приближающие» функции.
Используя данный метод, можно строить и исследовать графики функций следующего вида:
f(x) V/W г, Рп Рп Рп+1 Рп Рп+2 cf \ Г N л
У = у = —; у = р- y = w у = —; y = w у = —, где f(x)'9(x) - функции
вида ах + Ъ, ах2 + Ъх + с;
2) прием, связанный с изображением эскизов сложных функций путем последовательности операций над соответственными ординатами функций, которые стоят внутри сложной функции.
Используя этот прием, строят и исследуют графики функций следующего вида: У = f(g(x)), где (х))-функции вида a3(x),loga д(х), arcsin (д(х))..., где д(х) - функции вида ах + Ъ, ах2 + Ъх + с, ^ах + b, Vax2 + Ъх + с.
Данное исследование проводилось при использовании первого приема: «Прием построения «приближающих» функций».
Процесс эскизирования графиков функций различных видов состоит в том, чтобы соединять сплошной линией не отдельные точки графиков, а отдельные части данных графиков, опираясь на «непрерывность - разрывность» функции и «монотонность» этой же функции.
Систематичность обучения требует неразрывного использования эскизирования графиков функций и исследования графиков различного уровня сложности.
В школе и в процессе обучения студентов нами были рассмотрены примеры построения эскизов графиков различных видов функций1: у = f (х)уГ^(х) ; у = -т==; У = У = Рп; У =
V 9(х) " ^
3(х)
—; у = ——; у = у = ——; у = л±1; f(x), д(х) - функции вида ах + Ъ, ах2 + Ъх + с. Qn Qn+i Qn Qn+2 Qn
Сущность приема построения «приближающих» функций».
Графики таких видов функций сложно построить по общей схеме построения графиков функций. Поэтому для их построения очень часто используют схему эскизирования графиков функций, которая заключается в следующем:1) найти область определения функции, ее граничные точки2 и точки разрыва3; 2) найти нули4 исходной функции; 3) найти промежутки знакопостоянст-ва5 исходной функции; 4) исследовать поведение функции в окрестности6 граничных точек, точек разрыва, в нулях функции и на бесконечности7.
После выполнения каждого этапа данной схемы изменения в эскизе должны быть отображены на рисунке.
Приведем пример использования данной методики.
Пример. Построить эскиз графика функции y =
x - x-12 x2 - 3 • x + 2'
1. Найдем область определения данной функции и выясним, что это «знание о функции» дает для построения эскиза ее графика. В данном примере такой областью будет:
х2 - 3 • х + 2 ф 0 ^^ (х -1) • (х - 2) ф 0 ^ ^ X * 1, X * 2 ^
О(у) = (-го;1)и(1;22; +го) . Это означает, что для всех действительных аргументов X, кроме х = 1, х = 2 обязательно существует соответствующее значение функции (рис. 1).
У
о о
1
2
x
Рис. 1
2. Найдем нули функции. Для этого решим уравнение у(х) = 0 . Корни этого уравнения, при условии, что они существуют, являются так же и нулями данной функции.
1 Функция (отображение, оператор, преобразование) - математическое понятие, отражающее связь между элементами множеств. Другими словами, функция - это правило, по которому каждому элементу одного множества (называемого областью определения) ставится в соответствие некоторый элемент другого множества (называемого областью значений).
2 Граничными точками множества, называется точка, в любой окрестности которой находятся как точки, принадлежащие данному множеству, так и не принадлежащие ему. Совокупность всех точек множества составляет его границу.
3 Точка хо называется точкой разрыва функции у(х), если у(х) не определена в этой точке или не является непрерывной в ней.
4 Нуль функции - это элемент из области определения функции, в котором она принимает нулевое значение.
5 Промежутки знакопостоянства функции у = у(х) - это такие промежутки значений аргумента, на которых функция
сохраняет свой знак, то есть У(х) > 0 или У(х) < 0.
6 Окрестность точки - множество, содержащее данную точку и близкие (в каком-либо смысле) к ней.
7 Бесконечность - категория человеческого мышления, используемая для характеристики безграничных, беспредельных, неисчерпаемых предметов и явлений, для которых невозможно указание границ или количественной меры.
у = 0 О у =
■-X-12 = 0 О у = (1 -4)'(х+3)
х - 3 • х + 2
(х -1) • (х - 2)
= 0 О
х = 4,
х = -3, Г х = 4
О<! .
х ф 1, I х = -3
^ х ф 2.
Исходя из этих данных, можно сделать вывод: точки (-3,0);(4,0) принадлежат искомому нами графику, что означает - график данной функции пересекает ось ОХ в этих точках.
Определим теперь характер пересечения данных точек искомым графиком функции (рис. 2).
О О
1 2
Рис. 2
«Крестиками» на рис.2 обозначены возможные варианты пересечения графиком функции оси ОХ. Невозможно на данном этапе определить, каким именно образом - «сверху вниз» или «снизу вверх» - график пересечет данную ось. 3. Найдем промежутки знакопостоянства исследуемой функции.
Для этого необходимо составить и решить методом интервалов следующие неравенства.
(х-4)•(х + 3) < 0 (х-4)•(х + 3) > 0
(х-1) • (х - 2) ' (х-1) • (х - 2) Определим промежутки знакопостоянства исходной функции (рис. 3).
х
х
Рис. 3
Итак, получаем: решением первого неравенства будет промежуток со знаком «-», т.е. х е [-3;1)и (2;4]; решением второго неравенства будут промежутки со знаком «+», т.е.
х е (-да; -3]и (1; 2) и [4; +да) .
Исходя из этого, мы можем сделать следующие выводы: 1) ось ОХ делится на пять промежутков, в каждом из которых значение функции либо только положительно, либо только отрицательно; 2) у > 0 при х е (-да; -3]и (1; 2) и [4; +да) , что оз-
начает, что на данном интервале график функции расположен выше оси ОХ; 3) у < 0 при х е [—3;1)и (2;4], что означает, что на данном интервале график функции расположен ниже оси ОХ.
Отметим штриховкой на графике функции те области, которые не удовлетворяют исходным условиям и не понадобятся нам для построения эскиза данного графика (рис. 4).
Рис. 4
4. Исследуем поведение функции в окрестностях особых точек х = 1 и х = 2 функции и на бесконечности.
Зададим ряд чисел, для того, чтобы определить, как будут вести себя на графике «приближающие» функции. Данный ряд можно выбирать произвольно, главное, чтобы все эти числа постепенно «приближались» к выбранной особой «точке» функции в интересующем нас направлении.
4 ,+ 4 При х ^ 1 , у ^- и у Ю; при х ^ 1+, у ^-и у ; при
х-1
х 1
-10 „+ -10 ,+ х ^ 2 ,у =- и у ; при х ^ 2+,у =-- и у Ю; при х ^-ю,у ^ 1 ;
х-2
х-2
при х ^ +ю, у ^ 1 .
Проверим, будет ли график данной функции пересекать асимптоту. Для этого решим урав-
нение:
х2 -х-12 х2 -3• х + 2
= 1 (отношению коэффициентов при старших степенях в числителе и в зна-
менателе). Решая данное уравнение, получим одну точку х = 7. Это означает, что график будет пересекать асимптоту в этой точке. Построим эскиз графика функции (рис. 5).
Рис. 5
Таким образом, мы рассмотрели методику построения эскизов графиков функций на конкретном примере.
Необходимо отметить, что данную методику можно применять при построении эскизов графиков функций, различного уровня сложности.
х
Сущность методики обучения приему построения «приближающих» функций». При обучении «эскизированию» студентам и школьникам вначале объяснялись особенности построения эскиза конкретного графика функции, приводились примеры, затем обучающимся предлагалось попробовать самостоятельно решить некоторые примеры. Этап обучения заканчивался контрольной работой. Нами было проведено несколько срезов, по результатам которых были сделаны выводы об эффективности применения данной методики обучения эскизированию графиков функций и необходимости ее применения в школе и в ВУЗах. Были проведены 5 контрольных срезов, включая самостоятельную работу по построению графиков функций, исследуемых в школьном курсе.
Весь процесс обучения данной методике как школьников, так и студентов был разделен нами на следующие этапы:
1) проверка остаточных школьных знаний, связанных с элементарными функциями и их свойствами;
(ах + Ь)2
2) применение методики построения эскизов графиков для функций вида: у =-
(сх + d )(ах + Ь)
_ (ах + Ь)(сх + d) = (ах + Ь)2
;у = (ах + Ь)к • (сх + d)n;к,п = 1,2... сх + d ; ах + Ь ;
3) проверка эффективности применения данной методики для функций данных видов;
4) применение методики построения эскизов графиков для функций вида:
(ах + Ь)2 (сх + d) ах2 + Ьх + с ах2 + Ьх + с
у - -; у=—2-; у = —3—2-;
сх + d рх + кх + q рх + кх+ gx + г
5) проверка эффективности применения данной методики для функций данных видов;
ах + Ь
6) применение методики построения эскизов графиков для функций вида: у = —2-;
ах + Ьх + с
ах + Ьх + с ах + Ь
у =-:-; у =
dx + g сх3 + dx2 + кх + g '
7) проверка эффективности применения данной методики для функций данных видов;
8) применение методики построения эскизов графиков для функций вида:
ах3 + Ьх2 + сх + d ахъ + Ьх2 + сх + d ахъ + Ьх2 + сх + d
у ; у 2 1 ; у 1 3 2 ;
рх + g рх + gx + к кх + рх + qx + п
9) проверка эффективности применения данной методики для функций данных видов;
10) итоговая контрольная работа, с целью определения эффективности применения методики эс-кизирования графиков функций различных видов, как у студентов, так и школьников.
Экспериментальная работа и ее результаты. Эксперимент был проведен нами среди студентов 2 курса факультета физики, математики и информатики ТИ имени А.П. Чехова в рамках учебной практики и школьников 10 «В» класса МОУ СОШ № 2 ст. Староминской в 2014-2015 учебном году.
При анализе срезов нами была сделана проверка статистических измерений при использовании различных видов выборок. Отметим, что существует два вида выборок: зависимые и независимые. Если результаты измерения некоторого свойства у объектов первой выборки не оказывают влияния на результаты измерения этого свойства у объектов второй выборки, то такие выборки считаются независимыми. В тех случаях, когда результаты одной выборки влияют на результаты другой выборки, выборки называются зависимыми.
В данной работе нами рассматриваются зависимые выборки, поскольку результат каждой последующей контрольной работы мы сравниваем с результатом предшествующей контрольной работы конкретного студента или школьника, а затем делаем выводы об эффективности применения данной методики обучения эскизированию графиков функций.
Для проверки статистических гипотез на основе результатов измерений некоторых свойств объектов зависимых и независимых выборок в математической статистике разработаны специальные методы. К таким методам относят критерий Макнамары, критерий знаков, критерий Вилкоксона и т.д. В ходе проведения данного эксперимента нами использовался критерий знаков[2, 39-70]. Для начала рассмотрим суть данного метода сравнения двух и большего количества выборок.
Суть применения данного критерия заключается в том, чтобы сравнивать между собой несколько выборок. Для того чтобы сравнивать эти выборки вначале нужно получить результаты
данных выборок, проанализировав все контрольные работы, проведенные нами как среди студентов, так и среди школьников.
Анализ всех контрольных работ (и студентов, и школьников) проводился нами по следующей схеме:
1) каждое задание каждой контрольной работы разбивалось на количество действий, необходимых для его выполнения;
2) затем в контрольной работе каждого из обучающихся подсчитывалось количество правильно выполненных действий в каждом из заданий;
3) эти данные записывались в виде дроби, у которой в знаменатель записывалась сумма количества действий необходимых для полного выполнения задания, а в числитель записывалась сумма правильно выполненных действий в данной контрольной работе;
4) по итогам каждой контрольной работы выставлялась оценка по 4-х бальной системе. Оценка за контрольную работу рассчитывалась путем вычисления значения получившейся дроби и умножением данного значения на 100 %. Так мы получали процент правильно выполненных действий. Если в результате деления числителя на знаменатель и умножения данного значения на 100 % получалось значение от 0 до 65 % ставилась «2», если 66-80 % - «3», если 81-94 % -«4», и наконец, если 95-100 % ставилась «5» [2, 39-70].
5) затем с помощью критерия знаков рассчитывался знак перехода от первой контрольной работы ко второй, от второй к третьей и т.д. Знак перехода рассчитывался исходя из оценок, полученных на контрольных работах. Так, если оценка за последующую контрольную работу была выше, чем за предыдущую знак перехода обозначался «+», если оценка за предыдущую контрольную работу была выше, чем за последующую знак перехода обозначался «-», если же оценки были одинаковыми, то знак перехода обозначался «0».
Анализируя проведенные нами срезовые работы среди студентов, используя критерий знаков, мы получили следующие результаты:
1) при переходе от первой контрольной работы ко второй, положительный знак перехода имели 18 работ, никакого знака перехода не было у 4 работ;
2) при переходе от второй контрольной работы к третьей, положительный знак перехода имели 13 работ, никакого знака перехода не было у 4 работ, а отрицательный знак перехода получили 5 работ.
3) при переходе от третьей контрольной работы к четвертой, положительный знак перехода имели 14 работ, никакого знака перехода не было у 4 работ, а отрицательный знак перехода получили 4 работ.
4) при переходе от четвертой контрольной работы к пятой (итоговой), положительный знак перехода имели 18 работ, никакого знака перехода не было у 3 работ, а отрицательный знак перехода получила 1 работа.
Наконец, рассматриваем с помощью критерия знаков переход от первой контрольной работы к итоговой контрольной работе. Рассмотрим подробно, применяя критерий знаков и проверяя
следующую гипотезу Н : умение эскизировать графики элементарных функций обучающихся
повысилось после экспериментального обучения.
Теперь проверяем гипотезу Н0 : умение эскизировать графики элементарных функций
обучающихся не повысилось после экспериментального обучения - при альтернативе Н1 : умение эскизировать графики элементарных функций обучающихся повысилось после экспериментального обучения.
Значение статистики критерия Т равно числу положительных разностей отметок, полученных учащимися. Согласно нашим данным, оно равно 18. Из 22 пар в трех случаях разность измерений равна нулю, следовательно, остается 19 (22-3=19) пар, т.е. П = 19 .
Для определения критических значений п - ta статистики критерия используем таблицу
данного критерия. Для уровня значимости а = 0,025 при п = 19 значение п - ta = 14. Это означает, что выполняется равенство Тнаблюд > п - ^(18 > 14). Поэтому нулевая гипотеза отклоняется на уровне значимости а = 0,025 и принимается альтернативная гипотеза, что позволяет сделать вывод об обученности учащихся после объяснения им приемов эскизирования графиков функций.
Это означает, что мы вправе сделать вывод об эффективности применения данной методики на факультетах физики, математики и информатики, в школах и не только. Данные результаты получены нами после сравнения двух выборок. Обе эти контрольные работы были проведены нами после объяснения материала. Первая контрольная работа проводилась на первом занятии, сразу после объяснения нового материала, вторая контрольная работа проводилась на заключительном
37
занятии, после объяснения студентам материала по применению данной методики на более различных видах примеров и после решения большого количества упражнений, как во время занятий, так и во время выполнения студентами домашнего задания.
Аналогичными были рассуждения при проверке критерия знаков для контрольных работ, проведенных среди школьников.
В данном случае Т = 12. Из 19 пар в пяти случаях разность измерений равна нулю, следовательно, остается 14 (19-5=14) пар, т.е. п = 14 . Для уровня значимости а = 0,025 при п = 14 значение п - tа = 11. Это означает, что выполняется равенство Тнаблюд > п - (а (14 > 11). Это
позволяет сделать вывод об обученности учащихся после объяснения им приемов эскизирования графиков функций.
Анализ полученных нами результатов позволяет говорить о том, что данный материал хорошо усваивается как студентами, так и школьниками. В данном эксперименте нами была рассмотрена и подтверждена с помощью критерия знаков эффективность применения методики эски-зирования графиков функций как среди студентов 2 курса факультета физики, математики и информатики, так и среди учащихся 10 «класса».
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Башуров, В.В. Методика решения математических задач / В.В. Башуров, И.А. Комлева. - 2011. - С. 3-10.
2. Грабарь, М.И. Применение математической статистики в педагогических исследованиях / М.И. Грабарь, К.А. Краснянская. - 1977. - С. 39-70.
3. Райхмист, Р.Б. Графики функций / Р.Б. Райхмист. - 1991. - С. 60-64.
4. Режим доступа: https://ru.wikipedia.org/wiki.
5. Режим доступа: http://veseloe.gvarono.ru/docs/la/p22.pdf.
УДК 514 ББК 22.151я72-4
А.С. Дровянникова, М.Г. Макарченко, А.В. Забеглов
МЕТОД АНАЛОГИИ КАК СРЕДСТВО ОРГАНИЗАЦИИ ПОИСКА РЕШЕНИЯ СТЕРЕОМЕТРИЧЕСКИХ ЗАДАЧ
Аннотация. В статье представлен метод аналогии, виды аналогий, схема поиска решения задач по планиметрии и стереометрии этим методом. Приведены примеры.
Ключевые слова: метод аналогии, виды аналогий, поиск решения задачи.
A.S. Drovyannikova, M.G. Makarchenko, A.V. Zabeglov
ANALOGY METHOD AS MEANS OF THE ORGANIZATION OF SEARCH OF THE SOLUTION OF STEREOMETRIC TASKS
Abstract. The analogy method, types of analogies, algorithm of the solution of tasks in planimetry and stereometry by this method is presented in article. Examples are given.
Key words: analogy method, types of analogies, search of the solution of a task.
Одной из актуальных проблем методики преподавания математики является проблема повышения эффективности обучения, которую можно решить, если сформировать у учащихся различные способы поисковой деятельности при изучении теоретического материала и решении задач. Вопрос использования аналогии в обучении математике не является абсолютно новым, он изучается уже давно. Именно аналогия чаще всего лежит в началах введения и усвоения математических понятий, поиска доказательства или решения сформулированных утверждений, а также аналогия является основой для получения новых знаний об обучаемом объекте.
Понятие «аналогия» широко используется в самых разных отраслях научного знания, причем в каждой из них этому определению придаются свои, специфические оттенки значения. Многие педагоги признают необходимость использования аналогии при обучении математике, требуют широкого и систематического применения аналогии в обучении. Однако, вопрос использования аналогии как метода исследования в математике не получил своего должного раскрытия как в теоретических исследованиях, так и в практике обучения. В методической литературе пока нет достаточных ответов на вопросы: Где и как использовать аналогию? По какому пути формировать
