CC BY
79
УДК 519.624.2
А. С. Скичко, А. А. Хорошавина, Е. Р. Бхандари, О. С. Соловьёва, Э. М. Кольцова
Российский химико-технологический университет им. Д.И. Менделеева, Москва, Россия
МЕТОДИКА АППРОКСИМАЦИИ С ПОПРАВКОЙ ГРАНИЧНЫХ УСЛОВИЙ 2-ГО И 3-ГО РОДА
В работе описан метод аппроксимации с поправкой граничных условий 2-го и 3-го рода. Изложены теоретические предпосылки метода. Проведён анализ результатов применения метода к численному расчёту конкретных дифференциальных уравнений.
The method of approximation with correction of boundary conditions containing derivatives is described in this work. The analysis of results of method applying to numerical computations of differential equations is presented.
Как известно, при решении дифференциальных уравнений с помощью численных методов в случае использования устойчивой разностной схемы погрешность решения определяется порядком её аппроксимации [1]. Однако это справедливо только при использовании для численного решения граничных условий 1-го рода, т.е. задаваемых в виде функций или констант. При использовании граничных условий 2-го или 3-го рода, задающих изменение искомой функции на границе, в численное решение дифференциальной задачи вносится дополнительная погрешность за счёт аппроксимации производных, входящих в граничные условия, причём часто ошибка аппроксимации граничных условий оказывается намного существенней ошибки аппроксимации самого дифференциального уравнения. Таким образом, поиск методов, позволяющих повысить точность численного решения дифференциальных уравнений с граничными условиями 2-го и 3-го рода, представляет определённый интерес.
Разумеется, основным способом повышения точности расчётов является уменьшение величины расчётного шага. Однако этот способ не очень удобен при расчёте дифференциальных уравнений в EXCEL, где невозможно задать автоматическое масштабирование разностной сетки, и потом он не позволяет получить никакой информации о поведении погрешности на границе
дифференциальной задачи. Поэтому настоящее исследование сосредоточено на методе аппроксимации граничных условий с поправкой.
Как показали предварительные исследования, ещё лишённые определённой систематизации, масштаб изучаемой проблемы достаточно велик и требует индивидуального подхода не только для различных типов дифференциальных уравнений, но и для различных постановок дифференциальной задачи в целом. Поэтому было решено сузить круг исследуемых дифференциальных задач до ОДУ 2-го порядка с использованием левого граничного условия 2-го или 3-го рода и правого граничного условия 1-го рода:
V— = С—2 + f(х) х е (1)
ах $х2
— (х = 0) = ф или — (х = 0) = ф 1 и (х = 0) + ф 2, и (х = 1) = ф з,
ёх ёх
где и - искомая функция от х; V, а, ф, ф1, ф2, ф3 - константы, причём а > 0,
ф1 > 0.
Решение дифференциальной задачи (1) проводили методом прогонки с предварительным использованием метода установления для приведения ОДУ 2-го порядка к дифференциальному уравнению в частных производных параболического типа с целью обеспечения сходимости прогонки. Общий алгоритм использовавшегося метода численного решения подробно описан в [1].
Приведём теперь теоретические предпосылки для вывода поправки к аппроксимации граничных условий 2-го и 3-го рода. Аппроксимация левого граничного условия 2-го рода из дифференциальной задачи (1) будет иметь вид:
и 2 — и
и1 =--7---= Ф. (2)
к
Разложим значение и2 в ряд Тейлора относительно точки и 1, учитывая (2):
к2 И2
и 2 = и 1 + и 1 к + и 1 —|—+... = и 1 + ф к + и 1 —|—+.... (3)
Подставим разложение (3) в аппроксимацию граничного условия (2):
7 2
и 2 — и 1 и 1 +ф 7 + и1'~2 — и 1 „И
к к 12
= ф + и . (4)
Соотношение (4) представляет собой аппроксимацию левого граничного условия 2-го рода из дифференциальной задачи (1) с учётом поправки 1-го порядка по к Далее, выражаем из (4) прогоночные коэффициенты на левой границе, необходимые для численного решения:
к 2
а 1 = 1, в 1 =-ф к — и. (5)
Видно, что вводимая поправка изменяет только коэффициент р1.
Аналогично получим аппроксимацию с поправкой и прогоночные
коэффициенты для левого граничного условия 3-го рода из дифференци-
альной задачи (1):
и 2 — и 1 . .
и 1 =--:---= ф 1и 1 +ф 2; (6)
к
к2 к2 и 2 = и 1 + и 1 к + и 1'— +... = и 1 + (ф 1и 1 + ф 2) к + и ”^у + ••• (7)
к 2
и 2 — и 1 и 1 + (ф 1и 1 +ф 2 ) к + и"— — и 1 к
- = - =ф 1и 1 +ф 2 +и”— ; (8)
к к 2
1 к2 1
а 1 = 77—и, в 1 =— (ф 2 к + и 1' ^)~л-Т,. (9)
1 + ф 1к 2 1 + ф 1к
Для аппроксимации второй производной на левой границе, составляющей поправку, будем использовать разностный оператор:
и з — 2и 2 + и 1
и 1'= 3 ,22 1 . (10)
к
В заключение перейдём к обобщённому виду полученных поправок, введя вместо коэффициента 1А в выражениях для р1 (5) и (9) переменную к:
• для левого граничного условия 2-го рода
а 1 = 1, в 1 = — ф к — к и 1 к = — ф к — к (и 3 — 2и 2 + и 1); (11)
• для левого граничного условия 3-го рода
1 — ф 2 к — к и 1 к — ф 2 к — к (и 3 — 2и 2 + и 1)
а 1 =1 Г, в 1 = 1 7 = 1 7 . (12)
1 + ф 1к 1 + ф 1к 1 + ф 1к
Математический смысл полученных поправок заключается в следующем. Классическая аппроксимация граничных условий 2-го и 3-го рода
задаёт постоянной разницу между значениями искомой функции в 1-м и 2-м узлах разностной сетки, что является достаточно грубым приближением. Вводимая поправка позволяет корректировать эту величину за счёт влияния значения искомой функции в 3-м узле, что в итоге приводит к более равномерному изменению и по всей разностной сетке. Коэффициент к определяет степень влияния поправки на точность расчётов. Так, к = 0 соответствует отсутствию поправки, к = 1А - её теоретически обоснованному значению.
Было опробовано несколько методов расчёта поправки. Самый простой метод заключался в определении разностного оператора (10) на последнем рассчитанном (явном) шаге по времени. Был также исследован так называемый итерационный метод, когда численное решение задачи (1) проводилось последовательно несколько раз от одних и тех же начальных условий, причём первый расчёт проводился без поправки, а, начиная со второго, для определения р1 использовались соотношения (11), (12), а разностный оператор (10) рассчитывался на основе значений соответствующего явного шага предыдущего расчёта. Как показали численные исследования, итерационный метод за несколько расчётов сходился к значениям, получаемым при расчёте поправки по первому методу. Таким образом, было выявлено, что методика расчёта поправки на точность результатов не влияет.
Для исследования влияния величины к на точность результатов был выполнен расчёт более 10 дифференциальных уравнений типа (1), имеющих в качестве ответов квадратичные, кубические, экспоненциальные и логарифмические функции. Точность полученных результатов оценивали по величие нормы разности истинных значений искомой функции и полученных по разностной схеме:
8= [и (х у )] — иу . (13)
Проведённые расчёты показали, что зависимость є от к для всех исследовавшихся задач имеет экстремальный характер (см. рис. 1). Использование поправки при к = 1А действительно увеличивает точность расчётов по сравнению с расчётом без поправки (к = 0). Однако минимум є соответствует более высоким к, причём в точке экстремума величина є может уменьшаться более чем на порядок по сравнению с исходным значением при к = 0. Для большинства исследовавшихся задач значение к, соответст-
вующее минимуму є, составило 0,8^0,9 для граничных условий 2-го рода и
0,9^1 для граничных условий 3-го рода. Однако также было получено несколько результатов, выбивающихся из общего правила, и реальный разброс значений к, соответствующих минимуму є, составил от 0,7 до 1,5. Какой-либо закономерности, соответствующей этим исключениям, на данный момент выявить не удалось.
0,08 0,06 0,04 0,02 О
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4 1,6 1,8 2 2,2
Рис. 1. Зависимость величины погрешности £ от степени влияния поправки к для различных дифференциальных задач типа (1) при использовании: а - левого граничного условия 2-го рода, б - левого граничного условия 3-го рода
Работа выполнена в рамках гранта РФФИ № 11-08-01072-а.
Библиографический список
1. Кольцова Э.М., Скичко А.С., Женса А.В. Численные методы решения уравнений математической физики и химии: учеб. пособие. М.: РХТУ им. Д.И. Менделеева. 2009. 224 с.
