CC BY
37
https://doi.org/10.38013/2542-0542-2021-2-57-63 УДК 533.655
Методика аппроксимации аэродинамических характеристик баллистических ракет на активном участке траектории в зависимости от числа Маха и угла атаки
П. А. Крашенинников
Научно-исследовательский испытательный центр Центрального научно-исследовательского института Воздушно-космических сил Минобороны России, Москва, Российская Федерация
В статье рассмотрено влияние аэродинамических коэффициентов на скорость баллистической цели (БЦ) и предложена методика аппроксимации зависимости коэффициента лобового сопротивления Cxa баллистических целей от числа Маха и угла атаки. Показано, что предложенный подход позволяет на порядок уменьшить ошибки моделирования коэффициента лобового сопротивления при незначительном усложнении процесса его расчета.
Ключевые слова: аппроксимация, аэродинамические характеристики, баллистическая цель, число Маха, угол атаки, сила лобового сопротивления, подъемная сила
Для цитирования: Крашенинников П. А. Методика аппроксимации аэродинамических характеристик баллистических ракет на активном участке траектории в зависимости от числа Маха и угла атаки // Вестник Концерна ВКО «Алмаз - Антей». 2021. № 2. С. 57-63. https://doi.org/10.38013/2542-0542-2021-2-57-63
For citation: Krasheninnikov P. A. Method of approximation of ballistic missile aerodynamic characteristics at the powered flight segment depending on the Mach number and angle of attack // Vestnik Koncerna VKO "Almaz -Antey". 2021. No. 2. P. 57-63. https://doi.org/10.38013/2542-0542-2021-2-57-63
Поступила 25.11.2020 Отрецензирована 07.12.2020 Одобрена 01.03.2021 Опубликована 18.06.2021
Для обеспечения эффективности стратегической системы воздушно-космической обороны (ВКО) необходимо регулярное проведение испытаний средств и систем ВКО. Исходя из больших денежных затрат и технической сложности, а в некоторых случаях невозможности реализации испытаний с натурными образцами возникла необходимость поиска других методов исследования задач в данной области. Одним из таких методов является опытно-теоретический метод, который сочетает натурные испытания отдельных элементов системы с моделированием системы в целом.
Для решения задачи обоснования построения системы ВКО основой является методология, базирующаяся на принципах системного подхода и комплексного целевого планирования. Данная методология
© Крашенинников П. А., 2021
предполагает использование как экспериментальных, так и теоретических методов исследования. При проведении теоретического исследования широкое применение находит имитационно-моделирующий комплекс. _
Основным элементом комплекса ими- Б
г
тации воздушно-космической обстановки яв- §
а.
ляется программный модуль динамики движе- ^
<3
ния средств воздушно-космического нападения ¡¡г (ВКН), предназначенный для интегрирования £ следующей системы дифференциальных урав- * нений движения БЦ: |
ш
_ ш
СйУх 1 Гп . П Л . -» 2
~[Г = -^х + Рх)+9х, Л
ару 1 з N А 8
И = Ш ^у + ру) + 9у, (1) -
+ ^ §
^ М т V 2 2> а2> «>
где Ух, Уъ У2, Ях, Яг, Я2, Рх, Ру, Р2, §х, | ёУ, ёг - составляющие скорости, полной ^
см о см
< I
со те
s
о со
о.
ф
о
о
V
со
см ■ci-io
с?
см ■ci-io см
(П (П
аэродинамическом силы, силы тяги и ускорения от силы притяжения соответственно в проекциях на оси стартовой системы координат,
т - масса БР, Для оценки влияния аэродинамических коэффициентов на скорость можно воспользоваться зависимостью:
dV
т— = -сг-—5,
р V2
at 2 ~'м• (2)
В уравнении (2) рассмотрим пассивный (атмосферный) участок траектории. Исходя из этого масса принимается постоянной m = const. Из [1] известно, что зависимость для плотности от высоты можно расписать следующим образом:
нк
р = р0-е б7оо,
(3)
где р0 = 1,75 — - плотность на уровне земли,
м
Ик - текущая высота, В свою очередь, зависимость высоты от времени можно выразить:
И = И _1 - ^ - 1/, (4)
где Ик. _ 1 - начальная высота БЦ в рассматриваемый момент времени I,
Гф _ !) = _ 1sin 0вх - вертикальная скорость в рассматриваемый момент времени I, 9вх = 15° - угол входа в атмосферу. При этом принимается следующее допущение: полагаем, что на протяжении
V, м/с 5500
5000
4500
4000
3500
3000
0
5
10
15
20
25
30
t, с
Рис. 1. Зависимость скорости БЦ от времени при разных значениях аэродинамического коэффициента сопротивления Сх
--Сх = 0,1;--Сх = 0,2;--Сх = 0,3; -
Сх = 0,4;--Сх = 0,5;--Сх = 0,6;--Сх =
0,7;--Сх = 0,8;--Сх = 0,9;--Сх = 1
30-секундного полета на пассивном атмосферном участке скорость Ув за малый промежуток времени Дt = 1 сек и угол 9вх на протяжении 30 сек изменяется незначительно.
С учетом (3) и (4) уравнение (2) принимает вид:
нк-1 вх
6700 ■ ■ е 6700 5 (5)
1 dV ___
Введем следующие обозначения:
Hfc-l
Ак = - — схРо
В„ =
е б
Vk-i sin 6>B 6700
3М>
(6) (7)
Проинтегрировав уравнение (5), полу-
чаем:
Jvk v2
Vk =
Vk-
l-v^tofe"*"-!)'
(8) (9)
где ДГ - шаг,
к е N - дискретное значение времени полета, с.
Таким образом, получена зависимость текущей скорости от аэродинамического коэффициента лобового сопротивления. Зависимость (9) представляет собой рекуррентную формулу, в которой на вход в качестве скорости - 1 будет подставляться скорость Ук, полученная на предыдущем шаге, и с соответствующим пересчетом высоты аналогично формуле (4).
На рисунке 1 представлена зависимость изменения скорости БЦ от времени с шагом, равным Дг = 1, при различных значениях сх.
Как видно из графика на рисунке 1, при изменении коэффициента лобового сопротивления на 0,1 разница в скорости на 30-й секунде на высоте приблизительно 30 км может достигать больше 200 м/с. Таким образом, для того чтобы ошибка оценки текущей скорости БЦ не превышала 10 м/с, необходимо, чтобы среднеквадратичная ошибка аппроксимации была менее 0,005.
Из уравнения (1) видно, что аэродинамические силы и моменты оказывают влияние на параметры траектории на большем участке полета.
Известны методы аппроксимации зависимости аэродинамических характеристик
(АДХ) от угла атаки и числа Маха, в том числе:
- метод, основанный на представлении указанной зависимости в виде ряда Тейлора [2];
Сц = Сц + с^у + V + с%а + + с%а + с„хшх + с™хшх+ ...; (Ш)
метод, основанный на использовании упрощенных зависимостей АДХ от угла атаки [3]:
Cx Cx0 + CxXa); Cy Cy
(11)
С = св р.
Как видно из (10), при использовании метода, заключающегося в разложении аэродинамических коэффициентов в ряд Тейлора, необходим большой объем дискретных значений, в том числе для определения частных производных, включающих также знание зависимости от скорости вращения, углах отклонения рулей (при их наличии) и др., что делает трудоемким использование данного метода для моделирования ракетно-космической обстановки в режиме реального времени.
Кроме того, данный метод применяется только при малых нестационарных возмущениях [2] и при малых углах атаки, когда действителен линейный закон изменения аэродинамических характеристик от кинематических параметров. Поскольку в процессе полета БР пространственный угол атаки может достигать значений 15°, то при использовании данного способа аппроксимации будут возникать большие отклонения.
На рисунке 2 приведены средние квадра-тические отклонения на интервале чисел Маха (0; 8) при использовании метода, основанного на использовании упрощенных зависимостей АДХ от угла атаки.
Из рисунка видно, что использование упрощенной зависимости приводит к большим ошибкам (от 15 до 30 %) на значительном интервале чисел Маха. Таким образом, ошибки оценки торможения БР могут составлять доли §, что скажется на точности моделирования траектории БР.
Еще одним недостатком использования упрощенных зависимостей является
задействование только одного параметра (угла атаки), а одним из требований, предъявляемых к зависимости, является то, что она должна быть объединенная двухпараметрическая от угла атаки и числа Маха.
В результате для обеспечения эффективной работы комплекса имитации ВКО необходимо решить задачу поиска такой аппроксимирующей функции, которая удовлетворяет следующим требованиям:
- непрерывность аппроксимации коэффициента Cxa в зависимости от угла атаки и числа Маха;
- погрешность аппроксимации коэффициента Cxa не должна превышать 5 %;
- параметры аппроксимационной зависимости должны определяться на основе данных о значениях коэффициента Cxa БЦ при определенных значениях угла атаки и числа Маха.
При этом дискретные данные о значениях коэффициента Cxa могут определяться с использованием существующего математического аппарата, например на основе программного комплекса SolidWorks Flow Simulation. При расчете дискретных значений коэффициента Cxa параметры атмосферы принимаются в соответствии с [4].
Анализ зависимости коэффициента Cxa от числа Маха проводился в следующей последовательности:
- выявление характерных точек функции, включающих в себя точки максимума, минимума функции, а также точки излома функции;
СКО, % 30
25 20 15 10 5 0
♦
♦ ♦ ♦
♦ 1 ♦
♦
♦ ♦
М
Рис. 2. Средние квадратические отклонения между аппроксимированными и рассчитанными значениями коэффициента подъемной силы
е
о р
т с о т
тке
а р
а
ш
о ч е л с с
к с е
у
и м с о К
0
1
2
3
4
5
6
7
см о см
< i
со те
s |
о
CQ
О.
Ф
О
о ф
со
см ■clin
с?
см ■clin см
(П (П
- разбиение интервала задания функции на участки с постоянными и монотонно растущими или убывающими значениями функции;
- выбор функции аппроксимации;
- расчет параметров аппроксимации с привязкой искомой функции к характерным точкам;
- определение ошибок аппроксимации.
На рисунке 3 приведены дискретные зависимости коэффициента лобового сопротивления при разных углах атаки от числа Маха.
На этом же рисунке для зависимости при нулевом угле атаки обозначены характерные точки: х0, х1, х2, связанные с точками изменения характера функции Сха. Анализ рисунка 3 позволяет выявить характерные участки изгибов Сха в зависимости от числа Маха и выбрать для них соответствующий вид аппроксимации.
Выбор вида аппроксимации осуществлялся исходя из знания характерных точек х0, х1, х2, а также дополнительных условий максимума в точке х1 и постоянства на участках х < х0 и х > х2.
В результате функцию /(х) зависимости коэффициента Сха от числа Маха можно представить в виде
' /о при 0 < X < Х0
/СО = /*(.х) ПРИ Х0<х<х2 (12) /2 при X > х2,
где / *(х) - переменная часть функции /(.х).
Исходя из этого, аппроксимационная функция в общем случае будет строиться
, Сха
0,8 0,6 0,4 0,2
♦ ♦ ♦ ♦ *
♦ ♦ # ■ ■ ■ * ♦♦ ♦ ♦♦ ♦
• 1 » ж • . i: i ■ ■■ i Íi ■ ■ ш * ¿tt 1 Ш Я I Ni и
• ♦ ♦ ♦ ; i ■ ■ ■ 1 1 1 1
i é é * 1 1 1 1 1 1 1 1
Рис. 3. Дискретные зависимости коэффициента лобового сопротивления от числа Маха при заданных значениях угла атаки --а = 0°;--а = 5°;--а = 10°;--а = 15°
на основе пяти дискретных значений, удовлетворяющих следующей системе уравнений
Уо при х = х0
/а*ппО) = j Д При X = Xl
f2 при X = Хг, д£* , . _ [0 при X - Х1 ^Эхапп (0 При X > Х2
(13)
Анализ показал, что в качестве аппроксимирующей функции /*пп (х*) может быть использована функция вида
f L (х*) = a + B • ф(х*) + ^
exp[a • (х*)3 + b • (х*)2 + c • х*],
(14)
где A, B, a, b, c - параметры аппроксимации; <р(х*) = 1 - ехр(—Я ■ х*) =
0 при =
при X* = х2, (15)
6 7 M
Х2
где х* - аргумент аппроксимирующей функции f *пп (х*), выбираемый исходя из удобства
*
оценки параметров аппроксимации, х = х - х0,
- _ —1п(0,09)
А — -;-.
Для нахождения коэффициентов a, b, c необходимо решить следующую систему уравнений
' Oí) = В ■ Л ■ ехр(—Л ■ xl) + (За ■
"хапп
• (xj)2 + 2b ■ х{ + с) ■ ехр[а ■ (х{)3 + + Ъ ■ (xí)2 + с ■ х{] = 0;
(16)
/a*nnOi) = А + В- <р(х{) + ехр [а ■ (*í)3 + + b-(*í)2 + c-*í] =А; а ■ (х2*)3 + Ъ ■ (х2*)2 + с ■ х*2 = . = -4,6 + lnf2.
Учитывая, что полученная система уравнений является линейной относительно a, b, c, она может быть решена методом Крамера.
После проведения анализа зависимости коэффициента Сха от числа Маха были проанализированы зависимости параметров аппроксимации от угла атаки. Параметрами аппроксимации являются характерные точки, а также соответствующие им значения функции. Значения характерных точек ха х2 являются константами. Была получена следующая система уравнений (17) для определения зависимостей входных параметров аппроксимации от угла атаки.
0
0
1
2
3
4
5
Х0 Х1
х0 = 0,75;
х1 = -0,0001 ■ \а\3 + 0,008 ■ \а\2 - 0,0367 ■ \а\ + 1,7;
х2 = 6,5;
■ \а\3 + 0,0033 ■ \а\2 - 0,0094 ■ \а\ + 0,164; (17)
\а\3 - 0,0002 ■ \а\2 + 0,0078 ■ \а\ + 0,555; И3 + 0,0003 ■ \а\2 + 0,0034 ■ \а\ + 0,425.
Предложенный подход позволил сформировать следующий функционал зависимости коэффициента лобового сопротивления от угла атаки и числа Маха.
Л[/ЬО)] + 1 при 0 < М < М0; A[f0(a)] + B\f0(á),f2(a)] ■ q>[M*,xl(a)] +
/о = -0,0001
/i = 9 ■ 10"5 ■ -h = 8-10"5-
Cxa(a,M*) = {
+exp[a[/0(a), Д (a), f2 (a), x{(a), x2(a)] ■ (M*)3 + +b[/0(a),A(a),/2(a),xí(a),^(a)] ■ (M*)2 +
(18)
+с[/0 (а), А (а), /г (а), х{ (а), (а)] ■ ЛГ],
где М = М - М0;
М0 = х0 - определяется выражением (17);
А [/0(а)] = /0(а) - 1; в [/0(а),/2(а)] = /2(а) -/0(а) + 1; ф [М, х*(а)] - определяется выражением (15); а [/0(а),/1(а),/2(а), х*(а), х*2(а)] - определяется из выражения (16); Ь [/0(а),/1(а),/2(а), х*(а), х*2(а)] - определяется из выражения (16); с [/0(а), /1(а), /2(а), х*(а), х2(а)] - определяется из выражения (16); х*(а) = х^а) - х0(а); х2(а) = х2(а) - х0(а);
/0(а), /1(а), /2(а), х0(а), х^а), х2(а) - определяется выражением (17).
График сравнения исходной и аппроксимированной функции зависимости коэффициента лобового сопротивления от числа Маха для нулевого угла атаки, построенной с использованием функционала (18), представлен на рисунке 4.
На рисунке 4 точками изображены дискретные рассчитанные значения аэродинамических коэффициентов, сплошной линией
Cxa 0,6
представлена аппроксимация с помощью описанного выше подхода.
За ошибку аппроксимации примем ве-
\СХ—Схаш1\
личину Д=
100 %.
График зависимости величины ошибки А от числа Маха при разных углах атаки представлен на рисунке 5.
30 25 20 15 10
Д, %
М
Рис. 4. Дискретные зависимости коэффициента лобового сопротивления от числа Маха ----SolidWorks
M
Рис. 5. График зависимости величины ошибки А
от числа Маха _ - а = 0°;--а = 5°;--а = 10°;--а = 15°
е
о р
т с о т
тке
а р
а
ш
о ч е л с с
к с е
у
и м с о К
5
0
0
1
2
3
4
5
6
7
Анализ ошибок аппроксимационных кривых на рисунке 5 показал следующее. Наибольшее расхождение между значениями коэффициентов лобового сопротивления, полученных в результате расчета в среде SolidWorks Flow Simulation, и значениями, полученными в результате аппроксимации, наблюдается на участке x0 < x < x1, что связано с резким ростом функции на коротком промежутке. Данный участок требует более тщательной проработки в дальнейшем. Величина ошибки на данном участке может достигать 29 %, на остальном участке ошибка не превышает 2,5 %.
Таким образом, анализ существующих методов расчета АДХ показал, что существующие методы аппроксимации имеют ряд недостатков, такие как трудоемкость использования для моделирования ракетно-космической обстановки в режиме реального времени, ограничения в применимости или высокая, до 30 %, ошибка. Сформирована пятипараметриче-ская функция аппроксимации зависимости
коэффициента лобового сопротивления Сха баллистических целей от числа Маха и угла атаки, которая позволяет на сверхзвуковых скоростях при числах Маха свыше 1,5 добиться ошибки аппроксимации не более 2,5 %, что в 10 раз точнее по сравнению с упрощенным методом. В дальнейших исследованиях целесообразно рассмотреть возможность использования предложенного подхода для других классов БР в различных вариантах их сборки, что позволит в будущем с единых позиций осуществлять моделирование АДХ.
Список литературы
1. Мартин Дж. Вход в атмосферу. М.: Изд-во «Мир», 1969. 320 с.
2. Краснов Н.Ф. Аэродинамика ракет. М.: Изд-во «Высшая школа», 1968. С. 39.
3. Лысенко Л.Н. Наведение и навигация баллистических ракет: Учеб. пособие. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2007. 672 с.
4. ГОСТ 4401-81. Атмосфера стандартная. Параметры.
см
см
< I
со те
s
о со
о.
ф
о
о ф
со
см ■ci-io
9 см ■ci-
10 см
(П (П
Крашенинников Павел Андреевич - младший научный сотрудник Научно-исследовательского испытательного центра Центрального научно-исследовательского института Воздушно-космических сил Минобороны России,
о Москва, Российская Федерация.
Область научных интересов: динамика полета баллистических целей, моделирование аэродинамических процессов, аппроксимация функций.
Method of approximation of ballistic missile aerodynamic characteristics at the powered flight segment depending on the Mach number and angle of attack
Krasheninnikov P. A.
Scientific Research and Testing Center of the Central Research Institute of Aerospace Forces of the Ministry of Defence of Russia, Moscow, Russian Federation
The paper describes the impact of aerodynamic coefficients on the ballistic target (BT) velocity and proposes a method of approximation of the dependence of ballistic target drag coefficient Cxa on the Mach number and angle of attack. The paper proves that the proposed approach allows to substantially reduce errors in drag coefficient simulation, but requires a more complicated calculation process.
Keywords: approximation, aerodynamic characteristics, ballistic target, Mach number, angle of attack, drag force, lift force
Information about the author
Krasheninnikov Pavel Andreyevich - Junior Researcher, Scientific Research and Testing Center of the Central Research
Institute of Aerospace Forces of the Ministry of Defence of Russia, Moscow, Russian Federation.
Scientific research interests: ballistic target flight dynamics, simulation of aerodynamic processes, function approximation.
