Методика анализа и математическая модель функции готовности локомотивного парка с учетом холодного резерва Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 629.42-192(075)

Методика анализа и математическая модель функции готовности локомотивного парка с учетом холодного резерва

Ж. О. Кувондиков, А. Е. Цаплин

Петербургский государственный университет путей сообщения Императора Александра I, Российская Федерация, 190031, Санкт-Петербург, Московский пр., 9

Для цитирования: Кувондиков Ж. О., Цаплин А. Е. Методика анализа и математическая модель функции готовности локомотивного парка с учетом холодного резерва // Известия Петербургского университета путей сообщения. - СПб.: ПГУПС, 2019. - Т. 16, вып. 4. - С. 631-641. БО1: 10.20295/1815-588Х-2019-4-631-641

Аннотация

Цель: Учитывая восстанавливаемый парк локомотивов с холодным резервом, математически смоделировать долгосрочную перспективу готовности локомотивного парка; показать важность расчета коэффициента готовности всего локомотивного парка для осуществления необходимой мощности транспортировки для покрытия запланированных услуг; разработать методику для прогнозирования дальнейшего поведения всего локомотивного парка. Методы: Определение коэффициента готовности локомотивного парка путем использования марковского анализа. Построение дифференциальных уравнений Чепмена-Колмогорова произведено с помощью марковского анализа. Результаты: Применив марковский анализ и уравнения Чепмена-Колмогорова, предложена математическая модель, на основе которой рассчитаны следующие параметры надежности локомотивного парка: вероятность того, что имеется п неисправных локомотивов в системе; готовность парка, находящегося в устойчивом состоянии; среднее время до отказа парка; среднее время восстановления; среднее количество резервных локомотивов при отказе рабочего локомотива; среднее количество ремонтируемых локомотивов; ожидаемое число рабочих локомотивов в системе; среднее количество локомотивов в ожидании ремонта; коэффициент использования ремонтного депо. Практическая значимость: Смоделирована долгосрочная перспектива готовности локомотивного парка, учитывая восстанавливаемый парк локомотивов с холодным резервом. Модель принимает во внимание случайный отказ локомотива, а также вариации времени ремонта.

Ключевые слова: Коэффициент готовности локомотивного парка, марковский анализ, уравнения Чепмена-Колмогорова, среднее время до отказа парка, среднее время восстановления, среднее количество резервных локомотивов при отказе рабочего локомотива, среднее количество ремонтируемых локомотивов, ожидаемое число рабочих локомотивов в системе.

Введение

В настоящее время парк локомотивов АО «Узбекистон темир йоллари» - «О^ЬеЫ$1;оп Теш1г Yo'llari» (O'TY) превышает 620 единиц, в том числе 62 % составляют тепловозы и 38 % электровозы. В целях обновления парка подвижного состава и повышения уровня

его готовности за последние 10 лет компанией были приобретены 15 пассажирских, 12 грузопассажирских, 11 грузовых электровозов и 10 пассажирских тепловозов. Готовность парка подвижного состава компании O'TY - важный аспект для клиентов. Для любой железнодорожной компании, состоящей из целого парка локомотивов и нескольких единиц вы-

сокоскоростных электропоездов, прогнозирование и поддержание требуемого уровня готовности парка являются сложной задачей. Стохастический характер технических сбоев и корректирующее обслуживание, их исправляющее, становятся основными проблемами. Если большое количество локомотивов будут выведены из строя из-за сбоя, железнодорожная компания не сможет обеспечить требуемую мощность транспортировки для покрытия запланированных услуг. Для избежания в дальнейшем таких проблем с локомотивным парком компания O'TY планирует купить локомотивы для холодного резерва. Представим, что для повышения готовности парка компания O'TY сохраняет парк локомотивов в составе двухсот рабочих и трех для холодного резерва в одной из зон их обслуживания. Резервный локомотив доступен в случае, когда один из рабочих локомотивов выйдет из строя. Однако держать запасные локомотивы каждый стоимостью около 2 млн евро неэкономично.

Таким образом, актуальной задачей является моделирование долгосрочной перспективы готовности локомотивного парка с учетом восстанавливаемого парка локомотивов с холодным резервом.

Для решения этой задачи создана математическая модель с использованием метода марковского анализа для представления работы системы. Модель разработана для установления взаимосвязи между готовностью системы, количеством резервных локомотивов холодного резерва, частотой отказов и временем технического обслуживания в депо.

С помощью представленной модели планируется оценить ключевые показатели эффективности системы парка:

• время работоспособного состояния парка;

• среднее время до отказа;

• среднее время восстановления.

Стабильное состояние готовности указывает на долгосрочную вероятность того, что парк будет функционировать в состоянии готовности, в котором имеется достаточное количество

локомотивов, чтобы удовлетворить необходимую транспортную потребность, т. е. когда локомотив выходит из строя, есть готовый к работе резервный локомотив. Среднее время до отказа указывает на среднюю продолжительность времени, в течение которого парк остается в состоянии полной готовности, прежде чем перейдет в состояние неполного режима. Вместе с тем среднее время восстановления показывает среднюю продолжительность времени того, что парк остается в депо, прежде чем перейти в состояние неполной готовности. Особое внимание было уделено оценке влияния запасных локомотивов на среднюю готовность локомотивного парка.

Разработанный алгоритм учитывает размер парка (К), количество запасных локомотивов (5), интенсивность отказов (1), скорость ремонта (ц), а также количество средств ремонта (Я) в качестве входных данных и производит расчет значений ключевых показателей эффективности в качестве выходного результата. Размер входных значений может быть любым произвольным числом. Модель генерирует графики устойчивого состояния готовности в зависимости от количества локомотивов с отказами и количества резервных локомотивов парка.

Описание модели и допущения

Модель должна быть математически обоснованной и компетентной, чтобы учитывать случайный отказ локомотива, а также вариации времени ремонта.

Следующие допущения были использованы для математической постановки задачи:

1) парк состоит из идентичных N = К + 5 локомотивов;

2) большинство локомотивов К могут работать одновременно, остальные локомотивы 5 - для холодного резерва;

3) для приемлемого функционирования всей системы должно работать ровно К локомотивов. Когда оно меньше, чем К, парк работает в неполном режиме;

4) каждый локомотив состоит из М различных компонентов, которых может быть довольно много;

5) для упрощения модели рассматривается только один уровень компонента, т. е. локомотив принимается как единый объект;

6) в начале работы (при t = 0) предполагается, что все локомотивы новые;

7) локомотив отказывает, если какой-либо один из компонентов М выходит из строя;

8) наработка до отказа и время ремонта локомотивов распределяются по экспоненциальному закону;

9) время работы локомотива распределено экспоненциально с параметрами X и ц;

10) время отказа каждого локомотива не зависит от состояния других локомотивов и от времени, проведенного локомотивом в определенном состоянии;

11) после ремонта локомотив становится как новый и переходит в режим ожидания или рабочее состояние;

12) всякий раз, когда один из рабочих локомотивов выходит из строя, его немедленно заменяют резервным, если он есть;

13) переключение из состояния ожидания в рабочее состояние или из ремонта в режим ожидания происходит мгновенно;

14) всякий раз, когда функционирующий локомотив выходит из строя, он немедленно отправляется в ремонтное депо, где производятся ремонтные работы;

15) имеется Я идентичных ремонтных депо или ремонтных бригад. Только один ремонтный пункт предназначен для ремонта вышедшего из строя локомотива. Время, необходимое любому ремонтному центру для ремонта любого неисправного компонента, является независимым и имеет экспоненциальное распределение. В дальнейшем будем различать два случая, а именно: Я < £ и Я > £;

16) услуги по ремонту предоставляются по принципу «первый пришел - первый обслужен»;

17) локомотив, когда его ремонт завершается, отправляется в холодный режим ожидания. Если система не полна, восстановленный локомотив отправляется непосредственно в рабочее состояние, и оно считается новым.

Внешний вид модели показан на рис. 1.

1

■я

4

g

1 "

FWaioie гтаея*

-Л

Рсчяггчрчми-сот па

I | - ■ о

Рис. 1. Вид модели

С течением времени локомотивы будут распределены по схеме в различных пропорциях. В течение заданного времени ремонта, если число отказов ниже среднего, большинство локомотивов будут ждать времени эксплуатации. В других случаях после сбоев, возможно, в связи с тем, что ремонтные работы занимают больше среднего времени, вышедшие из строя локомотивы будут накапливаться в ремонтных цехах, занимая очередь. Но до тех пор, пока не выйдет из строя не более Б локомотивов, парк может продолжать работу. Вероятность того, что количество локомотивов в ремонтном цехе не выше, чем в холодном резерве Б, является эксплуатационной готовностью.

Наличие парка и соответствующая вероятность количества неисправных локомотивов, которые не могут работать в течение указанного периода, служат показателями эффективности при решении этой задачи. Исходя из приведенных выше предположений, можно разработать метод, в котором используется марковский анализ, точнее марковский процесс представлен как рождение и смерть процесса.

Если общее количество доступных локомотивов холодного резерва равно 8, то любое время I, когда локомотивы К работают, локомотивы Б будут либо в ремонтных цехах, либо доступны в ждущем режиме. Если не более Б локомотивов находятся в ремонтном цехе, то К локомотивов могут продолжать работать. Однако, как только в ремонтный цех прибудут Б + 1 локомотивов, для выполнения заданного объема работы будет использоваться меньшее количество локомотивов парка. Это означает, что парк начнет работать ниже требуемого уровня, т. е. система парка будет нахо-

диться в неполном режиме, когда количество работающих локомотивов ниже K.

Система перехода состояния для восстанавливаемой системы локомотивного парка показана на рис. 2. В момент времени t = 0, когда парк только начал работу, все локомотивы считаются работоспособными. Числа в кружках обозначают состояния системы, представляющие собой число неисправных локомотивов, которые или ждут технического обслуживания, или обслуживаются в ремонтных цехах. Состояние системы уменьшается на 1, когда неисправный локомотив ремонтируется и становится как новый, и увеличивается на 1 каждый раз, когда рабочий локомотив становится неисправным. В состояниях от 0 до S все локомотивы, которые находятся в режиме ожидания, ждут время эксплуатации и ровно K локомотивов работают на линиях. Состояние системы S+1 указывает на то, что парк находится в неполном режиме. Из состояния S+1 к состоянию N количество действующих локомотивов будет ниже K. Тогда парк также будет работать в неполном режиме. Состояние парка вернется к норме тогда, когда количество действующих локомотивов восстановится до K.

Используются следующие обозначения: n -количество неисправных локомотивов в системе, n = 0, 1, ..., S, S + 1, ..., N = S+K; t -время; Xn - интенсивность отказов системы, когда существует n неисправных локомотивов,

0 < n < N; цп - скорость восстановления системы при наличии n неисправных локомотивов,

1 < n < N; P (t) - вероятность того, что в момент времени t выйдут из строя n локомотивов, 0 < n < N; Pn - вероятность стационарного состояния, Pn = lim Pn (t), 0 < n < N.

t

Рис. 2. Диаграммы состояний перехода для восстанавливаемой системы локомотивного парка

Учитывая количество запасных локомотивов в режиме холодного ожидания £, имеем следующее значение средней частоты отказов и скорости ремонта в различных состояниях системы:

X„ —

\KX, если 0 < n < £, [(N - n)X, если S < n < S + K = N, Гпц, если n < R,

Vn —

R|v, если n > R.

dPn (t) dt

— KXPn- (KX + nv)Pn + (n + 1)vP

n+1

dPn (t) dt

(0 < n < R),

= K XPn-1 - (K X + Rv) Pn + RvPn+1 (R < n < S),

— (N - n + 1)XPn-i -

dPn (t) dt

- [(N - n) + Rv]Pn + RvPn+1 (S < n < N);

для R > S

dPn (t) dt

= KXPn-1 -

- (KX + nv)Pn + (n + 1)vP

dPn (t) dt

(0 < n < S),

— (N - n + 1)XPn-1 -

- [(N - n)X + RM]Pn + (n + 1)vP+1 (S < n < R),

dPn (t) dt

— (N - n + 1)XPn-1 -

Ранее допущено, что распределения работоспособного времени локомотива и времени ремонта экспоненциальные и одинаковые для всех локомотивов. Исходя из этого, можно написать:

• вероятностью того, что локомотив, работающий в момент времени t, выйдет из строя в интервале от t до t + td, является Xtd;

• вероятностью того, что локомотив, ремонтируемый в момент времени t, будет доступен для работы в интервале от t до t + td, является p,td.

Уравнения Чепмена-Колмогорова, определяющие модели, заключаются в следующем:

для R < S

- [(N - n)X + RM]Pn + R^Pn+1 (R < n < N),

где Pn-i = Pn+i = 0.

Стационарные решения получаются путем

dPn (t)

постановки

dt

= 0 для каждого из пре-

дыдущих уравнений, т. е. Pn (t) ^ Pn, когда

Xn

t ^да, р = —:

V n

Kn

Pn =—pnPo, n <min {R, S}, n!

P —

Kn

n Rn - rR !

P =

KSK!

(N - n)!n!

pnP0, R+1 < n < S,

pnPo, S+1 < n <R,

P - pnP

n Rn-RRГ (N-n)! 0'

max {R, S} + 1 < n < N.

Вкратце,

X n-1Pn-1 — VnPn ,

n+1

X Р

Рп _ п-1 п-1 , значение будет очень полезным

^п

в численном вычислении Р .

Учитывая вышеуказанное, сумму всех Рп можно выразить с помощью Р0:

N

Z P = P

n=0

Хп

X oXi

1+ Мч МчЦ 2

! Х0Х1Х2 + Х0Х1Х2Х3 + +

! Х 0Х1Х 2 • • •ХN-1 V М# 2^3

N

= 1.

Ключевые показатели эффективности

Определим различные показатели эффективности, которые имеют значение для оценки характеристик парка:

1. Вероятность того, что имеется п неисправных локомотивов в системе, где п = 1, ..., N {И = К + 5).

2. Готовность парка, который находится в устойчивом состоянии. Пока количество исправных локомотивов в системе К, система работает в полном режиме. Как только количество неисправных локомотивов достигает N -- К + 1, система начнет работать в неполном режиме. Начнется ремонт неисправных локомотивов поочередно. Как только количество неисправных локомотивов будет ниже уровня N - К + 1, система снова начнет работать в полном режиме.

Таким образом, состояние системы изменяется с течением времени вверх и вниз. Вероятность того, что система находится в рабочем состоянии в момент времени I, составит

рц)=р.«)+)+р2а)+...+р а).

Готовность парка в стабильном состоянии определяется следующим образом:

р = р0 + р + р- +••• + Ps ,

рстаб = р{п < 5) = .

п=0

Допускается работа системы в неполном режиме, когда число рабочих локомотивов

ниже К. Но в этом случае целевая готовность системы не будет достигнута.

3. Среднее время до отказа парка. Хотя рассматриваемая система является ремонтопригодной, мы по-прежнему заинтересованы в поиске среднего времени до отказа парка. В этом случае, если локомотивы выходят из строя, они проходят техническое обслуживание. Поскольку мы заинтересованы в поиске среднего времени до отказа парка, предположим, что в состоянии N - К + 1 или Б + 1 система переходит в неполный режим работы, т. е. состояния отказа системы рассматриваются как поглощающие состояния. Таким образом, время до поглощения - это время до отказа парка.

В результате примем, что ц N _ К+1 = 0. Когда система находится в состоянии п {0 < п < < N - К + 1), в системе находятся п неисправных компонентов и N - п резервных или активных рабочих компонентов, а частота отказов парка Хп = КХ.

Если общее количество неисправных локомотивов меньше или равно общему числу ремонтных депо, все неисправные локомотивы ремонтируются, и, таким образом, коэффициент {скорость) ремонта системы составляет цп = пц {1 < п < Я). Однако, когда п > Я, цп будет постоянным и равным Яцп, поскольку все ремонтные депо {средства) будут использованы, и некоторые неисправные локомотивы будут ожидать ремонта.

Следующий метод помогает найти распределение среднего времени до отказа парка. Предположим, что начальная вероятность в одном из состояний от «0» до «5» задается вектором

а1 = [р) р1 р2 р3 •'■р _1 р

Ь - вектор единичного столбца, обозначаемый как

1" 1

Кроме того, Э - матрица генератора переходных процессов, представляющая собой цепь Маркова:

G =

состояния 0 1 2 3 S

0 - K X K X 0 0 0 0 0 0

1 ц - K X-ц K X 0 0 0 0 0

2 0 2ц - K X- 2ц K X 0 0 0 0

3 0 0 3ц - K X- 3ц K X

. -KX - min(R, S - 1)ц K X

S 0 0 0 0 - KX- min( R

Следовательно, среднее время до отказа будет умножением начального вектора вероятностей, обратная матрица по отношению к матрице генератора переходных процессов и единичный векторного столбца:

МТО = [-а1][01]~1[Ь1].

4. Среднее время восстановления. Указывает среднюю продолжительность времени, в течение которого парк находится в неисправных состояниях, прежде чем перейти в другие состояния. Это среднее время пребывания парка в одном из состояний: £ + 1, £ + 2, ..., К + 8, т. е. это среднее время, в течение которого система переходит из первого состояния неполного рабочего режима в полное рабочее состояние системы. Этот процесс показан в виде марковской цепи (рис. 3).

Для системы, изначально находившейся в состоянии £ + 1, заданной вектором

а2 = [1,0,0,..., 0,0,0], Ь2 - вектор единичного столбца, обозначенный как

Э2 является матрицей генератора переходных процессов

состояния S +1 S + 2 S + 3 S + 4

N

S +1 S + 2 S + 3 S + 4 . .

(K-1)X-min(S +1,R)ц (K -1)X 0 0 00

min(S + 2, R^ -(K - 2)X - min(S + 2, R^ (K - 2)X 0 min(S + 3, R^

0 0

0 0

-(N - 1)X- min(R, S - 1)ц min( N, R^

N 0 0 0 0 0 0 X

-NX-min( R, S )ц

0

G

2

mba/S-i.Rffi min tS~2Jl)fi minff+^.Riji min /Х.Юр

Рис. 3. Диаграммы состояний перехода от полного состояния режима

Таким образом, среднее время восстановления будет произведением исходной вероятности А2, обратной матрицы по отношению к матрице генератора переходных процессов и единичным векторным столбцом:

МТТЯ = [—а-][в2]-1 [Ь-].

5. Среднее количество резервных локомотивов при отказе рабочего локомотива

Е [резерв] = £{5 — п)рп.

п=0

6. Среднее количество ремонтируемых локомотивов {в том числе, когда система работает в неполном режиме)

К К+5

Е [К ]=£пр + £ прп.

п=0 п=К+1

7. Ожидаемое число рабочих локомотивов в системе

К К+5

Е[0] = N — £пр — £ прп.

п=0 п=Я+1

8. Среднее количество локомотивов в ожидании ремонта

К+5

Е К ]= £ {п — Я)рп.

п=К + 1

9. Коэффициент использования ремонтного депо {ожидаемое число занятых работников)

K = Z R=npn+R(Z N= R P )

и R

Заключение

В результате исследований получена модель, которая оценивает долгосрочную готовность локомотивного подвижного парка. Разработанная модель оценивает ключевые показатели эффективности: устойчивое состояние готовности, среднее время до отказа и среднее время ремонта системы парка. Модель создана на основе марковского анализа для представления работы системы парка [1-14] путем установления взаимосвязи между готовностью системы и количеством холодного резерва, интенсивностью отказов и скоростью ремонта ремонтного предприятия.

Библиографический список

1. UNIFE World Rail Market Study // Status quo and outlook 2020. - 3rd ed. - Brüssels : UNIFE, 2010. -P. 23-24.

2. Marktvolumen im Neu- und Servicegeschaeft sowie Perspektiven der Marktentwick - lung bei Infrastruktur und Schienenfahrzeugen // Weltmarkt Bahntechnik, 2009-2014. - Koeln : SCI Verkehr GmbH Publ., 2010. - 250 p.

3. Горский А. В. Методика расчета надежности электроподвижного состава как сложной системы : дис. ... канд. техн. наук, специальность : 05.22.07 / А. В. Горский. - М. : МИИТ, 1968. - 168 с.

4. Годовалый А. Т. Электроподвижной состав. Эксплуатация, надежность и ремонт : учебник для вузов ж.-д. транспорта / А. Т. Годовалый, И. П. Исаев, П. И. Борцов и др. - М. : Транспорт, 1983. -106 с.

5. Пузанков А. Д. Методы расчета и использования показателей надежности в эксплуатации : учеб.

пособие для вузов ж.-д. транспорта / А. Д. Пузанков. - М. : МИИТ, 2004. - 49 с.

6. Горский А. В. Оптимизация системы ремонта локомотивов / А. В. Горский, А. А. Воробьев. - М. : Транспорт, 1994. - 83 с.

7. Гнеденко Б. В. Математические методы в теории надежности / Б. В. Гнеденко, Ю. К. Беляев, А. Д. Соловьев. - М. : Наука, 1965. - 26 с.

8. Плохих И. В. Совершенствование методики оценки показателей готовности и их анализ для высокоскоростного поезда Velaro Rus - «Сапсан» с учетом опыта России и Германии : дис. ... канд. техн. наук, специальность : 05.22.07 / И. В. Плохих. - М. : МИИТ, 2013. - 217 с.

9. Исаев И. П. Определение эксплуатационных коэффициентов электроподвижного состава с учетом последействия в процессе его функционирования / И. П. Исаев, А. В. Горский, В. А. Козырев // Труды МИИТ. - 1976. - Вып. 524. - С. 66-73.

10. Штраус П. Надежность и техническое обслуживание железнодорожного подвижного состава : отчет о НИР / П. Штраус. - Дрезден : Высшая школа техники и экономики города, 2010. - 91 с.

11. Elsayed A. Reliability engineering / A. Elsayed. -Massachusetts : Addison Wesley Longman, Inc., 1996. - 113 p.

12. Райншке К. Оценка надежности систем с использованием графов / К. Райншке, И. А. Ушаков ; под ред. И. А. Ушакова. - М. : Радио и связь, 1988. -145 с.

13. Надежность в технике. Планы испытаний для контроля коэффициента готовности. - М. : Стан-дартинформ, 2010. - 16 с.

14. Дружинин Г. В. Надежность автоматизированных производственных систем. - 4-е изд. / Г. В. Дружинин. - М. : Энергоатомиздат, 1986. - 360 с.

Дата поступления: 23.10.2019 Решение о публикации: 29.10.2019

Контактная информация:

КУВОНДИКОВ Жалолиддин Олимбой угли -аспирант; jaloliddin1690@gmail.com ЦАПЛИН Алексей Евгеньевич - канд. техн. наук, доцент; tsaplin.alexey@mail.ru

Method of analysis and simulation model of locomotive fleet availability function accounting for cold standby reserve

J. O. Kuvondikov, A. E. Tsaplin

Emperor Alexander I Petersburg State Transport University, 9, Moskovsky pr., Saint Petersburg, 190031, Russian Federation

For citation: Kuvondikov J. O., Tsaplin A. E. Method of analysis and simulation model of locomotive fleet availability function accounting for cold standby reserve. Proceedings of Petersburg Transport University, 2019, vol. 16, iss. 4, pp. 631-641. (In Russian) DOI: 10.20295/1815-588X-2019-4-631-641

Summary

Objective: Mathematically simulate long-term prospects for readiness of locomotive fleet, accounting for recoverable locomotive fleet with cold reserve. Demonstrate the importance of calculation of availability coefficient for the entire locomotive fleet to exercise transportation capacity requirements to cover planned services. Develop a method for forecasting subsequent behaviour of the entire locomotive fleet. Methods: Determination of the locomotive fleet availability coefficient by Markovian analysis. Construction of the Chapman-Kolmogorov differential equation was carried out on the basis of Markovian analysis. Results: Using Markovian analysis and Chapman-Kolmogorov equations, a mathematical simulation was proposed to calculate the following locomotive fleet reliability parameters: probability of having n

failed locomotives in the system; availability of fleet in steady-state conditions; mean time to repair the fleet; mean time to restore; average number of reserve locomotives in case of working locomotive failure; average number of locomotives undergoing repairs; expected number of working locomotives in the system; average number of locomotives awaiting repairs; repair depot load factor. Practical importance: Long-term prospects for locomotive fleet availability are simulated, accounting for recoverable locomotive fleet with cold standby reserve. The simulation accounts for random locomotive failure and for variations in repair time.

Keywords: Locomotive fleet availability coefficient, Markovian analysis, Chapman-Kolmogorov equations, mean time to fleet, mean time to restore, average number of reserve locomotives in case of working locomotive failure, average number of locomotives undergoing repairs, expected number of working locomotives in the system.

References

1. UNIFE World Rail Market Study. Status quo and outlook 2020. 3rd ed. Brussels, UNIFE Publ., 2010, pp. 23-24.

2. Marktvolumen im Neu- und Servicegeschaeft sowie Perspektiven der Marktentwick - lung bei Infrastruktur und Schienenfahrzeugen. Weltmarkt Bahntechnik, 2009-2014. Koeln, SCI Verkehr GmbH Publ., 2010, 250 p.

3. Gorskii A. V. Metodika rascheta nadezhnos-ti elektropodvizhnogo sostava kak slozhnoi sistemy [Method of calculating reliability of electrically propelled rolling stock as a complex system]. Cand. Sci. Engineering dissertation, specialty: 05.22.07. Moscow, MIIT [Moscow Railway Transport Engineering Institute] Publ., 1968, 168 p. (In Russian)

4. Godovalyi A. T, Isaev I. P., Bortsov P. I. et al. Elektropodvizhnyi sostav. Ekspluatatsiia, nadezhnost' i remont [Electrically propelled vehicles. Operation, reliability and repairs]. Course book for railway universities. Moscow, Transport Publ., 1983, 106 p. (In Russian)

5. Puzankov A. D. Metody rascheta i ispol'zovaniia pokazatelei nadezhnosti v ekspluatatsii [Methods for calculation and application of reliability indices in operation]. Course book for railway universities. Moscow, MIIT [Moscow Railway Transport Engineering Institute] Publ., 2004, 49 p. (In Russian)

6. Gorskii A. V. & Vorob'ev A.A. Optimizatsiia sistemy remonta lokomotivov [Optimisation of the locomotive repair system]. Moscow, Transport Publ., 1994, 83 p. (In Russian)

7. Gnedenko B. V., Beliaev Iu. K. & Solov'ev A. D. Matematicheskie metody v teorii nadezhnosti [Mathe-

matical methods in reliability theory]. Moscow, Nauka Publ., 1965, 26 p. (In Russian)

8. Plokhikh I. V. Sovershenstvovanie metodiki otsenki pokazatelei gotovnosti i ikh analiz dlia vysoko-skorostnogo poezda Velaro Rus - "Sapsan" s uchetom opyta Rossii i Germanii [Perfecting the method for evaluation of availability indices and their analysis for the Velaro Rus - Sapsan high-speed train accounting for Russian and German experience]. Cand. Sci. Engineering dissertation, specialty: 05.22.07. Moscow, MIIT [Moscow Railway Transport Engineering Institute] Publ., 2013, 217 p. (In Russian)

9. Isaev I. P., Gorskii A. V. & Kozyrev V. A. Opre-delenie ekspluatatsionnykh koeffitsientov elektropod-vizhnogo sostava s uchetom posledeistviia v protsesse ego funktsionirovaniia [Evaluation of service factors of electrically powered rolling stock accounting for aftereffects in the process of its functioning]. Trudy MIIT [Proceedings of the Moscow Railway Transport Engineering Institute], 1976, iss. 524, pp. 66-73. (In Russian)

10. Shtraus P. Nadezhnost'i tekhnicheskoe obsluzhi-vanie zheleznodorozhnogo podvizhnogo sostava [Reliability and maintenance of railway rolling stock]. Research report. Dresden, Vysshaia shkola tekhni-ki i ekonomiki goroda Drezdena [Dresden University of Applied Sciences] Publ., 2010, 91 p. (In Russian)

11. Elsayed A. Reliability engineering. Massachusetts, Addison Wesley Longman Inc. Publ., 1996, 113 p.

12. Rainshke K. & Ushakov I. A. Otsenka nadezhnosti sistem s ispol'zovaniem grafom [System reliability assessment with the use of graphs]. Ed. by A. I. Usha-

kov. Moscow, Radio i sviaz' Publ., 1988, 145 p. (In Russian)

13. Nadezhnost' v tekhnike. Plany ispytanii dlia kontrolia koeffitsienta gotovnosti [Industrial product dependability. Test plan to control availability coefficient]. Moscow, Standartinform Publ., 2010, 16 p. (In Russian)

14. Druzhinin G. V. Nadezhnost' avtomatizirovan-nykh proizvodstvennykh sistem [Reliability of automated

manufacturing systems]. 4th edition. Moscow, Energo-atomizdat Publ., 1986, 360 p. (In Russian)

Received: October 23, 2019 Accepted: October 29, 2019

Author's information:

Jaloliddin O. ugli KUVONDIKOV - Postgraduate Student; jaloliddin1690@gmail.com Alexey E. TSAPLIN - PhD in Engineering, Associate Professor; tsaplin.alexey@mail.ru