CC BY
56
Известия Тульского государственного университета Естественные науки. 2011. Вып. 1. С. 301-308 = Науки о земле
УДК 624.19
Методическое и программное обеспечение расчета обделки некругового тоннеля на действие вертикальной нагрузки, распределенной по части внутреннего
контура
О.А. Соловьева
Аннотация. Излагается аналитический метод расчета обделок тоннелей произвольного поперечного сечения на действие внутренней вертикальной равномерной нагрузки, распределенной по части контура обделки. Метод базируется на решении соответствующей плоской задачи теории упругости и реализован в виде компьютерного программного обеспечения. В качестве иллюстрации рассмотрен конкретный пример расчета.
Ключевые слова: аналитический метод, расчет, обделка, тоннель, вертикальная нагрузка, теория упругости, программа.
В сложных горно-геологических условиях, характеризуемых наличием слабых пород, размещение в выработках массивного оборудования, в том числе — в подвешенном состоянии, а также движение транспортных средств может привести к потере несущей способности обделок. Это связано с особенностью статической работы подземных конструкций, подверженных действию вертикальных нагрузок большой интенсивности, локально распределенных по части внутреннего контура
В настоящей работе на основе обобщения накопленного в Тульском государственном университете опыта математического моделирования напряженного состояния подземных сооружений при различных видах воздействий [1, 2] предлагается новый аналитический метод расчёта обделок тоннелей произвольного поперечного сечения, базирующийся на современных представлениях о взаимодействии подземной конструкции и окружающего массива горных пород как элементов единой деформируемой системы при действии вертикального равномерного давления, распределенного по части внутреннего контура обделки.
Разработанный метод основан на решении плоской задачи теории упругости о равновесии кольца в общем случае некруговой формы (с одной
осью симметрии), моделирующего обделку, подкрепляющего отверстие в линейно-деформируемой бесконечной среде, моделирующей массив пород. На произвольном участке внутреннего контура кольца приложено вертикальное равномерно распределенное давление. Расчетная схема представлена на рис. 1.
Здесь однородная изотропная среда 5о, механические свойства которой характеризуются усредненными значениями модуля деформации Ео и коэффициента Пуассона щ, ослаблена отверстием произвольной формы, подкрепленным кольцом 51, выполненным из другого материала с деформационными характеристиками Е1 и VI. Кольцо 51 и среда 5о деформируются совместно, то есть на линии контакта Ьо выполняются условия непрерывности векторов напряжений и смещений. Внутренний контур кольца Ь1 нагружен локальным равномерно распределенным вертикальным давлением, положение которого определяется углами ф>\, ¥2, соответствующими началу и концу нагрузки.
После введения комплексных потенциалов фу (г), (г), ^ = 0,1),
связанных с напряжениями и смещениями в соответствующих областях 5^ = 0,1) известными формулами Колосова-Мусхелишвили [3], граничные условия поставленной задачи записываются в виде:
X
51! Еъ V,
Рис. 1. Расчетная схема
<1 (і) + < (і) + фі (і) = <о(і) + І<0(і) + Фі(і)';
<1 (і) - < (і) - фі (і) = — ^0<0 (і) - І<0 (і) - фо (і) на Ь0; (1)
<і (і) + І<1 (і) + фі (і) = /(і) на Ьі,
(2)
где = 3 — 4и^; ^ = 2(1+и') (З = 0 1), Ь — точка соответствующего контура.
Функцию f (Ь) = г § (Х+гУп)йв в граничном условии (2), обусловленную
о
действием на части контура Ь\ равномерного вертикального давления, можно определить следующим образом.
Запишем [3]
Хп = ах еоз(и, х) + Тху еоз(и, у) = ах еоз(и, х),
У= тху сов(и, х) + ау со&(и, у) = 0,
где
ах = Р«) = \—Р, Пр" ^ ^ . , с0*(и,х) = *
[0, при ф ^ 1^ <^2 ав
Таким образом, принимая во внимание очевидное соотношение ау = м—, получим
f (Ь) = 2 I р(г)(М — й1). (3)
1
Далее, с помощью рациональной функции вида
п+1
* = ш(() = ^1 & £' (4)
и=0
производится конформное отображение внешности круга радиуса Ко ^ 1 в плоскости переменной ( на внешность контура Ьо в плоскости * таким образом, чтобы окружность единичного радиуса К = 1 соответствовала контуру Ь1 (для достижения достаточной точности можно положить и = 4).
Принимая во внимание, что на контуре Ь1 имеет представление Ь = и (а), запишем р(Ь) = р [ш(а)| (при этом точкам Ь1, будут соответствовать точки
а\ = ег$1, а?> = ег®2 единичной окружности в отображенной области). Это
позволяет разложить функцию р [ш(а)| в ряд вида
ГО
р [ш(а)] = —Р^ Биак, (5)
где
к=—ж
0\
1 Г О* О* / „г* —к _*—к
Бк = 2п1е—гкв^ = Хк0 — (1 — Хк’о){ 2 2—гк
о\
(1, если г = з
лг,з = л ~ • / • •
[0, если г = з
Представление (5), а также вытекающие из (4) соотношения сМ = ш'(а)да, дЛ = -а-2ш'(а)да, позволяют преобразовать формулу (3) к виду
здесь символ «*» показывает, что в процессе суммирования член при к = = 0 исключается; коэффициенты (к = 0, ±1, ±2,..., ±го) определяются
из выражений:
Искомые комплексные потенциалы в преобразованной области с учетом того, что главный вектор действующих сил X + гУ отличен от нуля, представляется в виде
где V](£), ’ф](^) (і = 0,1) — функции, регулярные в соответствующих областях Б] (і = 0, 1) и обращающихся в нуль на бесконечности.
Принимая во внимание [3], что функция /(Ь) при обходе контура Ь\ по ходу часовой стрелки дает приращение г , величина главного вектора в рассмотренном случае определяется по формуле
Таким образом, поставленная задача сводится к отысканию 4-х функций V]((), Ф](() (І = 0,1), полностью определяющих напряженное состояние областей Б] (і = 0, 1), из граничных условий, записанных в отображенной
области на основе (1) - (2)
(6)
те п+1
к=-те и=0
Вк — к У у(1 ^) \Вк+и—1Яи + Вк—и+іЯи] •
~ Ш (К ) <Рі(Яо°)+ фі(Коо) =
О / ш (КоО)
&1<Р1
1^0
—о^о(— ) - ш (к \ У'о(Ко°) — ф0(К0°)
\ а ) и (Коа)
— ~п п(Коа); (8)
*”( + Шф&О)МКіа) + Фі(Кіа) =
^ <Т *Г,ак + _Г^ и*, у) а-1
4п 1 ^ к 1 + —1 и' (К1а)
где К1 = 1, а функции Л(Коа), £}(Коа) определяются из выражений
Л(Коо) = Бо(Коа)-1 (-+--------) ,
и' (Коа) \ 1 + — 1 1 + —о/
Я(Ео*) = По(Еоа)-1(^ -+---------------—^) . (9)
и' (Еоа) \цо 1 + *о 1 + ^1/
Искомые функции V) ((), ф) (() (] = 0,1) представляются в виде
комплексных рядов Лорана
оо оо
V(О = £ ■41)Мс, Ф)(о = £ 42тс, (10)
и=-о и=-о
где
с1?т =0, (в = 1, 2; V = 1, 2,..., ж), е01т =0.
Отношение I) (] =0,1), входящее в выражения (8), (9), может быть
представлено в виде [3]
П^1
Ш( ^ °"-1 П
= *=0 -------------- = £ н)ак, (11)
и' (Кз а) П+1 / ч -и
3 Е (1 — V) ЯиК- иа- к=-те
и=о
(3)
где комплексные коэффициенты Нк определяются по рекуррентным формулам
_ п—к
Н3 = 5-2,к — К—к — ^ ^,п-к+1$и,п+2 (1 — V) К— ^ Н%, к Яо 3 Яо
(1, если і < к 3,к \0, если і ^ к
После подстановки представлений (9) - (11) в граничные условия (8), приравнивая в их левых и правых частях коэффициентов при одинаковых степенях переменной а и соответствующих преобразований, удается придти
к разрешающей бесконечной системе линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных (в = 1, 2; а = 0,1; V = ±1, ±2,..., ±го).
Далее, удерживая в бесконечных рядах (10) конечное число N членов, определяются искомые коэффициенты потенциалов ^ (С), ^ (£) (2 = 0,1) и по формулам Колосова-Мусхелишвили — напряжения в областях 8
а = о, 1).
Разработанный метод реализован в виде компьютерного программного комплекса, состоящего из головной программы, осуществляющей ввод исходных данных и передачу управления набору подпрограмм, реализующих определенные функции. Все программные модули написаны на алгоритмическом языке ФОРТРАН, имеющем развитый аппарат для работы с комплексными числами.
Результаты расчета помещаются в специальный файл в форме таблиц, которые можно просмотреть и распечатать с помощью любого текстового редактора. Имеется также возможность подключения к телу программы специальной программной оболочки, позволяющей создавать доброжелательную среду для ввода исходных данных и вывода результатов расчета, в том числе — в графическом виде.
Благодаря простоте подготовки исходных данных, быстроте расчета, а также высокой точности получаемых результатов, разработанный программный комплекс может с успехом применяться в практическом проектировании.
Рис. 2. Поперечное сечение обделки и нагрузка в тоннеле
В качестве иллюстрации возможностей разработанного метода ниже приводятся результаты расчета монолитной обделки двухпутного железнодорожного тоннеля сводчатого поперечного сечения (рис. 2), в лотковой части которого действует вертикальная равномерно распределенная нагрузка (моделируется вес движущихся поездов по обоим
путям), при следующих исходных данных: Ео = 1000 МПа, = 0, 3, Е\ = 27000 МПа, = 0, 2.
На рис. 3а, 3б представлены эпюры нормальных тангенциальных
(Іп) т (ех) I п
напряжении /Р, /Р соответственно на внутреннем и наружном
контурах поперечного сечения обделки.
а(™]/Р а(вех)/Р
а б
Рис. 3. Расчетные напряжения на контурах обделки: а — внутреннем, б —
наружном
Как следует из приведенных результатов, локальное давление может приводить к появлению существенных сжимающих нормальных тангенциальных напряжений на внутреннем контуре поперечного сечения обделки и растягивающих напряжений на наружном контуре, что должно учитываться при проектировании подземных конструкций, особенно сооружаемых в слабых породах, обладающих низким модулем деформации.
Список литературы
1. Булычев Н.С. Механика подземных сооружений в примерах и задачах: учебное пособие для вузов. М.: Недра, 1989. 270 с.
2. Фотиева Н.Н. Расчет крепи подземных сооружений в сейсмически активных районах. М.: Недра, 1974. 240 с.
3. Мусхелишвили Н.И. Некоторые основные задачи математической теории упругости. М.: Наука, 1966. 708 с.
Соловьева Ольга Александровна (knopka.85@bk.ru), аспирант, кафедра механики материалов, Тульский государственный университет.
Methodical support and software for design of a non-circular tunnel lining subjected to the action of a vertical load uniformly distributed along a part of the lining internal outline
O.A. Solovyeva
Abstract. An analytical design method for tunnel linings of arbitrary crosssection shapes, subjected to the action of an internal vertical uniform load distributed along a part of the lining outline, is described. The method is based on a solution of the corresponding elasticity theory plane problem and realized in computer software. A case study is considered.
Keywords: analytical method, design, lining, vertical load, elasticity theory, program.
Solovyeva Olga (knopka.85@bk.ru), postgraduate student, material mechanics department, Tula State University .
Поступила 26.11.2010
