CC BY
71
ЛЕГОТИН Фёдор Яковлевич
Доктор экономических наук, профессор кафедры экономики предприятий
Уральский государственный экономический университет
620144, РФ, г. Екатеринбург, ул. 8 Марта/Народной Воли, 62/45 Контактные телефоны: (343) 221-17-84, 221-17-21 e-mail: legotin@usue.ru
ВОРОНИН Сергей Викторович
Аспирант кафедры экономики предприятий
Уральский государственный экономический университет
620144, РФ, г. Екатеринбург, ул. 8 Марта/Народной Воли, 62/45 Контактный телефон: (343) 264-05-54 e-mail: voronins@e1.ru
Методические подходы к принятию решений на основе экономического индекса оценки риска Ауманна-Серрано
Ключевые слова: риск; индекс оценки риска; ущерб; доход; полезность; функция полезности.
В работе даны практические рекомендации по применению экономического индекса оценки риска Ауманна-Серрано.
В 2007 г. Р. Дж. Ауманн, лауреат премии им. А. Нобеля по экономике 2005 г., совместно с Р. Серрано предложил экономический индекс оценки риска [1; 2]. На необходимость использования такого индекса Р. Ауманна натолкнула газетная статья о «манипуляциях» с государственным пенсионным фондом, осуществляемых государственными служащими США. В статье говорилось о «слишком рискованных инвестициях». И Ауманн задался «детским» вопросом: «Что значит „слишком рискованный"? Как это можно измерить?»
Разрабатывая свою идею, он отталкивался от простых рассуждений: «Как человек решает, на какой риск он готов пойти? На основе своего опыта. Если вы используете индекс оценки риска достаточно часто, то понимаете, какой уровень риска для вас приемлем. Как вы поймете, что температура -20 °С слишком холодна для вас? Вы выйдете на улицу однажды, потом еще раз, потом снова и снова. Через какое-то время вы поймете, что такое -15°, -25°, -10° и что такое -20°. И теперь, если вы услышите по радио, ^ что сегодня температура -20°, вам уже не нужно выходить на улицу - вы знаете, сколь- =з ко это. Аналогично, когда вы предлагаете некую инвестицию, вас спросят: „Насколько п она рискованна? Какой у нее индекс оценки риска Ауманна-Серрано?" Вы ответите, ^ что индекс такой-то и такой-то. Вам могут возразить: „Нет, это слишком рискованно..." | Поэтому индекс оценки риска - это очень полезный инструмент в управлении рисками, ^ анализе рисков и инвестиционном менеджменте». ^
Предлагая индекс оценки риска, Р. Ауманн делает допущение о постоянной вели- ё чине абсолютного неприятия риска. То есть если допустить, что абсолютная величина § рискового капитала не зависит от дохода, тогда функция полезности должна отвечать й условию ©
u" (ю)
--^- = а,
u' (ю"
'( ю)
где ш - доход (благосостояние); и(ш) - функция полезности дохода; а - некоторая постоянная величина.
В этом случае функция полезности индивида принимает экспоненциальный вид
u (ю) = -e
'+ С.
(1)
На основании такого допущения и принятых аксиом двойственности и однородности Р. Дж. Ауманн доказывает теорему.
Теорема. Для каждой игры g существует единственное положительное число Я(^), называемое индексом оценки риска игры g, для которого
E
-ю( g) ,R( g)
= 1,
(2)
где Е - символ математического ожидания; w(g) - доход от конкретного исхода проекта g; R(g) - экономический индекс оценки риска проекта g.
Допустимая рискованность R(g) проекта g равна величине, обратной параметру а формулы (1). Другими словами,
R (g) = -• (3)
а
Однако и сам Р. Ауманн отмечал, что область применения разработанного им индекса оценки риска ограничена случаями, когда точно известны необходимые вероятностные распределения. «В большинстве инвестиций вероятность нам неизвестна, у нас есть только смутные предположения по поводу того, каковы эти вероятности. Поэтому для того, чтобы применять этот индекс и трансформировать его во что-то, что можно реально использовать на рынке, необходимо подумать о том, как учесть некоторые неизмеримые вещи». Практически им дано только определение экономического индекса оценки риска R проекта g: «До практического применения индекса рискованности в управлении рисками необходимо предпринять дополнительные усилия, исследования и разработки, но, по крайней мере, у нас уже есть определение».
И действительно, за шесть лет, прошедших со дня опубликования статьи Р. Ауман-на, в периодической печати не появилось работ о какой-либо практической возможности применения данного индекса. Но так ли это на самом деле?
Авторы данной статьи также, еще с 2007 г., ушли от голословного использования термина «рискованность» и видят большие перспективы использования индекса рискованности Ауманна-Серрано.
Чтобы проиллюстрировать возможность использования экономического индекса оценки риска Ауманна-Серрано, разберем следующий пример [3]. «Пусть имеются два инвестиционных проекта. Первый с вероятностью 0,6 обеспечивает прибыль 15 млн р., однако с вероятностью 0,4 можно потерять 5,5 млн р. Для второго проекта с вероятностью 0,8 можно получить прибыль 10 млн р. и с вероятностью 0,2 потерять 6 млн р. Какой проект выбрать?»
В оригинале предлагается следующее решение: «Оба проекта имеют одинаковую среднюю прибыльность, равную 6,8 млн р.:
(0,6x15 + 0,4х(-5,5) = 0,8x10 + 0,2х(-6) = 6,8.
Однако среднее квадратичное отклонение прибыли для первого проекта равно 10,04 млн р. ([0,6х(15 - 6,8) + 0,4х(-5,5 - 6,8)2]1/2 = 10,04), а для второго - 6,4 млн р. ([0,8х(10 - 6,8)2 + 0,2х(-6 - 6,8)2]1/2 = 6,4), поэтому более предпочтителен второй проект».
Попробуем найти ответ, используя формулу (2).
Для данных инвестиционных проектов имеем:
_ 15 _ -5,5
0,6• е Ш + 0,4• е Ш = 1;
_ 10 _ _6 0,8 • е ^ + 0,2 • е ^ = 1.
Используя программное обеспечение Excel или MathCAD, легко найти решения для этих уравнений:
R1(g) = 6,42 млн р. и R2(g) = 3,88 млн р.
Согласно этим вычислениям второй проект также выглядит менее рискованным.
Но в реальности инвестиционные проекты редко предлагают одинаковую возможную прибыльность при различных уровнях риска (как бы мы их ни измеряли - через a(g) или R(g)). Чаще всего большей прибыли сопутствует больший уровень риска.
В случаях, когда инвестиционные проекты предполагают различные уровни необходимых вложений (как возможного убытка), прибыли и рискованности, требуется построение функции полезности вида (1). А наиболее предпочтительный вариант можно определить из условия (3). Параметр а, таким образом, отражает поведение конкретного индивида или предприятия. Чем больше а, тем более высоко проявляется несклонность к риску. Таким образом, зная показатель а функции полезности и как следствие зная уровень допустимого риска, легко определиться с приемлемостью инвестиционных проектов. Следовательно, необходимо функцию полезности строить заранее и аппроксимировать ее к виду u(") = -е~а(0 + С. Это важно и потому, что в действительности несклонность к риску зависит от уровня благосостояния, что отмечал и сам Ауманн. Чтобы иметь возможность на практике использовать индекс Ауман-на-Серрано, мы должны находить его допустимое значение на любой момент времени, а значит, находить свою функцию полезности на данный момент и для данного уровня благосостояния.
При анализе полезности дохода используются различные функции. «Примерами функций полезности являются квадратическая u = а + Ьш - сш2; логарифмическая u = ln ш; логарифмическая со сдвигом u = ln (1 + аш); экспоненциальная u = 1 - еташ; степенная u = ша» [4]. При этом поведение всех традиционных функций полезности и экспоненциальной значительно разнятся (рис. 1). Основное отличие состоит в том, что экспоненциальная функция вида u = 1 - е-"" имеет асимптоту u = 1, т. е. полезность бесконечно большого дохода не больше единицы.
Рис. 1. Графики функций, используемые для представления полезности дохода
В работах [5] и [6] для построения функции полезности мы использовали разработанный нами метод кратных сравнений, который позволил строить их с большей точностью. В работе [7] мы показали, что для построения функции полезности предприятия можно использовать функцию, отражающую степень ответственности ЛПР, которая строится аналогично. В работе [8], развивая алгоритм построения полез-ностной функции, предложенный Дж. Нейманом и О. Моргенштерном [9], вкупе с ранее сделанными наработками, мы показали, что гиперболическая функция полезности , ч ю -а .
вида и(ю) =- наиболее полно отражает результаты, получаемые методом кратных
ю
сравнений и ограничений, налагаемых Дж. Нейманом и О. Моргенштерном.
Стоит сразу обратить внимание, что и гиперболическая функция полезности вида
и (ю) = Ю—а , и экспоненциальная вида и = 1 - е~аш имеет асимптоту и = 1. Это отражает ю
тот факт, что наилучшего результата любой игры достичь невозможно в принципе. Но гиперболическая функция имеет еще одну асимптоту - ш = 0, а это значит, что и наихудшего результата любой игры также достичь невозможно.
На рис. 2 представлены результаты опроса, а также гиперболическая и экспоненциальная функции полезности, построенные путем аппроксимации этих данных.
§ 1.00
0
1 °>75
0,50 0,25
0
А и(«о) = + 1
--7 л 2(0-3,75 "(Ш)= 2а)
-.->
2,5
5,0
7,5
10,0
12,5 15,0 17,5 Доход (П), тыс. р.
Рис. 2. Сравнение гиперболической функции полезности, экспоненциальной функции полезности, предложенной Р. Ауманном, и результатов опроса, проведенного методом кратных сравнений
Мы видим, что результаты опроса, проведенного методом кратных сравнений, могут быть представлены обеими функциями. А при изменении дохода, т. е. при положительном или отрицательном исходе ранее принятого решения (ранее принятой игры), нет необходимости опять проводить полный опрос методом кратных сравнений. Достаточно найти одну точку, в которой респондент снова готов потерять часть своего дохода ради возможности увеличения дохода в два раза при шансах один к одному (при этом всегда стоит помнить, что респондент в любом случае не освобождается от ранее принятых обязательств). Эта точка всегда легко находится.
Когда мы построим свою экспоненциальную функцию полезности (пусть она имеет вид и(ш) = -е-0,2ш + 1), нам легко будет найти максимально допустимый уровень рискованности проекта. Согласно формуле (3) его значение обратно пропорционально показателю а:
Я ( е) = = 5 тыс. р.
0,2
Таким образом, для данного респондента, на данный момент времени, с данным доходом любой проект, у которого индекс оценки риска Ауманна-Серрано выше 5 тыс. р., слишком рискован, так как в случае неблагоприятного исхода он понесет неприемлемые потери. Соответственно любой проект, у которого индекс рискованности Ауман-на-Серрано ниже 5 тыс. р., даже в случае благоприятного исхода слабо повлияет на изменение полезностной значимости дохода. При расчете индекса рискованности проекта можно использовать не вероятность наступления события, а меру уверенности в его наступлении. Это позволяет, хотя бы формально, уйти от ограничений на те случаи, когда точно известны необходимые вероятностные распределения.
Источники
1. Aumann R. J., Serrano R. An Economic Index of Riskiness // Journal of Political Economy. 2008. Vol. 116, no. 5.
2. Ауманн Р. Экономический индекс рискованности // Рос. журн. менеджмента. 2007. Т. 5, № 3.
3. Лагоша Б. А., Апалькова Т. Г. Оптимальное управление в экономике: теория и приложения : учеб. пособие. 2-е изд., перераб. и доп. М. : Финансы и статистика, 2008.
4. Шапкин А. С. Экономические и финансовые риски. Оценка, управление, портфель инвестиций. М. : Дашков и К°, 2003.
5. Леготин Ф. Я., Воронин С. В. Выбор оптимальных экономических решений в сложных вероятностных моделях управления предприятием // Изв. Урал. гос. экон. ун-та. 2011. № 2(34).
6. Леготин Ф. Я., Воронин С. В. Достоверность аппроксимации экономических решений с применением степенных и логарифмических функций полезности // Изв. Урал. гос. экон. ун-та. 2011. № 4(36).
7. Леготин Ф. Я., Воронин С. В. Методы принятия оптимальных решений при оценке эффективности капитальных вложений предприятия // Управленец. 2013. № 2 (42).
8. Леготин Ф. Я., Воронин С. В. Применение оптимизационной модели принятия решений о реализации бизнес-процессов // Изв. Урал. гос. экон. ун-та. 2013. № 5(49).
9. Нейман Дж., Моргенштерн О. Теория игр и экономическое поведение : пер. с англ. М. : Наука, 1970.
