Достоверность аппроксимации экономических решений с применением степенных и логарифмических функций полезности Текст научной статьи по специальности «Экономика и бизнес»

ЛЕГОТИН Фёдор Яковлевич

Доктор экономических наук, профессор кафедры экономики предприятий

Уральский государственный экономический университет

620144, РФ, г. Екатеринбург, ул. 8 Марта/Народной Воли, 62/45 Контактные телефоны: (343) 221-17-88, 218-32-35 e-mail: [email protected]

ВОРОНИН Сергей Викторович

Соискатель кафедры экономики предприятий

Уральский государственный экономический университет

620144, РФ, г. Екатеринбург, ул. 8 Марта/Народной Воли, 62/45 Контактные телефоны: (343) 212-27-40, 264-05-54 e-mail: [email protected]; [email protected]

Достоверность аппроксимации экономических решений с применением степенных и логарифмических функций полезности

Ключевые слова: теория ожидаемой полезности; вероятность; игра; оптимизация; числовое восприятие; аппроксимация; функция; интерпретация показателей.

Аннотация. Рассмотрена методика построения функции полезности, обоснована необходимость ее изменения. Предложен видоизмененный подход к определению функции полезности, который позволяет построить ее с большей достоверностью аппроксимации. Приведена возможная интерпретация получаемой функции.

В ранее опубликованной статье «Выбор оптимальных экономических решений в сложных вероятностных моделях управления предприятием» [1] мы подчеркивали, что принятие решений - это процесс, во многом зависящий от индивидуальных особенностей и предпочтений лица, принимающего решение (ЛПР), и поэтому конкретную задачу всегда требуется разбивать на две составляющие - экономическую (материальную) и субъективную. Их смешение либо, наоборот, учет только одной не могут привести к оптимальному результату. В названной статье была рассмотрена модель принятия чисто экономического решения. В данной же публикации предложена оригинальная модель оценки субъективной составляющей ЛПР, основанной на теории полезности.

Теория ожидаемой полезности зиждется на пяти аксиомах, предложенных Дж. Нейманом и О. Моргенштерном [2]. Ниже эти аксиомы приведены в менее «сухой» интерпретации, представленной в книге «Моделирование рисковых ситуаций в экономике и бизнесе» [3].

Аксиома 1. Аксиома сравнимости (полноты). Для всего множества 5 неопределенных альтернатив (возможных исходов) индивид может сказать, что либо исход х предпочтительнее исхода у (х > у), либо у > х, либо индивид безразличен в отношении к выбору между х и у (х о у).

Аксиома 2. Аксиома транзитивности (состоятельности). Если х > у и у > 2, то х > 2. Если х о у и у о 2, то х о 2.

© Леготин Ф. Я., Воронин С. В., 2011

Аксиома 3. Аксиома сильной независимости. Предположим, что мы конструируем игру, в которой индивид с вероятностью а получает денежную сумму х и с вероятностью (1 - а) - сумму 2, т. е. С (х, 2/ а). Сильная независимость означает, что если индивид безразличен в отношении к выбору между х и у (х о у), то он также будет безразличен в отношении к выбору между игрой С (х, 2/ а) и игрой С (у, 2/ а), т. е. из х о у следует С (х, 2/ а) о С (у, 2/ а).

Аксиома 4. Аксиома измеримости. Если х > у о 2 или х о у > 2, то существует единственная вероятность а, а именно: у о С (х, 2/ а).

Аксиома 5. Аксиома ранжирования. Если альтернативы у и и находятся по предпочтительности между альтернативами х и 2 и можно построить игры такие, что индивид безразличен в отношении к выбору между у и С (х, 2/а1), а также к выбору между и и С (х, 2/ а2), то при а1 > а2 у > и.

В своей работе Нейман и Моргенштерн показали следующее: если принять перечисленные аксиомы и предположить, что для ЛПР большее количество некоторого блага предпочтительнее меньшего, то при принятии решения ЛПР будет руководствоваться максимизацией ожидаемой полезности. Здесь под полезностью понимается некоторое значение, сопоставленное каждому возможному исходу, т. е. мы получаем некую зависимость, сейчас называемую функцией полезности; запишем ее как V(х). У каждого ЛПР можно найти индивидуальную функцию полезности, которая показывает на данный момент его предпочтение тех или иных исходов в зависимости от его отношения к риску. Тогда ожидаемую полезность можно определить как произведение приписываемой вероятности возможных исходов на значения полезности этих исходов. Мы трактуем ожидаемую полезность именно через приписываемую вероятность, так как вероятностная оценка нестохастических исходов всегда несет ошибку, и хорошо, если во второй значащей цифре.

Дж. Нейман и О. Моргенштерн предложили и процедуру построения индивидуальной функции полезности. Суть процедуры заключается в реализации методики опроса ЛПР, ответы на вопросы которого раскрывают зависимость предпочтений ЛПР его отношения к риску. Значения полезностей находятся за три шага (см.: [4]).

Шаг 1. Всё множество возможных исходов упорядочивается по возрастанию.

Шаг 2. Присваиваются произвольные значения полезностей для худшего и лучшего исходов, причем худшему исходу ставится в соответствие минимальное значение, (например, 0), а лучшему исходу - максимальное (например, 1). Тогда полезности промежуточных исходов будут находиться в интервале от 0 до 1. Конечно, полезность при таком подходе нельзя определить однозначно, но простым монотонным преобразованием ее можно привести к любой необходимой шкале.

Шаг 3. Далее ЛПР предлагается получить некоторую гарантированную денежную сумму 5 , находящуюся между худшим 5 . и лучшим 5 значениями, либо принять участие в игре, т. е. получить с вероятностью р наибольшую денежную сумму 5 и с вероятностью (1 - р) - наименьшую сумму 5 . . При этом вероятность следует изменять (понижать или повышать) до тех пор, пока ЛПР станет безразличным в отношении к выбору между получением гарантированной суммы и игрой. Пусть указанное значение вероятности будет равно р . Тогда полезность гарантированной суммы определяется как среднее значение (математическое ожидание) полезностей наименьшей и наибольшей сумм по формуле

С(5) = рС(5 ) + (1 - р) С(5 .). (1)

' п 1 п ' шах' ' 1 п ' шш/ ' '

Далее шаг 3 повторяется для всех остальных возможных доходов.

Однако при работе с реальными суммами и реальными людьми построение зависимости оказалось очень проблематичным - сами респонденты отмечали, что называемые ими значения вероятности очень грубые и носят в большей степени характер

оценки вариантов. Ниже приведен рис. 1, на котором отображены значения, полученные в ходе опроса одного из респондентов.

Полезность Єт 1,0

0,8 0,6

0,4

0,2

10

15

20

Доход

Рис. 1. Значения полезности, полученные традиционным способом опроса

Пример ярко иллюстрирует, что для аппроксимации можно предложить любую зависимость - и линейную, и степенную, и логарифмическую. Как следствие, либо мы наблюдаем слабую функциональную зависимость, либо алгоритм ее построения не удовлетворителен. На деле в источниках [3-5] для определения функции полезности использовались только по три точки - с минимальной полезностью, максимальной полезностью и любая точка между ними; все «остальные возможные исходы» просто не учитывались. Такое упрощение, конечно, позволяет упростить само получение зависимости, но и выводы, сделанные на основании ее, будут слабо адекватными. Факт получения неудовлетворительных результатов на этом этапе побудил авторов провести дополнительные исследования в данном направлении и выработать свой, несколько отличный, метод построения функции полезности, который приведен ниже.

Опрос респондентов показал, что числовая оценка вероятности затруднительна для восприятия. Даже при точности до одного десятичного знака после запятой оценки респондентов не чувствительны в интервале порядка трех знаков. Например, для одинаковых исходов вероятность р может быть принята как 0,6; 0,7 или 0,8, т. е. чувствительность минимальна. Попытка снижения количества оценок до шести путем исключения нечетных знаков (оставив для р только значения {0; 0,2; 0,4; 0,6; 0,8; 1}) особых изменений не принесла. Оценки и 0,6, и 0,8 не несут большой информативной разности при оценке полезности для опрашиваемого респондента. Снижение количества оценок до трех было признано нецелесообразным. Использование методов интервального исчисления, или теории нечетких множеств [6] приводит только к усложнению задачи.

Тогда авторами было принято решение изменить методику опроса, а именно: конкретизировать ее для опрашиваемого. Из нескольких возможных мы остановились на методике, нами названной методом кратного сравнения. Сущность метода состоит в изменении возможных доходов кратно двум, а также не в десятичном измерении вероятности, а в виде простой дроби. Объясним сказанное с помощью примера.

Респондент участвует в простой гипотетической ситуации, как нам кажется, максимально приближенной к действительности. В день получения заработной платы или другого вида дохода ему предлагается принять участие в игре: он ставит все свои деньги, причем их сумма каждый раз меняется, а его противник ставит фиксированную сумму - в 2 раза большую, чем величина выставленных респондентом денег. Кроме того, нами была опробована игра, когда противник ставит не фиксированную сумму, а сумму в 2 раза большую, чем поставленная опрашиваемым. Однако в этом случае -мы не смогли найти алгоритм сведения результатов к функции полезности.

Правила, пусть и гипотетически, диктуют жесткие условия:

1) поставленные деньги не возвращаются, по сути это - плата за участие в игре;

2) игра проводится только один раз;

3) даже в случае проигрыша проигравший не освобождается от принятых им ранее других обязательств (продолжения работы, оплаты налогов, квартплаты, оплаты обучения, оплаты содержания ребенка в детском саду и т. п.);

4) предполагается, что других источников дохода у респондента нет, т. е. «перезанять» деньги до следующей получки нельзя.

Допустим, респондент получил сумму, равную п, и ему предложено сыграть в эту игру. В прозрачной урне находятся шары двух цветов - черные и белые. Играющим шары не видны; допустим, у них завязаны глаза. Если вытянут белый шар, то респондент выигрывает сумму, по величине равную 2п; если вытягивают черный шар, то респондент ничего не выигрывает, т. е. теряет поставленные им деньги.

Первый вопрос, адресованный респонденту, звучит так: «Поставите ли Вы все полученные деньги п, чтобы сыграть еще раз, если в урне находятся один белый и один черный шар?» Наученные горьким опытом последних двадцати лет, все отвечают: «Нет!», объясняя ответ тем, что «это, естественно, жульническая игра». Далее идут объяснения того, кто проводит игру, что она гипотетическая, а значит, как предполагается, честная, что именно поэтому в условиях есть пункт о прозрачности урны и что за ходом игры наблюдают другие потенциальные игроки. Второй реакцией обычно бывает ответ: «Да». Тогда проводящий игру напоминает об обязательном соблюдении третьего условия - в случае проигрыша у игрока велика вероятность «не дожить» даже до аванса, он просто «умрет голодной смертью». Только после этого участники начинают осмысленно принимать решения. После этого идет уверенный ответ: «Нет!».

Следующий вопрос: «Поставите ли Вы половину заработанной суммы - 1/2п, чтобы участвовать в этой игре, если в урне один белый шар и один черный шар?» Допустим, опрашиваемый отвечает: «Нет». В большинстве случаев это соответствует действительности, но данный ответ звучит уже менее уверенно. Далее сумма каждый раз уменьшается в 2 раза, до тех пор пока ответ не сменится на противоположный (но, по нашим наблюдениям, уменьшать более чем на 1/8п не имеет смысла, поскольку изменения порядка 1/16 человеческими чувствами не воспринимаются).

Допустим, на третий вопрос «Поставите ли Вы четверть заработанной суммы - 1/4п, чтобы сыграть в этой игре?» опрашиваемый отвечает: «Да». Этот ответ звучит чаще всего, а вот степень уверенности различная (по-видимому, в данном случае степень уверенности отражает склонность к риску: «Конечно, да», «Скорее всего, да», «Возможно, да», «Скорее всего, нет»). Но ответ всё же меняет свой знак. Далее, для уточнения результата, сумма не уменьшается наполовину, а увеличивается на половинную долю, т. е. каждый раз при смене знака ответа меняется направление изменения денежной суммы. Пусть на шаге с суммой, равной (1/4п + 1/8п), респондент говорит: «Нет». После этого мы фиксируем наибольшее значение со знаком «+» с ответом «Сыграю». В принципе ничто не мешает в соответствии с этим алгоритмом продолжать опрос, но достоверность ответов неподготовленного человека будет крайне мала: как мы уже отмечали, доли выше одной восьмой слабо воспринимаются - низок порог чувствительности.

На втором этапе игры в урне уже два белых шара, т. е. вероятность положительного исхода игры увеличивается. Опять фиксируется наибольшее значение со знаком «+».

На третьем этапе игры в урне уже четыре белых шара, т. е. их количество каждый раз увеличивается в 2 раза. Опять фиксируем наибольшее значение со знаком «+».

Вероятность отрицательного исхода каждый раз уменьшается, но не кратно двум, и в этом вопросе нужно дополнительное уточнение, что кратно изменять - количество шаров или вероятность? Мы решили изменять количество шаров, так как вероятность - производная величина, к тому же не всегда адекватно воспринимаемая. После

этого количество белых шаров увеличивается каждый раз до величины, при которой опрашиваемый заявляет, что «при таких условиях будет готов поставить все свои деньги». На этом опрос закончен, и на его основе строится матрица.

Предположим, сумма, выдаваемая респонденту, равна 15 000 р. Матрица опроса представлена в таблице. Данная матрица отражает функцию полезности одного из авторов статьи.

Матрица построения степенной функции полезности

Сумма Количество черных шаров, шт. Полезность

в долях в тыс. р.

0 0 0

1/4n 3,75 + + + + + 0,5

(1/4 + 1/8)n 5,625 - + + + + 0,67

1/2n 7,5 - - + + + 0,8

(1/2+1/4)n 11,25 - - - + + 0,89

1n 15 - - - - + 0,94

2n 30

1 2 4 8 16

Количество белых шаров, шт.

Для случая работы с посторонним респондентом рекомендуем ограничиться значением 1/4n. Несмотря на то что результаты будут грубее, достоверность ответов при этом выше. Кроме того, при аппроксимации данных точку (0; 0) лучше не учитывать; то, что нулевая величина дохода может иметь только отрицательную полезность, хорошо видно из представленного ниже рис. 2.

По формуле (1) вычисляем полезность и заносим полученные данные в соответствующий столбец таблицы.

G (3,75) = 1/2x1 + 1/2x0 = 1/2 + 0 = 1/2 = 0,5;

G (5,625) = 2/3x1 + 1/3x0 = 2/3 + 0 = 2/3 = 0,67;

G (7,5) = 4/5x1 + 1/5x0 = 4/5 + 0 = 4/5 = 0,8; (2)

G (11,25) = 8/9x1 + 1/9x0 = 8/9 + 0 = 8/9 = 0,89;

G (15) = 15/16 + 1/16x0 = 15/16 + 0 = 15/16 = 0,94;

G (30) = 1.

На основе этих данных с использованием инструментов программы «Excel» легко построить точечный график (рис. 2).

Рис. 2. График степенной функции полезности

Как видно на рис. 2, при аппроксимации точку (0; 0) лучше не использовать, так как она явно не лежит на результирующей кривой. Вывод простой: нулевая сумма имеет не нулевую, а отрицательную полезность. Стоит обратить внимание, что и в наших вычислениях (2) с использованием формулы (1) второе слагаемое всегда равно 0, т. е. в явном виде точка с нулевой полезностью не учитывается, а значит, вполне может находиться и не в точке (0; 0). Тогда и формулу (1) можно преобразовать к виду

О (Б) = р О (Б ). (3)

' п' 1 п ' шах' ' '

Конечно, при этом теряется смысл формулы, но и выполнять ненужные действия тоже не следует.

Из полученных данных легко найти аппроксимирующую кривую. Для нашего случая предлагаем такой кривой считать график функции у = 0,5 (х - 2,25)0>25, достоверность аппроксимации которой К2 = 0,9. Можно предложить и другую функцию - «а ля Бернулли» - у = — 1п х, достоверность аппроксимации которой К2 = 0,86. Но степенная функция

вида у = а (х - Ь)с несет более высокую информативность. Мы предлагаем следующую интерпретацию ее показателей:

• показатель степени с, для нашего случая равный 1/4, сам по себе хорошо характеризует степень неприятия риска (их легко сравнить: чем меньше показатель степени, тем круче график и выше неприятие риска);

• показатель Ь (смещение графика вдоль оси ОХ на 2,25) говорит о том, что сумму порядка 2 000 р. можно безболезненно использовать. На данном участке можно проявить и «любовь к риску»; по сути, эта сумма определяет степень материальной свободы индивида;

• показатель а (для нашего случая - 0,5) отражает общую тенденцию, согласно которой даже при линейном изменении (когда показатель степени равен 1) рост полезности будет в 2 раза меньше роста дохода.

Такая интерпретация функции полезности имеет два интересных момента.

1. Стандартно показатели функции отдельно не рассматриваются. Функция изучается целиком, безотносительно того, что представляют собой показатели. К примеру, неприятие риска обычно характеризуется второй производной функции полезности и индексом абсолютного неприятия риска Эрроу-Пратта:

-О"(х)

А(х) = -

С (х)

Конечно, традиционные методы анализа функции дают более точные оценки, но их применение для анализа поведенческих функций несет в себе прогностические ошибки. Так, если следовать идее индекса, появляется желание спрогнозировать изменение неприятия самого риска, т. е. взять производную от А(х). Для всех функций, используемых для характеристики полезности (предлагаемая нами в их числе), А’(х) > 0, т. е. степень неприятия риска понижается. Но на деле неприятие риска с ростом капитала возрастает, по крайней мере успешным бизнесменом; в противном случае он рано или поздно проиграет. Например, для того же лица функция полезности, что была получена ранее, при суммах на порядок выше трансформируется следующим образом:

у = 0,33(х - 25)°-2.

Как видим, неприятие риска возросло по всем показателям. Можно предположить, что функцию полезности, построенную в некоторый интервал времени, нельзя интерполировать. Она действительна только на данный момент и только на этот интервал.

2. Сравним графики функций, традиционно предлагаемые для функции полезности, с графиком, полученным нами. Можно заметить, что на изучаемом интервале

он имеет более крутую форму, т. е. степень неприятия риска у него значительно выше (рис. 3).

Рис. 3. Сравнение логарифмической (традиционной) функции полезности и степенной

вида y = a (x - b)c

Вышесказанное согласуется с выводом Р. Мехры и Э. Прескотта [7]: реальные данные о сравнительном спросе на акции и облигации, т. е. на рисковые и менее рисковые активы, могут быть объяснены только при значительно более высоких уровнях неприятия риска (примерно в 30 раз больших), что возможно, если допустить, что у крупного инвестора функция полезности примет вид, к примеру, порядка y = 0,2(x - 200)0,15.

Итак, вследствие слабого восприятия человеческими чувствами вероятностной оценки (низкого порога чувствительности) функция полезности, построенная традиционным методом, несет в себе высокую погрешность. Но если использовать величины доходов, отличающиеся кратно двум, и при этом вероятности исходов оценивать как простую дробь, то можно значительно снизить погрешность. Снижение погрешности привело к получению аппроксимирующей кривой степенного вида y = a (x - b), ранее не рассматриваемой в сфере принятия экономических решений. Числовые показатели этой функции несут дополнительную интересную информацию, позволяющую принимать новые управленческие решения.

Источники

1. Леготин Ф. Я., Воронин С. В. Выбор оптимальных экономических решений в сложных вероятностных моделях управления предприятием // Известия Урал. гос. экон. ун-та. 2011. № 2.

2. Нейман Дж., Моргенштерн О. Теория игр и экономическое поведение : пер. с англ. М. : Наука, 1970.

3. Дубров А. М., Лагоша Б. А., Хрусталёв Е. Ю. Моделирование рисковых ситуаций в экономике и бизнесе : учеб. пособие / под ред. Б. А. Лагоши. М. : Финансы и статистика, 1999.

4. Шапкин А. С. Экономические и финансовые риски. Оценка, управление, портфель инвестиций. 3-е изд. М. : Дашков и К°, 2004.

5. Вишняков Я. Д., Радаев Н. Н. Общая теория рисков : учеб. пособие для вузов. М. : Академия, 2007.

6. Заде Л. Понятие лингвистической переменной и его применение к принятию приближенных решений. М. : Мир, 1976.

7. Mehra R., Prescott E.C. The Equity Premium: A Puzzle // Journal of Monetary Economics. 1985. Vol. 15. No. 2.