Методические особенности работы с задачами на ориентационных математических элективах Текст научной статьи по специальности «Математика»

МЕТОДИЧЕСКИЕ ОСОБЕННОСТИ РАБОТЫ С ЗАДАЧАМИ НА ОРИЕНТАЦИОННЫХ МАТЕМАТИЧЕСКИХ ЭЛЕ1СГИВАХ

Задача с профессиональным контекстом, ситуационная задача, математическое моделирование реальных объектов и процессов.

Предметные и межпредметные математические элективы не обеспечивают решения всех задач профильного обучения. Они недостаточно содействуют профессиональному самоопределению старшеклассников. В связи с чем возникает необходимость введения в старших классах, наряду с названными, ориентационных математических элективов — элективных курсов по математике, направленных на профессиональное самоопределение школьников.

Ориентационный математический электив имеет модульную структуру: инвариантный модуль «Математические методы в сфере профессиональной деятельности», вариативный модуль «Математические методы в деятельности специалиста профессиональной сферы», ориентационный модуль «Подведение итогов и формирование рекомендаций по выбору специальности в профессиональной школе».

Характерными представителями задачного содержания инвариантного и вариативного модулей ориентационного математического электива являются такие виды математических задач, как задачи с профессиональным контекстом и ситуационные задачи, особенности работы с которыми будут раскрыты в настоящей статье.

В методике обучения математике большинством авторов выделены четыре основных этапа процесса решения математической задачи:

- осмысление текста задачи и анализ её содержания;

— осуществление поиска решения и составление плана решения;

- реализация плана решения;

— анализ найденного решения, поиск других способов решения.

Содержание инвариантного модуля электива разворачивается на примере решения задач с профессиональным контекстом.

При работе с задачей, содержащей профессиональный контекст, на первом этапе предполагается работа над текстом задачи с целью понимания сути предложенной ситуации, выявления величин, которыми она описывается, установления различных зависимостей между этими величинами, определения отношений, заданных условием задачи. Частью процесса решения задачи является поиск информации по ключевым словам. В список информационных источников следует включить источники, в содержании которых наиболее чётко прослеживается соответствие существующему образовательному стандарту, различные справочные издания по профессиональной терминологии, Интернет-ресурсы. Если какие-то книги, диски, \¥еЬ-страницы из этого списка не будут использованы, никакой трагедии не случится. Расширяют этот список сами учащиеся: они приносят книги и диски, находят новые \¥еЬ-страницы, самостоятельно составляют словари профессиональных терминов, справочники формул и так далее.

Результаты такого предварительного анализа удобно зафиксировать в схематической записи (содержательной модели) текста задачи.

Второй этап работы над задачей является самым трудным для учащихся. Его результатом должна стать математическая модель ситуации, причем в качестве такой модели могут быть формула, уравнение, система уравнений, график и т. п.

Третий этап работы с задачей предполагает исследование построенной математической модели, интерпретацию результата исследования математической модели на языке заданной ситуации, запись ответа.

На четвертом этапе работы с задачей можно попросить учащихся предложить другие варианты решения или самостоятельно составить задачу, из различных способов решения одной и той же задачи выбрать наиболее рациональный, красивый [Блох, Гусев, 1999].

В качестве примера рассмотрим следующую задачу.

Задача 1. «Рассчитайте пропускную способность рештака при транспортировке по нему угля из гезенка».

На первом этапе для уяснения смысла предложенной ситуации необходимо при помощи справочной информации найти ответы на вопросы (табл. 1).

Таблица 1

Вопрос Модельный ответ

Что такое гезенк? Гезенк — горная выработка, не имеющая выхода на поверхность, исполняющая различные функции внутри шахты

Что такое рештак? Рештак — металлический секционный желоб скребкового конвейера. Проще говоря, металлическое корыто, совокупность таких корыт составляет основу конвейера

Что понимают под пропускной способностью рештака? Площадь поперечного сечения

Как определить наибольшую пропускную способность? Найти наибольшую площадь поперечного сечения

X

Г

«Что представляет собой площадь поперечного сечения рештака и от чего зависят её размеры?»

Ответ на этот вопрос даёт графическое изображение рештака (рис. 1). Визуализация полученной информации подсказывает учащимся, что размеры площади поперечного сечения рештака зависят от ширины его основания х и высоты бортов Ь.

Второй этап процесса решения задачи целесообразно начинать с анализа, который проводится по схеме: «чтобы узнать — надо знать». Он начинается с вопроса задачи (табл 2).

Математическая модель задачи представляет со-

_ £

бой функцию: 5 (х) = х----.

Рис. 1

Таблица 2

План рассуждений

Чтобы узнать Необходимо знать Краткая запись

Наибольшую площадь поперечного сечения рештака Ширину основания поперечного сечения рештака X

Ширину рештака В

Высоту рештака , Ъ-х к = 2

Площадь его поперечного сечЁння с 7 Ъ-Х Ь = хп = х 2

Третий этап. Исследуем полученную функцию на максимум:

в(х) = 0, х = у..

ь

Значит, при Хюая- = г площадь поперечного сечения рештака максимальна и Ь Ь-------------

равна = —' - = —. Для того чтобы дать ответ на вопрос задачи, необходимо

2 2 3

знать размеры рештака. Эту информацию учащиеся находят в справочной литературе.

На четвёртом этапе предлагаем учащимся решить эту задачу другим способом.

В качестве творческого домашнего задания учащиеся составляют самостоятельно задачу, подобную данной.

При решении задач с профессиональным контекстом возможно использовать не только алгебраические, но и геометрические модели.

Обычно решение задач организуется в групповой форме. Учащимся разных групп предлагаются задачи с профессиональным контекстом, имеющие общую математическую модель, но различные сюжетно-ситуационные фабулы [Возняк, 1985]. Например, такие.

1. Снабжение потребителей продукции ОАО «Разрез "Талдинский"» (углём) производится автомобильным и железнодорожным транспортом. Где нужно построить склад углеперегрузки, чтобы транспортные расходы предприятия были минимальными?

2. До рабочего места шахтёры добираются с пересадками. Из города их доставляют автобусами до административного корпуса, где они переодеваются в рабочую одежду, получают самоспасатели и проходят регистрацию. Далее на вахтовках их доставляют непосредственно к месту работы. Предложите варианты места расположения административного корпуса шахты при условии минимальных затрат времени на путь до рабочего места.

3. Требуется пробить штрек, соединяющий добычные участки «Антоновский» и «Ульяновский» при условии минимальных расходов на проходку.

Внешне эти задачи различны. Их сюжеты и требования не совпадают. Однако, выполняя работу в группах, учащиеся получают схожие результаты.

Задача 2. Снабжение потребителей продукции ОАО «Разрез "Талдинский" (углём) производится автомобильным и железнодорожным транспортом.

Где нужно построить склад углеперегрузки, чтобы транспортные расходы предприятия были минимальными?

Решение. Допустим, что потребитель находится в пункте В. От склада углеперегрузки разрез удалён на а километров, а потребитель на в километров (рис. 2). Пусть расстояние А1В1 равно с км. Предположим, что перевозка одной тонны угля на расстояние 1 км автомобильным транспортом стоит т рублей, а по железной дороге — п рублей ('//(. Щш Обозначим

расстояние ВЮ через х км. Тогда ^А1- = С — X р^/с 2

и длина пути груза на автомобиле равна

у а- 4 я 2, а по железной дороге: у а-' 4 (}-' ~ м’Г ■ Стоимость перевозки одной тонны груза из В в А или из А в В описывается выражением:

у = ту а2 4 я2 4 и уст 4 (с - (1)

Найдём точки минимума получившейся функции, то есть значения аргумента, при котором эта функция принимает наименьшее значение:

у =

тх

«(г —л)

тх

у а-1 у cts 4 (с — к)*'

•п (с — Х-) у а-2 4 yLct2 4 (с - x)z

= С,

х

с —х

— п\т.

откуда получаем: —=——г1 ; .. . ,---------т-=

Данное отношение можно записать короче и выразительнее:

£in р _ П sin а т

(2)

(3)

это означает, что склад углеперегрузки I) надо расположить так, чтобы выполнялось равенство (3).

Задача 3. До рабочего места шахтёры добираются с пересадками. Из города их доставляют автобусами до административного корпуса, где они переодеваются в рабочую одежду, получают самоспасатели и проходят регистрацию. Далее на вах-товках их доставляют непосредственно к месту работы. Предложите варианты места расположения административного корпуса шахты при условии минимальных затрат времени на путь до работы.

Решение. Пусть город находится в точке В, а добычной участок (непосредственное место работы) — в точке А (рис. 3). Тогда место для административного корпуса (точка Б) должно быть выбрано так, чтобы путь от В к А шахтёры проделали за наименьшее время.

Будем считать, что скорость движения автобуса равна 1? , вахтовки - Время, за которое автобус

проходит 1 км пути, составляет т часов, а вахтовка — п часов ^ Щ. Обозначим расстояние В/1) через х км. Тогда £^1 “ с ~ х и время в пути на автобусе

Рис. 3

равно: V4 X1, а на вахтовке: у'я-* + (с — я)2. Время в пути из В в А или из А в В задаётся соотношением (1):

у = т у и2 + я • ■+ г* ^а'2 ■+ (с — Д:'}-.

И значит, административно-бытовой корпус Б надо расположить так, чтобы выполнялось равенство (3).

Задача 4. Требуется пробить штрек, соединяющий добычные участки А и В (рис. 4), при условии минимальных расходов на проходку.

Решение. Представим себе, что сверху от линии СО лежит мягкая порода, а снизу твёрдая, и поэтому стоимость проходки одного метра тоннеля выше линии СБ — т рублей, а ниже — п рублей

(Ш < 71). Как нужно прокладывать штрек, чтобы стоимость его была наименьшей? Эта задача решается построением математической модели, аналогичной той, что в предыдущих задачах, и приводит к такому же по форме результату: для РцСш 4

точки Е, расположенной на границе различных пород, должно выполняться условие (3).

После решения группами своих задач организуется дискуссия о «похожести» результатов их работы. В ходе дискуссии выявляется «модельность» задач с профессиональным контекстом и определяется общая математическая модель, лежащая в основе трёх решённых задач [Брейтигам, 2007].

Наиболее важный элемент учебного процесса на ориентационном математическом элективе — решение ситуационных задач, имеющих трёхкомпонентную структуру: информационный познавательный и коммуникационный компоненты. Ведущим компонентом в этой структуре является информационный — его особенности задают профессиональный контекст задачи в целом.

Решение ситуационной задачи - это теоретическое исследование, результатом которого является описание предложенной ситуации с помощью математической модели.

Решая ситуационные задачи, старшеклассники должны, кроме анализа предложенной информации, из возможных решений выбрать наиболее оптимальное и сформулировать аргументированный ответ на поставленный вопрос.

В качестве примера рассмотрим задачу 5.

Задача 5. Изучите предложенную вам информацию о вариантах транспортировки угля при открытой добыче. Дайте оценку представленным способам транспортировки относительно возможности использования их в условиях ОАО «Разрез "Ерунаковский"». Предложите возможный вариант прокладки автотрассы.

Первый этап - анализ текста задачи.

На втором этапе анализ предложенной информации позволяет определить проблему: в условиях угольного разреза из-за крутизны рельефа требуется особый вид автомобильной трассы; повороты дороги нужно делать на склоне гористой или холмистой местности.

Третий этап - возможные варианты решения проблемы: в трудных топографических случаях применяют так называемые серпантины.

Пояснение. Серпантина — вид кривой в плане, описываемой с внешней стороны угла поворота трассы между двумя ее направлениями, сходящимися под острым углом. Применяется, как правило, при прокладке дорог в горной местности,

на крутых горных склонах. В общем случае состоит из основной кривой, двух вспомогательных кривых и двух прямых вставок, устраиваемых между основной и вспомогательными кривыми. Серпантина состоит из следующих частей (рис. 5):

- основной кривой ВРВг, радиус которой равен г;

— двух прямолинейных отрезков - вставок ВС и Л/С/, равных между собой.

Четвёртый этап - план решения проблемы: при прокладке такой трасы

требуется соединить её прямолинейные отрезки кривой путём вписывания этой кривой в угол, составленный прямолинейными участками (отрезками).

Пятый этап. Решение. Прямые ВС и О/С/ являются касательными к основной кривой и соответственно касательными к обратным кривым. Прямые В1Т и В(5 - соответственно касательные к обратным кривым.

Числа В,, г и /, как правило, известны. По условию: Од Сд 1

А. 2* Выразим отрезок

- - через радиус II и тригонометрическую функцию угла

2 "

СЕ — С1Е2 — $£§ .. . (1)

Из Ь.О£>Е выразим через г, I, СЕ и затем заменим СЕ, пользуясь равенством (1):

2

1- Й2'

£

ТЕ',

или (2Д ^4 21^ "Т1 = О,

откуда можно найти, зная Лиг,

а затем и отрезок

Прямолинейная

$сто8т

Лряммтеи . тя &стаёна

криЗая -

I шг/

Рис. 5

острый угол Р ОЕ.

Шестой этап. Учитывая гор-но-геологические условия и место

расположения ОАО «Разрез "Ерунаковский"», можно предложить в качестве варианта автотрассу серпантинного типа.

Зная величины Д, г, I, (ЭЕ, /.?, можно приступить к разбивке серпантины в полевых условиях.

Рекомендации по разбивке серпантины, представленные учащимися, выглядят следующим образом.

Теодолитом найти угол между прямолинейными участками пути.

Из точки О отложить отрезки ОЕ и ОЕ1 (ОЕ = ОЕ* = ——■)* отметить на мес-

тности точки Е и Е].

Из точки О направить визир теодолита под углом (90° - к прямой 0(^, отложить в этом направлении отрезок, равный г, и получить точку В. Аналогично отметить на местности точку Ви

Из точки D в направлении DE отложить вставку — отрезок, равный I. Получить точку С. Аналогично отметить точку Ci.

Из точки Е в направлении OQ отложить отрезок ЕВ, равный отрезку СЕ, получив тем самым точку В (начало обратной кривой СВ). Аналогично получить точку Bi (начало обратной кривой CiBi).

Таким образом, методика работы с задачами на ориентационном математическом элективе, в отличие от работы с задачей на уроках математики, характеризуется следующими особенностями.

На занятиях ориентационного математического электива учащимся предлагаются в основном задачи с профессиональным контекстом и ситуационные задачи, требующие работы с дополнительной информацией.

Решение задач организуется в группах, затем результаты обсуждаются в дискуссии «В чём сходство выполненных решений?». Учащиеся анализируют математические модели, полученные при решении своих задач (уравнение, система уравнений или неравенств и др.), и приходят к выводу, что различные ситуационные фабулы могут моделироваться с помощью одной общей математической модели.

На занятиях электива учащиеся обязательно составляют задачи на основе материала, собранного на производственной экскурсии или найденного в различных источниках информации.

Библиографический список

1. Блох А.Я., Гусев В.А. и др. Методика преподавания математики в средней школе: частная методика / сост. В.И. Мишин. М.: Просвещение, 1999. 71 с.

2. Брейтигам Э.К. Методика смыслопоискового обучения основным понятиям математического анализа (Организация понимающего усвоения математического анализа): учеб. пособие. Барнаул: БГПУ, 2007. 141 с.

3. Возняк Г.М. Прикладная направленность абстрактных математических задач // Современные проблемы методики преподавания математики. М., 1985. С. 254—257.