CC BY
33
УДК 528.2/.3 А.В. Кошелев СГГА, Новосибирск
МЕТОДИЧЕСКИЕ АСПЕКТЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ СКОРОСТИ РАСПРОСТРАНЕНИЯ ВОЛН В СОВРЕМЕННЫХ РАЗДЕЛАХ ФИЗИКИ
A.V. Koshelev
Siberian State Academy of Geodesy (SSGA) 10 Plakhotnogo St., Novosibirsk, 630108, Russian Federation
METHODICAL ASPECTS OF DEFINITION OF PROPAGATION VELOCITY OF WAVES IN MODERN PHYSICS
Phase and group velocities of waves are most frequently used in the research of physical processes and phenomena in dispersion media. The difference existing between phase velocities of ideal harmonic waves and real non-monochromatic waves comes into conflict with their physical interpretation, that sometimes brings some additional errors both in theoretical investigations and the results of physical measurements. The concepts developed at the beginning of the last century have not been properly estimated and now they need to be specified.
1. Введение
При изучении широкого круга физических явлений и выполнении высокоточных физико-технических измерений определение скоростей распространения волн различной природы в диспергирующих средах (ДС) имеет важное научное и практическое значение. Как известно, диспергирующими являются такие среды, показатель преломления которых зависит от частоты волны. Для световых волн к таким средами относятся: воздух, жидкости, стекло, для радиоволн - ионизированная плазма и т. п. Диспергирующие среды существуют для акустических, механических, электрических и многих других типов колебаний [1-6].
В современной физической литературе фазовая и групповая скорости волн в ДС и, соответственно, их показатели преломления в равной степени участвуют в количественной и качественной оценке, как самих физических явлений, так и измеряемых с их применением параметров [1, 5]. В настоящей работе рассматривается вопрос о правомочности использования понятия фазовой скорости для оценки экспериментальных данных и объяснения реальных физических процессов и явлений в ДС.
Известно, что фазовая скорость существует лишь для строго монохроматических волн на бесконечно большом интервале времени [1, 2, 5]. Однако реальные волны не удовлетворяют условию монохроматичности и бесконечной продолжительности. К основным факторам немонохроматичности реальных волн относятся:
- Модуляция волн случайными процессами, сопровождающими генерацию волн;
- Ограничение (модуляция) по времени функцией включения и выключения;
- Дискретный характер излучений, например, в виде квантов света.
Отсюда следует вывод, что в природе идеальные гармонические (монохроматические) волны отсутствуют, следовательно, и фазовой скорости в ДС не существует. Использование фазовой скорости для реальных волн полностью оправдано лишь для недиспергирующих сред.
В учебниках физики, включая и специальную литературу по теории волн [5, 9, 12], для объяснения физических эффектов отражения и преломления волн в ДС часто используется понятия фазового показателя преломления. Иногда термин показатель преломления в ДС приводится без указания, к какой скорости он относится - к фазовой или групповой [11]. Причину этого явления автор видит в существующей противоречивости и недоопределенности изложения этих вопросов в отечественной и зарубежной литературе, что частично дезориентирует читателя. Например, уже давно в физико-технической и справочной литературе [3, 5, 7] указывается, что любые реальные волны не являются монохроматическими и распространяются в ДС только с групповой скоростью. Однако в этих же книгах при изложении теории и решении практических задач переходят к фазовым скоростям в ДС, обсуждая их как фактически существующие.
2. Общие положения
Значение фазового показателя преломления для фазовой скорости электромагнитных волн получают из решения известного волнового уравнения для электромагнитных волн (ЭМВ) [4]
= (i)
с2 dt2
где V - оператор Лапласа, t - время, Е - напряженность электрического поля электромагнитной волны, ¡и и s - магнитная и электрическая проницаемость среды, с - скорость света в вакууме.
Для однородных в пространстве и времени сред уравнение (1) имеет решение в виде идеальной гармонической волны
E(t) = Ех eos {со t + cp0),
где Ех - амплитуда ЭМВ, со - круговая частота, ср{) - начальная фаза.
В этом случае фазовая скорость f гармонической ЭМВ определяется уравнением
Vn=-^= = —, (2)
р yfsju пр
где np - фазовый показатель преломления волны.
В действительности, реальные волны не являются гармоническими сигналами, а ДС неоднородны в пространстве и времени, вследствие чего волны в таких средах распространяются только с групповой скоростью [3, 6], а их направление распространения задается групповым показателем преломления. Однако эти положения, к сожалению, не получили должной оценки и применения в теории и практике распространения волн как в классической физике, так и в целом ряде смежных с ней научных и технических дисциплин [1-10].
Обычно распространение модулированных волн в ДС излагается с использованием фазовой скорости - для несущих волн и групповой скорости - для огибающих модулированных волн [1-10]. Такое положение существенно искажает как реальную физическую картину исследуемых процессов и явлений, так и интерпретацию результатов физических и технических измерений. Например, в работе [10] приводится утверждение, что фазовая скорость гауссова пучка в оптических системах больше скорости света в вакууме. В действительности и несущие волны, и переносимые ими модулирующие волны в диспергирующих средах распространяются только с групповыми скоростями, не превышающими скорость света в вакууме.
Остановимся более подробно на обосновании представления реального сигнала в виде случайно-модулированного колебания. В качестве наглядного примера рассмотрим рекордно стабилизированное излучение лазера, используемое в качестве квантового стандарта частоты [12]. В этом случае излучение лазера можно считать наиболее близким к идеальному монохроматическому излучению. Его относительная нестабильность частоты
Аса ,
может оцениваться величинои порядка-= 10 , где А со - уход частоты, а
CÛQ
«о - среднее значение частоты излучения за промежуток времени, устанавливаемый для кратковременной или долговременной стабильности частоты. Существующий уход частоты означает, что частота лазера œ(t) является случайной и непрерывно изменяющейся функцией, а, следовательно, излучение лазера всегда модулировано по частоте случайным процессом. Поскольку мгновенная частота излучения œ(t) определяется как
d¥(t )
производная функции фазы сигнала ¥(t) по времени œ(t) =-— , то
dt
изменения частоты будут приводить к фазовой модуляции по случайном закону. В свою очередь, случайные изменения фазы будут воздействовать на изменения амплитуды излучения и возникнет случайная амплитудная модуляция. Таким образом, реальная оптическая волна, даже стабилизированная, всегда модулирована одновременно по амплитуде, частоте и фазе случайными процессами и поэтому распространяется в ДС только с групповой скоростью [5, 14].
Электрическое поле излучения реального лазера E(t) можно представить узкополосным (или квазимонохроматическим) случайным процессом или в упрощенном виде как квазигармоническое колебание L (0 = Е0 (0 cos[öi(f) -t + <р0 (0] = 4 (0 cos i//(t). (3)
Здесь случайные функции изменения: Е0 (t) - амплитуды электрического поля, w(t) - круговой частоты, ф0(t) - начальной фазы и y(t) - полной фазы соответственно [5, 14].
Формула (3) не является единственной формой представления реальных квазимонохроматических волн. В ряде случаев можно пользоваться более удобной гармонической формой представления волн. Такой подход может быть использован в том случае, если оптическая волна (3) является стационарным случайным процессом, а усреднение производится, например, по постоянной времени фотоприемника во много раз превосходящей период световой волны [5, 14]. Тогда для узкополосных световых волн можно в некоторых случаях пользоваться более привычной формулой L(t) = EQcos(coQ-t + (pQ), (4)
где Е0 = Е0 (г), со0 = со(^) и <р0 = <р0 (?) - соответственно средние значения по времени: амплитуды, круговой частоты и фазы. При этом подразумевается, что волна (4) также распространяется в ДС с групповой скоростью, а ее характеристики получены из усредненных статистически параметров случайной волны.
Для спектрального анализа реального электрического поля Е(г) , имеющего вид уравнения (3), воспользуемся комплексной спектральной плотностью амплитуды >), полученной на достаточно большом интервале времени, с использованием преобразования Фурье
£(©)= (5)
где ] = л/^Т . Спектр амплитуд Х(со) характеризует непрерывное распределение амплитуд случайного процесса Е (г) в зависимости от частоты со . Это означает, что изменения частоты со{{) приводят к случайным изменениям амплитуд спектра излучения 8(со) , которые малы для определенного значения частоты со, но различны по амплитуде для каждого значения частоты со в пределах о\ < со < со2 рис. 1.
Учитывая, что реальную узкополосную оптическую волну, распространяющуюся вдоль вектора г, через обратное преобразование Фурье можно представить следующим уравнением [4]
со
(t-
VAco)
) f )dco
(6)
где vg(co) - групповая скорость распространения спектральной составляющей с частотой со.
Рис. 1. Спектральная плотность электрического поля лазера Б(со) со средней частотой со0 при случайном изменении результирующей частоты излучения
от времени г
В данной работе принципиальным отличием от известных подходов является утверждение, что каждая спектральная составляющая реальной волны в диапазоне частот со е (cü\,cü2) распространяется в ДС с групповой скоростью иg(ю), а не с фазовой, как это излагается в существующей
литературе. В противном случае, можно было бы получать из случайного сигнала идеальное монохроматическое излучение. Однако это невозможно, т.к. фильтр с полосой пропускания равной нулю физически не реализуем. Спектральные составляющие S(ю) также являются модулированными по своему случайному закону для каждой конкретной частоты со в полосе частот Асо — со2 — со\.
Очевидно, что предлагаемый подход можно применить и к спектральной плотности реального сверхширокополосного излучения в ДС, например, фемтосекундного оптического импульса с длительностью ти и средней частотой оптической волны ю0, который будет занимать более широкий спектр Асои » Асо, показанный на рис. 2. Ширина спектра импульса определяется известным выражением
r
2тг
Асои « — 1 и
Спектральные составляющие импульса в диапазоне частот Д«н также будут распространяться с групповыми скоростями и8(а>), как и сравнительно медленно изменяющаяся огибающая импульса.
Рис. 2. Спектральная плотность одиночного сверхширокополосного
оптического импульса
Приведенные выше рассуждения могут быть использованы для волн любой природы, распространяющихся в диспергирующих для них средах с групповой скоростью. Однако в данной работе предлагается учитывать два важных для практики аспекта:
- Определенная ранее экспериментально, так называемая фазовая скорость, в действительности является групповой скоростью и должна использоваться для реальных волн;
- То, что ранее называлось групповой скоростью, определенной по фазовой скорости через соотношение Рэлея в действительности является некорректным ее значением, поскольку как отмечено выше фазовой скорости для реальных волн не существует [15].
Перейдем к рассмотрению возможностей применения, предложенного автором подхода для решения конкретных задач.
3. Распространение радиоволн в ионосфере
В ионосфере наиболее наглядно проявляется физическое отсутствие фазовой скорости как реального параметра. В этом случае при использовании только групповых скоростей реальных радиоволн и их спектральных составляющих в диспергирующей ионосфере с аномальной рефракцией выявляются следующие преимущества. Отпадает необходимость объяснять, что фазовая скорость радиоволн в ионосфере «может превышать скорость света в вакууме» [6]. По этому вопросу в существующей литературе возникает парадоксальная ситуация, при которой вначале искусственно вводится понятие фазовой скорости для монохроматической радиоволны в диспергирующей среде, которой нет и быть не может. Затем утверждается,
что она может распространяться со скоростью большей, чем скорость света в вакууме. Хотя известно, что любая волна переносит энергию, даже будь она монохроматической, а скорость переноса энергии не может превышать скорость света в вакууме. При этом объясняется, что с такой скоростью распространяется фаза монохроматической волны, хотя и фаза определяет конкретное значение амплитуды волны. В действительности, поскольку нет фазовой скорости, то и нет волн, распространяющихся со скоростью большей, чем скорость света в вакууме.
Однако автор не отрицает возможности использования фазовой скорости в ДС как гипотетического параметра, применяемого для чисто теоретических исследований там, где без этого нельзя обойтись. При этом необходимо указание на теоретическую направленность вводимого параметра. Практически фазовую скорость в ДС измерить невозможно, но ее можно рассчитать, используя теоретические модели [2, 6], или вычислить по значению групповой скорости. Например, для определения фазового показателя преломления радиоволн по известному значению группового показателя преломления с помощью уравнения Пр^ ■ = 1 . Это может
потребоваться, например, для проверки адекватности теоретически построенных моделей ДС к их реальным моделям. Однако вывод групповой скорости по теоретическим значениям фазовой скорости не является точным и на практике для этих целей пользуются результатами экспериментальных определений групповых скоростей или дисперсионными методами измерений группового среднеинтегрального показателя преломления ионосферы [18]. 4. Отражение и преломление света
Рис. 3. Отражения и преломление волн на границе двух сред
В существующей литературе отражение и преломление света на границе двух ДС излагается с использованием фазовых скоростей и фазовых показателей преломления [1-10]. Рассмотрим эти вопросы с учетом реальных групповых скоростей ДС. Пусть такими средами являются воздух и стекло, где волны распространяются групповыми скоростями Vg\ и Vg2.
Положим, что граница двух плоских однородных ДС 1 и 2 проходит вдоль оси Х, а плоская волна падает под углом в\ к нормали Ъ и разделяется на две волны: отраженную и преломленную рис. 3.
Используя известные формулы [4], запишем законы преломления и отражения в следующем виде
8Ш 0} 8П1 0-, 8П1 в{)
V
81
V,
8 2
V,
81
(15)
где 6»0 = 180°-6»!.
Учитывая, что излучение в диспергирующих средах распространяется с групповой скоростью, то
п„
ем А = _ ..82
вт вп V,
8 2
п
81
(16)
Таким образом, направления реальных волн при отражении и преломлении в диспергирующих средах определяются групповыми показателями преломления, а не фазовыми [5].
5. Распространение волнового пакета в воде
Пример некорректного использования фазовой скорости для анализа расползания во времени в диспергирующих средах волнового пакета, по мнению автора, приведен в популярном учебнике Ф. Крауффорда [6]. Речь идет о волновом пакете синусоиды рис. 4, состоящей из нескольких периодов несущей волны. Автор учебника утверждает, что «стрелка», перемещающаяся
с фазовой скоростью, следуя за точкой постоянной фазы, движется в два раза большей скоростью, чем скорость «креста», характеризующего групповую скорость гребня волны. Такой вывод содержит две неточности. Во-первых, фазовая скорость отсутствует в диспергирующей среде, т. к. это было показано выше. Во-вторых, необходимо анализировать только групповые скорости отдельных спектральных составляющих, полученных из преобразования Фурье волнового пакета. В этом случае групповая скорость отдельных составляющих спектра с длиной волны Я «1.7
Рис. 4. Волновой пакет, возмущенной воды [6]
см может распространяться с групповой скоростью, превышающей в два раза групповую скорость переноса расползающегося гребня волны. 6. Атомная физика
Поскольку скорость квантовомеханических частиц для диспергирующих сред в представлении волн де Бройля определяется скоростью волнового пакета [6], то и как в предыдущем случае, каждая спектральная составляющая пакета будет распространяться также с групповой скоростью, а не с фазовой. Совокупность спектральных составляющих волнового пакета, полученных из преобразования Фурье (5) и распространяющихся с групповыми скоростями, в окончательном виде даст реальную скорость волнового пакета. В случае необходимости получения теоретического значения фазовой скорости и, как и для радиоволн в ионосфере, можно
воспользоваться соотношением ■ п^ = с2.
В определенной степени это касается и методики изложения теории излучения Вавилова - Черенкова [8], при обсуждении которой в существующей литературе используется фазовая скорость света в диспергирующей среде.
7. Заключение
Отметим, что рассмотренные выше примеры отражают далеко не полный круг задач, к которым могли бы быть применены рассматриваемые в данной работе подходы. Краткий обзор представленных в данной работе исследований позволяет сделать следующие выводы:
1. В диспергирующих средах описание физических процессов распространения реальных волн должно выполняться с использованием групповых скоростей.
Любые экспериментальные измерения скоростей волн и их спектральных составляющих в диспергирующих средах, соответствуют их групповым скоростям.
В физике и технических дисциплинах понятия фазовая скорость и фазовый показатель преломления реальных волн в диспергирующих средах, как не имеющие реальной основы существования, должны быть заменены на групповую скорость и групповой показатель преломления. Фазовая скорость волн в диспергирующих средах не может быть измерена, но возможно ее вычисление и использование для теоретических целей в качестве вспомогательного параметра для идеальной гармонической волны.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Савельев И. В. Курс общей физики: Волны Оптика. - М.: Астрель, 2002. - 256 с.
2. Ахманов С.А., Никитин С.Ю. Физическая оптика. - М.: Наука, 2004. -656 с.
3. Физическая энциклопедия. - М.: Советская энциклопедия. 1988. - 699 с.
4. Борн М, Вольф Э. Основы оптики. - М.: Наука, 1970. - 855 с/
5. Сивухин Д.В. Общий курс физики. Оптика. - М.: Наука, 1985. - 792 с.
6. Крауфорд Ф. Берклиевский курс физики. Волны.- М.: Наука, 1984. - 432 с.
7. Ландсберг Г.С. Оптика. - М.: Физматлит, 2006. - 848 с.
8. Горелик Г.С. Колебания и волны. - М.: Физматгиз, 1959. - 486 с.
9. Дитчберн Р. Физическая оптика. - М.: Наука, 1965. - 632 с.
10. Матвеев А.Н. Оптика. - М.: Высшая школа, 1985. - 351 с.
11. Калитиевский Н.И. Волновая оптика. - М.: Высшая школа, 1995. - 463с.
12. Хаус Х. Волны и поля в оптоэлектронике. - М.: Мир, 1988. - 131 с.
13. Уизем Д. Линейные и нелинейные волны. - М.: Мир, 1977. - 622 с.
14. Reichert J et al. Opt. Commun., 172, 59 (1999).
15. Grewal S, Weil L, Andrews F, Global Positioning Systems, Inertial Navigation, and Integration (Jon Willey&Sons, Inc. 2001).
16. Бутиков Е И Оптика. - БХВ-Петербург, 2003.- 480 с.
© А.В. Кошелев, 2009
