CC BY
84
© В.А. Уткин, 2008
УДК [681.3.06:519.24].001.2.61
МЕТОДИЧЕСКИЕ АСПЕКТы МАТЕМАТИКОСТАТИСТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА МЕДИЦИНСКИХ ДАННыХ Часть 1. АНАЛИТИЧЕСКИЕ КОНСТРУКТы МЕДИКО-СТАТИСТИЧЕСКИХ ИЗыСКАНИЙ
В.А. Уткин
Пятигорский государственный технологический университет
Пока еще аналитические, диагностические и прогностические решения в теории, эксперименте и практике медицинских исследований, как правило, формируются раздельно, а в приложениях избираются или универсальные, но не без известных ограничений схемы, не вполне отвечающие специфике проявлений особенных свойств объекта, или же продиктованные особенностями опыта конструкции не находят достаточного теоретического обоснования и не обретают необходимой завершенности. А сложившиеся стереотипы статистических выкладок в медицинских исследованиях подчас не только не отвечают современным требованиям единообразия в определениях норм показателей и в интерпретации их отличий или зависимостей, но чаще всего и реализуются только тогда, когда данные уже набраны и остается лишь подтвердить или отвергнуть ранее выдвинутые гипотезы. В итоге, не только ограничивается воспроизводимость результатов и не исключены артефакты, но, и, что всего важнее, остаются нераскрытыми многие полезные свойства и отношения наблюдений, порою бесцельно отбрасываемых совсем или преждевременно отправляемых в архивы.
Ныне это уже вряд ли возможно было бы оправдать несовершенством используемых в медицине математико-статистических программ, неудобствами их применения, а также и тем, что объект медицинских исследований сложен, неоднороден, а стандарты и обобщения представлений о нем подчас нежелательны или неэффективны. Напротив, активное совершенствование технологий с гуманитарной ориентацией требует соразмерности гипотез и их воплощений, адекватного прогнозируемому клиническому эффекту выбора подходов в эксперименте, а также преемственно цельных методик, обеспечивающих воспроизводимость и доказательность, исходя не только из вероятностно-статистических выкладок, определяющих пределы допустимого риска, но и в предикатах соответствующих рассуждений должна быть соблюдена необходимая мера непротиворечивости. И в основе любых предпосылок нововведений, исходным по-прежнему остается то, что, в сущности, врач-исследова-
тель или клиницист обычно стремится не к количественному выражению идеи, а к разрешению и логически связному представлению альтернатив, составляющих ее частные положения. При этом обобщения формируются, и, несомненно, должны формироваться на языке той предметной области, в которой соответствующие аналитические, диагностические и прогностические, включая и вероятностно-статистические, технологии находят свое воплощение.
Имея целью полнее раскрыть возможности классификации, диагностики и прогнозирования, упорядочив статистические решения сообразно стереотипам отношений не только одно -, но и разнотипных переменных с учетом особенностей их организации, рассмотрим подробнее, как формируются конструкты статистических технологий, релевантные в т.ч. и задачам медицинской науки.
Ранее нами было показано [12, 13], что в большинстве случаев конструкты статистических решений могут быть представлены триадами отношений сообразно целям выявления особенных свойств объекта, проявляющихся в форме характеристик положения и рассеяния, а также отличий или же зависимостей переменных. Наблюдения при этом могут быть представлены отдельными случаями, рядами или же в виде определенным образом организованной совокупности. И по типу это не обязательно могут быть только интервальные переменные, полученные в результате измерений или накопления частот событий, но также и величины, субъективно оцениваемые рангами как степени тяжести, меры интенсивности проявления тех или иных симптомов, так и непосредственные констатации наличия или отсутствия тех или иных событий или симптомов, что обычно относят к категории атрибутивных (как правило, номинальных или ранговых) переменных.
Разберемся сначала с терминологией. В частности, термины «статистика действительных переменных» и «атрибутивная статистика» заимствованы нами у В.И. Романовского [7]. И, если в первом случае имеется ввиду т. н. вариационная статистика, то в последнем речь идет об оценках непосредственно не измеряемых параметров наблюдений, таких как, например, ранги (оценки успеваемости, степени тяжести или интенсивности, номера по условию упорядочения и т.д.) или
Таблица 1
Характеристики отдельного ряда действительных переменных Комментарии (ссылки на источники)
MIN = MAX = размах V = [109, с. 94 и 281]
медиана Me ± у.. , J Me 5 p < [19, с. 49-50; 58, с. 404 и 491]
среднее M ± m , p < [58, с. 376 и 385]
дисперсия D ± mD , p < [58, с. 376 и 385]
Критерий отличия ожидаемой дисперсии - Do от фактической - D Х2(„ . 1) = p < [81, с. 117]
стандарт (ср.-квадр. отклонение) ст ± m , у p < [58, с. 376 и 385]
точность в ± m , в 5 p < [39, с. 43]
размах V ± yv , p < [109, с. 94 и 281]
к-т вариации С ± Ус > p < [58, с. 391; 109, с.282; 45, с. 325]
асимметрия А ± УА, p < [58, с. 422-423; 120, с. 180-181]
эксцесс Е ± УЕ , p < [58, с. 422-423; 120, с. 180-181]
Нормальность распределения наблюдений по Джири (Гири) G = p < [98, с. 625-635]
Независимость наблюдений (медианно-серийный критерий) ms p < [14, с.215]
Независимость наблюдений (критерий поворотных точек Валлиса и Мура) t = p < [48, с. 32]
Независимость наблюдений (знако-разностный критерий Валлиса и Мура) t = p < (1.16) [48, с. 28-31; 19, с. 81; 84, с. 390]
Независимость наблюдений (вариационный критерий Аббе) t = p < (1.19) [14, с. 208-211; 11, с.62]
Тренд наблюдений (ранговый критерий Кендэла) т = p < [48, с. 33]
номинальные переменные, выражаемые, в форме «да/ нет», «черное/белое», «положительно/отрицательно» или же «наличествует/отсутствует» и т. п. Отметим при этом, что специфичные для атрибутивных переменных статистические решения могут быть применены и для наблюдений, представленных действительными (чаще
всего определяемыми как интервальные) переменными, полученными в результате непосредственных измерений или в итоге накопления числа случаев (частот событий). Но тогда, когда действительные параметры наблюдений намеренно заменяются атрибутивными (ранжируются или учитываются только их знаки или
Таблица 2
Критерии отличия для двух рядов действительных переменных Комментарии (ссылки на источники)
Медианный критерий T = , p < [100, с. 25-28; 119, с. 265]
Серийный критерий Вальда-Вольфовица T = , p < [39, с. 172-173; 100, с. 82-84]
Ранговый критерий Вилкоксона T = , p < [14, с. 233-239; 105, т. 2, с.127-130]
Критерий “лямбда” Колмогорова Vі) = , p < [39, с. 164-166; 119, с. 281-284]
Критерий “омега” Андерсона T = , p < [11, с. 86]
Интервальный критерий рандомизации p = [100, с. 113-118]
Отношение дисперсий по Фишеру F (m - 1, n - 1) = , p < [24, с. 290-295; 96, с. 197-198]
Отличие средних по Стьюденту t, (v) , p < [9, с.47; 14, с. 275-280; 29, с. 276]
Таблица 3
Критерии отличия для двух рядов сопряженных наблюдений действительных переменных Комментарии (ссылки на источники)
Критерий х2 Пирсона Х (n - 1) , P < [105, т. I, с.358-365]
Критерий “лямбда” Колмогорова V) = , P < [100, с.68-70; 11, с.80-82]
Критерий знаков T = , p < [14, с. 130-133; 33, с. 160; 19, с. 368]
Ранговый критерий Вилкоксона T = , P < [39, с. 174-176; 14, с. 241-244]
Интервальный критерий рандомизации Р = [100, с. 120-123]
Отличие дисперсий (с учетом зависимости) l(n - 2) , P < [23, с. 279-280]
Критерий Стьюдента T = (n - 1) , P < [39, с. 159; 9, с. 48; 23, с. 270-273]
же знаки разности между ними и другими, специально выбираемыми величинами) принято говорить о непараметрическом подходе или непараметрической статистике, где используются не сами исходные параметры, а заменяющие их по какому-то условию атрибутивные переменные [17].
На наш взгляд, строго разграничивать показания к применению непараметрических и вариационных подходов имеет смысл лишь при наличии абсолютных противопоказаний к применению последних. К примеру, абсолютными противопоказаниями к применению классического вариационного критерия Стьюдента в сопоставлении средних для двух рядов, представленных действительными переменными, может быть, во-первых, случай, когда хотя бы в одном из них распределение наблюдений не принадлежит нормальному, во-вторых, когда хотя бы в одном из них последовательность значений не случайна. Относительным противопоказанием является т. н. проблема Беренса-
Фишера, когда существенно отличаются дисперсии величин в сопоставляемых рядах наблюдений, что преодолевается введением соответствующих поправок на число степеней свободы [2, 10] или же более сложными, но исчерпывающе адекватными вычислениями, предложенными В.И. Пагуровой [5, 6].
С другой стороны, даже и в простейшем случае сравнения двух рядов сопряженных наблюдений, представленных действительными переменными, не следует ограничиваться только лишь применением критерия «знаков» или, напротив, без предварительного изучения показаний опираться на результаты, полученные с применением классического вариационного критерия Стьюдента. На наш взгляд, следует пройти всю цепь, включая серийные, ранговые, дисперсионные и другие сопоставления, выявляя отличия в распределениях сравниваемых наблюдений и на отдельных сегментах и на т. н. «хвостах»...
Не следует ограничиваться и только лишь конста-
Таблица 4
Критерии однородности для совокупности рядов действительных переменных Комментарии (ссылки на источники)
Медианный критерий Х (n - 1) , P < [100, с. 86-90]
Рангово-дисперсионный критерий Краскела и Уоллиса X2(n - 1) = , P < [14, с.239-241; 29, с. 334-336]
Дисперсионный критерий Бартлетта Х (n - 1) = , P < [11, с. 46; 19, с. 386-387; 24, с. 326-329]
Дисперсионный критерий Фишера F = (k - 1, N- k) , P < [9, с. 56-59, 81, с. 135]
Линейный контраст по Шеффе F = (k - 1, N- k) , P < [81, с. 136-137]
Рангово-дисперсионный критерий упорядочения L = , P < [132, с. 197-198]
Ранговый критерий упорядочения Терпстры и Джонкхиера T = , P < [132, с. 198-200]
Ранговый критерий отличия двух рядов из совокупности (Данна) D = , P < [132, с. 192-194]
Вариационный критерий отличия двух рядов из совокупности (Дункана) F = (k - 1, N- k) , P < [82, с. 157-158]
Критерий значимости отличия среднего отдельного ряда V - 2) = , P < [58, с.427]
Таблица 5
Критерии однородности для совокупности рядов сопряженных наблюдений действительных переменных Комментарии (ссылки на источники)
Медианный критерий Х (п - 1) . р < [100, с. 86-90]
Ранговый критерий Фридмана Х (п - 1) . р < [14, с. 244-245; 100, с. 102-105]
Рангово-дисперсионный критерий Краскела и Уоллиса Х (п - 1) , р < [29, с. 334-336; 14, с. 239-241]
Рангово-дисперсионный критерий упорядочения ь = , р < [132, с. 197-198]
Ранговый критерий упорядочения Терпстры и Джонкхиера т = , р < [132, с. 198-200]
Дисперсионный критерий Бартлетта Х (п - 1) , р < [11, с. 46; 19, с. 386-387; 24]
Дисперсионный критерий Кохрана с( ;) = (п, т - 1) , р < [104,с.266,267; с. 330-332]
Дисперсионный критерий Ливена Е = (п - 1, тп - п) , р < [23, с. 338-340]
Дисперсионный критерий Фишера Е = (п - 1, тп - п) , р < [9, с. 56-59, 81, с. 135]
Линейный контраст по Шеффе Е = (п - 1, тп - п) , р < [81, с. 136-137]
Ранговый критерий отличия двух рядов из совокупности (Данна) В = , р < [132, с. 192-194]
Вариационный критерий отличия двух рядов из совокупности (Дункана) Е = (п - 1, тп - п) , р < [81, с. 136-137]
Критерий значимости отличия среднего отдельного ряда ^(тп - 2) , р < [58, с.427]
Двухфакторный дисперсионный анализ
Встр . Встлб= Вост =
В / В стр ост = Е т - 1, (т - 1)(п -1)= В „ / В стлб ост = Е п - 1, (т - 1)(п - 1) = В „ / В стлб стр = Еп - 1т 1=
Латинский квадрат (образец)
Е В А Б С В„р = Встлб = Вусл = Вост=
Б С В А Е
С Б Е В А Встр / Вост= Встлб / Вост= Вусл / Вост= [96, с. 211-216]
А Е Б С В Е (р-1,(р-1)(р-2))= Е (р-1,(р-1)(р-2))= Е ( р-1,(р-1)(р-2))=
В А С Е Б Р < Р < Р <
Таблица 6
Критерии зависимости для двух рядов сопряженных наблюдений действительных переменных Комментарии (ссылки на источники)
Знаковый критерий Фехнера V II Г [19, с. 308]
Знаковый критерий Пирсона г = , р < р г [19, с. 311]
Ранговый критерий Спирмена < II о. [17, с. 307; 23, с. 287-288; 35, с. 155-156]
Ранговый критерий Кендэла < Сц II н [47, с. 46-47, 77-84, 140]
Вариационный критерий Бравайса-Пирсона г = , р < [60, с. 60-61; 42, с. 22 и 29, 62-63; 43, с. 235; 55, с. 641; 96, с. 264-265 и 272]
Уравнение линейной регрессии у = ах + Ь т = , р < а г уЬ = , р < [42, с. 22; 109, с. 284; 96, с. 236 и 263; 43, с. 236]
Отличие двух коэффициентов парной корреляции Бравайса-Пирсона К = , Р < [23, с. 280-286; 42, с. 29-30; 14, с. 380381; 109, с. 284; 96, с. 264-265]
Однородность в совокупности коэффициентов Бравайса-Пирсона < II [4, с. 67-72]
тацией факта отличия или зависимости наблюдений, ведь каждый критерий раскрывает свои особенности в их отношениях. Но это, к сожалению, даже и в работах, защищаемых на соискание ученых степеней, нередко остается, мягко говоря, «за скобками». Ведь и при соблюдении необходимых условий репрезентативности, рандомизации и других требований «доказательной медицины» привычка трактовать отличия наблюдений как отличия средних, а зависимости исключительно как корреляции интервальных величин, нередко порождает артефакты, порою далеко уводя исследователя в сторону от избранной им темы изысканий. На наш взгляд, наиболее эффективна последовательность анализа «от простого к сложному», где сначала выбираются более грубые, менее робастные критерии, а затем, постепенно, по ходу изучения соответствующих показаний и противопоказаний избираются все более тонкие, все более чувствительные к деталям отношений между наблюдениями критерии, вплоть до вариационных.
Нелишним будет отметить и необходимость своевременных указаний на вероятность ошибки р<0,05, р<0,01 или р<0,001 при употреблении по сути эквивалентных терминов «значимо», «достоверно» или «существенно», а также ссылок на первоисточники, как по ходу рассуждений в тексте, так и при оформлении соответствующих таблиц с результатами статистического анализа наблюдений.
Для примера, в таблице 1 показана последовательность анализа характеристик отдельного вариационного ряда, а в таблицах 2 и 3 представлены образцы оформления результатов сравнения двух рядов интервальных переменных в случае сопоставления неравновеликих рядов наблюдений и в случае, когда наблюдения сопряжены.*
Но не только последовательность выбора однотипных критериев, но и в целом последовательность обработки материала играет немаловажную роль в процессе выбора направлений изыскания и формирования адекватных его целям выводов. Чаще всего исследователем упускается из виду то, что в совокупности рядов наблюдений могут проявиться тенденции изменений со временем или с изменением иных условий сбора данных, а также и то, что некоторые ха-
рактеристики отдельного ряда могут занимать особое положение в выборке. А, кроме того, и в попарных сопоставлениях рядов желательно учитывать роль или, наоборот, нивелировать влияние каких-либо особенностей всей совокупности или некоторой ее части. И поэтому, прежде чем перейти к попарным сопоставлениям, желательно оценить особенности отношений во всей, предположительно однородной совокупности и в отдельных ее частях. Соответствующие критерии однородности для совокупности рядов приведены в должной последовательности в таблицах 4 и 5.
Анализируя зависимости, конечно же, необходимо определиться и с тем как распределены наблюдения в сопоставляемых рядах и, даже если они распределены нормально, не следует ограничиваться только лишь применением классического вариационного критерия Бравайса-Пирсона, желательно пройти предшествующую тому последовательность критериев - от более простых и грубых к все более тонким, как это, к примеру, показано в таблице 6.
Как правило, выявив взаимосвязь двух параметров, как бы ни велика она ни была и сколь значимо она ни проявлялась, нельзя утверждать, что изменения одного из них обусловливаются другим, и причинные связи обычно выявляют, опираясь на совокупность корреляций, образующих корреляционную матрицу для множества исследуемых наблюдений. При этом не только оцениваются множественные и парциальные (частные) корреляции, не только могут быть найдены порою необходимые уравнения многомерной регрессии, но и применяют факторный анализ, чтобы, как минимум, получить т. н. «факторное отображение», найти факторные нагрузки, выражающие взаимосвязи факторов и наблюдаемых переменных. Многообразие решений, используемых в факторном анализе, будь то «метод главных компонентов» или «метод главных факторов», по сути, применяется лишь с целью «сжатия информации», и исследователю в своей прикладной области, не погружаясь в математические дебри их реализаций, следует основное внимание уделить интерпретации результатов. Примеры применения и интерпретации результатов факторного анализа в наших работах можно найти в [1, 11, 14, 15]. И надо отметить, что получаемые на основе привычных стерео-
Таблица 7
Показатели зависимости для совокупности рядов сопряженных наблюдений действительных переменных Комментарии (ссылки на источники)
Матрица коэффициентов парной корреляции и их значимости Матрица коэффициентов частной корреляции и их значимости
1 Г12 Р л г1„ Р < 1 *12 Р < Р Г <„ [42, с. 62-63; 43, с. 240-244; 71, т. 5, с. 837-838]
3 Г л1 1 Г2„ Р л Г21 Р л 1 Р 2* л„
1 1
Г„1 Р л Г„2 Р л 1 Г„1 Р л 2л ^ * а. 1
II V оЯ1^ Я 2= Р л Я = „ Р л - множественные корреляции и их значимость [43, с. 244-245; 81, с. 137]
уравнение линейной регрессии без свободного члена: х = а,х+ах+---+ах к 1 1 2 2 п п [102, с. 265-271]
аі а2 а „
та1 та2 т ап
Р л Р л Р л
уравнение линейной регрессии со свободным членом х = а+ах+ах+.+а х q 0 112 2 п п [102, с. 271-285; 114, с. 231-237]
а0 а1 а2 а „
°п0 та1 та2 т ап
Р л Р л Р л Р л
гипотетическая регрессия х., = ,,+.+йх. 11 0 2 12 3 и пт при условии для её коэффициентов отличие гипотетической и фактической регрессий р < [114, с. 238-243]
Значимость корреляционной матрицы: критерий Бартлетта-Уилкса р < критерий Лоули-Максвелла р < Количество информации: ¡(„) = ¡(к) = [42, с.141-144; 37, с. 60-65]
Факторные нагрузки и их регрессии Нормированные значения факторов [42, 129, 66, 83]
711 *іі А 2 ъ Ь12 Ак, ь1к ¿11 ¿12 а1к
А22 22 А2к 2к ¿21 ¿22 ¿2к
/„1 Ъ„1 /„1 „2 А„к Ъ„к а1 т1 ¿т2 а, тк
типов вычислений факторные отображения весьма чувствительны к качеству сбора данных и подготовки их к соответствующей математической обработке. Даже одно или небольшое число нечаянно вкравшихся ошибок способно существенно их исказить, и чтобы результат оказался, до известных пределов, конечно, «устойчивым» не следует пренебрегать пусть не всегда в должной мере и полноте представленными в программах статистического анализа процедурами «вращения» факторного отображения [4, 16]. Отметим также необходимость предшествующего факторному анализу исследования корреляционных матриц, получения оценок их статистической значимости и количества информации в них [3, 4, 13]. Весьма желательно, применяя факторный анализ, не ограничиваться только лишь получением факторного отображения, а
найти еще и, пусть в нормированном виде, значения факторов в проекции наблюдений. Подробнее соответствующие подходы рассмотрены в [4, 13, 16]. Пример оформления результатов анализа зависимостей представлен в табл. 7.
На страницах данной работы нами не раскрыты еще и возможности атрибутивной статистики, как и подходов, положенных в основу формальной классификации и диагностики. В следующих выпусках журнала они будут представлены отдельными статьями.
Литература
1. Амиянц, В.Ю. Изучение роли тренирующих нагрузок с позиций кластерного и факторного анализа у больных ишемической болезнью сердца, перенесших аортокоронарное шунтирование / В.Ю. Амиянц, А.А. Верес, В.А. Уткин // Математическое моделирование и компьютерные технологии: Сб. научн. тр. IV Всероссийского симпозиума, “Информационные технологии”, “Компьютерная медицина”. - Кисловодск, 2000. - Т. 3. - С. 67-79.
2. Браунли, К.А. Статистическая теория и методология в науке и технике / К.А. Браунли. - М.:Наука, 1977. - 407 с.
3. Елисеева, И.И. Логика прикладного статистического анализа / И.И. Елисеева, В.О. Рукавишников. - М.: Финансы и статистика, 1982. - 191 с.
4. Иберла, К. Факторный анализ / К. Иберла. - М.: Статистика, 1980. - 399 c.
5. Пагурова, В.И. О сравнении средних значений в двух нормальных выборках / В.И. Пагурова // Теория вероятностей и ее применения, 1968. - Т. XIII, №3. - С. 561-569.
6. Пагурова, В.И. Критерий сравнения средних значений по двум нормальным выборкам / В.И. Пагурова // М., ВЦ АН СССР, 1968. - Вып. 5. - 56 с.
7. Романовский, В.И. Элементарный курс математической статистики / В.И. Романовский. - М.-Л.: Госпланиздат, 1939. - 359 c.
8. Романовский, В.И. Математическая статистика / В.И. Романовский. - Ташкент:Наука, 1961. - Т. 1. - 637 с.
9. Романовский, В.И. Математическая статистика / В.И. Ро-
мановский. - Ташкент: Наука, 1963. - Т 2. - 794 с.
10. Справочник по прикладной статистике / Под ред. Э. Ллойда, У. Ледермана. - М.: Финансы и статистика, 1989, 1990. - Т. 1, 2. - 510, 526 с.
11. Уманский, С.В. Анализ субъективного восприятия гипнотического состояния / С.В. Уманский, В.А. Уткин // Журнал неврологии и психиатрии им. С.С. Корсакова, 2006. - №1. - С. 27-33.
12. Уткин, В.А. О необходимом единообразии средств статистической индукции, используемых в медицине с применением ЭВМ / В.А. Уткин // Изв. Сев.- Кавк. НЦ ВШ, серия “Техн. науки”, 1987. - №2. - С. 28-32.
13. Уткин, В.А. Статистические технологии в медицинских исследованиях / В.А. Уткин. - Пятигорск: ГНИИК, 2002. - 214 с.
14. Уткин, В.А. Современные представления о роли и структуре взаимоотношений функциональных показателей, характеризующих особенности реабилитации на низкогорном курорте больных после хирургической реваску-ляризации миокарда: Дис. ... канд. мед. наук / В.А. Уткин. - Пятигорск, 2001. - 101 с.
15. Уткин, В.А., Диагностика, классификация и прогнозирование в клинической, экспериментальной и восстановительной медицине: Дис. ... докт. мед. наук / В.А. Уткин.
- Пятигорск, 2003.- 256 с.
16. Харман, Г Современный факторный анализ / Г Харман.
- М.: Статистика, 1972. - 486 с.
17. Walsh, J.E. Handbook of Nonparametric Statistics, vol. I,
II, III. V an Nostrand / J.E. Walsh. - Princeton, N.J., 1962, 1965, 1968.
