CC BY
15
17. Солдаткина Я.В. Эдьютеймент в современных сетевых медиа: журналистские форматы и технологии. Наука и школа. 2020; № 1. Available at: https://cyberleninka.ru/ article/n/edyuteyment-v-sovremennyh-setevyh-media-zhurnalistskie-formaty-i-tehnologii
18. Ходжава З.И. Проблема навыка в психологии. Москва, 1960.
References
1. Chinyakova N.I., Kobozeva I.S., Kozlova T.A. 'Etnokul'turnaya napravlennost' dirizhersko-horovoj podgotovki bakalavra pedagogicheskogo obrazovaniya (profil' «Muzyka»). Gumanitarnye naukiiobrazovanie. 2022; № 13 (2 (50)): 81-86.
2. Poronok S.A. Metodicheskie aspekty professional'noj podgotovki studentov muzykal'no-pedagogicheskih special'nostej k prosvetitel'skoj rabote Pedagogika i psihologiya obrazovaniya. 2018; № 1: 129-133. Available at: https://cyberleninka.ru/article/n/metodicheskie-aspekty-professionalnoy-podgotovki-studentov-muzykalno-pedagogicheskih-spetsialnostey-k-prosvetitelskoy-rabote
3. Ul'yanova L.N. Sovremennye formy muzykal'no-prosvetitel'skoj deyatel'nosti v obrazovatel'nom processe studentov vuza. Istoricheskie, filosofskie, politicheskie i yuridicheskie nauki, kul'turologiya i iskusstvovedenie. Voprosy teorii i praktiki. 2017; № 12 (3 (86)): 199-201.
4. Kordu'ell M. Psihologiya. A - Ya: slovar'-spravochnik. Moskva: FAIR-PRESS, 2000.
5. Uznadze D.N. Psihologiya ustanovki. Moskva: Piter, 2001.
6. Kondrat'ev M.Yu. Azbuka social'nogo psihologa-praktika. Moskva: PER S'E, 2007.
7. Bassin F.V. Problema bessoznatel'nogo. Moskva: Medicina, 1968.
8. Prangishvili A.S. Obschepsihologicheskaya teoriya ustanovki. 'Eksperimental'noe issledovanie ustanovki: XVIII Mezhdunarodnyj psihologicheskij kongress. Simpozium 14. Moskva, 1966: 29-41.
9. Milicina O.V. Formirovanie gotovnosti studentov pedvuza k muzykal'no-prosvetitel'skoj deyatel'nosti v usloviyah dopolnitel'nogo obrazovaniya. Dissertaciya ... kandidata pedagogicheskih nauk. Saransk, 2008.
10. Sapuh T.V. Primenenie tehnologii «'Ed'yutejnment» v obrazovatel'noj srede universiteta. Vestnik TGPU. 2016; № 8 (173): 30-34.
11. Shapinskaya E.N. Obrazovanie v 'epohu «cifry»: uchenie ili razvlechenie? Kultura kul'tury. 2019; № 2: 7-13.
12. Karmalova E.Yu., Hankeeva A.A. 'Ed'yutejnment: ponyatie, specifika, issledovanie potrebnosti v nem celevoj auditorii. Vestnik Chelyabinskogo gosudarstvennogo universiteta. 2016; № 7 (389): 64-71. Available at: https://cyberleninka.ru/article/n/edyuteynment-ponyatie-spetsifika-issledovanie-potrebnosti-v-nem-tselevoy-auditorii
13. Gnatyuk O.L. Osnovy teoriikommunikacii. Moskva: KNORUS, 2010.
14. Zheleznyakova O.M., D'yakonova O.O. Suschnost' i soderzhanie ponyatiya «'ed'yutejnment» v otechestvennoj i zarubezhnoj pedagogicheskoj nauke. Available at: http://www. almavest.ru/ru/favorite/2013/05/14/387/
15. Mednik I.S. 'Ed'yutejment kak novaya igrovaya real'nost' v obuchenii https://infourok.ru/statya-na-temu-edyutejnment-kak-novaya-igrovaya-realnost-v-obuchenii-5343215.html
16. Kobzeva N.A. Edutainment kak sovremennaya tehnologiya obucheniya. Yaroslavskij pedagogicheskij vestnik. 2012; T. II, № 4: 192-195.
17. Soldatkina Ya.V. 'Ed'yutejment v sovremennyh setevyh media: zhurnalistskie formaty i tehnologii. Nauka i shkola. 2020; № 1. Available at: https://cyberleninka.ru/article/n/ edyuteyment-v-sovremennyh-setevyh-media-zhurnalistskie-formaty-i-tehnologii
18. Hodzhava Z.I. Problema navyka vpsihologii. Moskva, 1960.
Статья поступила в редакцию 10.10.22
УДК 51 (07)
Shikhshinatova M.M., Cand. of Sciences (Physics, Mathematics), senior lecturer, Dagestan State Pedagogical University (Makhachkala, Russia),
E-mail: shichmum_2006@mail. ru
METHODOLOGICAL ASPECTS OF THE STUDY OF THE THEORY OF APPROXIMATION OF A FUNCTION BY ORTHOGONAL POLYNOMIALS. In the presented article, the general theory and some significant properties of continuous approximation are presented, and cases of approximation by orthogonal polynomials are considered. There are a number of areas where orthogonal polynomials are widely used. Traditional applications include orthogonal expansions, least squares approximation, interpolation, and numerical quadrature. The article generalizes and systematizes knowledge in the field of approximation by orthogonal polynomials. Orthogonal polynomials are useful in many areas of numerical analysis and are useful for function approximation, numerical integration, and the numerical solution of differential and integral equations. Traditional applications of orthogonal polynomials include orthogonal expansions, least squares approximation, interpolation, and numerical quadrature. Somewhat less well known are the connections of orthogonal polynomials with the Pad approximation, when the underlying power series has moments as coefficients. More recent applications include probability theories, e.g., birth and death processes, Carlin and McGregor, coding theory, Sloan, Delsarte, scattering theory, Case, relaxation methods in numerical linear algebra, Stiefel, as well as in prediction theory and Toeplitz matrix inversion, where Sego polynomials on the unit the circles are noticeably involved, Kailat. Sego's theorem on the asymptotic behavior of Toeplitz determinants also has important applications in statistical mechanics, McCoy.
Key words: approximation, orthogonal polynomials, orthogonal polynomials.
М.М. Шихшинатова, канд. физ.-мат. наук, доц., Дагестанский государственный педагогический университет, г. Махачкала,
E-mail: shichmum_2006@mail. ru
МЕТОДИЧЕСКИЕ АСПЕКТЫ ИЗУЧЕНИЯ ВОПРОСОВ ТЕОРИИ ПРИБЛИЖЕНИЯ ФУНКЦИИ ОРТОГОНАЛЬНЫМИ МНОГОЧЛЕНАМИ
В представленной статье приведены общая теория и некоторые значимые свойства непрерывной аппроксимации, рассмотрены случаи аппроксимации ортогональными многочленами. Существует ряд областей, в которых широко используются ортогональные многочлены. Среди традиционных приложений можно упомянуть ортогональные разложения, аппроксимацию методом наименьших квадратов, интерполяцию и числовую квадратуру. Статья обобщает и систематизирует знания в области аппроксимации ортогональными полиномами. Ортогональные многочлены полезны во многих областях численного анализа и полезны для аппроксимации функций, численного интегрирования и численного решения дифференциальных и интегральных уравнений. К традиционным приложениям применения ортогональных многочленов можно отнести ортогональные разложения, аппроксимацию методом наименьших квадратов, интерполяцию и числовую квадратуру. Несколько менее известны связи ортогональных полиномов с приближением Пада, когда лежащий в их основе степенной ряд имеет в качестве коэффициентов моменты. К более поздним приложениям относятся теории вероятностей, например, процессы рождения и смерти, Карлин и МакГрегор, теория кодирования, Слоан, Дельсарт, теория рассеяния, Кейс, методы релаксации в численной линейной алгебре, Штифель, а также в теории прогнозирования и теплицевой инверсии матриц, где многочлены Сего на единичной окружности заметно задействованы, Кайлат. Теорема Сего об асимптотическом поведении определителей Теплица также имеет важные приложения в статистической механике, Маккой.
Ключевые слова: аппроксимация, ортогональные многочлены, ортогональные полиномы.
Актуальность статьи заключается в том, что классические ортогональные полиномы широко используются во многих областях науки: теоретической физике, химии, прикладной математике, вероятности, теории приближений, численном анализе и других. Они легко генерируются рекурсией, и их использование поддерживается высокоразвитой аналитической теорией.
Интерес исследования теории приближения функции ортогональными многочленами возникает не только при решении некоторых недавних простых прило-
жений к аппроксимации и суммированию, но и для решения некоторых идей об интегралах Коши в главном значении. Поскольку все они включают квадратуры Гаусса-Кристоффеля, следует начать с современной техники генерации узлов Гаусса и чисел Кристоффеля из коэффициентов рекурсии соответствующих ортогональных многочленов.
Ортогональные многочлены относительно общих, неклассических весовых функций, напротив, не нашли столь же широкого применения, отчасти потому,
что их труднее получить численно, а также, несомненно, потому, что они не имеют тесных связей с фундаментальными дифференциальными уравнениями математическая физика, как и их классические собратья-многочлены.
Тем не менее можно предполагать, что как только будут решены конструктивные проблемы, связанные с общими ортогональными полиномами, нестандартные применения ортогональных полиномов будут значительно поощряться, и использование неклассических ортогональных полиномов станет более распространенным, чем это имеет место в настоящее время.
Объект исследования: некоторые основные вопросы теории приближения функций и некоторые значимые свойства непрерывной аппроксимации ортогональными многочленами.
Предметом исследования является использование ортогональных многочленов для численных приближений.
Целью данного исследования является обобщение и систематизация знаний в области теории и некоторые значимые свойства непрерывной аппроксимации, в том числе аппроксимации ортогональными полиномами. Таким образом, в данной статье представлен общий обзор ортогональных полиномов.
В данном исследовании решены следующие задачи:
1) выполнен общий обзор по конструктивной теории (общих) ортогональных многочленов;
2) осуществлен общий обзор теории непрерывной аппроксимации;
3) исследована аппроксимация ортогональными полиномами, в частности рассмотрены полиномы Лежандра; многочлены Чебышева; минимальное свойство многочлена.
Гипотеза исследования заключается в следующем: можно предполагать, что как только будут решены конструктивные проблемы, связанные с общими ортогональными полиномами, нестандартные применения ортогональных полиномов будут значительно поощряться, и использование неклассических ортогональных полиномов станет более распространенным, чем это имеет место в настоящее время.
Этапы исследования:
1. Изучение теоретического материала по данному вопросу.
2. Выполнение общего обзора некоторых основных вопросов теории приближения функций.
Методы исследования:
- теоретический анализ научной и методической литературы по данному исследованию;
- проработка теоретического материала.
Теоретическая значимость исследования заключается в том, что в статье кратко представлена основа для аппроксимации ортогональными базисами («обобщенные ряды Фурье»), соответствующие пространства, общая идея и примеры с использованием полиномов. А также рассмотрены многочлены Чебыше-ва, которые имеют важную связь с рядами Фурье.
Практическая значимость состоит в том, что материал, изложенный в данной статье, может быть полезным при решении задач теории приближения функций.
Научная новизна; в результате выполнения представленного исследования были обобщены области применения и сопутствующих трудностей аппроксимации ортогональными многочленами. Выявлен интерес исследования теории приближения функции ортогональными многочленами не только в ходе решения некоторых недавних простых приложений к аппроксимации и суммированию. Однако имеет место интерес для решения некоторых (еще не проверенных и не верифицированных) идей об интегралах Коши в главном значении, в решении которых включены квадратуры Гаусса-Кристоффеля. По этой причине имеют место предпосылки для дальнейших исследований в данном направлении с применением современных техник генерации узлов Гаусса и чисел Кристоффеля из коэффициентов рекурсии соответствующих ортогональных многочленов.
Общая теория непрерывной аппроксимации
рассмотрим задачу непрерывной аппрокстмацтт. Для пространства функций на [а, Ь] ищем базис {<т} тако^ чтобы первые п можно было использовать дл я аппроксттацтт футкцтт [1].
Пусть и/(хе > 0 — положттельтся функци я. °пределтм «врвешеттую» торму I.2 для комплекстортнчтых футкцтй та Ь]:
f = ll
(4)
î том смысле, что частичные суммы l"=1 cjfj сходятся по норме, т. е.
.lim yZ-I^i^l = 0
(5)
Множество функций {/¡] называется ортогональным, если выполняется условие:
</4)= 0 при itj. (6)
1. Ортогональные базисы особенно хороши как для теории, так и для численного приближения.
Предположим, что (fj} представляет собой ортогональный базис для Ч), т. е. базис, в котором (ft, fj) = 0 для itj.
Коэффициенты q могут быть представлены как / = lj cj<pj. (7)
Их легко найти, взяв скалярное произведение с базисной функцией для выбора этого компонента:
(f.<Pk) = IjCjWj, fk) * (8)
Рассмотрим свойство наилучшего приближения.
Приближение f. = l.=1 cj<pj - первые N членов ряда для f является
наилучшим приближением к f в подпространстве S. = span(fv..., f.) в контексте: g = f. минимизирует ||/ - g ||„для geSN.
Ошибка: у нас также есть теорема Парсеваля:
ll/-XjL<ji
. j=W+1ч 1
Формально это доказывается записью скалярного произведения:
(9)
= (g,д) и распределением
= (/ " A, f- fü) = ( ^ Cj <pj, ^ ck цк) :
= l%,<+llt,<+lCjCk(<Pj, fk), (10)
j=N+1
однако скалярное произведение отлично от нуля только тогда, когда j = k что обусловливает следующий вывод: чтобы получить необходимую точность, нужно проделать некоторую работу, чтобы доказать сходимость).
Тогда «ошибка» в N-м приближении равна сумме квадратов норм пропущенных членов, например, если q ~ C/j2, то ошибка имеет вид: !°°=И+1С/ j 4 ~Z/N\
2. (Непрерывный) метод наименьших квадратов [2].
Перечисленные выше свойства предполагают, что можно использовать ортогональные базисы для построения хороших приближений [3].
Предположим, что {tpj представляет собой базис (необязательно ортогональный) и f ~ l.=1cjfj.минимизирует ||/ -д||„ по SN. (11)
Тогда q минимизирует ошибку L2:
Е(с) = Uf-lU^H2 = Cw(x)(f-lUcjVj)2^ < ». (12)
Чтобы найти коэффициенты, следует обратить внимание на то, что минимум происходит в точке, где градиент E равен нулю, поэтому условия для критической точки следующие:
0=| = - 2/>Ма-1У=1адМ<Ъ. (13)
Отсюда следует, что E минимизируется, когда:
/„"/И fj(x)dx = ^(J^ fifjw(x)dx) cj, где/= 1, 2,.., n.
В матричной форме это линейная система может быть представлена следующим образом: А 'С = f,
aij = l" f ifjW(x)dx = (f i, «PjL (14)
fi = CfMv l(x)w(x)dx =(f ,f i)w.
Для числовой стабильности и вычислительной эффективности требуется, чтобы матрица A была как можно более простой.
Если базис ортогонален, то уравнения сводятся к диагональной системе, поскольку (<рfj) = 0 при itj и решение представляет собой
(15)
II/IL = (1)
которая имеет связанное (комплексное) скалярное произведение:
(/.а)» = ¿VM^WM^. (2)
Oтметим, что в случае веществеиных функций комплексно-соп|:)я>иенную «ерту можно опустить. Рассмотрим аппроксимирующие функции во «взвешенном L2» пространстве:
Ь]) = (/: [a,b] -> С s. t. ¡"игШГШЧх < (3) которы е на практике включает пеа^^е^ любую инторууующую фун кцию. l^oе)ма и скрлярноу произведение (2) корректно определены на этом
пространстве. 2
Базис {cpj} (= 1, 2 ...) для L»([a,b]) представлен набором функций такoй, чтобы лю(зая f в пространстве однозначно выражалась как
Испольроватте структуры ортоготальтого бартса будет отправтой точкой для построеття хороштх чтслеттых пртблтжеттй [4].
Аппроксимация ортогональными полиномами
Рассмотртм аппрокстмацтю ортоготальтымт мтогочлетамт.
1. Полттомы Лежатдра.
Прежде всего рассмотртм [-1,1] т м (х) = 1. Пртметтм процесс ортоготалтрацтт Грамма-Шмтдта т рекурретттое сооттошетте с тремя члетамт, чтобы тайтт бартс, которым являются мтогочлеты Лежатдра. Первые тесколько расчетов выглядят следующтм образом:
«РоМ = 1;
(16)
^ =Ï"(W)1 = Г;
f-(x) л!'-1!-
(x2,x) (х2Д)
(1,1) (ХФ2.Ф2> ,
1=ï2-0'
(Xip 2.x)
-X л X- --Х,
2.<Ы (X,X)
и так далее. Можно получить рекуррентность для полиномов Лежандра, проделав дополнительную работу.
В явном виде отношение ортогональности состоит в том, что:
L^iMM-W^ = {^'ü9;
(17)
И можзо вычислить n 0(З1, Пр)1Л1ЖИ7 зекоторые усилия.
Любая фузБция из iN[-1, 1] мождт быт|ть (Ы1ражеза (( виде ряда nn этдлу
базису как: f = 0 ,°°=0.
(18)
<0 = %= = ;-i_11/ й <Р,№ [3].
Зстсишлм следующее условие: традидиоззо полиномы Лежаздра нормируются та 2, что <р( 1) = 1. Есл и это сделазо, то ози удовлетворяют условию:
(J + 1^MjNi-(N4-1)(Pj+J(Pj-i = 0. (19)
П о этом у процессу: <р2 = 1/2 (3х 2 - 1) ; <р3 = 1 /2(5х2 - 3х), и та 2 далее.
2. Маогочлезы; Члаышева. Дло скалорзого произведезио
(20)
If ь2 f1 /МэМ .
(/■а) = 1_ 1 —
(f,g) = S''f(coS0)g(coS0)d0.
(21)
= cos((fc + где Л- = 0.....j - 1
(24)
7}+1 = 2x7} - 7}-1, где к = 1, 2,...; а первые зесколько полизомов Чебышева равзы 7o(x) = 1 и
(25)
7i(x) = х, Т2(х) = 2хг -1, Т3(х) = 4хъ - 3х
и так далее.
Старший коэффициент Tj(x) равен 2-1, поэтому 21-iTj(x) является унитарным полиномом.
3. Рассмотрим минимальное свойство многочлена.
Интересным вопросом является определение минимизирующего полинома max |р(д)| для монического р ЕР . (26)
XG[-i; i] '
Это полином «наименьшего колебания» - он имеет наименьшие пики среди всех монических полиномов этой степени [2].
Удивительно, но ответ состоит в том, что масштабированный полином Чебышева
ф) = 2i-'Tj(x) = х' + ■■■ (27)
является минимизатором.
Здесь имеет место быть следующая теорема: унитарные многочлены Чебышева t обладают свойством минимаксности, т. е.
t (x) минимизирует max |р(д)| для монического р е Р,- .
XE[-i;i] '
Так как IT (x)| < 1 и может равняться 1, минимум равен 21-", т.е.
получаем полизомы Чебышева. Чтобы получить иб, требуется преобразовать изтеграл, используя x = cos8 (так что ве [0, п]), тогда:
max ( max |р(я)|) = 21
моникрЕР, хё[—1;1]
Узлы Чебышева (24) (нули T (x)) минимизируют
(28)
Из рядов Фурье известзо, что мзожество (соз(кв)} ортогозальзо за [0, п] в L2 скалярзом произведезии ^ f(9)д(в)d0, откуда следует, что мзогочлезы удовлетворяют условию:
Tk(cos0) = coskß, (2)
поэтому ози задаются явзой формулой:
Т}(х ) = cos (j'cos-1(х)). (23)
Тригозометрические тождества гаразтируют, что эта формула действительзо производит мзогочлезы. Например: T2(cos0) = cosk (2В) = 2cos20 -1^Т2 = 2х2 - 1. Мзогочлезы Чебышева и соответствующие им «узлы Чебышева» (зули)
(29)
среди всех множеств узлов хо,..., х-и
Это говорит о том, что многочлены Чебышева можно использовать для минимизации (или, по крайней мере, приближения к этому) максимальной ошибки.
Интерполяция: в то же время минимаксное свойство во второй форме показывает, что для интерполяции узлы Чебышева хорошо справляются с управлением ошибкой Лагранжа:
(п+1)! X"J| < (п+1)!2
(30)
играют ключевую роль в числеззом азализе из-за иб тесзой связи с рядами Фурье.
Трехчлеззая повторяемость сводится к
что объясняет, почему они являются таким хорошим выбором для интерполяции [5].
В ходе разработки материала нашего исследования поэтапно были раскрыты основные цели и задачи, ставящиеся перед началом исследования.
Мы считаем, что цель исследовательской работы достигнута, и задачи в целом решены.
Подводя итоги, можно отметить, что материал данной статьи можно использовать при решении задач теории приближения функций.
Библиографический список
1. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории приближения функций и функционального анализа. Москва, 1989.
2. ЗотеевВ. Е. Приближениефункций многочленами: учебное пособие, Самара, 2019.
3. СуетинП.К. Классические ортогональныемногочлены. Москва: Наука, 1976.
4. Иродова И.П. Алгоритмы теорииприближения: учебно-методическоепособие. Ярославль, 2019.
5. Гаджимирзоев РМ. Об аппроксимативных свойствах рядов Фурье по полиномам Якоби: материалы 21 Международной Саратовской зимней школы, «Современные проблемытеориифункций иихприложения».Саратов,2022.
References
1. Kolmogorov A.N., Fomin S.V. 'Elementy teoriipriblizheniya funkciji funkcional'nogo analiza. Moskva, 1989.
2. ZoteevV. E. Priblizhenie funkcij mnogochlenami: uchebnoe posobie, Samara, 2019.
3. SuetinP.K. Klassicheskie ortogonal'nye mnogochleny. Moskva: Nauka, 1976.
4. Irodoval.P. Algoritmyteoriipriblizheniya: uchebno-metodicheskoe posobie. Yaroslavl', 2019.
5. Gadzhimirzoev R.M. Ob approksimativnyh svojstvah ryadov Fur'e po polinomam Yakobi: materialy 21 Mezhdunarodnoj Saratovskoj zimnej shkoly, «Sovremennye problemy teorii funkcijiihprilozheniya».Saratov, 2022.
Статья поступила в редакцию 11.10.22
УДК 377
Bazueva A.V., postgraduate, Surgut State University (Surgut, Russia),
E-mail: bazuevaanna@yandex.ru
ON THE PROBLEM OF INTRODUCING THE PROJECT METHOD INTO THE EDUCATIONAL PROCESS OF EXPECTED MATHEMATICS. Currently, requirements for personal and professional qualities of a graduate are undergoing significant changes due to the accelerating pace of development of society. Such competencies of students as the ability to create projects, conduct research independently, analyze information and use it competently in the project are brought to the forefront. The article deals with the essential characteristics of the project method, classification and types. This article studies the potential of project work in teaching mathematics in higher education and the study of the specifics of integration of projects in the course of teaching mathematics in higher education. The study includes an analysis of project activities as a method of work in the training of student teachers. The model of the project, which is implemented in the course of training of teachers of mathematics is considered. The scientific novelty of the study is highlighted and the practical significance is determined. The results of the study can become the basis for improving the process of using project activities in the preparation of students of pedagogical directions.
Key words: project activity, project method, higher professional education, teaching method, pedagogical activity.
А.В. Базуева, аспирант, Сургутский государственный университет, г. Сургут,
E-mail: bazuevaanna@yandex.ru
