Методические аспекты изложения темы «Векторная алгебра» в курсе «Аналитическая геометрия» Текст научной статьи по специальности «Математика»

Ефремова С. Н., Косова А. В., Ласковая Т. А. Методические аспекты изложения темы «Векторная алгебра» в курсе «Аналитическая геометрия» // Научно-методический электронный журнал «Концепт». - 2017. - № 4 (апрель).- 0,2 п. л. - URL: http://e-koncept.ru/2017/170089.htm.

ART 170089 УДК 378.147

Ефремова Светлана Николаевна,

старший преподаватель ФГБОУ ВО «Московский государственный технический университет им. Н. Э. Баумана», г. Москва [email protected]

Косова Анна Владимировна,

старший преподаватель ФГБОУ ВО «(Московский государственный технический

университет им. Н. Э. Баумана», г. Москва

[email protected]

Ласковая Татьяна Алексеевна,

старший преподаватель ФГБОУ ВО «(Московский государственный технический

университет им. Н. Э. Баумана», г. Москва

[email protected]

Методические аспекты изложения темы «Векторная алгебра» в курсе «Аналитическая геометрия»

Аннотация. В статье предлагается вариант изложения материала по теме «(Векторная алгебра». Для удобства восприятия теоретическая часть представлена в виде таблицы. Задачи по данной теме подобраны таким образом, чтобы при их решении студентам необходимо было использовать весь изученный материал. Особое внимание уделяется воспитанию самоконтроля учащихся в процессе решения задач.

Ключевые слова: свободные векторы, скалярное произведение, векторное произведение, смешанное произведение.

Раздел: (01) педагогика; история педагогики и образования; теория и методика обучения и воспитания (по предметным областям).

Прежде всего, необходимо обратить внимание студентов на то, что в курсе аналитической геометрии рассматриваются так называемые свободные векторы. Под свободным вектором понимается множество направленных отрезков, расположенных на параллельных прямых и имеющих одинаковую длину и направление. При таком подходе все множество направленных отрезков в пространстве разбивается на множество классов равных направленных отрезков. Любой направленный отрезок АВ = а может быть представителем вектора а. Таким образом, для любого вектора точка приложения может быть выбрана произвольно.

Коллинеарными называются векторы, лежащие на одной или на параллельных прямых.

Компланарными называются векторы, лежащие в одной плоскости или в параллельных плоскостях.

Рассмотрим три вектора а, Ь и с, имеющих общее начало. Тройка векторов (а, Ь, с) называется правой, если из конца третьего вектора с кратчайший поворот

от первого вектора а ко второму Ь виден совершающимся против часовой стрелки. В противном случае тройка векторов левая.

Осью называется прямая, на которой установлено положительное направление.

ISSN 2304-120Х

ниепт

научно-методический электронный журнал

Ефремова С. Н., Косова А. В., Ласковая Т. А. Методические аспекты изложения темы «Векторная алгебра» в курсе «Аналитическая геометрия» // Научно-методический электронный журнал «Концепт». - 2017. - № 4 (апрель).- 0,2 п. л. - URL: http://e-koncept.ru/2017/170089.htm.

Проекцией точки А на ось Ои называется точка Ai пересечения этой оси и перпендикуляра, опущенного на эту ось из точки А.

Проекцией вектора АВ на ось Ои называется алгебраическая величина отрезка АВ, где А , В - проекции точек А и В на данную ось (т. е. длина отрезка АВ >

взятая со знаком +, если направление АВ совпадает с положительным направлением оси Ои , и со знаком - в противном случае).

В курсе векторной алгебры особое внимание уделяют трем основным понятиям: скалярному, векторному и смешанному произведению векторов [1-5]. Определения и свойства этих произведений при проведении занятий целесообразно представить в виде табл. 1. Изложение теории в таком варианте более компактно, структурированно, наглядно показывает общее и различия в свойствах векторов, что позволяет облегчить запоминание данного материала.

Наиболее наглядным является представление свойства скалярного, векторного и смешанного произведений векторов в виде табл. 1.

Таблица 1

ISSN 2Э04-120Х

ниепт

научно-методический электронный журнал

Скалярное произведение Векторное произведение Смешанное произведение

Обозначение (—, Ь) или — ■ Ь [а,Ь ] или — х Ь (a, b, c ) , [a, b ] • с или abc

Определение ЧИСЛО, равное \а\■ |Ь|собр , где р — угол между векторами а и Ь ВЕКТОР с , удовлетворяющий условиям: 1) с 1 —, с 1Ь ; 2) |с| = \а\■ |й^шр, где р — угол между — и Ь ; 3) —, Ь, с — упорядоченная правая тройка векторов ЧИСЛО, равное скалярному произведению векторного произведения aхb на вектор c

Свойства алгебраические Свойства геометрические а ■ Ь = Ь ■ а а ■ (Ь + с ) = а ■ Ь + а ■ с (А—) ■ Ь = А(— ■ Ь) — х Ь = —Ь х — — х (Ь + с) = — х Ь + — х с (А—) х Ь = А(— х Ь) abc = cab = bca = = -acb = -bac = -cba ; ad (b + c ) = adb + adc ; (Aa)bc = A(âbc) .

а 1 Ь « а ■ Ь = 0 а ■ Ь > 0 ^ р -острый а ■ Ь < 0 ^ р -тупой — иЪ — хЬ = 0 a, b, c компланарные « abc = 0 ; abc > 0 ^ a,b,с - правая тройка; abc <0^ a,b,с -левая тройка

Приложения произведений векторов 1. Нахождение угла между векторами: а ■ Ь собр =-р=г |-| ■ Ь 2. Нахождение проекции вектора: г а ■ Ь ,_, пр-аЬ (* 0) - 3. Вычисление длины вектора: а ■ а = а2 = |—|2 ^ Щ = ^J—^ Нахождение площадей параллелограмма и треугольника: ^ = |—хь| , ^ = 11-хь| где - и Ь — смежные стороны Нахождение объемов параллелепипеда и пираМиДЫ: Vnap-да = \Щ ■ V'пирамиды = i |ab^ ' где a, b, c - смежные ребра

ISSN 2304-120X

ниепт

научно-методический электронный журнал

Ефремова С. Н., Косова А. В., Ласковая Т. А. Методические аспекты изложения темы «Векторная алгебра» в курсе «Аналитическая геометрия» // Научно-методический электронный журнал «Концепт». - 2017. - № 4 (апрель).- 0,2 п. л. - URL: http://e-koncept.ru/2017/170089.htm.

Скалярное произведение Векторное произведение Смешанное произведение

Вычисление в ортонормиро-ванном базисе: a = (х , y , z ) ^ a? s a? a J b = (Xb , Уь , zb ) - c = (Хс , Ус , zc ) a ■ b = XaXb + УаУь + zazb (|Щ Ч х1 + у1+zl) i j k a X Ь = Xa Уа za хь Уь zb x y z a sa a abc = xb Уь zb xc Ус Zc

Рассмотрим некоторые примеры.

Задача 1. Даны векторы а = (1,2,2) и Ь = (2, -2,-1). Найти угол между ними. Решение. По табл. 1 видно, что угол между векторами возникает и в определении скалярного и векторного произведений. Но этот угол ср&[0,ж]^ 0. Поэтому

при нахождении угла между двумя векторами определением векторного произведения не пользуются, так как нельзя понять, острый угол между векторами или тупой.

cos р = ■

a ■ b

2 - 4 - 2

a

4 4

_, = .- .-= = — ^ р = п - arccos — .

b\ Vi + 4 + 4Ы4 + 4 +1 9 9

Задача о нахождении длины вектора в произвольном базисе, как правило, вызывает затруднение у студентов, поскольку привычные формулы, использующие теорему Пифагора, неприменимы. При решении такой задачи нужно обратить внимание учащихся на использование всех свойств скалярного произведения.

Задача 2. Найти проекцию вектора а = 3m - 4n на вектор b = 4m + 5n , если m = \n\ = 1, угол между векторами m и n равен 60.

Решение. Воспользуемся формулой для нахождения проекции вектора

пр^Ь = aJb. Начнем решение задачи с нахождения скалярного произведения, при

а

этом используем его алгебраические свойства:

а ■ b = (3m - 4Щ)(4m + 5n) = 12m2 + 15m • n - 16n ■ m - 20n2 = 12m2 - n ■ m - 20n2 =

= 12\m\2 - МЫ cos — - 20\n\2 = 12- — - 20 = -8,5 . ...... 3 11 2

Вычислим длину вектора b с помощью формулы |b| = yjp :

b2 = (4m + 5й)2 = 161 m\2 + 40| m||n| cos — + 25 \n\2 = 61 => bl = >/6!.

Подставляя все в формулу, получим:

_ -17

пРьa =

3

i^Vel

2V6T 122

Задача 3. Найти высоту BD треугольника АВС, за-

данного координатами

Д-1,0,2), В(1, -2,5), С(3,0, -4) .

своих

Решение. Очевидно, Sn =-Sr = —

2 2

axb

вершин:

. Однако, что-

бы не ошибиться с коэффициентами, обычно пользуются

ISSN 2Э04-120Х

ниепт

научно-методический электронный журнал

Ефремова С. Н., Косова А. В., Ласковая Т. А. Методические аспекты изложения темы «Векторная алгебра» в курсе «Аналитическая геометрия» // Научно-методический электронный журнал «Концепт». - 2017. - № 4 (апрель).- 0,2 п. л. - URL: http://e-koncept.ru/2017/170089.htm.

стандартным приемом и достраивают треугольник до параллелограмма (см. рис. 1). Высота Вй является общей для треугольника и параллелограмма АВА1С. С одной

АВ х АС

стороны, SD =

АВхАС

, а с другой - S = BD ■ AC . В итоге получаем \BD\ =

AC

Найдем AB х AC =

i j k 2 -2 3 4 0 -6

= I2i + 24j + 8k . Здесь необходимо сделать про-

верку правильности вычисления векторного произведения. По определению векторного произведения АВ х АС перпендикулярен каждому из сомножителей. Воспользуемся критерием ортогональности двух векторов (а ± Ь а ■ Ь = 0):

(АВхАС,лв) = 12■ 2-24■ 2+8■ 3 = 0, (АВхАС,АС) = 12■ 4 + 24■ 0-8■ 6 = 0. Проверка сошлась, можно переходить к вычислению длины векторного произведения:

\ЛВ х АС

-- ^16 (9 + 36 + 4) = 28. Найдем длину вектора AC = ^4(4 + 9) = 2>/ÏJ.

Подставим все в формулу и получим: BD =

28

1WÏ3

2>/13 13 '

Для проверки в данной задаче мы воспользовались критерием ортогональности двух векторов. Не лишним будет напомнить студентам, что критерий - это теорема, которая формулируется и доказывается в две стороны. Поэтому в формулировке используются речевые конструкции «тогда и только тогда, когда» или «необходимо и достаточно». Формулируя необходимое условие, мы считаем, что событие произошло. Составим табл. 2.

Таблица 2

Дано Доказать

Необходимость а ± b а ■ ь = 0

Достаточность а ■ ь = 0 а ± ь

Задача 4. Найти объем тетраэдра АВСй, его высоту АН и вектор АН, совпадающий с высотой, опущенной из вершины А на плоскость ВСй, если

А(0, -2,5), В(6,6,0), С(3, -3,6), Б(2, -1,3) .

Решение. В этой задаче используем тот же прием, что и задаче 3, и достроим наш тетраэдр до параллелепипеда с той же высотой, в основании которого лежит параллелограмм со сторонами ВС и Вй (рис. 2).

Тогда для нахождения высоты АН вос-

пользуемся

V

пар-д.

ВС ■ BD ■ BA

формулой: AH =

a Sa

V

пар-да

где

□

BCxBD

ISSN 2304-120X

ниепт

научно-методический электронный журнал

Ефремова С. Н., Косова А. В., Ласковая Т. А. Методические аспекты изложения темы «Векторная алгебра» в курсе «Аналитическая геометрия» // Научно-методический электронный журнал «Концепт». - 2017. - № 4 (апрель).- 0,2 п. л. - URL: http://e-koncept.ru/2017/170089.htm.

Найдем смешанное произведение векторов ВС • ВD • ВА, используя формулу вычисления смешанного произведения в ортонормированном базисе и свойства

-3 -9 6 -4 -7 3

= -45 ^ Vnap-da =|-45 = 45 .

определителей: ВС • ВD • ВА =

-6 -8 5

Поскольку смешанное произведение отрицательно, то тройка векторов (ВС,ВЪ, ВА) - левая.

Теперь вычислим векторное произведение ВС х ВЭ:

BC х BD =

i j k

-3 -9 6

= 15i -15 j - 15k ^ SD =

BCxBD

= lWl +1 +1 = 15>/3.

-4 -7 3

Обязательно снова предложите студентам сделать проверку правильности нахождения векторного произведения, используя критерий ортогональности векторов:

(ВС х ВЭ, ВС) = 15(-3 • 1 - 9 • (-1) + 6 • (-1)) = 0, (ВС х ВЭ, ВЭ) = 15(-4 -1- 7 • (-1) + 3^ (-1)) = 0. Поскольку проверка сошлась, можно продолжить решение задачи.

Найдем высоту параллелепипеда: AH = ■

V

пар-да

45

= V3.

Осталось найти вектор АН, совпадающий с высотой. Поскольку АН перпендикулярен плоскости основания параллелепипеда, а ВС х ВЭ перпендикулярен ВС и ВЭ (а эти векторы и лежат в основании параллелепипеда), то

~АНУ\ВС х ВЪ ^ АН = Л(ВС х ВЪ) = 151(7 - 7 - к) . Зная высоту параллелепипеда, находим:

|15Л(1- j-k)| = >/3 ^ 15|Л\л/э = >/3 =1.

Величину Л мы нашли. Как же выбрать знак? Как уже было отмечено, поскольку ВС • ВЪ • ВА = -45 < 0, то эта упорядоченная тройка векторов левая. Поэтому упорядоченная тройка векторов (ВС, ВЪ,НА) тоже левая, а (ВС, ВЪ, АН) - правая. По определению векторного произведения упорядоченная тройка векторов (ВС, ВЪ,ВС хВЪ) - правая. Из этого заключаем, что АН сонаправлен с вектором

ВС х BD. Отсюда понятно, что Л> 0 ^ Л =

1

15

• AH = (1,-1,-1) .

Структурирование теоретических сведений позволяет упростить процесс восприятия, облегчить усвоение данной информации. Сведение материала в таблицу помогает в поиске необходимых свойств, формул и теорем.

Предложенный вариант проверки правильности решения задачи (ограниченный самоконтроль) позволяет в дальнейшем избежать ошибок при решении задач по темам «Прямая и плоскость в пространстве», «Взаимное расположение прямых и плоскостей».

Ефремова С. Н., Косова А. В., Ласковая Т. А. Методические аспекты изложения темы «Векторная алгебра» в курсе «Аналитическая геометрия» // Научно-методический электронный журнал «Концепт». - 2017. - № 4 (апрель).- 0,2 п. л. - URL: http://e-koncept.ru/2017/170089.htm.

Ссылки на источники

1. Канатников А. Н., Крищенко А. П. Аналитическая геометрия. - М.: Изд-во МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2014. - 408 с.

2. Беклемишев Д. В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. - М.: Физматлит, 2008. -312 с.

3. Беклемишева Л. А. и др. Сборник задач по аналитической геометрии и линейной алгебре: учеб. пособие. - М.: Изд. группа URSS, 2016. - 384 с.

4. Гусак А. А. Аналитическая геометрия и линейная алгебра: справ. пособие к решению задач. -Минск: НТООО «ТетраСистемс», 2001. - 288 с.

5. Сборник задач по математике для втузов. Ч. 1. Линейная алгебра и основы математического анализа: учеб. пособие для втузов / под ред. А. В. Ефимова, Б. П. Демидовича. - М.: Наука, 1993. - 478 с.

ISSN 2Э04-120Х

ниепт

научно-методический электронный журнал

Svetlana Efremova,

Senior lecturer, Bauman Moscow State Technical University, Moscow

[email protected]

Anna Kosova,

Senior lecturer, Bauman Moscow State Technical University, Moscow

[email protected]

Tatiana Laskovaya,

Senior lecturer, Bauman Moscow State Technical University, Moscow [email protected]

Methodical aspects of the presentation of the theme "Vector algebra" in the course "Analytical geometry"

Abstract. In this article, we propose a version of the material on the subject "Vector algebra." For convenience of perception, the theoretical part is presented in the form of a table. The tasks on this topic are selected in such a way that, when solving them, students should use all the studied material. Particular attention is paid to the upbringing of students' self-control in the process of solving problems. Key words: free vectors, scalar product, vector product, mixed product. References

1. Kanatnikov, A. N. & Krishhenko, A. P. (2014). Analiticheskaja geometrija, Izd-vo MGTU im. N. Je. Baumana, Moscow, 408 p. (in Russian).

2. Beklemishev, D. V. (2008). Kurs analiticheskoj geometrii i linejnoj algebry, Fizmatlit, Moscow, 312 p. (in Russian).

3. Beklemisheva, L. A. et al. (2016). Sbornik zadach po analiticheskoj geometrii i linejnoj algebre: ucheb. posobie, Izd. gruppa URSS, Moscow, 384 p. (in Russian).

4. Gusak, A. A. (2001). Analiticheskaja geometrija i linejnaja algebra: sprav. posobie k resheniju zadach, NTOOO "TetraSistems", Minsk, 288 p. (in Russian).

5. Efimov, A. V. & Demidovich, B. P. (eds.) (1993). Sbornik zadach po matematike dlja vtuzov. Ch. 1. Linejnaja algebra i osnovy matematicheskogo analiza: ucheb. posobie dlja vtuzov, Nauka, Moscow, 478 p. (in Russian).

Рекомендовано к публикации:

Ахметовой Ф. Х., кандидатом физико-математических наук; Горевым П. М., кандидатом педагогических наук, главным редактором журнала «Концепт»

Поступила в редакцию Received 28.03.17 Получена положительная рецензия Received a positive review 29.03.17

Принята к публикации Accepted for publication 29.03.17 Опубликована Published 05.04.17

www.e-koncept.ru

© Концепт, научно-методический электронный журнал, 2017 © Ефремова С. Н., Косова А. В., Ласковая Т. А., 2017