CC BY
15
Нацюнальний лiсотехнiчний ушверситет УкраГни
УДК 004.942:519.876.5
МЕТОДИ ОТРИМАННЯ ПАРАМЕТР1В МАТЕМАТИЧНИХ МОДЕЛЕЙ ДИНАМ1КИ ДЕРЕВОСТАН1В
O.e. Токар1, А.М. Козел2, М.М. Король3, А.М. Цуняк4
Розроблено методи отримання napaMeTpiB математичних моделей динамжи дере-восташв за основними лiсiвничо-тaксaцiйними показниками, а також функци залежнос-тi висоти дерева вщ його дiaметpa. Для ощнювання пapaметpiв моделей використано метод найменших квaцpaтiв. Для знаходження множини початкових наближень засто-совано метод диференщально'1 еволюцй'. Для знаходження пapaметpiв моделей росту використано також класичний метод знаходження початкового наближення саме для заданого типу задач. Для пришвидшення знаходження початкового наближення врахо-вано фiзичний змiст пapaметpiв моделей та imi межi. Для уточнення початкового наб-лиження застосовано метод Левенберга-Марквардта. Запропоноваш методи оптимiзaцií pеaлiзовaно в сеpедовищi MS Access на мовi програмування Visual Basic for Applications. Створено форму для вибору пapaметpiв алгоршмв. £ можливють фiльтpувaння вибipки за дшянкою i деревною породою.
Ключов1 слова: деревостан, математичш моделi, параметри моделей, методи оп-тимiзaщi'.
Вступ. Розвиток iндустрiaлiзaцi! останнiми десятирiччями призвiв до зростання викидiв парникових ra3iB (ПГ) в атмосферу, якi впливають на еконо-мiчний розвиток людства та еколопчний стан довкiлля. При цьому важливу роль у шдтримант та збереженш екологiчноf рiвновaги вiдiгрaють лiсовi еко-системи, якi виконують захисш, охороннi, киснетворнi, рекреaцiйнi та iншi ко-риснi функцif. Саме тому назрша нагальна потреба збереження люових екосис-тем та формування та^' структури насаджень, яка забезпечуе найповшше ви-конання функцiй, важливих для юнування життя на Землi. У виргшенш цих проблем важливим е виконання Рaмковоf конвенцif ООН про змшу клiмaту та Кiотського протоколу до Рамково'1' конвенцif ООН [1-3], яю встановлюють зо-бов'язання на зниження викидiв парникових гaзiв для розвинених кра!н та крafн iз перехiдною економiкою.
Укрafнa також е учасником Кiотського протоколу, згiдно iз ст. 5 якого мала б до 2012 р. вийти на обсяг викидiв парникових гaзiв на рiвень 1990 р. На сьогодш залишаеться актуальним оцiнення емiсif ПГ в атмосферу для рiзних секторiв економiки. Методи обчислень емiсiй парникових гaзiв, яю розробленi Мiжнaродною групою експертiв зi змiни клiмaту (IPCC), е ушверсальними i не враховують регiонaльних особливостей окремих крafн [4]. 1ншим пiдходом е використання бaгaторiвневих моделей iнвентaризaцif емiсiй/стокiв ПГ, що ба-зуеться на мaтерiaлaх стaтистично! iнвентaризaцif, якi несуть, зокрема, шфор-мaцiю про кожну окрему люову дiлянку. Оскiльки лiс е важливим фактором збереження вуглекислого газу в деревиш, i для того щоб послабити антропоген-ний вплив на атмосферу, потрiбно рaцiонaльно пiдходити до вибору системи рубок та ведення люового господарства загалом. Пiд час використання даних,
1 ст. викл. O.G. Токар, канд. техн. наук - НУ "Льв1вська полгтехшка";
2 ст. викл. А.М. Козел - НУ "Львшська пол1техшка";
3 доц. М.М. Король, канд. с.-г. наук - НЛТУ УкраТни, м. Льв1в;
4 зав. вщдшення землевпорядкування та дизайну А.М. Цуняк - Еколопчний коледж Льв1вського НАУ
яю отримано за допомогою статистично! швентаризаци, отримуемо кiлькiсну оцiнку про викиди та поглинання парникових газiв як за фракщями, так i за урочищами, що дае змогу детальнiше ввдображати вiдмiнностi мiж екосистема-ми регюну.
Мета роботи - розробити методи визначення основних л^вничо-такса-цiйних показниюв насадження та параметрiв математичних моделей динамжи деревосташв, здiйснити !х програмну реалiзацiю.
Методи досл1дження. Одними з найважливших ознак (параметрiв) пiд час дослвдження деревостану е площа дослвдно! дшянки, деревна порода, серед-нш дiаметр i висота дерев, густота. Iншi показники, такi як абсолютна повнота, запас, середнш та поточний прирости за запасом, е похвдними, тобто такими, що розраховуються на пiдставi певних функцiй та закономiрностей. Процес от-римання даних е дорогим та затратним. Тому дуже часто, виходячи iз точностi розрахунку похщних показникiв, використовують кореляцiйну залежшсть мiж кiлькiсними та яюсними ознаками. Так, для визначення запасу насадження не по^бно замiряти висоти вих дерев на дослiднiй дiлянцi, але достатньо мати висоти дерев юлькох крайнiх i центральних ступенiв товщини. Далi можна ви-користовувати моделi зв'язку мiж дiаметром i висотою [5-7]. Висоти решти дерев, як належать до цiеi дослвдно! дiлянки, можна отримати аналiтичним способом iз функцiональноi залежностi. О^м цього, широке застосування мають моделi для знаходження старого видового числа стовбура дерева, об'ему стов-бура та запасу деревостану, знаходження домшантно! висоти деревостану тощо.
У дослвдженш для оцiнювання залежностi висоти вщ дiаметра викорис-тано низку моделей [8]: Гомперца, Госфельда, лопстичну, мономолекулярну, фон Берталафл^ Чампман-Рiхардса, Леваковiча, Корфа, яю мають складну нель ншну структуру (табл. 1).
Табл. 1. Основш ¡шняння росту
Назва рiвняння Рiвняння росту Назва рiвняння Рiвняння росту
Госфельд IV гс У Ь + 1с / а фон Берталафлi у = а (1 - се-ы )3
Гомперц -Ье-' у = ае Чапман^хардс у = а (1 - е"ы )
Логiстична а У = 1 + се- Леваковiч III У = а ( Ь + ^' )
Мономолекулярна у = а (1-се-Ьс) Корф -ыс У = ае
Для оцшки параметрiв моделей а, Ь, с використано метод найменших квадратiв [9], застосування якого вимагае розв'язання системи нелшшних рiв-нянь. Пiд час розв'язання системи нелшшних рiвнянь традицшно спочатку зна-ходять множину початкових наближень. На початковому етат проводять ггера-ц11 будь-яким з методiв спуску, i таким чином отримують задовiльне початкове наближення. Потiм уточнення розв'язку знаходять за допомогою методу Ньютона.
Нацюнальний лкотехшчний унiверситет УкраУни
Для знаходження множини початкових наближень у робот застосовано метод диференщально'1 еволющх [10], який е новiтнiм стохастичним методом прямого пошуку. Його iдея бере початок у робот "Симплекс метод для мЫмь зацГ1 функщГ Й. Нелдера i Р. Мiда 1965 р. [11]. Вш простий у реаизацп, не ви-користовуе значення похщних функщх, мае швидку збiжнiсть, а також претен-дуе на ушверсальшсть. Але, з iншого боку, будь-який ушверсальний метод розв'язання задач оптимiзащx мае недолiки. Для знаходження паpаметpiв моделей росту довелося застосувати також класичний метод знаходження початко-вого наближення саме для заданого типу задач. Для швидшох роботи знаходження початкового наближення враховано фiзичний змют паpаметpiв моделей та ххш межi. Збiжнiсть класичних методiв оптимiзацil забезпечуеться достатньо вдалим знаходженням початкового наближення.
У робот для уточнення початкового наближення застосовано метод Ле-венберга-Марквардта [12] (модифжований метод Ньютона). Це адаптивний метод, у якому параметри ощнюються на основi величини нев'язки - суми квадра-тв вiдхилень методу найменших квадpатiв. За зменшення параметра величина кроку алгоритму зб^аеться до величини кроку методу Ньютона-Гауса, а за збiльшення алгоритм Левенберга-Марквардта стае подiбним до методу найшвидшого спуску. Ця особливiсть дае змогу швидше проходити яр мiнiмiзу-ючох функщх.
Результати дослiдження. Методи оптимiзацil, якi описано вище, реаль зованi в сеpедовищi MS Access на мовi програмування Visual Basic for Applications. У робот використано даш статистичнох швентаризащх Спаського люниц-тва ДП "Бpошнiвське ЛГ" 1вано-Франювськох обл., якi опрацьовано та внесено до розробленох бази даних "Лiсовi екосистеми" [13-15]. Для обчислення пара-метpiв моделей створено форму "моделГ (рис. 1), окpiм цього, е можливють фiльтpування вибipки за дшянкою (пробними площами) i породою дерева. Результат роботи алгоpитмiв представляе графж функщх нелшшнох модель
Рис. 1. Методи eiddopy даних i визначення параметр1в математичних моделей динамжи деревостатв
При запуску форми "моделГ iнiцiалiзуються списки "дшянки" i "породи дерев" шляхом виконання запипв до бази даних:
• SELECT код, вид_дерева FROM порода_дерева WHERE код in (select порода from дерева where висота_дерева > 0 and дiаметр_дерева > 0 group by порода) ORDER BY вид_дерева;
• SELECT номер_швентаризащ1, номер_пробно\'_плошд FROM дерева WHERE висота_дерева>0 AND дiаметр_дерева>0 GROUP BY номер_швентаризащ1, но-мер_пробно\'_плошд ORDER BY номер_швентаризащ1, номер_пробно'1_плошд. На рис. 2. вiдображено списки дшянок (пробних площ) i порщ дерев, якi
е критерiями здшснення вибiрки. Перед тим, як виконати оптимiзацiю, натис-нувши на клавшу "Обчислити", потрiбно ввести параметри методiв i вибрати модель. На рис. 3 i 5 зображено елементи форми для настройки методiв. Пюля виконання обчислень наводяться коефiцiенти детермшацп R2 для кожного методу оптимiзацil, якi вказують, наскiльки отримаш спостереження пiдтверджу-ють модель.
Рис. 2. Списки вибору
Рис. 3. Параметри методiв оптимЬаци
Рис. 4. Обчислем параметри вибраноИModeni Рис. 5. E^ip Modeni
Результатом виконання програми на рис. 4 е також числовi параметри обрано!" модел^ на основi яких може бути побудований графж (рис. 6) i яю бу-дуть слугувати для подальших обчислень та аналiзу.
Нащональний лкотехшчний унiверситет Украши
45
40
0 -F-1-г I-[-1-1 I-г
0 10 20 30 40 50 60 70 ВО 90 Рис. 6. Графж моделЬ iмасив даних
Отже, розроблена форма дае можливють вибору модел^ знаходження числових параметр1в щеТ модел^ а також представити результати граф1чно як для окремо'1 дшянки за породами, так i для цшого масиву i3 врахуванням породи дерев.
Висновки. Розроблет методи визначення параметрiв математичних моделей залежностi висоти дерева вщ його дiаметра та 1х програмна реалiзацiя е ефективними для вибору оптимально! модель Саме використання математичних моделей, як враховують регюнальну специфiку лiсових насаджень, дасть змогу тдвищити точнiсть ощнювання запасiв i стокiв вуглецю у люових еко-системах для тдтримання прийняття рiшень у галузi люового господарства та природоохоронно! дiяльностi, зокрема, для планування довготермшових еколо-пчних, економiчних та природоохоронних програм як на локальному, так i на регюнальному рiвнях, що, водночас, забезпечить еколопчну стiйкiсть регiону.
Лiтература
1. United Nations Framework Convention on Climate Change. - United Nations, 1992. - 24 p. [Electronic resource]. - Mode of access http://unfccc.int/resource/docs/convkp/conveng.pdf.
2. Kyoto Protocol to the United Nations Framework Convention on Climate Change. - United Nations, 1998. - 20 p. [Electronic resource]. - Mode of access http://unfccc.int/resource/docs/convkp/ kpeng.pdf
3. Doha amendment to the Kyoto Protocol to the United Nations Framework Convention on Climate Change - United Nations, 2012. - 6 p. [Electronic resource]. - Mode of access http://unfccc.int/fi-les/kyoto_protocol/application/pdf/kp_doha_amendment_english.pdf
4. Игглестон Х.С. Руководящие принципы национальных инвентаризаций парниковых газов МГЭИК, 2006 г. - В 5-ти т. - Т. 4: Сельское хозяйство, лесное хозяйство и другие виды землепользования / Х.С. Игглестон, Л. Буэндиа, К. Мива, Т. Нгара, К. Танабе (редакторы). - ИГЕС, Япония, 2006. - 309 c.
5. Jiang L. Application of Nonlinear Mixed-Effects Modelling Approach in Tree / L. Jiang // Journal of computers. - 2010. - Vol. 5. - No. 10. - Pp. 1575-1581.
6. Misir N. Generalized height-diameter models for Populus tremula L. stands / N. Misir // African Journal of Biotechnology. - 2010. - Vol. 9(28). - Pp. 4348-4355. [Electronic resource]. - Mode of access http://www.academicjournals.org/AJB
7. Nanos N. Geostatistical prediction of height/diameter models / N. Nanos, R. Calama, G. Montero, L. Gil // Forest Ecology and Management. - 2004. - Vol. 195. - Pp. 221-235.
8. Pretzsch H. Modellierung des Waldwachstums / H. Pretzsch. - Parey Buchverlag Berlin. -2001. - 341 p.
9. Madsen K. Methods for Non-Linear Least Squares Problems / K. Madsen, H.B. Nielsen and O. Tingleff // Technical University of Denmark, 2004. Lecture notes. [Electronic resource]. - Mode of access http://www.imm.dtu.dk/courses/02611/nllsq.pdf
10. Storn R. Differential revolution - a simple and efficient heuristic for global optimization continuous spaces / R. Storn // Journal of global optimization. - 1997. - Vol. 11. - Pp. 341-359.
11. Nelder John A. A simplex method for function minimization / John A. Nelder; R. Mead // Computer Journal. - 1965. - Vol. 7. - Pp. 308-313.
12. Marquardt D. An Algorithm for Least-Squares Estimation of Nonlinear Parameters / D. Marquardt // SIAM Journal on Applied Mathematics. - 1963. - Vol. 11, No. 2. - Pp. 431-441.
13. Токар О.£ Автоматизащя збирання та оброблення даних при дослщженш люових ма-ctbíb / О.£ Токар, М.1. Густа, М.М. Король // Вюник Нацюнального ушверситету '^BÍBCbra по-литехшка". - Сер.: Комп'ютерш науки та шформацшш технологи. - Львiв : Вид-во НУ '"HbBÍBCb-ка политехшка". - 2007. - № 598. - С. 171-175.
14. Tokar O. Information technology for studying carbon sink in stemwood of forest ecosystems / O. Tokar, M. Lesiv, M. Korol // Econtechmod. - 2014. - Vol. 3, No. 1. - Pp. 113-121.
15. Токар О.£ Визначення запаав вуглецю у фитомаа люових насаджень Í3 використанням шформацшних технологш / О.£ Токар, М.М. Король, 1.М. Шпаювська, В.М. Дичкевич // Науковий вiсник НЛТУ Укра'ши : зб. наук.-техн. праць. - Львiв : РВВ НЛТУ Укра'ши. - 2014. - Вип. 24.4. - С. 351-358.
Надшшла до редакци 04.04.2016 р.
Токар О.Е., Козел А.Н., Король М.Н., Цуняк А.Н. Методы получения параметров математической модели динамики древостоев
Разработаны методы получения параметров математических моделей динамики древостоя основных таксационных показателей, а также функции зависимости высоты дерева от его диаметра. Для оценки параметров моделей использован метод наименьших квадратов. При нахождении множества начальных приближений применен метод дифференциальной эволюции. Для нахождения параметров моделей роста использован также классический метод нахождения начального приближения именно для заданного типа задач. Для ускорения нахождения начального приближения учтен физический смысл параметров моделей и их пределы. Для уточнения начального приближения применен метод Левенберг-Марквардта. Предложенные методы оптимизации реализованы в среде MS Access на языке программирования Visual Basic for Applications. Также создана форма для выбора параметров алгоритмов. Есть возможность фильтрации выборки по участку и типу древесины.
Ключевые слова: древостой, математические модели, параметры моделей, методы оптимизации.
Tokar O. Ye., Kozel A.M., Korol M.M., Cunjak A.M. Some Methods for Determining the Parameters of Mathematical Models of Forest Growth
Some methods for determining the parameters of mathematical models of forest stand dynamics by main forest inventory indices, and a tree height function of tree diameter are developed. A least square method is applied for the parameter estimations. A differential evolution method is used for obtaining a set of initial values of the parameters. For estimation of the parameters of forest growth models a classic method of initial set identification that is specific for such model types is used. For minimizing the time of the initial set identification physical meaning of the parameters and their limits are taken into account. For more precise identification of the initial set the Levenberg-Marquardt algorithm is applied. The proposed optimization methods are programmed in Visual Basic for Applications in the MS Access environment. An interface for choosing of the algorithm parameters and selection of the input data by location or tree species is developed.
Keywords: forest stand, mathematical model, model parameters, optimization methods.
