CC BY
34
7. Лорин Г. Сортировка и системы сортировки / Г. Лорин. - М. : Изд-во "Мир". 1983. - 384 с.
8. Макконелл Дж. Основы современных алгоритмов / Дж. Макконелл. - Изд. 2-ое, [пере-раб. и доп.]. - М. : Изд-во "Техносфера", 2004. - 368 с.
9. Мельничук А.С. Аншнз методов сортування масиву чисел / А.С. Мельничук, С.П. Луце-нко, Д.С. Громовий, К.В. Трофимова // Технологический аудит и резервы производства : сб. науч. тр. - 2013. - № 4/1(12). - С. 37-40.
10. Немнюгин С.А. Параллельное программирование для многопроцессорных систем / С. А. Немнюгин, О. Л. Стесик. - СПб. : Изд-во "БХВ-Петербург", 2002. - 400 с.
11. Prots'ko I. Algorithm of efficient computation DST using cyclic convolutions / I. Prots'ko, V. Teslyuk // Wseas transactions on signal processing. - 2014. - Vol. 10. - Pp. 278-288.
Цмоць И.Г., Кись Я.П., Антонив В.Я. Применение графического процессора для повышения быстродействия сортировки больших массивов данных
Проанализированы методы и алгоритмы параллельной сортировки массивов данных и особенности архитектуры графических процессоров GPU. Предложено разработку программных средств параллельной сортировки массивов данных с использованием графического процессора GPU и программной модели CUDA осуществлять на основе комплексного подхода, который включает: исследования, разработку методов и алгоритмов параллельной сортировки больших массивов данных; графовые модели алгоритмов параллельной сортировки массивов данных; архитектуру графического процессора GPU и программную модель CUDA. Разработан конкретизированный потоковый граф алгоритма сортировки методом слияния, который обеспечивает обнаружение параллелизма и возможность управлять им. Определены сложность параллельного алгоритма сортировки слиянием и его быстродействие.
Ключевые слова: параллельная сортировка, графический процессор, комплексный подход, потоковый граф, слияние.
Tsmots I. G, Kis Уа.Р, Antoniv V. Уа. Application of Graphic Processor to Improve Sorting Performance of Large Data Sets
Some methods and algorithms for parallel sorting data sets and architectural features of graphics processor GPU are analysed. We suggest software development for parallel sorting data sets using graphics processor GPU and programming model CUDA based on a comprehensive approach, which includes the following: research and development of methods and algorithms for parallel sorting large data sets; graph models of algorithms for parallel sorting data sets; architecture of graphics processor GPU and programming model CUDA. We have also developed the concretized flow graph of algorithm of merge sort that provides parallelism detection and the ability to manage it. The complexity of algorithm of parallel merge sort and its performance are determined.
Keywords: parallel sorting, graphics processor, comprehensive approach, flow graph, merge.
УДК 681.3.05:004.056.5 Проф. Ю.1. Грицюк, д-р техн. наук - НУ "Львiвська полiтехнiка "; здобувач П.Ю. Грицюк, магктр - НЛТУ Украти, м. Львiв
МЕТОДИ I ЗАСОБИ ГЕНЕРУВАННЯ ф-МАТРИЦЬ Ф1БОНАЧЧ1 -КЛЮЧ1В ДЛЯ РЕАЛ1ЗАЦН КРИПТОГРАФ1ЧНИХ ПЕРЕТВОРЕНЬ
Розглядаються особливост ефективного генерування £р-матриць Фiбоначчi, яю можуть використовуватися як клкга (де)шифрування для багатораундово! матрично! криптографiчноl системи перетворення шформацп. З'ясовано, що основна проблема ба-гатораундово! матрично! Афшно! криптосистеми полягае у генеруванш множини зви-чайних i обернених матриць - ключгв (де)шифрування шформацп, елементами яких мають бути дш числа. Розроблено процедуру генерування множини £р-матриць Фiбо-начч^ яка за вщомими значеннями степеш матриц (и) та р-чисел Фiбоначчi дае змогу отримувати вщповщну множину клкгав (де)шифрування шформацп, здшснювати !хне
розширення для кожного раунду, що забезпечуе не тшьки ефективний спосiб !х утво-рення та зберiгання, але й створюе зручнiсть при передаваннi каналами зв'язку.
Ключов1 слова: захист шформацп, шифрування/дешифрування шформацп, числа Фiбоначчi, £р-матриць Фiбоначчi, криптографiчна система, матричш Афiннi перетво-рення, багатораундова матрична криптографiчна система.
Вступ. У робоп [3] було розглянуто особливостi побудови надшно! криптосистемы захисту шформаци, яка поеднуе маIричнi Афiннi перетворення, ба-гатораундовi дií з рiзними ключами, а також перестановнi алгоритми, що зага-лом значно шдвищуе 11 криптостiйкiсть до брутальних атак. Математично описано алгоритм (де)шифрування шформаци за допомогою багатораундово! мат-рично! Афiнноí перестановно! криптосистеми з рiзними ключами шифрування на кожному раунда Також у цш робот! було зазначено, що, порiвняно з iншими методами захисту, класична криптографiя гарантуе захист iнформацií тальки за умов, якщо використано ефективний криптографiчний алгоритм, а також дот-римаш умови секретностi та цiлiсностi ключш шифрування.
Однак, у матричних Афшних перетвореннях [3, розд. 1] основна проблема полягае у генеруванш множини матриць А = [А,- = [ау,у = 1,и],г = 1,и] - ключш шифрування, елементами яких е спецiально пiдiбранi цш числами з диапазону 1<ау<т (де т - юльшсть символiв алфавиу), а також НСД(а, т) = 1, де а = (1е1(А)то(1 т -визначник матрицi А за модулем т. € також деят питання щодо генерування й стовпщв В = [Ьг, г = 1, и] - ключш додаткового коригування вже зашифрованого по-вiдомлення, елементами яких е цш числами з дiапазону 1<Ь,<т. Водночас, для отримання зворотних матриць А=[А=[ау, У = 1,и], г =1, и] - ключш дешифрування та зворотних стовпщв В = [Ь/, г = 1, и] - ключiв коригування потрiбно виконати деяку послiдовнiсть дш, яш детально описано в зазначенш вище роботi.
Якщо ж використовувати багатораундову матричну Афiнну криптосистему [див. 3, розд. 3], то на кожному раунда криптографiчних перетворень (кь льккть яких може бути ввд 4 до 16 чи 24) виникае потреба у рiзних матричних ключах, тобто потрiбно вирiшувати питання розширення ключiв для кожного раунду. Окрш цього, оскiльки розмiр цих матриць (и) може бути рiзним (мЫ-мальний 32x32, нормальний 128x128 чи 256x256, надмiрний 1048x1048 та бь льше), а кшьккть раундав шифрування - великою (32, 48, 64, ...), то виникае проблема не тальки у 1х зберiганнi, але й передачi цих ключiв каналами зв'язку з кожним повiдомленням. А, як вiдомо з [4, 9], розмiр зашифрованого поввдом-лення практично немае вiдрiзнятися ввд видного повiдомлення. Водночас, передан з повiдомленням ключi шифрування не мають викликати в крипто-аналиитв пiдозри у цiлiсностi зашифрованого повщомлення.
Отже, основна проблема багатораундово! матрично! Афiнноí криптосистеми полягае у генеруванш множини звичайних i обернених матриць - ключiв шифрування/дешифрування шформаци, елементами яких мають бути цш числа, розширенш ключiв для кожного раунду, а також у ефективнш системi !х зберiгання та передаванш каналами зв'язку. Для и вирiшення пропонуемо використовувати 0р-матрищ, елементами яких е р-числа Фiбоначчi [7, 8].
Об'ект до^дження - матричш ключi (де)шифрування та !х розширення для багатораундово! криптографiчноí системи перетворення шформаци.
Предмет доЫдження - методи i засоби генерування 0р-матриць - клю-ч1в (де)шифрування та розширення 'хньо!' множини для кожного раунду крип-тографiчних перетворень, елементами яких е р-числа Фiбоначчi.
Мета роботи полягае в розробленш методов i засобiв генерування Qp-ма-триць Фiбоначчi - ключiв (де)шифрування для багатораундово!' криптографiч-но!' системи перетворення iнформацií та розширення 'хньо!' множини, що дасть змогу не тшьки ефективно 'х утворювати, але й зберiгати та передавати каналами зв'язку.
Для ре^зацп зазначено!' мети потрiбно виконати такi основш завдання:
1) з'ясувати основнi наслщки модифiкування прямокутного трикутника Паскаля, результати якого мали б стати основою ключiв (де)шифрування;
2) виявити основнi особливостi побудови матриць на основi чисел Фiбоначчi, як1 значно полегшать процес Ух генерування та розширення потрiбноl множини для кожного раунду криптографiчних перетворень;
3) здшснити реалiзацiю багатораундовоУ криптосистеми на основi Qp-матриць Фiбоначчi, яка значно шдвищуе криптостiйкiсть алгоритму шифрування;
4) зробити ввдповщш теоретичнi висновки та надати рекомендащУ щодо практичного використання.
1. Особливост модифжування прямокутного трикутника Паскаля та його основш наслщки
Як ввдомо [2], iснуе багато рiзних форм подання трикутника Паскаля. В нашому дослiдженнi використаемо таблицю бшомшальних коефiцiентiв (табл. 1.1), яку ще прийнято називати прямокутним трикутником Паскаля [7].
Табл. 1.1. Початковий вигляд прямокутного трикутника Паскаля /7/
№\п 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
2 1 3 6 10 15 21 28 36 45 55 66 78 91 105 120 136 153 171 190
3 1 4 10 20 35 56 84 120 165 220 286 364 455 560 680 816 969 1140
4 1 5 15 35 70 126 210 330 495 715 1001 1365 1820 2380 3060 3876 4845
5 1 6 21 56 126 252 462 792 1287 2002 3003 4368 6188 8568 11628 15504
6 1 7 28 84 210 462 924 1716 3003 5005 8008 12376 18564 27132 38760
7 1 8 36 120 330 792 1716 3432 6435 11440 19448 31824 50388 77520
8 1 9 45 165 495 1287 3003 6435 12870 24310 43758 75582 125970
9 1 10 55 220 715 2002 5005 11440 24310 48620 92378 167960
10 1 11 66 286 1001 3003 8008 19448 43758 92378 184756
11 1 12 78 364 1365 4368 12376 31824 75582 167960
12 1 13 91 455 1820 6188 18564 50388 125970
13 1 14 105 560 2380 8568 27132 77520
14 1 15 120 680 3060 11628 38760
15 1 16 136 816 3876 15504
16 1 17 153 969 4845
17 1 18 171 1140
18 1 19 190
19 1 20
20 1
Е 1 2 4 8 16 32 64 128 256 512 1024 2048 4096 8192 16384 32768 65536 131072 262144 524288 1048576
1 2 4 8 16 32 64 128 256 512 1024 2048 4096 8192 16384 32768 65536 131072 262144 524288 1048576
Така таблиця починаеться з нульового стовпця, який мктить единий бь номiнальний коефщент С0 = 1, а також з нульового рядка, який мктить бшош-нальш коефiцiенти: С0 = С10 = С0 =... = СИ = 1. "Гiпотенуза" такого прямокутного трикутника складаеться з таких бiномiнальних коефiцiентiв:
/~*0 _ п1 — п2 _ _ пи _ 1 С0 — С1 — С2 _ ... _ Си — 1 -
Водночас, у и-му стовпцi цiеí таблиц зверху вниз розмiщенi такi бшомь нальнi коефiцiенти: С°, С1п, Си2, ..., СИ, ..., СП. При цьому всi клiтини шд "п-потенузою" е порожнiми, позаяк вс дiагональнi коефiцiенти типу СЩ (т>п) то-тожно дорiвнюють нулю. Якщо ж просумувати значения бшомшальних коефь цiентiв и-го стовпця прямокутного трикутника Пасскаля, то отримаемо ряд чисел С° + С1 +... + СП = 2и, який називаеться двшковим. Отже, можна стверджува-ти, що трикутник Паскаля "генеруе" двiйковий ряд чисел, який можна реалiзу-вати за допомогою тако1 формули: р^1 = 2 рр0" при рр00 = 1.
Побудова 1-трикутника Паскаля. Спробуемо зсунути кожен рядок по-чаткового трикутника Паскаля (табл. 1.1) на один стовпець вправо ввдносно по-переднього рядка. Внаслiдок такого перетворення отримаемо деякий "деформо-ваний" трикутник Паскаля [7], який прийнято називати 1-трикутником Паскаля (табл. 1.2).
Табл. 1.2. Вигляд 1-трикутника Паскаля /7/
№\и 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
2 1 3 6 10 15 21 28 36 45 55 66 78 91 105 120 136 153
3 1 4 10 20 35 56 84 120 165 220 286 364 455 560 680
4 1 5 15 35 70 126 210 330 495 715 1001 1365 1820
5 1 6 21 56 126 252 462 792 1287 2002 3003
6 1 7 28 84 210 462 924 1716 3003
7 1 8 36 120 330 792 1716
8 1 9 45 165 495
9 1 10 55
10 1
Е 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233 377 610 987 1597 2584 4181 6765 10946
рри 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233 377 610 987 1597 2584 4181 6765 10946
Якщо тепер просумувати значення бшомшальних коефщкнтк 1 -го трикутника Паскаля в кожному стовпщ, то отримаемо ряд чисел 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ..., рР", ят називаються числами Фiбоначчi. Задати 1х можна за допомогою такого рекурентного спiввiдношения:
рр1и+1 = рР^ + рр1-1 при и > 1, р^0 = рр11 = 1. (1.1)
Побудова ^-трикутника Паскаля. А тепер покажемо, що трикутник Паскаля е джерелом нових числових рядк [7], яш представляють шгерес для реалiзацií криптографiчних перетворень. Для цього продовжимо нашi "машпу-ляцц" з трикутником Паскаля. Якщо у початковому трикутнику (див. табл. 1.1) зсунути бшомшальш коефiцiенти нар стовпцiв (р = 1, 2, 3, ...) вправо вiдносно попереднього рядка, то отримаемо р-ий " деформований" трикутник, який при-
йнято називати р-трикутником Паскаля. Пiдсумовуючи значения бшомшальних коефiцieнтiв у р-трикутнику, отримаемо кожного разу новий числовий ряд, який можна задати таким рекурентним сшввщношенням:
С = 1; } = 0р;
= рР¡; + рЕрп-р,
1п >р +1;р = 0,1,2,3,...; п =1,2,3,4,.
(1.2)
Числовi ряди, яю задаються рекурентним сmввiдношениям (1.2), винай-дено ще в 1977 р. [6] i названо 1х р -числами Фiбоначчi. У табл. 1.3 наведено найбшьш поширенi 1х числовi значення. Також була записана формула, за до-помогою яко! р-числа можна задати через бшомшальш коефiцiенти, а саме:
(1.3)
ррп+1 = СО+С1Р+СП-2р+Си2-3р+..., р = 0, п -1.
рп 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
0 1 2 4 8 16 32 64 128 256 512 1024 2048 4096 8192 16384 32768 65536 131072 262144 524288 1048576
1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233 377 610 987 1597 2584 4181 6765 10946
2 1 2 3 4 6 9 13 19 28 41 60 88 129 189 277 406 595 872 1278
3 1 2 3 4 5 7 10 14 19 26 36 50 69 95 131 181 250 345
4 1 2 3 4 5 6 8 11 15 20 26 34 45 60 80 106 140
5 1 1 2 3 4 5 6 7 9 12 16 21 27 34 43 55 71
6 1 1 2 3 4 5 6 7 8 10 13 17 22 28 35 43
7 1 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 11 14 18 23 29
8 1 1 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 15 19
9 1 1 1 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 13
10 1 1 1 1 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
У робоп [7] автор стверджуе, що кнують два способи задавання р -чисел Фiбоначчi: у виглядi рекурентного спiввiдношення (1.2) i у виглядi формули (1.3), яка 1х виражае через бiномiнальнi коефiцiенти.
Однак, формула (1.3) не зручна для використання не тiльки через громь здккть виконуваних обчислень, але й через те, що нею, швидше за все, й сам автор школи не скористався. Водночас, рекурентне спiввiдношения (1.2) хоча i досить зручне для використання, проте е одновишрним, тобто значення р-чисел Фiбоначчi отримуються у виглядi одновимiрного масиву. А у алгоритмах реаль зацií криптографiчних перетворень з рiзних причин прийнято використовувати двовимiрнi таблицi числових даних [4].
Табл. 1.4. Двовимiрне генерування р-чисел Фiбоначчi (для р = 4)
г рРр'1 рЕУ, ] = 0, р
0 1 2 3 4
0 1 1 1 1 1
1 1 2 3 4 5 6
2 6 8 11 15 20 26
3 26 34 45 60 80 106
4 106 140 185 245 325 431
5 431 571 756 1001 1326 1757
6 1757 2328 3084 4085 5411 7168
7 7168 9496 12580 16665 22076 29244
8 29244 38740 51320 67985 90061 119305
9 119305 158045 209365 277350 367411 486716
10 486716 644761 854126 1131476 1498887 1985603
11 1985603 2630364 3484490 4615966 6114853 8100456
12 8100456 10730820 14215310 18831276 24946129 33046585
З огляду на ш обставини нами розроблено двовишрне рекурентне сшв-вадношення (1.5) для задавання р-чисел Ф1боначч1. Для розум1ння алгоритму генерування таких чисел розглянемо табл. 1.4, в якш кшьккть стовпщв ввдповь дае числу р+1 (1х позначено ввд 0 до р). Для встановлення кшькосп рядкiв (к), потр1бно задати число п, яке вказуе на загальну кшьккть р-чисел Ф1боначч1, яю потр1бно згенерувати. Нехай п = 64, тод1 за формулою (1.4) знаходимо, що к = 12, тобто отримаемо 13 рядтв, в т.ч. 1 0-ий рядок. В цьому 0-му рядку записуе-мо числа 1, що вщповщае рЕ40,у = 1, у = 0,4. У /'-му рядку 1 в окремому (л1вому) стовпщ будемо записувати останне значения р-чисел Ф1боначч1 з ('-1)-го рядка для того, щоб оргашзувати двовишрне рекурентне спiввiдношения (1.5).
к =т1 (р+Г). (Ы)
рЕру = 1, у = 0Гр,' = 0; '1 ' 1 р. . :. — - (1.5)
рРрг1 = рЕр-1р, рЕр: = рЕр:А + р¥р^,у, у = 0, р;' = 1, к.
Внаслщок виконання таких дай отримаемо двовимрну таблицю р-чисел Фiбоначчi для р = 4 (табл. 1.4), а за потреби можна отримати аналопчш таблиц для рiзних значень р. Водночас, порядковi номери р-чисел Фiбоначчi наведено в табл. 1.5, а за потреби можна отримати аналопчш таблищ для рiзних р.
Табл. 1.5. Порядковi номери р-чисел Фiбоначчi (для р = 4)
' \. I 0 1 2 3 4
0 0 1 2 3 4
1 5 6 7 8 9
2 10 11 12 13 14
3 15 16 17 18 19
4 20 21 22 23 24
5 25 26 27 28 29
6 30 31 32 33 34
7 35 36 37 38 39
8 40 41 42 43 44
9 45 46 47 48 49
10 50 51 52 53 54
11 55 56 57 58 59
12 60 61 62 63 64
Для обчислення порядкових номеров р-чисел Фiбоначчi використовуеть-ся така формула:
п = '■ (р +1) + у, у = 0,р; ' = 0,к . (1.6)
Для знаходження в табл. 1.4 координат (номерiв рядка i вщповщного стовпця), наприклад, для числа 45, яке ввдповдае, згiдно з табл. 1.5, порядковому номеру п = 16, використовуються такi формули:
I = 1 + ы
р+1
у = (1 + п ) ШО(! (р +1).
(1.7)
Отже, внаслвдок проведеного дослiдження встановлено, що кнують не два, а три способи задавання р-чисел Фiбоначчi: у виглядi одновимiрного реку-рентного спiввiдношення (1.2), через бшомшальш коефiцieнти у виглядi фор-мули (1.3), а також у виглядi двовимiрного рекурентного ствввдношення (1.5).
2. Особливостi побудови матриць на основi чисел Фiбоначчi Поняття про 2-матрицю Фiбоначчi. Як ввдомо з [10], iснуe теория матриць спещального типу [1], одшею з яких е 0-матриця [8]. Найпроспшою Q-матрицею е квадратна матриця розмiром 2x2 такого вигляду:
Г1 1 Q = -1. (2.1)
Q =
1 о
Однак, яке мають вiдношення Q-матрицi до ряду чисел Фiбоначчi? Для ввдповвд на це запитання достатньо шднести Q-матрицю до п-о1 степеш, вна-слiдок чого отримаемо такий набiр матриць (звичайних i обернених, а також 1х-нi визначники):
Q"= 1 0 1 1
р=1 0 1 1 0
1 0 0 1
0 1 1 -1
2 1
1 1
1
1 -1
2
1
3 2 5 3 8 5 13 8 21 13 34 21 55 34 89 55
2 1 3 2 5 3 8 5 13 8 21 13 34 21 55 34
-1 1 -1 1 -1 1 -1 1
-1 2 2 -3 -3 5 5 -8 -8 13 13 -21 -21 34 34 -55
2 -3 -3 5 5 -8 -8 13 13 -21 -21 34 34 -55 -55 89
<1е1 Qn=
Q-"=
¿е1 Q-"=
Отриманi матрицi можуть використовуватися як ключi шифрування (звичайнi Qn-матрицi) та ключi дешифрування (оберненi Q"n-матрицi) шформа-цií для реалiзацií матричних Афшних перетворень [3, розд. 1], а також як роз-ширення ключiв для реалiзацií багатораундово!' криптосистеми [3, розд. 3]. Особливосп íхньоí реалiзацií детально розглянуто у розд. 3 цього дослiдження.
Розглянувши уважно наведет вище звичайнi Q-матрицi, можна побачи-ти, що íхнiми елементами е не що iнше, як числа Фiбоначчi. Водночас, для пев-но1 Qn-матрицi, тобто пiднесеноí до п-о1 степенi, на головнiй дiагоналi з трьох сусiднiх чисел Фiбоначчi знаходяться найбiльше та найменше з них, а на побiч-нiй дiагоналi - середне число. Окрiм цього, у звичайнш та оберненiй матрицях знаходяться однi i тi ж самi числа, тгльки в обернешй матрицi помiнянi мiсцями числа на головнш дiагоналi та мають протилежний знак на побiчнiй дiагоналi. У загальному випадку Q-матрицi, пiднесенi до п-о1 степенi, мають такий мате-матичний запис [8]:
рп+1 рп
Qn =
рп рп-1
ае1 Qn = (-1)п
(2.2)
де Рп"1, Рп, Рп+1 - числа Фiбоначчi. Задавати Q-матрицi п-го степеня можна за допомогою такого рекурентного ствввдношення:
Qn+1 = Qn + Qn-1, п = 2,3,4,..., (2.3)
або за допомогою такого матричного виразу
п
п
Qn+1 = дп х Q1, п = 2,3,4,.... (2.4)
Забкаючи наперед, зазначимо, що матричний вираз (2.4) е бшьш прида-тним для використання порiвияно з рекурентним спiввiдношениям (2.3), позаяк мае узагальнений характер процесу розрахунку.
Узагальнена матриця Фiбоначчi. Спробуемо використати iдею по-будови <2-матрищ числами Фiбоначчi для отримання узагальнених матриць Фь боначчi. В робот [11] була введена квадратна матриця специального типу, яку названо <2р-матрицею:
<2р =
■ 1 1 0 0 ■ 0 0"
0 0 1 0 ■ 0 0
0 0 0 1 ■ 0 0
0 0 0 0 ■ 1 0
0 0 0 0 ■ • 0 1
_ 1" 0 0 0 ■ • 0 0
др = ±1, р = 0,1,2,3,.
(2.5)
Особливктю будови <2р-матриц е те, що вона мае розмiри (р+1)х(р+1), мктить одиничну матрицю розмiром р*р, обмежену останнiм рядком типу 1 0 0 ... 0 0 i першим стовпцем типу 1 0 0 ... 0 1. Якщо р = 0, то <2р-матриця до-рiвнюе Qб = [1], а для р = 1, 2, 3 i 4 - вщповщш матрицу наведено нижче:
1! 1
& = ^ = -1;
1|0.
Q2 =
1 11 0 0|0_1 1|0 0
ае1 Q2 = 1;
Qз =
1Ц 0! 0 010_ Т|б"
00 10 01
00 ае1 Qз = -1;
Q4 =
1 ¡1 0! 0 0! 0
10
00 10 01
0_0 0 0"
(2.6)
ае! Q4 = 1.
Як не дивно, але Qp-матрицi також мають безпосередне вiдношения до р-чисел Фiбоначчi. Щоб це зрозумiти, достатньо шднести Qp-матрицу до п-о1 степеш, внаслiдок чого для рiзних значень р отримаемо рiзнi набори матриць з рiзними р-числами Фiбоначчi. Наприклад, для р = 2 отримаемо набiр Q2l -матриць, наведений нижче, елементами яких е 2-числа Фiбоначчi (див. табл. 1.3).
Набiр Qnl -матриць Фiбоначчi
ае! Q2-n = 1
1 0 0
Q2n = 0 1 0
— 0 0 1
ае! Q2n = 1
Q-п = 1 0 0
0 1 0
— 0 0 1
1 1 0
0 0 1
1 0 0
1
0 0 1
1 0 -1
0 1 0
1 1 1
1 0 0
1 1 0
1
0 1 0
0 -1 1
1 0 -1
2 1 1
1 1 0
1 1 1
1
1 0 -1
1 1
0 -1 1
3 2 1
1 1 1
2 1 1
1
0 -1 1
1 1 -2
-1 1 1
4 3 2 6 4 3
2 1 1 3 2 1
3 2 1 4 3 2
1 1
1 1 1 1 -2
1 -2 0 -2 0 3
1 1 -2 1 -2 0
1 1
п
0
2
3
4
5
6
Продовження набору QЛ -матриць Фiбоначчi
<2П = л* Q2"
9 6 4
4 3 2
6 4 3
Q2-n = 1 -2 0
0 3 -2
_ -2 0 3
13 9 6
6 4 3
9 6 4
1
-2 0 3
3 -2 -3
0 3 -2
19 13 9
9 6 4
13 9 6
1
0 3 -2
-2 -3 5
3 -2 -3
28 19 13
13 9 6
19 13 9
1
3 -2 -3
-3 5 1
-2 -3 5
41 28 19
19 13 9
28 19 13
1
-2 -3 5
5 1 -8
-3 5 1
60 41 28
28 19 13
41 28 19
1
-3 5 1
1 -8 4
5 1 -8
88 60 41
41 28 19
60 41 28
1
5 1 -8
-8 4 9
1 -8 4
Ле1 Q2" = 1 1 1 1 1 1 1
Розглянувши уважно звичайш та оберненi матрищ, можна побачити, що у звичайних матрицях значения елементш набувають тiльки додатнi 2-числа Фiбоначчi, а в обернених - як додатш, так i вщ'емш можливо й числа Фiбонач-ч^ однак далеко не з цього самого набору. Водночас, Q2! -матриц при п = ±1 та ±2 е бiнарними, а вже при п = ±3, ±4, ..., ±13 значення елементш набувають на-ступнi 2-числа Фiбоначчi. У обернених матрицях бшьшкть значень елементш не ввдповвдають 1хшм значенням у звичайних матрицях.
У загальному випадку Q2! -матрицi мають такий математичний запис:
Q2n =
р^т1 рр2п рр2п-1
рр2п-1 рр2п-2 рр2п-3
Рр2п
рР2п-1 рР2п-2
Лй = (-1)2 п, п = 2,3,4,.
(2.7)
де рР2п 1, рР2п, рР2п+1 - 2-числа Фiбоначчi. Задавати Q2! -матрицi п-го степеня мо-жна за допомогою такого матричного виразу:
йГ1 = Шх& п = 2,3,4,.... (2.8)
Основний недотк цього виразу в тому, що для отримання Q2+1 -матрицi Фiбоначчi потрiбно мати при цьому Qn -матрицю, а це означае, що мають бути й ус попередш матрицi вiд 2-го до (п-1)-го степеня.
Для розумiння основних закономiрностей процесу побудови Qn -матриць Фiбоначчi розглянемо ще один приклад для р = 3. Тодд отриманий набiр Qn -матриць (див. нижче), пiднесених до п-о1 степеш, мае аналогiчнi особливостi побудови як i Qn -матрицi, однак елементами цих матриць вже е 3-числа Фiбо-наччi (див. табл. 1.3). Звернемо увагу тшьки на те, що матрична формула (2.8) е також придатною для задавання Qn -матрицi, пiднесеноí до п-о1 степеш.
Набiр Qn -матриць Фiбоначчi
Qn■■
Qзn
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
1 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
1 0 0 0
1 1 1 0
0 0 0 1
1 0 0 0
1 1 0 0
1 1 1 1
1 0 0 0
1 1 0 0
1 1 1 0
2 1 1 1
1 1 0 0
1 1 1 0
1 1 1 1
3 2 1 1
1 1 1 0
1 1 1 1
2 1 1 1
п
7
8
9
0
2
3
4
5
-1
1
1
-1
1 0 0 0
0——п = 0 1 0 0
0 0 1 0
_ 0 0 0 1
0з—п = 1
п= 6
4 3 2 1
0" = 1 1 1 1
2 1 1 1
_ 3 2 1 1
ае! 03" = 1
0 -1 1 0
0——п = 0 1 -2 1
1 0 1 -2
— -1 1 0 1
0 0 0 1
1 0 0 -1
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 1 0
0 0 -1 1
1 0 0 -1
0 1 0 0
0 1 0 0
0 -1 1 0
0 0 -1 1
1 0 0 -1
1 0 0 -1
-1 1 0 1
0 -1 1 0
0 0 -1 1
Продовження набору 0" -матриць Фiбоначчi
5 4 3 2
2 1 1 1
3 2 1 1
4 3 2 1
7 5 4 3
3 2 1 1
4 3 2 1
5 4 3 2
10 7 5 4
4 3 2 1
5 4 3 2
7 5 4 3
14 10 7 5
5 4 3 2
7 5 4 3
10 7 5 4
-1 1 0 1
1 -2 1 -1
0 1 -2 1
1 0 1 -2
1 0 1 -2
-2 1 -1 3
1 -2 1 -1
0 1 -2 1
0 1 -2 1
1 -1 3 -3
-2 1 -1 3
1 -2 1 -1
1 -2 1 -1
-1 3 -3 2
1 -1 3 -3
-2 1 -1 3
0 0 -1 1
1 0 1 -2
-1 1 0 1
0 -1 1 0
-1
11
19 14 10 7
7 5 4 3
10 7 5 4
14 10 7 5
-1
-2 1 -1 3
3 -3 2 -4
-1 3 -3 2
1 -1 3 -3
-1
ае!
Зрозумшо, що для 0П -матриць Ф1боначч1 можна вивести й узагальнений математичний запис так, як це показано у вираз1 (2.7). Однак, основним результатом роботи [11] е наведення для 0р -матрищ, шднесено! до п-о! степеш, такого виразу:
0"Р =
" ррр+
рРп-Р+1
рррп—1 рр"
рр""
рр"—2 п—1
Рр
рррп—р+2
р
ррп—2р+2 ррп—2р+1
рр"—Р+1
¡л р
ррп—р+\
рРп— Р—1
р у±р п =± 2, ± 3, ± 4,...
(2.9)
0" = (— 1)р п, р =1,2,3,.
Елементами ще! 0" -матрищ е р-числа Ф1боначч1, яю можна задати ре-курентним сп1вв1дношенням (1.2). Зауважимо, що 0" -матрищ Ф1боначч1 для вах п < р е бшарними, а при п > р значения елеменпв набувають наступш р-числа Ф1боначч1 Заради святих наукових щей звернемо увагу й на те, що у ви-раз1 (2.9), як на перший погляд, слабо спостеркаеться законом1рнкть процесу формування 0" -матрищ, шднесено! до п-о! степеш, елементами яко! е р-числа Ф1боначч1 Проте нижче спробуемо виявити таку законом1ршсть, а також за-мкть матричного виразу (2.8) використаемо дещо 1ншу математичну процедуру побудови 0" -матриць Ф1боначч1.
Отже, внасл1док проведеного досл1дження встановлено, що 1снуе теор1я побудови квадратних матриць спец1ального типу [8], як1 володхють ун1кальною математичною властив1стю, придатною для виконання криптограф1чних пере-творень: наведено алгоритм формування 0" -матриц1, пiдиесеноí до п-о! степен1, елементами яко! е р-числа Фiбоначчi; згiдно з (2.9) визначник будь-яко! 0" -матрищ завжди дорiвнюе одиницi за абсолютною величиною, а п знак залежить
-1
-1
7
8
9
рР"—р
вiд добутку двох цiлих чиселр-п (р = 1, 2, 3, ...; п = ±2, ±3, ±4, ...). Якщо цей до-буток е парним, то визначник матриц (2.9) дорiвнюe +1, iнакше - дорiвнюe -1. Отриманi матрицi можуть використовуватися як ключi шифрування (звичайш Qn -матрицi) та ключi дешифрування (оберненi Qpn -матрицi) iнформацií для ре-алiзацií матричних криптографiчних перетворень, а також як розширення клю-чДв для реалiзацií багатораундово! криптосистеми [3]. ОсобливостД íхньоí реалД-зацц детально розглянуто у розд. 3 цього дослДдження.
Процедура генерування Qp -матриць Фiбоначчi. Для виявлення осно-вних закономiрностей процедури генерування Qn -матрицi, пiднесеноí до п-о! степеш, елементами яко! е р-числа Фiбоначчi, розглянемо такий приклад. За основу вiзьмемо Qзn -матрицю, шднесену до п = ±11, ±12, ..., ±16 степеш, внаслД-док чого отримаемо íхнiй набiр (див. нижче), елементами яких е 3-числа ФДбо-наччi (див. табл. 1.3). Спочатку розглянемо елементи Qз1-матрицi, випишемо порядковi номери ы]13 11 елементш i занесемо у вiдповiдну матрицю Ц,1. Цд но-мери, згДдно з даними табл. 1.3, вДдповДдають номерам й стовпцДв, тобто маемо таку послДдовнкть: «}}3 = 11, м}2,3 = «413 = 10, м133 = "313 = "412,3 = 9 Д т.д.
Продовження набору Qn -матриць Фiбоначчi
Qn--
23
ерп =
19 14 10 7
7 5 4 3
10 7 5 4
14 10 7 5
26 19 14 10
10 7 5 4
14 10 7 5
19 14 10 7
36 26 19 14
14 10 7 5
19 14 10 7
26 19 14 10
50 36 26 19
19 14 10 7
26 19 14 10
36 26 19 14
69 50 36 26
26 19 14 10
36 26 19 14
50 36 26 19
95 69 50 36
36 26 19 14
50 36 26 19
69 50 36 26
= -1
-2 1 -1 3
3 -3 2 -4
-1 3 -3 2
1 -1 3 -3
1 -1 3 -3
-3 2 -4 6
3 -3 2 -4
-1 3 -3 2
-1 3 -3 2
2 -4 6 -5
-3 2 -4 6
3 -3 2 -4
3 -3 2 -4
-4 6 -5 6
2 -4 6 -5
-3 2 -4 6
-3 2 -4 6
6 -5 6 -10
-4 6 -5 6
2 -4 6 -5
2 -4 6 -5
-5 6 -10 11
6 -5 6 -10
-4 6 -5 6
Q3-n = -1
11 10 9 8 12 11 10 9 13 12 11 10 14 13 12 11 15 14 13 12 16 15 14 13
и3п = 8 7 6 5 9 8 7 6 10 9 8 7 11 10 9 8 12 11 10 9 13 12 11 10
9 8 7 6 10 9 8 7 11 10 9 8 12 11 10 9 13 12 11 10 14 13 12 11
10 9 8 7 11 10 9 8 12 11 10 9 13 12 11 10 14 13 12 11 15 14 13 12
п = 11 1 2 3 4 12 1 2 3 4 13 1 2 3 4 14 1 2 3 4 15 1 2 3 4 16 1 2 3 4
й = 1 3 2 8 7 6 5 1 9 8 7 6 1 10 9 8 7 1 11 10 9 8 1 12 11 10 9 1 13 12 11 10
9 8 7 6 2 10 9 8 7 2 11 10 9 8 2 12 11 10 9 2 13 12 11 10 2 14 13 12 11
3 10 9 8 7 3 11 10 9 8 3 12 11 10 9 3 13 12 11 10 3 14 13 12 11 3 15 14 13 12
4 11 10 9 8 4 12 11 10 9 4 13 12 11 10 4 14 13 12 11 4 15 14 13 12 4 16 15 14 13
ПроаналДзувавши значения елементДв матриц Ц,1, бачимо, що перший рядок так Д " проситься" перенести його вниз матрищ, а всД решта рядки потрДб-но зсунути вверх на одну позицДю. ВнаслДдок такого зсуву рядкДв матриц и!1 на одну позицДю вверх отримаемо нову матрицю Щ1. ТакД дп можна реалДзува-ти за допомогою такого матричного виразу:
п
11
12
15
16
-1
1
-1
1
-1
1
-1
1
М+1 х^1 = Щ1, (2.10)
де М+1 - матриця зсуву рядюв матрицi на одну позицiю вверх. Ця матриця е бь нарною, а п елементи формуються так, як це показано нижче. Як виявиться зго-дом, нам доведеться здшснювати зсув рядкiв матрицi на одну позицда не вверх, а вниз, при цьому матриця зсуву М— матиме дещо iнший порядок розташуван-ня елементiв (див. нижче). Зрозумшо, що зсув рядкiв матриц можна оргашзу-вати не на одну, а на к-ту кшьккть позицiй i, як виявиться попм, це значно вплине на яккть виконання криптографiчних перетворень, тобто шдвищить !х-ню криптографiчну стiйкiсть.
Зсув рядюв матриц уверх на 1 позицт
М 3+1 1 2 3 4 и" и 11
1 0 1 0 0 11 10 9 8 8 7 6 5
2 0 0 1 0 X 8 7 6 5 = 9 8 7 6
3 0 0 0 1 9 8 7 6 10 9 8 7
4 1 0 0 0 10 9 8 7 11 10 9 8
Зсув рядшв матриц вниз на 1 позищю
М—1 , , , , Б1,1 т
1 0 0 0 1 8 7 6 5
2 1 0 0 0 X 9 8 7 6
0 1 0 0 10 9 8 7
0 0 1 0 11 10 9 8
11 10 9 8
8 7 6 5
9 8 7 6
10 9 8 7
Для формування елементiв матрицi зсуву Мк використовуеться такий логiчний вираз
Мр =
к = |1, якщо (г + к — /)шо(1(р +1) = 0;; . = г,р 10 — У шшому випадку,
г,} = 1,р +1
к <р, (2.11)
де: (р +1) - розмiр бiнарноí матрищ зсуву; к - кшьккть позицш зсуву (±к - зсув вщповщно вверх/вниз).
Отже, з новоутворено! матрищ Щ1 видно, що !! елементи мають чiтке впорядкування: вiдбуваеться зменшення íхнiх значень з нижнього лшого кута матрицу у бiк Г! верхнього правого кута. Для формування елемент1в тако! мат-рицi (назвемо п Б" -матрицею), значення яких будуть залежати вiд р-чисел Фь боначчi та степеня п (до якого потрiбно пiднести матрицю), використаемо таку формулу
Б" = р = п — (р +1 — г) — (] — 1), г, ] = 1рр+1 ]. (2.12)
Ця формула е придатною для формування елементш матрицi, якщо ну-мерацiя 11 рядкiв i стовпцiв починаеться з одинищ. Для iнших випадкiв потрiбнi незначнi корективи. Приклади генерування Б" -матриць для п= 12, 13, ..., 16 показано вище.
Повертаючись до нашого набору 0" -матриць Фiбоначчi для п = 11, 12, ..., 16 (див. вище), бачимо, що, сформувавши Б-11-матрицю, потрiбно здiйснити зсув И рядкiв на одну позищю вниз, внаслщок чого отримаемо
М — х Б-11 = и^1. (2.13)
Тепер, за елементами матрицi и11 можна вiдновити елементи бз1 -матрищ, зна-ченнями яких будуть 3-числа Фiбоначчi (див. табл. 1.3).
Загалом процедура генерування 0" -матрицi, шднесено! до п-о! степенi, значеннями елемештв яких будуть р -числа Фiбоначчi, матиме такий математи-чний запис:
Б" = [а»р = п — (р +1 — г) — (У — 1), г,} = 1,р +1];
Мк=
ип =
и р-
тк р = {1, якщо ( + к — /)шоа(р +1) = 0; ., . = „-р^ [0 — у 1ншому випадку,
.=&
ти"р • dv, p, г 3 = 1,р +1
0"п = |_€р = ррир", г,3 = 1,р +1], р =1,2,3,...; п = 2,3,4,...; к = — 1, —2,... — р. Основною перевагою ще! процедури над матричним виразом (2.8
(2.14)
е те,
що для отримання 2"+1-матриц1 зовсiм не потрiбно мати 0" -матрицю, а це означае, що немае потреби i в будь-яких попереднiх матрицях. бдине що потрi-бно мати, так це наперед згенероваш р -числа Фiбоначчi для рiзних значень п (див. табл. 1.3). Зазначимо також, що наведеш вище 23" -матрищ для п = 12, 13, ..., 16 сформовано за допомогою наведено! процедури (2.14), уникнувши при цьому матричний вираз (2.8). При цьому обернет до них матрищ отримано звичайним способом, хоча, не виключено, що !х також можна отримати дещо проспшим способом. Однак, для цього потрiбно провести ще додаткове досль дження з виявлення закономiрностей !х побудови.
Продемонструемо використання процедури генерування 0" -матрицу Фi-боначчi на конкретному прикладi при таких вхщних значеннях: р = 4, п = 16 та к = 2. В цьому випадку, зпдно з табл. 1.3, будемо мати справу з такими 4-числа Фiбоначчi: 1, 1, 1, 1, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 11, 15, 20, 26, 34, 45. Внаслщок виконання математично! процедури (2.14) отримаемо таш результати розрахунку:
Б}6
М 42
и46
046
04—1
12 11 10 9 8
13 12 11 10 9
14 13 12 11 10
15 14 13 12 11
16 15 14 13 12
к= 2
0 0 0 1 0
0 0 0 0 1
1 0 0 0 0
0 1 0 0 0
0 0 1 0 0
15 14 13 12 11
16 15 14 13 12
12 11 10 9 8
13 12 11 10 9
14 13 12 11 10
34 26 20 15 11 1 0 -1 3 -3
45 34 26 20 15 -4 1 1 -4 6
15 11 8 6 5 6 -3 1 1 -4
20 15 11 8 6 -4 3 -3 1 1
26 20 15 11 8 1 -1 3 -3 1
= 1 04—16 = 1 Отже, внаслщок проведеного дослiджения розроблено процедуру генерування множини 0" -матрищ Фiбоначчi, яка за вщомими значеннями степеш матрицi (п) та р -чисел Фiбоначчi дае змогу отримувати вщповщш матрицi -ключi (де)шифрування, здшснювати Ухне розширення для кожного раунду, що
и
1=1
зaбезпечye не тшьки ефективний спосiб ïx yтворення та зберкання, але й ство-рюе зрyчнiсть при передaвaннi каналами зв'язку.
3. Bикоpистaння узагальнених ма'фпць Ф1боначч1 для виконання
крпптограс^чнпх перетворень шформацп
Виявляеться [12], що Q% -мaтрицi Фiбонaччi (2.9) можна з yспixом вико-ристовувати для шифрування даних. Суть методу шифрування, який базуеться на використaннi цих матриць, полягае y подaннi /-го блоку початкового поввд-омлення y виглядi мaтрицi T(/) (Vf e T ) розмiром (р+1)х(р+1) i ïï множеннi на шифрувальну Qp -матрицю Фiбонaччi. При цьому процедура дешифрування зводиться до множення /-о1° матриц K(f) (Vf e T) розмiром (р+1)х(р+1) зашиф-рованого повiдомлення на дешифрувальну Q-n -матрицю. У криптогрaфiчниx перетвореннях iнформaцiï зaзнaченi дiï мають такий матричний запис:
шифрування T(t) ÄQ = K(f), Vf e T ; (3.1)
m
дешифрування K(f) Ä Q-n = T(f), Vf e T. (3.2)
m
У робоп [S] зазначено, що початкова матриця T(f) пов'язана з зашифро-ваною матрицею K(f) деякою влaстивiстю, сутнкть якоï зводиться до такого. Спочатку обчислимо визначник почaтковоï мaтрицi T(f), який доршнюе числу det T(f), а потам знайдемо визначник зaшифровaноï мaтрицi det K(f). Згiдно з тео-рieю матриць [1], щ визначники пов'язaнi мiж собою таким сшввщношенням:
det K(f) = det (T(f) ä Qp ) = det T(/) ä det Qp. (3.3)
mm
Якщо використати з тотожностi (2.9) формулу для обчислення визнач-ника Qn -матрищ, то отримаемо нову тотожнiсть, яка пов'язуе мiж собою визначники матриць T(f) i K(f), a саме:
det K(f) = det T(f) ®(-1) p' n, p =1,2,3,...; n =± 2, i 3, i 4,.... (3.4)
m
Ця тотожнiсть e "основним контрольним сшвввдношенням", яке використову-еться для виявлення та коригування помилок y матрищ K(f), тобто y зашифро-вaнiй iнформaцiï. Якщо ж не використовувати "основне контрольне сшввщно-шення" (3.4), то криптогрaфiчнi перетворення (3.1) та (3.2) матимуть дещо про-стiший матричний запис, а саме:
шифрування T Ä Qp = K ; (3.5)
m
дешифрування K Ä Q-n = T. (3.6)
m
Продемонструемо особливостi застосування розглянутого вище методу (де)шифрування шформацп з використанням узагальнених матриць Фiбонaччi на конкретному приклaдi (див. нижче). У цьому приклaдi використана Qp, -ма-триця для p = 3 та n = 11, елементами якоï е 3-числа Фiбонaччi. 4. Iнфoрмацiйнi технологй" галyзi 347
Шифрування вхгдного повгдомлення
й1
т х е]1
Т х е]1шоа256 = К
1 184 248 143 172 19 14 10 7
2 125 174 63 199 X 7 5 4 3
3 88 242 128 219 10 7 5 4
4 207 78 55 124 14 10 7 5
5 82 88 171 123 -1
6 54 167 189 211
7 223 81 75 149
8 238 163 150 224
9070 6537 4751 3464
7009 5051 3654 2644
7712 5528 4021 2949
6765 4913 3525 2523
5606 4015 2888 2137
7039 5024 3630 2690
7640 5542 3972 2849
10299 7437 5350 3875
110 137 143 136
97 187 70 84
32 152 181 133
109 49 197 219
230 175 72 89
127 160 46 130
216 166 132 33
59 13 230 35
Дешифрування зашифрованоI тформаци
К
е-1
к х ез-1
К х е3-11шоа256 = Т
110 137 143 136 -2 1 -1 3
97 187 70 84 X 3 -3 2 -4
32 152 181 133 -1 3 -3 2
109 49 197 219 1 -1 3 -3
230 175 72 89 -1
127 160 46 130
216 166 132 33
59 13 230 35
184 -8 143 -340
381 -338 319 -569
344 -14 128 -549
-49 334 55 -132
82 -168 171 -133
310 -345 445 -557
-33 81 -181 149
-274 675 -618 480
184 248 143 172
125 174 63 199
88 242 128 219
207 78 55 124
82 88 171 123
54 167 189 211
223 81 75 149
238 163 150 224
Використання ер -матрицi Фiбоначчi для багатораундово! крипто-системи. Виявляеться, що до матричного виразу (3.5), який дае змогу зашифру-вати повiдомлення Т, можна застосувати Я-раундову процедуру шифрування [5], при цьому кожного разу з новими ключами, тобто еп -матрицями Фiбоначчi для п = г = 1, 2, ..., Я. Водночас, процес дешифрування шформацц за виразом (3.6) також повторюватиметься Я разш. У цьому випадку узагальненi вирази для реалiзацií прямого та зворотного криптографiчних перетворень матимуть такий вигляд:
К=т®ер ®ё2р...®ёр...®ёЯ; (3.7)
Я раундов
т=к ® еРЯ ® е-Яр1)...® е/...@ е-1.
(3.8)
Я раундав
Поеднання матрично1 криптосистеми (3.7) i (3.8) з матричними переста-новними алгоритмами [3, розд. 3] дае змогу побудувати багатораундову матри-чну перестановну криптосистему для захисту iнформацií, яку загалом можна подавати у вигляда процедури багатораундового (де)шифрування на основi таких матричних виразiв:
Кп=( х т х рп)® ®е|...® ер..
\ ' т т т
.®еЯ;
(3.9)
Яраундов
тп _ Е/П^ 1 ср — рр А
крс ® е-Я ® е-(Я-1)...® е-
.© е-1 х
т
Я раундов
(3.10)
т
т
т
т
т
т
г
т
т
т
де: РрП, РрП та РСП, Рп - квадратш перестановнi матрицу вiдповiдно рядюв i стов-
пцiв вхiдноí матриц Т для прямого i зворотного ходiв.
Можливi ще й таю матричш вирази для реалiзацií' процедури багаторау-ндового (де)шифрування iнформацií':
% = РП х(Т ® б|...® йр...® 0 )х Рсп; (3.11)
\ т т т т !
Я раувдв
Тр = Ррп х( Крс х Рп)® ® ё-(Я-1)...® й-;...® й-. (3.12)
т т т т
Я раундв
Отже, внаслiдок проведеного дослщження з'ясовано, що -матрищ, шднесеш до и-о'' степеш, значениями елеменпв яких е р -числа Фiбоначчi, мо-жуть ефективно використовуватися для виконання криптографiчних перетво-рень шформацп. Математично описано алгоритм (де)шифрування шформацп за допомогою багатораундовоí' матричноí' звичайноí' та перестановноí' криптосис-теми з рiзними ключами шифрування на кожному рауцдд, реалiзацiя якого зна-чно шдвишуе його криптостiйкiсть до брутальних атак.
Висновки
1. З'ясовано, що основна проблема багатораундовоí' матричноí' Афiнноí' криптосистеми полягае у генеруванш множини звичайних i обернених матриць - ключiв (де)шифрування iнформацií', елементами яких мають бути цiлi числа, розширенш ключш для кожного раунду, а також у ефективнш системi ''х зберь гання та передаванш каналами зв'язку. Для ц виртення прийнято рiшення ви-користовувати йр-матрицу Фiбоначчi.
2. Виявлено, що кнують не два, а три способи задавання р-чисел Фiбо-наччi: у вигляд одновимiрного рекурентного спiввiдношення, через бшомша-льнi коефщенти у виглядi спецiальноí' формули, а також у виглядi двовишрно-го рекурентного спiввiдношення.
3. Наведено алгоритм формування -матрицi, пiднесеноí' до и-о'' степе-нi, елементами яко'' е р-числа Фiбоначч. Отримаш матрицi можуть використовуватися як ключi шифрування (звичайнi йр -матрищ) та ключi дешифрування (оберненi -матрицi) iнформацií' для реалiзацií' матричних перетворень, а також як розширення ключш для реалiзацií' багатораундово'' криптосистеми.
4. Розроблено процедуру генерування множини йп -матрицу Фiбоначчi, яка за вщомими значеннями степенi матрищ (и) та р-чисел Фiбоначчi дае змогу отримувати вiдповiднi матрищ - ключi (де)шифрування, здiйснювати 'хне розширення для кожного раунду, що забезпечуе не тшьки ефективний споаб 'х утворення та зберкання, але й створюе зручнiсть при передаванш каналами зв'язку.
5. З'ясовано, що -матрищ Фiбоначчi можуть ефективно використовуватися для виконання криптографiчних перетворень шформацц. Математично описано алгоритм (де)шифрування шформацц за допомогою багатораундово''
матрично! звичайно! та перестановно! криптосистеми з pi3HHMH ключами шиф-рування на кожному раувдд, pеалiзацiя якого значно шдвишуе його криптостш-кiсть до брутальних атак.
Лiтература
1. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц / Ф.Р. Гантмахер. - М. : Изд-во "Физматлит", 2010. - 560 с.
2. Голуб Дж. Матричные вычислена / Дж. Голуб, Ч. ван Лоун. - М. : Изд-во "Мир", 1999. - 548 с.
3. Грицюк П.Ю. Особливост реалiзацil матрично! Афшно! криптосистеми захисту шфор-мацл / П.Ю. Грицюк, Ю.1. Грицюк // Науковий вiсник НЛТУ Украши : зб. наук.-техн. праць. -Львш : РВВ НЛТУ Украши. - 2015. - Вип. 25.5. - С. 346-356.
4. Смець В. Сучасна криптографiя: Основнi поняття / В. Смець, А. Мельник, Р. Попович. -Львш : Вид-во БаК, 2003. - 144 с.
5. Красиленко В.Г. Матричш афiнно-перестановочнi алгоритми для шифрування та деши-фрування зображень / В.Г. Красиленко, С.К. Грабовляк // Системи обробки шформацл: зб. наук. праць. - Харюв : Вид-во ХУПС iм. 1вана Кожедуба. - 2012. - Вип. 3(101), т. 2. - С. 53-61.
6. Стахов А.П. Введение в алгоритмическую теорию измерения / А.П. Стахов. - М. : Изд-во "Советское Радио", 1977. - 246 с.
7. Стахов А.П. Гармония Мироздания и Золотое Сечение: древнейшая научная парадигма и ее роль в современной науке, математике и образовании / А.П. Стахов. - У 2-ох ч. - Ч. 1. [Электронный ресурс]. - Доступный с http://www.obretenie.info/txt/stahov/harmoni1.htm
8. Стахов А.П. Гармония Мироздания и Золотое Сечение: древнейшая научная парадигма и ее роль в современной науке, математике и образовании / А.П. Стахов. - У 2-ох ч. - Ч. 2. [Электронный ресурс]. - Доступный с http://www.obretenie.info/txt/stahov/harmoni2.htm
9. Хорошко В.О. Методи та засоби захисту шформаци : навч. поабн. / В.О. Хорошко, А.О. Четков. - К. : Вид-во "Юшор", 2003. - 502 с.
10. Hoggat, V.E. Fibonacci and Lucas Numbers / V.E. Hoggat. - Houghton-Mifflin, Palo Alto, California, 1969.
11. Stakhov A.P. Brousentsov's ternary principle, Bergman's number system and ternary mirror-symmetrical arithmetic / A.P. Stakhov // The Computer Journal. - 2002. - Vol. 45, No. 2. - Pp. 222236.
12. Stakhov A.P. Introduction into Fibonacci Coding and Cryptography / A.P. Stakhov, V. Massingua, A.A. Sluchenkova. - Харьков : Изд-во "Основа" Харьковского университета, 1999 г.
Грыцюк Ю.И., Грыцюк П.Ю. Методы и средства генерирования Qp-матриц Фибоначчи - ключей для реализации криптографических преобразований
Рассматриваются особенности эффективного генерирования Qp-матриц Фибоначчи, которые могут использоваться как ключи (де)шифрования для многораундовой матричной криптографической системы преобразования информации. Выяснено, что основная проблема многораундовой матричной аффинной криптосистемы заключается в генерировании множества обычных и обратных матриц - ключей (де)шифрования информации, элементами которых должны быть целые числа. Разработана процедура генерирования множества Q-матриц Фибоначчи, которая по известным значениям степени матрицы (n) и p-чисел Фибоначчи позволяет получать соответствующее множество ключей (де)шифрования информации, осуществлять их расширения для каждого раунда, что обеспечивает не только эффективный способ их образования и хранения, но и создает удобство при передаче по каналам связи.
Ключевые слова: защита информации, шифрование/дешифрование информации, числа Фибоначчи, Qp-матрицы Фибоначчи, криптографическая система, матричные Аффинные преобразования, многораундовая матричная криптографическая система.
Gryciuk Yu.I., Grytsyuk P. Yu. The methods and means of the generation of Fibonacci Qp-matrices - Keys for the Implementation of Cryptographic Conversion
The features of effective generation of the Fibonacci Qp-matrix have been considered. Those matrices are used as decryption/encryption keys for the multi-round matrix cryptographic system of the information transformation. It was found that in multi-round affinity matrix cryptosystem the main problem is to generate a plurality of the conventional and inverse keys-matrices of the information encryption/decryption that must be integers. The procedure for generating a plurality of Fibonacci Qp-matrix has been developed. This procedure relies on the known degree of matrix values (n) and p-numbers Fibonacci and lets us set of the appropriate information encryption/decryption keys, implement expansion keys for each round. This provides an efficient way of their formation and storage and creates the ease of transmitting channels.
Keywords: information security, encryption/decryption information. Fibonacci numbers, Fibonacci Qp-matrix, crypto-graphic system, matrix Affine transformation, matrix multi-rounds cryptographic system.
УДК 535.343.2 Проф. З.Ш. Чорнш, д-р фiз.-мат. наук; доц. 1.Б. Шрко,
канд. фЬ.-мат. наук; доц. В.М. Салапак, канд. фЬ.-мат. наук; ст. викл. М.В. Дячук; доц. О.Р. Онуфрiв, канд. фЬ.-мат. наук - НЛТУ Украти, м. Львiв
ГЕНЕРАЦ1Я ЦЕНТР1В ЗАБАРВЛЕННЯ У КРИСТАЛАХ ФЛЮОРИТ1В З ТЕРМ1ЧНО НЕР1ВНОВАЖНИМИ СТРУКТУРНИМИ ДЕФЕКТАМИ
У моделi лшшного кристала дослщжено мехашзм генераци цен^в забарвлення у кристалах СаР2-Ме , що мiстять термiчно нершноважш (Ме -Уа Ме Уа )-пари дефекпв (Ме+ - iон лужного метала, Уа+ - вакансiя юна фтору). Розраховано iмовiрнiсть утворен-ня у rратцi кристала ^л(1)-Ук) i (Рл(1)-Укл)-комплементарних пар при розпадi елек-тронно^рково! пари, кiнетику наростання центров забарвлення та 1х граничнi концентраций Дослiджено механiзм (Рл(1)-Ук)®(Рл(1)-Укл) та (Рл(1)-Ук)®(Мл+-Укл)-перет-ворень. Проаналiзовано вплив автолокалiзацil дiрок на радiацiйну чутливiсть кристалiв флюоритiв.
Ключовi слова: кристал, радiацiя, центри забарвлення.
Вступ. Вiдомо [1-5], що юни лужного металу входять у гратку кристалiв флюоритш у виглядi iонiв замiщення: за Т<400 К утворюють з анiонними ва-кансiями домiшково-вакансiйнi диполi (Ме+)-(Уа)+, де (Ме+)- - iон лужного металу, а (Уа)+ - ваканск iона фтору. Домiшково-вакансiйнi диполi (ДВД) е ефек-тивними пастками для носш електричного заряду. При опромшенш кристалiв юшзуючою радiацiею внаслiдок локалiзацií електронiв i дiрок на ДВД у гратщ кристала генеруються ^л(1)-Ук) та (Fл(1)-УKл)-комплементарнi пари:
I + ^ К(е--е+^ ^ -, ч+ (Fл Р Ук) (1.1)
(Ме+)( Уа ).....(Ме+)( Уа ) -> (Fл Р Укл ) (1.2)
У роботах [6-8] розроблено методику, яка дае змогу перетворити термiч-но ршноважш дефекти дипольного типу в термiчно нерiвноважнi електрично зарядженi дефекти - в (Ме+-Уа+Ме+Уа+)+-пари дефектiв. Показано [6-8], що при опромшенш кристалiв з термiчно нершноважними структурними дефектами у гратщ кристала генеруються (Рл(1)-Ук) i (Fл(1)-УкЛ)-комплементарнi пари цен-трiв забарвлення:
, ^ V ^ ^ , ^- (^1) - Ук) (2.1)
(Уа) (Ме+)(Уа).....(Ме+) -> (Fл(1) - Укл) (2.2)
Мета щех' роботи - досдщити ефективнiсть виходу реакцiй (2.1) та (2.2).
