CC BY
37
Математическое моделирование. Оптимальное управление Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского, 2008, № 6, с. 161-1 <54
УДК 517.988
МЕТОД УСРЕДНЕНИЯ И МОДУЛЯРНЫХ МАЖОРАНТ ДЛЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ
© 2008 г. Н.В. Кротов
Нижегородский госуниверситет им. Н.И. Лобачевского nkrotov@gmail.com
Поступила в редакцию 11.09.2008
Средствами функционального анализа в полуупорядоченных пространствах исследуется процесс поиска приближенного решения операторного уравнения методом усреднения с последующей конкретизацией результата в классе дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом. Методом мажорант устанавливаются достаточные условия существования и единственности решения, сходимости процесса, а также элементная и поточечная оценки погрешности приближения. Использование полуупорядоченности позволяет ослабить требования, достаточные для применимости метода, и уточнить оценку погрешности.
Ключевые слова: полуупорядоченные пространства, дифференциальное уравнение с запаздывающим аргументом, усреднение операторного уравнения.
1. Напомним известные определения: й-про-странство называется полуупорядоченным, если в нем выделено множество элементов X > 0, удовлетворяющее условиям: (х,у > 0)^
^ (х Ф 0, х + у > 0, сх > 0); любая пара элементов X, у имеет верхнюю грань х V у ; элемент Х| = х V (- х) называется модулем элемента х; по определению, элементы х,у сравнимы, что обозначается как х < у , если у - х > 0; норма изотонна: (х| < |у|)^ (||х|| < ||у||) .
Сравнимость и модуль обладают многими свойствами этих понятий в функциональных пространствах. В частности, они непрерывны:
(х„ ^ х, уп ^ у,х„ < уп )^(|х„| ^ |х|, х < у) .
Замкнутое множество {х: |х - х01 < у} называется порядковым отрезком.
Пусть X ,У - полуупорядоченные й-про-странства, удовлетворяющие указанным условиям. Линейный оператор L : X ^ У называется положительным, L > 0, если L Ф 0 , (х > 0) ^ (Ьх > 0). Линейный оператор L > 0 -изотонный: (х < у) ^ (Ьх < Ly). По определе-
нию, L > К : L - К > 0.
Если операция А отображает множество Е с X в У и существует такой линейный положительный оператор L : X ^ У , что для элементов х,х + Дх е Е выполняется неравенство |А(х + Дх)- А(х) < L |Дх|, (1)
то оператор Ь называется модулярной мажорантой операции А на множестве Е.
2. Рассмотрим пространства X = У, для ограниченного оператора L выполняется условие (1) и имеют место следующие оценки для норм итераций:
ад
И < 1к (к > 1), 10 = 1, I = £ 1к <ад . (2)
k=0
Следовательно, существует ограниченный положительный оператор
ад
(I - Ь)-1 = £ Ьк :Х ^ X , (ї - Ь)-1 < I (їх = х ).
k=0
Выбран элемент х0 е Е . Обозначим модуль невязки:
5 = |х0 - А(х01 .
Лемма. Если множество Е содержит в себе отрезок
{х:|х - х0| < (ї -Ь) 1 б}.
(3)
то нб множестве Е существует и единственно решение х* урбвнения х = А(х), процесс
Хп+1 = А(хп ) (п > 0)
(4)
сходится на порядковом отрезке (3) к решению. Оценка погрешности приближения:
\хп - х*| < Ьп (I - Ь)15^ 0 (п ^го). (5)
Доказательство. Обозначим 5= \хk+1 - х^ . Следовательно, 50 =5. Из соотношений (1) и
(4) ^дуе^ что 5k = |А(^ ) - A(хk-11 < Ь5k-1 , 5k-1 < Ь5k-2. Оператор Ь > 0 изотонный, по-
этому 5к < Ь25к-2 < ... < Ьк5 . Для номеров т > п
т т ад
|хт+1 - х„| <Е5 к <Х Ьк 5<Х Ьк 5 = Ьп (I -1)-15,
к=п к=п к=п
Хт+1 - Х„| < ЬП (I - Ь)-1 5 . (6)
Отсюда и из условия (2), а также вследствие изотонности нормы устанавливаем неравенство ||хт+1 - хп|| < 1п1\ИЬ 0 (т > п ^ад). Последо-
вательность Хп сходится в себе, имеет предел
х* в й-пространстве X.
Полагая п = 0 в соотношении сравнимости (6), находим, что все приближения находятся на порядковом отрезке (3). Порядковый отрезок замкнут, поэтому содержит х * .
Из условий (1), (2) и изотонности нормы следует неравенство ||а(х) - А^ )| < ^ || х - , опе-
рация А непрерывна. Переходя к пределу в равенстве (4), находим, что х* - решение уравнения х = А(х) .
Пусть х е Е, х = А(х) . Из сравнимости (1) и изотонности оператора Ь следует:
|х*-Х = IА(х*)- А(х) < Цх* -Х <... < ьп\х* -Х .
Из изотонности нормы и оценки (2) следует, что ||х* -Х| < 1п\х* -х|| ^ 0 (п ^ ад), х = х* , решение единственно.
В соотношениях (6) фиксируем произвольный номер п и устремим т ^ ад . Вследствие непрерывности модуля и соотношения сравнимости из соотношения (6) следует соотношение сравнимости в (5), стремление к нулевому элементу следует из соотношений х * -хп || < 1п11|5 ^ 0 . Лемма доказана.
3. Применим лемму к обоснованию метода усреднения для операторного уравнения F(х) = 0 , где операция Р отображает множество Е с X в У. Введем обозначение ДР (х) = F (х + Дх) - F (х) .
Пусть имеются такие линейные операторы Г ,Л /X ^ У, Л > 0, что
|ГДх - ДР(х)<Л|Дх| ( х,х + Дх е Е ). (7)
Таким образом, роль усредняющего оператора играет оператор Г. Пусть существует и известен обратный оператор Г-1 / У ^ X, имеется такой линейный оператор С : У ^ X, С > 0,
что |г-1 у < С|у| , существует линейный ограниченный оператор Ь / X ^ X , Ь > СЛ , удовлетворяющий условию (2).
Выбран элемент х0 є Е. Обозначим модуль
5 = | Г-1 F(хо ) .
Теорема 1. Если множество Е содержит в себе порядковый отрезок (3), то на множестве Е существует и единственно решение х * уравнения F (х) = 0, процесс
хп+1 = хп - Г-1 F(хп ) (п > 0) (8)
сходится на порядковом отрезке (3) к решению. Оценка погрешности приближения указана
в (5).
Доказательство. Введем операцию А(х)= х -Г-1 F (х). Уравнения х = А(х), F (х) = 0 эквивалентны. Оператор L является модулярной мажорантой операции А:
|ДА(х) = | Ах - Г-1 [АР(х)] | = | Г-1 [ГДх - ДР(х)] | <
< СЛ|Дх| < Ц Ах|
Процессы (4) и (8) совпадают. Из леммы следует теорема 1.
В качестве элемента 5 можно принять также образ С|р(х0) .
4. Установим достаточные условия применимости теоремы 1 к поиску приближенного решения дифференциального уравнения с запаздывающим аргументом.
На отрезке [0,1] определена непрерывная функция х(^) > 0 . Следовательно, существует ц = тіп[і' - т(5)] < 0 . Непрерывная функция ф(5) определена при ц < 5 < 0.
Рассмотрим задачу
уІ5)=Яу(5) у(5 - т(5)) (0 <5 <1)
у(ст)=ф(ст) (ц<ст< 0) где функция у - непрерывная на отрезке [ц, 1] , гладкая на [0,1] .
Обозначим
И5) = у(5 - т(5)).
В дальнейшем будем рассматривать только такой случай, когда
Ця) = ф(5 - т(5)) (5 < т(5)) . (10)
Поэтому приращение Дц(я) = 0 (я < т (5)).
Введем функцию х = у’. Тогда
у(я) = ф(0) +1 х(і,
0
5-т(5 )
^(5) = ф(0) + | х(і)(* (5 > т(5)) . (11)
0
Следовательно, функция / является операцией над х, задача (9) сводится к функционально-
интегральному уравнению Р (х) = 0 с операцией Его итерация
(р(х))(*) = х(*)- /(5’У(5М5)), где функции ^к ^ ) ск .( ^_1
определены равенствами (10), (11).
Выставим условия на некоторой достаточно большой области Е с X = С(0,1) функций х. по формуле Коши к-повторного интегрирования
(Цкх ^)="к-ї)! ^(5 - х )к-1 х(і й: муле Коши к-повторного и Композиция /(.,у(.),ц(.)) є X и выполняется с переменным верхНИм пределом. условие Липшица В й-пространстве X ^ X норма Ц =
\/(-у + Ду,Ц + Дц)-/(.,у,ц)-аДу\ < = к
(12) С
= ск / к!, выполняется условие (2).
< Ьх\Ду + Ь2 Дц Выбрана функция у0, непрерывная на от-
где функции а, Ьі непрерывны, причем Ьі (5) > 0 . резке [ц,1], гладкая на отрезке [0,1] , удовлетво-Приращению Дх соответствуют прираще- ряющая начальному условию в задаче (9). Вве-ния дем обозначения
х0 = у0 > 2 = х0 - /(->у0 ,Ц0), (15)
Ду(5) = | Дх(і)йі, Дц(5) = 0 (5 < Т^)),
ми
0 (13) где функции у0 определены формула
Дч-(*) = (*>т(»)) (10)- (11) при Х = Х0.
0 Функция 5($) означает модуль правой части
Введем усредняющий оператор Г равенст- в равенстве (14) с функцией г, определенной в вом ГДх = Дх - аДу . Он имеет обратный опера- (15). Значение тор
(г 12)(5) = 2(5)+ а(і')|ехр|а(б)йЮ • 2(і)йі . (14)
0 і
((/ - Ь )-15^) = 5(5) + с| ес(5-і Щ)йі .
Введем числа а, в такие, что Из теоремы 1 следует
, / ч, / ч / ч Теорема 2. Пусть функция /удовлетворяет
а> а(51, в> Ь (5)+ Ь2 (5), . дл,
I ' •'I ’ к 1 ' ' 2указанным выше условиям, когда функции у, ц
Для оператора Г-1 модулярной мажорантой определены равенствами (1°Х (11Х где для является оператор С : функций х выполняется неравенство
(С2)(5)= 2(5)+ а|еа(ї і)2(і)йі . |х(5)-х01 < 5(5)+ с{е^ -)5(іVі:
сі5-і),
0
Введем оператор Л равенством (Лх)(і) = приближения хп (п > 1) вычисляются по фор-5 муле
= ь| х(і)Л . Из условия (12), равенств (13) и не- хп+1 (5) = /{з,уп {з),Цп (5))-
0
5-т(5 )
равенства ||Дх(і|йі <||Лх(і)йі следует выпол- а(і)1ехр!а(0)й0{хп(і) /(і,уп(і),Цп(і)))]йі (п > 0)
00
нение соотношения (7). а уп+1 ^п+1 по формулам (Ш), (11) при
Композиция Х = Хп+1 .
* а(*-г)И \ (п)^п Тогда процесс сходится равномерно вместе
(СЛх)(5) = в Г х(і)йі + ав Г еа(5-ій Г х(0)й0 . ' огда процес сходится Уа—р™
0 0 0 с производной к решению у * задачи (9):
При х(і) > 0 повторный интеграл не превос-
= (у*) > уп ^у*.
ходит выражения еа | х(г)Ж, так как 0 < г < * < 1 Оценка погрешности приближения
0
г
и | Х(0)№0 < J Х(г № . Введем число с = в(1 + (
00
хп (*)-х* )| < Уп )=-
пп
Г х(0)й0 < Г х(і)йі . Введем число с = в(1 + ае а ). . (п -1)!
5
(5
нять 0
5
В качестве оператора Ь > СЛ можно при- | (5 - і)п 1
і
5(і) + с Г ес(і-0)5(0)й0
+
0
(Цх )(5 ) = с Г х (і )йі . |уп (5)- у* (5) < Г у п (і )* ^ 0 .
0
0
Список литературы 2. Слугин С.Н., Кротов Н.В. Прямой метод при-
лтт^ ближенного решения нелинейного уравнения в серии
1. Зайцев В.Ф., Полянин А.Д. Справочник по обык- г г
новенным дифференциальным уравнениям. М.: подпространств // Известия рАЕК Дифферещиаль-
Физматлит, 2001. 576 с. ные уравнения. 2005. № 9.
AVERAGING AND MODULAR MAJORANT METHODS FOR A DELAY DIFFERENTIAL EQUATION
N. V. Krotov
The process of searching for an approximate solution of an operator equation by the averaging method with a result concretized in delay differential equations is studied using functional analysis in semiordered spaces. The majo-rant method is used to determine sufficient conditions for the existence of a unique solution, process convergence, as well as the approximation element and point-by-point error estimates. The use of functional analysis in semiordered spaces makes it possible to weaken the requirements to the method applicability and to correct the error estimate.
