CC BY
38
УДК 531/534: [57+61]
МЕТОД УПРАВЛЕНИЯ НАПРЯЖЕНИЯМИ ДЛЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ ОПТИМАЛЬНОГО ПРОЕКТИРОВАНИЯ ЭНДОПРОТЕЗА ТАЗОБЕДРЕННОГО СУСТАВА
В.Ю. Кирюхин, Н.Н. Ленькова, Ю.И. Няшин
Кафедра теоретической механики Пермского государственного технического университета, Россия, 614990, Пермь, Комсомольский проспект, 29a, e-mail: [email protected]
Аннотация. В данной статье изложен метод управления напряжениями в приложении к проблеме разработки оптимальной конструкции эндопротеза бедра в области тазобедренного сустава. В прежних работах авторов для моделей, основанных на теории упругости, была развита и обоснована теория управления напряжениями и деформациями. Согласно ей решается проблема достижения заданных по объему тела значений напряжений с помощью варьирования температурного поля либо механических свойств. В результате был построен и доведен до алгоритма метод. На данном этапе рассмотрена частная задача обеспечения заданных напряжений в области протезирования тазобедренного сустава за счет подбора механических свойств в области ножки эндопротеза. Впервые разработанный метод оптимального проектирования применен на конечно-элементной модели рассматриваемой области. К целям оптимального проектирования отнесены равные напряжения по границе контакта между протезом и стенками кости, а также равномерность напряжений по объему ножки протеза. Теоретически показана возможность разработки оптимального протеза при иных критериях оптимального управления.
Ключевые слова: биомеханика, теория упругости, оптимальное проектирование, тазобедренный сустав, эндопротезирование.
Введение
Как и другие суставы, тазобедренный сустав выполняет важнейшую физиологическую функцию эффективного движения, но его особенность состоит в создании правильной осанки человека, естественно, в сочетании с функцией позвоночника. Это связанно с его анатомическим строением - сочленением глубокой вертлужной впадины, образующейся тазовыми костями, и шарообразной головки бедренной кости, что создает исключительно стабильное сочленение, способное наряду с поддержкой осанки одновременно осуществлять широкий диапазон многоосевых движений. Это свойство тазобедренного сустава позволяет человеку держаться прямо, одновременно осуществляя такой комплекс активности, как ходьба, танцы, сидение на корточках и другие действия, связанные с его способностью производить сгибание и разгибание, отведение и приведение, а также круговые движения [1].
Тазобедренный сустав по форме является шаровидным суставом, который образован головкой бедренной кости и вертлужной впадиной. Вертлужная впадина
© В.Ю. Кирюхин, Н.Н. Ленькова, Ю.И. Няшин, 2004
представляет собой углубление, образованное тазовыми костями. Суставные поверхности соприкасающихся костей в норме покрыты очень гладким гиалиновым хрящом. Суставные поверхности костей удерживаются друг напротив друга суставной капсулой, которая укреплена очень прочными связками. Окружающие сустав мышцы также принимают участие в укреплении тазобедренного сустава.
Нарушение этих свойств сустава вследствие таких заболеваний, как деформирующий коксартроз различной этиологии (43%), ревматоидный артрит (30%), тяжелая травма сустава и переломы шейки бедра (7%) (рис. 1а), асептический некроз головки бедра (8%) (рис. 1в), диспластический коксартроз (12%), ведет к дисфункции тазобедренного сустава [2].
Пациенты с травмой и заболеваниями суставов составляют 68% среди всех больных с патологией костно-мышечной системы, а на долю крупных суставов (в первую очередь, тазобедренного) приходится 25,7%.
Недостаточная эффективность консервативного лечения последствий травм и заболеваний тазобедренного сустава ведет к снижению трудоспособности в 60-70% случаев, а в 12-13% - к инвалидности, что убедительно свидетельствует о необходимости совершенствования известных методов хирургического лечения и разработки новых.
Несмотря на то, что в нашей стране паллиативные операции (артропластика, остеотомия, артродез) по-прежнему находят довольно широкое применение, эндопротезирование суставов заняло прочное место в ряду ортопедических вмешательств, избавляя пациентов от болей и возвращая им работоспособность [3].
Эндопротезирование - это хирургическая операция, при которой пораженный сустав пациента удаляется и заменяется искусственным эндопротезом (рис. 1б, 1г, 2). В настоящее время для фиксации компонентов эндопротеза к бедренной и тазовой костям используются две технологии: цементное и бесцементное эндопротезирование (рис. 3). Обе техники являются эффективными, однако каждая из них имеет свои показания и противопоказания. При цементном эндопротезировании искусственная впадина и ножка эндопротеза фиксируются при помощи метилметакрилатного цемента, который вводится в костно-мозговой канал бедренной кости и вертлужную впадину, подготовленные особым образом. В течение нескольких минут цемент застывает, прочно фиксируя детали эндопротеза к костям.
а б в г
Рис. 1. а) рентгенограмма при переломе шейки бедра, б) эндопротезирование при переломе шейки бедра, в) рентгенограмма при асептическом некрозе головки бедра, г) эндопротезирование при асептическом некрозе головки бедра
*
Искусственная вертлужная впадина
Вкладыш из полиэтилена Головка * эндопротеза
Ножка эндопротеза
Г
Таз
Головка
эндопротеза
Искусственная вертлужная впадина
Вкладыш из полиэтилена
Ножка эндопротеза Бедро
а б
Рис. 2. Конструкция тотального эндопротеза тазобедренного сустава: а) в разобранном и
собранном виде, б) в установленном виде
Ножка эндопротеза, фиксируемая костным цементом
Ножка эндопротеза Бедро
Цемент заполняет полость
Цемент заполняет полость
Бедренный канал
Ножка эндопротеза
^ Бедро
Пористая поверхность ножки позволяет врастать в нее костной ткани и фиксировать эндопротез
Бедренный канал
а б
Рис. 3. Схемы цементного (а) и бесцементного (б) эндопротезирования
При бесцементной технике впадина эндопротеза соединяется с тазовой костью при помощи винтов. Бедренная ножка плотно вбивается в специально подготовленный костномозговой канал бедренной кости. Поверхности такого эндопротеза, соприкасающиеся с костями, имеют пористый вид. Благодаря такой структуре костная ткань может постепенно врастать в поверхностный слой эндопротеза, что является важным фактором дополнительной фиксации.
Преимущества эндопротезирования тазобедренного сустава перед иными способами восстановления функции тазобедренного сустава, такими как остеотомия, остеосинтез шейки бедренной кости, в настоящее время не вызывают сомнения, так как оно позволяет поставить на ноги больного уже на вторые - третьи сутки после операции и начинать ходьбу с помощью костылей. Через одну - две недели пациент может полностью нагружать оперированную конечность.
При тотальном эндопротезировании тазобедренного сустава в костной ткани, контактирующей с имплантатом, увеличивается интенсивность ремоделирования (стрессовое ремоделирование), что обусловлено влиянием таких факторов, как микроподвижность, термический некроз (при использовании костного цемента), гранулематозная реакция на метилметакрилат и ионы металла. На интенсивность ремоделирования влияют длина, ширина ножки эндопротеза. Факторами риска, увеличивающими потерю костной ткани, являются возраст пациентов, низкая исходная масса окружающей кости вследствие остеопороза. Усиление интенсивности ремоделирования, особенно выраженное за первые 6 месяцев после операции, может стать причиной потери 78% окружающей кортикальной кости. Дефицит костной массы, в свою очередь, - причина нестабильности эндопротеза, перелома его ножки, протрузии вертлужного компонента, и, наконец, перелома бедренной кости [4]. Таким
образом, основной причиной некачественной установки протеза и потери его функциональности является перестройка костной ткани в области протеза с последующей резорбцией и расшатыванием протеза. Повторное хирургическое вмешательство становится более сложной операцией с меньшей вероятностью успешного исхода. При этом не стоит забывать и моральных проблемах, создаваемых пациенту, и об экономических факторах, поскольку сам протез представляет собой сложную и дорогостоящую конструкцию (согласно информации по данным Интернет-сайта компании ООО «МедТехИнвест» - www.ostov.ru/index.html - стоимость одного протеза отечественного производства составляет 4550-12780 руб.). В совокупности эти факторы только повышают степень ответственности врача за успешный исход операции.
В этой связи был и до сих пор остается актуальным вопрос подбора наилучшей конструкции протеза, предотвращающей, насколько это возможно, вышеперечисленные негативные последствия. Важным является вопрос о достаточной по времени продолжительности полноценного функционирования восстановленного сустава и ноги в целом. Выбор и разработка протеза осуществляется на различных уровнях: материалы, форма протеза, способы его установки и др. Поиск решения при этом требует привлечения механико-математического подхода к оптимальному проектированию протеза тазобедренного сустава, в частности, его бедренного компонента.
В то же время специалистами в области естественных наук разрабатываются и успешно применяются методы решения задач управления напряжениями, деформациями и перемещениями в упругих средах за счет изменения отдельных параметров модели: температуры, механических свойств, способов крепления и т.п [5]. В результате становится возможным воспроизвести в теле то поле напряжений, которое окажется из каких-либо соображений целесообразным, или приблизиться к нему настолько, насколько это позволяют остальные параметры модели и наложенные ограничения. Подробнее об этом рассказывается далее в статье.
В приложении к оптимальному проектированию эндопротеза работа разработанного метода выражается в подборе оптимальных упругих характеристик по объему эндопротеза с целью приближения к желаемым напряжениям по объему кости и самого протеза.
Тогда основной задачей данной статьи является: применить разработанные методы управления напряжениями и деформациями к вопросу оптимального проектирования эндопротеза тазобедренного сустава и получить результаты для выбранных случаев желаемого поля напряжений. В данной работе рассматривается поиск механических свойств ножки протеза исходя из следующего оптимального критерия. Известно [6], что резорбция возникает в области пиковых напряжений, и причина перестройки в целом - изменение напряженно-деформированного состояния в объеме костной ткани. Поэтому авторы на данном этапе развития исследований ставят вопрос о создании равных напряжений по границе контакта протеза и костных стенок, дабы предотвратить резорбцию, стимулировать укрепление и прорастание кости в область протеза (если такая возможность предусмотрена его конструкцией).
На сегодняшний день в мире разработано и активно на практике используется целый ряд конструкций протезов, отличающихся геометрией элементов, материалами и способами обработки. При поиске оптимальной конструкции авторы не ставят вопрос об определении геометрии подготовленного для протеза ложа, выбора способа крепления (с цементом или без него), способе закрепления головки протеза и обеспечении ряда клинических и механических ограничений. К последним относятся, к примеру, биологическая инертность применяемых материалов, их нетоксичность,
прочность, хрупкость, свойства ползучести и т.п. Авторы осознают необходимость учета всех этих факторов на практике, но все же главной задачей данной публикации является не решение задачи оптимального проектирования в полном объеме, а первое применение разработанных в теории методов для решения клинической проблемы, пусть и в упрощенном виде.
Справедливости ради необходимо отметить, что выбранный критерий оптимальности протеза не может считаться единственно возможным. К примеру, имеет смысл при выборе наилучшей конструкции протеза добиваться создания таких напряжений в объеме кости, какие возникают в кости здорового человека, то есть естественных напряжений.
Поставленные задачи были решены с помощью реализованного алгоритма, основанного на методе управления напряжениями, который заключается в получении желаемых напряжений в теле путем изменения свойств.
Описание проблемы оптимального проектирования эндопротеза
Рассматривается идеализированная модель эндопротеза, основные параметры которого показаны на рис. 4. Подбор такой геометрии системы протез-кость обусловлен тем, что она воспроизводит практически все основные конструкционные особенности применяемых на данный момент моделей протезов. Подбор оптимальных упругих свойств предлагается осуществлять не по всей области эндопротеза О^ и О р,
а лишь в объеме его ножки О^. Это вызвано тем, что считается, что именно состояние ножки тазобедренного сустава является определяющим в успехе операции, поскольку она приходит в непосредственный контакт с костью и является последним звеном в передаче нагрузки, полученной со стороны таза головкой, на кость.
42
\\\WW\\W\\N^w
В
/777777777777777777
qi
Рис. 4. Схема проектируемого протеза: а - геометрические размеры установки протеза в полость бедренной кости, внешние граничные условия; б - размеры ножки протеза; в -внутренние граничные условия, приложенные к протезу силы; г - области контакта ножки
протеза и стенок кости Г и Г;, область проектирования , область неопределяемых
механических свойств О р
б
в
г
Параметры проектирования, т.е. переменные, определяющие достижение поставленной цели, - упругие характеристики материала ножки протеза. При этом предполагается, что свойства могут быть не постоянны относительно координат и изменяются в соответствии с предполагаемым законом.
Цель проектирования. Поскольку при эксплуатации протеза не избежать возникновения напряжений как в кости, так и в протезе (включая границу между ними), то целью проектирования должны стать «благоприятные» напряжения, т.е. напряжения, в максимальной степени соответствующие успешному исходу операции в долговременной перспективе. Желаемые напряжения не должны приводить к резорбции, которая возникает в области эпифиза с латеральной стороны и в области диафиза в центральном направлении относительно центральной оси бедра. Как было показано в работе [7], механической причиной резорбции служат пиковые напряжения в указанных областях, возникающие при передаче протезом нагрузки со стороны бедра на стенки бедра. Также не должно возникать разрушающих усилий ни в объеме кости, ни в объеме протеза. Суммируя сказанное и основываясь на изложенных во введении медицинских соображениях, предлагается следующая цель оптимального проектирования: уровень напряжений по поверхностям контакта между протезом и костью Гь и Гг (рис. 4г) должен быть однородным, хотя сама величина пограничных усилий ql и q2 (рис. 4в) не задается. Такой критерий был бы более правдоподобен, поскольку эксплуатация установленного протеза происходит под воздействием постоянно изменяющейся нагрузки. Следовательно, нельзя заранее установить те напряжения, которые в точности, с одной стороны, не вызывают резорбцию и обеспечивают рост костной ткани, а с другой стороны, соответствуют равновесию (возможно, квазистатическому) протеза или его динамике.
Дополнительно к уже указанным критериям в виде постоянных пограничных усилий добавляется еще одно требование на поле напряжений, заключающееся в постоянстве напряжений по всему объему ножки О¿1. Можно указать две причины этого. Во-первых, в процессе решения появляются свободные параметры модели, которые надо либо фиксировать, либо относить к параметрам управления, что усложняет поиск оптимального решения. Во-вторых, это соответствует естественному требованию к долговременной прочности протеза, обеспечение которой возможно и путем равномерного напряженного состояния, т.е. такого состояния, которое исключало бы возникновение опасных пиковых напряжений по границам и по объему ножки.
Математическая формулировка желаемых напряжений будет приведена чуть дальше в статье. Сама формулировка цели оптимального проектирования и поиск решения невозможен без явной формулировки основных соотношений, определяющих поведение структуры при любом допустимом наборе управляющих параметров. Будем считать, что поведение тела ножки протеза и окружающих костных тканей подчиняется теории упругости [8], уравнения которой описываются ниже.
Модель
Модель поведения ножки эндопротеза и окружающих ее костных тканей, вовлекаемых в расчет, основывается на квазистатической краевой задаче теории упругости. Выбор модели обоснован тем, что в твердых тканях кости и в протезе не возникает таких напряжений, которые при имеющейся податливости кости и возможных для протезирования материалах привели бы к значительным деформациям.
Квазистатичность объясняется относительно невысокой скоростью нагрузки, поскольку предполагается, что для человека с установленным эндопротезом исключены прыжки, интенсивный бег и иные типы физической активности, связанные с быстро изменяющимися усилиями на нижние конечности.
В модель включаются тело эндопротеза без вертлужной впадины и стенки бедренной кости.
Обозначения. В уравнениях теории упругости используются тензор напряжений Су, тензор деформаций в у, поле перемещений иг- (все три зависят от
радиуса-вектора), поверхностные силы р, приложенные к части 5С поверхности тела
£, а также упругие свойства Сум , задаваемые или определяемые в каждой точке тела.
В задаче пренебрегаем массовыми силами, температурными и инерционными эффектами.
Уравнение равновесия. Как уже указывалось, в нем пренебрегается инерционным членом
Су,у = 0 . (1)
Отсутствие массовых сил объясняется их относительной малостью (порядка 1,35,5 Н) по сравнению с нагрузками (~ 100-1000 Н) со стороны таза человека.
В случае, если ищется обобщенное решение, то уравнение (1) заменяется интегральным соотношением
|с ••~(бтг)¿V Р - ¿5 = 0, V (г) = 0, г е 5и, (1')
включающим и силовые граничные условия. Обобщенное решение часто используется исследователями при численных расчетах механических конструкций, поскольку позволяет понизить порядок производной и построить расчетные алгоритмы для более широкого класса возможных решений для с у. Более того, для обобщенной задачи
термоупругости доказаны единственность и существование решения, работа [9].
Закон Гука.
Су = С ук1 (Г) в Ы1 . (2)
Зависимость Сум (г) от координаты точки г имеет то принципиальное
значение, что проект оптимального протеза реализуется с помощью неоднородной конструкции в области ножки протеза. Следовательно, нельзя заранее указать, в какой подобласти упругие характеристики будут постоянными.
Линеаризованное соотношение Коши выражает связь между перемещениями в теле и возникающими деформациями, если те считаются малыми
ву = 1 (и, у + иу ,г ) . (3)
Выполнение уравнения (3) автоматически обеспечивает совместность получаемых в ходе решения деформаций, хотя существуют иные способы ее проверки. Об этом речь пойдет ниже.
Размеры проектируемого эндопротеза. В качестве опорных были использованы усредненные размеры эндопротезов тазобедренного сустава конструкций Мура-ЦИТО и Сиваша (рис. 5), выпускаемых отечественным производителем изделий для травматологии, ортопедии и протезирования ФГУП «ЦИТО», г. Москва: диаметр ножки 14-18 мм, высота протеза 231-235 мм (протез Мура-ЦИТО), 242-245 мм (протез Сиваша). Иные протезы имеют количественно схожие размеры, можно найти протезы
а б
Рис. 5. Типовые конструкции эндопротезов отечественного производства (ФГУП “ЦИТО”, г. Москва): а - протез Сиваша, б - протез Мура-ЦИТО
высотой от 190 мм и более 250 мм (информация по данным Интернет-сайта компании ООО «МедТехИнвест» - www.ostov.ru/index.html). Размеры варьируются в зависимости от конструкции и от типоразмера.
Принятая в расчетах идеализированная модель бедренной кости и протеза показана на рис. 4. На основании указанных протезов в данной работе для расчетов были приняты следующие усредненные размеры (рис. 1а и1б):
I = 160 мм, р = 50 мм, dl = 9 мм, d2 = 15 мм, е = 50 мм, h = 7 мм. (4)
С помощью рентгенограмм установленных протезов были оценены остальные геометрические параметры установки протеза в бедренной кости: Ь = 250 мм, Wb = 10 мм, wt = 10 мм, где Wb и wt - соответственно, толщины стенки бедренной кости снизу и сверху в области (соответственно рис. 4а), не соприкасающейся с протезом.
Как уже говорилось, решается задача поиска оптимального распределения свойств в некоторой усредненной идеализированной конструкции, представляющей основные, качественные особенности устройства эндопротезов. Поэтому авторы выбрали типовые размеры какого-то одного протеза, не умаляя достоинств других проектных решений.
Граничные условия. Граничные условия на перемещения проиллюстрированы на рис. 4а
и (Г) = 0 при Г є Зи , (5)
где 8и - граница крепления левой части бедренной кости, имитирующей область диафиза.
Также перемещения в областях кости и протеза по границе контакта должны быть равны. Но поскольку эти требования выполняются автоматически при подобранной расчетной схеме, то они не требуют записи в виде отдельной формулы. Иные условия на перемещения не накладываются.
По отношению к силам в данной конструкции будем рассматривать граничные условия, разделенные на внутренние и внешние. К внешним отнесем закрепления и усилия, приложенные к системе протез-бедренная кость со стороны таза (рис. 4а). При этом считается, что силы, приложенные к головке протеза, эквивалентны равнодействующей Г, приложенной к точке А (рис. 4а) с главным моментом системы
этих сил М А = 0. Действием остальных сил, создаваемых окружающими мягкими тканями, мышцами, пренебрегаем.
Более важную роль в решении рассматриваемой задачи оптимального проектирования играют внутренние граничные условия, к которым относятся условия контакта ножки протеза и стенок бедренной кости по поверхностям Гь и Гг (рис. 4г). Опираясь на приведенные ранее рассуждения о нагрузках на кость, задаются равномерные усилия по данным границам с помощью четырех функций плотности поверхностных сил д\х, 41у , 42х, 42у
где 1, ] - единичные векторы, направленные вдоль соответствующих координатных осей х и у (рис. 4в). Указанные поверхностные силы должны удовлетворять граничным условиям по напряжениям на границах Гь и Гг
где <5у - напряжения в объеме ножки протеза, п^ - компоненты внешней нормали к
соответствующей поверхности ножки протеза Г^ или Гг.
Также учитывается взаимодействие кости и протеза в области ограничивающих упоров. Соответствующие сосредоточенные усилия и Р2 прикладываются в направлении, нормальном к границе контакта в этой области. Таким образом, исключается из рассмотрения трение между упорами и костью.
По поверхностям остальных границ, не упомянутых выше, задаются нулевые напряжения.
Равновесие протеза. Записанное в общем виде уравнение (1) может быть применено к отдельной части конструкции. Это позволит более четко сформулировать цели оптимального проектирования на уровне напряжений.
Рассмотрим протез отдельно от кости и изобразим все усилия, которые согласно сделанным предположениям приложены к его поверхностям (рис. 4в). Тогда составляются уравнения равновесия, число которых для полученной плоской системы сил равно трем,
где 42у в соответствии с рис. 4в имеет отрицательное значение, а Ех > 0 и Еу > 0. В
системе уравнений (8) использованы обозначения размеров согласно рис. 4б.
Точка А - точка приложения равнодействующей сил, действующих на головку эндопротеза (рис. 4б). Точка В - полюс, относительно которого рассчитываются алгебраические моменты при составлении уравнений равновесия (рис. 4в).
на ГЬ 41 = 41х1 + 41у ] , на Гг Ч 2 = 42х1 + 42у ] ,
(6)
Ъуп} = (41)! на ГЬ и Ъуп] = (42)I на Гг,
(7)
(8)
Задача управления напряжениями
В рамках сказанного выше формулируется следующая задача оптимального проектирования. Требуется определить такое поле распределения модуля упругости Е(г) по объему ножки протеза О^, что по границам контакта Г и Гг возникают равномерные поверхностные усилия ql и q 2, а в объеме протеза создается однородное поле напряжений Су. Все участвующие в формулировке величины должны
удовлетворять выписанным соотношениям (1), (7) и (8).
В такой постановке задача относится к проблеме управления напряжениями с помощью механических свойств тела, и далее кратко излагается метод решения подобных задач.
В последнее время очень высок интерес к решению задач, называемых некоторыми авторами задачами управления, обратными задачами или задачами оптимального проектирования. С позиций модели (1-3), (5), (7) суть их состоит в определении параметров модели термоупругости по известным откликам тела или конструкции в напряжениях, деформациях или перемещениях. Рассмотрим одну из упомянутых задач управления - задачу управления напряжениями. Ее общая формулировка такова:
Задано допустимое поле напряжений, то есть задана тензор-значная функция
5* (г), определенная на V и удовлетворяющая уравнениям (1) и (7) или (1'). Требуется определить значение выбранных параметров модели, обеспечивающие создание напряжений в теле равных 5* (Г).
Для решения предложенной задачи понадобится ряд дополнительных определений.
Пространство совместных тензоров. Теорема
Основу решения поставленной проблемы составляет теорема о необходимых и достаточных условиях достижения заданных напряжений. Для ее формулировки необходимо ввести функциональное пространство.
Рассматривается множество симметричных тензоров второго ранга Н, компонентами тензора являются функции, определенные на V и принадлежащие пространству Ь 2. В данном множестве вводится норма элемента
Нетрудно показать, что множество Н является замкнутым относительно операций сложения и умножения на скаляр. Определено скалярное произведение двух элементов множества Н :
Метод управления напряжениями
(9)
~ _1
где С - тензор податливости.
Другими словами, множество Н является гильбертовым пространством.
В пространстве Н выделяется подмножество Ни ^ Н согласно следующему определению: некоторый симметричный тензор второго ранга принадлежит
подмножеству / е Ни , если выполняются два условия
Нетрудно показать, что Ни - подпространство пространства Н .
Формулируется следующая теорема, на которой основаны оценки и алгоритмы
необходимо создать в теле. При этом считается, что а * (Г) - это симметричный тензор второго ранга, удовлетворяющий уравнению (1') или уравнениям (1),(7). Вводится тензор
Теорема. Условие / е Ни есть необходимое и достаточное условие того, что
пластическую, пьезоэлектрическую деформации или иные типы неупругих деформаций. В данной работе никаких неупругих эффектов не рассматривается,
При таком подходе для достижения предписанных напряжений и деформаций не требуется решение задач теплопроводности и термоупругости. Значения управляющих параметров ищутся независимо от решения этих задач. Это ценно, поскольку реализация прямого решения - это уже достаточно трудоемкая процедура для сложных тел, как в данной статье. Здесь же прямое решение не определяется по параметрам управления, но используется его свойство, которого вполне достаточно для того, чтобы установить необходимые и достаточные условия, которым должны удовлетворять искомые параметры управления.
Применение теоремы для решения конкретной задачи выражается в вычислении
меры несовместности тензора /, которая определяется как его расстояние до подпространства Ни (рис. 6)
где аі - коэффициенты Фурье в базисе жі, і = 1, 2, 3, ... в подпространстве Ни .
Зи(г): и (г) = 0, У г є 8и : ~ (г) = 2 (V и + иУ)
(11)
решения задач управления напряжениями. Пусть а* (Г) - поле напряжений, которые
(12)
будут созданы напряжения о(г) = с* (г) по всему объему тела, занимающего
— 3
область V в пространстве Е .
~Т
В уравнении (12) использован тензор в , означающий температурную,
поэтому будем считать, что в Т = 0.
мера несовместности / / 'V
Рис. 6. Иллюстрация меры несовместности характеристического тензора / как расстояния до подпространства совместных тензоров деформации Ни
üj = J а • -7Гг dV . (14)
Как было показано авторами в ряде теоретических исследований [5, 10, 11], расстояние р(/, Ни ) мажорирует отклонение реализуемых напряжений от желаемых значений с помощью неравенства
*и 1
Т,2
0-0 IIl2 ^
min X min (r ) V
7eV
(/>/)l2 -Z ü2, (15)
i=1
где min X min (r) - минимальное по объему минимальное собственное значение
reV
матрицы упругих свойств С^, см. уравнение (2). Так, для изотропных и однородных сред m in X min (r ) = E/ (1 - 2v).
reV
При реальном вычислении оценки (15) невозможно пользоваться бесконечной суммой, поэтому ее приближенно заменяют на подсумму по конечному числу слагаемых п, отвечающему за точность решения.
Тогда, согласно оценкам, устремление функционала к нулю варьированием какого-либо параметра управления означает стремление к нулю и разности истинных и желаемых напряжений
Ф ^ min ^ || а - а* || ^ min. (16)
f
Смысл правила управления напряжениями (16) сводится к поиску минимума функционала Ф по любому из составляющих тензора f, к которым (по формуле (12)), в принципе, относятся механические и температурные свойства, поле температуры. По этой же причине при использовании (16) для достижения минимума функционала Ф
также может использоваться сам тензор f * (r). В этом случае использование (16) автоматически означает решение двух взаимно связанных проблем: определение желаемого поля напряжений f * (r ) и его достижение в объеме рассматриваемого тела.
Базисные функции и оптимальное поле напряжений
Вопрос о построении базисных функций подпространства Hu возникает в любой задаче, не имеющей известного аналитического решения для всей рассматриваемой области или ее части. Решить данную проблему можно, как минимум, двумя путями.
Во-первых, предлагается некоторая аппроксимация поля перемещений
u(r ) ~^аг-фг (г), r є V , i = 1, n,
(17)
где фг (г) - дифференцируемые функции разложения поля перемещений,
рациональный подбор которых позволяет учесть особенности геометрии и неоднородность рассматриваемой конструкции. Количество п аппроксимирующих функций отвечает за точность разложения и за полноту воспроизводства в задаче бесконечномерного подпространства Ни . Между некоторыми коэффициентами а, возникает связь, поскольку перемещения (17) должны удовлетворять граничным условиям для перемещений (5). После этого с помощью геометрических соотношений (3) возникает приближение для кинематически допустимых деформаций
здесь уг (г) представляют собой начальные базисные элементы подпространства Ни , которые после ортогонализации образуют конечномерный базис (г ) , г = 1, п .
Однако авторы данной статьи избрали иной путь определения т, (г). Совместные деформации возникают в теле, если приложить к нему некоторую произвольную силу. Так, были приложены следующие нагрузки:
по границе контакта областей О^ и Ор равномерная нагрузка Г = і и Р = І. (21)
При вычислении соответствующих полей деформаций была построена конечноэлементная модель протеза, и напряжения вычислялись в предположении плосконапряженного состояния. После чего на основании введенного скалярного произведения, формула (10), производилась ортогонализация полученных полей. В
результате был построен конечный ортонормированный базис ттг-, і = 1,6, для
рассматриваемой геометрии (в которую теперь не включается область Ор ).
При этом первые четыре нагружения были интересны не только как источник совместных деформаций. На их основании строились, вообще говоря, неизвестные по объему костных стенок поля напряжений, также необходимые для определения значений характеристического тензора по всему объему рассматриваемой области.
К костным стенкам помимо пограничных усилий ql = ^ і + ^ І и
Ч 2 = 42х і + 42уІ , а также контакта с плечами протеза 01 и О 2 не прикладываются
никакие иные нагрузки. Следовательно, возникнуть в области кости могут только те напряжения, которые представляют собой линейную комбинацию напряжений от
действия сил 01/01 и о2/02 и от воздействий (19), (20) с коэффициентами
разложения 41х, 4^ для нижней стенки и 42 х, 42 у - для верхней стенки.
Другими словами, желаемое поле напряжений по всей системе кость-протез задается следующим образом:
(18)
по границе Yb 41 = i и qj = j, по границе Yf q 2 = i и q 2 = j,
(19)
(20)
ау в области йа,
агу = \ 41х (а у )1х + 41 у (ау )1у + у(а у ) <2х в области нижней стенки кости, (22)
42х (су )2х + 42у (аг] )2у + §(ау )е2 в области верхней стенки кости,
где (ау )1х , (ау )1у, (ау )2х, (ау )2у представляют поля напряжений, созданных соответствующими единичными нагрузками (19), (20), а у - постоянные относительно координат значения, а (ау)^ , (ау)д2 - силами Q1/и Q2/102|, соответственно.
Все скалярные значения в уравнениях (22) ( д1х, д1у, я2 х, я2 у, у, 5 , а у - всего
9) должны удовлетворять условию равновесия (8) и пограничным условиям (7). В результате независимыми остаются лишь четыре переменные с учетом того, что приходится исключать из уравнений неизвестные силы Ql и Q 2. Авторами для этого были выбраны коэффициенты 42х и 42у, хотя выбрать можно было и иные свободные
величины из уравнений (22). Также, дабы упростить процедуру вычислений, было предположено, что у = 5 = 0, поскольку в литературе не было обнаружено данных, указывающих на значимую роль функционирования плечей протеза на долговременный успех операции. Более того, в некоторых протезах такой конструкционный элемент вообще отсутствует (например, протезы, показанные на рис. 2).
Математическая формулировка задачи оптимального проектирования
В результате вышесказанного задача оптимального управления принимает следующий вид. Требуется определить распределение Е(г) по объему ножки протеза
О а, а также параметры напряженного состояния 42х, Я2у, обеспечивающие
создание в конструкции (рис. 4) желаемых напряжений, описываемых формулой (22).
В такой формулировке задача может быть интерпретирована как частный случай обратной задачи, которая, как хорошо известно, может иметь неединственное решение. С точки зрения поиска практически значимого решения это не так уж и плохо, поскольку оставляет возможность оптимального выбора в тех случаях, когда возникают ограничения, не переводимые в математические объекты и операции, например, доступность данного протеза в конкретном месте и в конкретное время, опыт установки данного протеза, его химическая устойчивость и т.п.
Отметим здесь, что впервые описанный метод управления напряжениями применен для конечно-элементной модели как для построения желаемого поля напряжений, так и для расчета базисных функций пространства Ни. До сих пор решение задач осуществлялось на телах с правильной и удобной геометрией, что допускало пусть и непростое, но аналитическое решение. Теперь же метод оказался применимым и для численных моделей. Причем, как видно из сказанного, способ численной реализации не сильно влияет на саму процедуру поиска оптимального проектирования, по крайней мере, до тех пор, пока остаются справедливыми соотношения (1'-3), (5), (7).
0 025 Результаты и выводы
0,015
0,005
па рис. 7 представлена конечно-элементная модель, использованная для поиска оптимального распределения Е (г ) по области ножки протеза (область, покрытая серым цветом). Технически поиск функции Е (г) осуществлялся подбором класса зависимости модуля упругости от координат с последующим определением скалярных
0,05 0,1 0,15 0,2 0,25
Рис. 7. Иллюстрация использованной конечно-элементной модели стенок кости и ножки протеза (показана серым цветом). По осям отложены величины, измеряемые в метрах
параметров функции из минимизации правой части неравенства (15). При расчетах были выбраны следующие четыре типа функций
Е0(г) = Сь Е1(г) = 1
С + c2 х + Сз у
Е2 (О = ------, Ез (г) = ~(----------^^. (23)
(С1 X + С2У) + Сз \е1еС2Х ) +(е3еС4Х )
Как видно из выражений (23), подбиралась функции аппроксимации модуля податливости. Причина этого заключается в том, что в этом случае легче и быстрее производится интегрирование по объему при вычислении оценки (15).
В отношении выбора вида функций (23) можно отметить два соображения. Во-первых, в силу неединственности решения поставленной задачи изначально предугадать вид функции оптимального распределения упругих свойств невозможно. Однако, как ожидали авторы, и что подтвердилось расчетами, можно по этим функциям (вообще говоря, пробным) установить тенденции, следуя которым можно выйти на наиболее оптимальную конструкцию протеза.
Также осуществлялся поиск оптимальных свойств со следующей структурой распределения по объему ножки
• в виде постоянных значений в пределах отдельного конечного элемента;
• в виде полосы из упрочняющего материала титана в объеме ножки протеза.
Прикладываемое усилие РА (рис. 4а) задавалось в виде усредненных значений
компонент вектора РА х = 10 Н и РА у = 1000 Н.
Компьютерная реализация производилась в созданной авторами программе, включающей следующие этапы:
• считывание данных о геометрии конечно-элементной модели,
• считывание данных о результатах пробных нагружений,
• процесс ортогонализации начальных пробных деформаций,
• вычисление правой части в неравенстве (15) по выбранной функции Е (г ),
• поиск оптимального решения,
• сохранение полученных данных в отдельных файлах на жестком диске компьютера.
Рис. 8. Оптимальные зависимости модуля упругости для выбранных типов зависимостей от координат согласно выражениям (23): а) Е(х,у) = Е^г), б) Е(х,у) = Е2(г), в)
Е(х, у) = Ез(г), г) кусочно-постоянное распределение модулей упругостей по конечным
элементам модели
м
0,024
0,017
0,010
0,1
0,125
0,15
0,175
0,2
0,225
0,25 м
-100,0 -85,71 -71,42 -57,14 -42,86 -28,57 -14,29 0 14,29 28,57 42,86 57,14 71,42 85,71 100,0
Е, Па
м а
0,024 Е-
0,017
0,010
0,1
0,125
0,15
0,175
0,2
0,225
0,25 м
I
1,000 2,727 4,455 6,182
м
7,909 9,636 11,36 13,09 14,82 16,55 18,27 20,00
Е-10'21, Па
0,024
0,017
0,010
0,1
I
0,125
Н
0,15
0,175
0,2
0,225
0,25 м
4,000 4,727 5,455 6,182 6,909 7,636 8,364 9,091 9,818 10,55 11,27 12,00
Е-10'8, Па
м
0,024
0,017
0,010
0,1
0,125
0,15
0,175
0,2
0,225
0,25 м
2,8916 9,5854 16,279 22,973 29,667 36,361 43,054 49,748 56,442 63,136
£-10-1°, Па
г
Рис. 9. Уровневые графики распределения оптимальных свойств для зависимостей, изображенных на рис. 8: а) для зависимости Е (х, у) = Е1 (г) (рис. 8а), б) - Е (х, у) = Е2 (г)
(рис. 8б), в) - Е(х, у) = Ез(г) (рис. 8в), г) для кусочно-постоянного распределения по
конечным элементам (рис. 8г)
б
в
На каждом из этапов вычислений результаты иллюстрировались соответствующими графиками и схемами.
На рис. 8 и 9 в разных формах представлены получившиеся оптимальные решения для каждого из предусмотренных в выражении (23) случаев. К представленным результатам следует добавить следующие комментарии.
Прежде всего авторы хотят обратить внимание на характер полученных результатов, поскольку на данный момент ставится проблема установить тенденции, которым должен следовать оптимальный протез. Абсолютные значения модулей упругости в данном случае носят качественный характер.
Использование аппроксимации Е0 (формула (23)) продемонстрировало сильную зависимость оптимального решения от начальных значений параметров проектирования, использованных для запуска поиска оптимального значения правой части неравенства (15). По нашему мнению, это указывает не столько на недостаток
метода, сколько на невозможность приблизиться к желаемой цели (22) с помощью протеза, изготовленного из однородного материала. Полученные значения Е0
7 12
изменялись в пределах от 10 Па до 10 Па в зависимости от начальных значений при поиске минимума Ф (формула (16)).
При использовании функции Е1 были получены результаты, проиллюстрированные на рис. 8а и 9а. Значения модуля упругости получились далекими от физически осознаваемых результатов. Действительно, на периферийных угловых зонах величина модуля упругости слишком мала (порядка 10-100 Па), что привело бы к огромным деформациям, и, наверно, создать и эксплуатировать такой протез невозможно. В результате работы такого протеза на самом деле возникает выравненное поле напряжений, но, к сожалению, сам протез не может выполнять свою функцию. Чтобы избежать этого недостатка аппроксимации Е1, необходимо учитывать при поиске решения либо ограничения на возможные значения модуля упругости, либо вносить какие-то прочностные ограничения на напряженное деформированное состояние в объемах ножки протеза и костных стенок.
Однако, поскольку аппроксимация Е1 позволяет вычислить значения оптимальных коэффициентов максимально быстро относительно других предложенных функций (формула (23)), она была использована для оценки и иллюстрации влияния на оптимальное решение значений компонент нагрузки на бедро ¥Ах и ¥Ау, рис. 10. В
данной работе приведен лишь один из набора графиков, наилучшим образом отображающий зависимость оптимального значения коэффициента аппроксимации от величин ¥Ах и ¥Ау . Несмотря на присутствие ступеньки на поверхности влияния ¥Ах и
¥Ау на с1, относительная погрешность составляет порядка долей процента, что
указывает на хорошую устойчивость решения по отношению к переменным нагрузкам. Следовательно, предполагаемая конструкция протеза оказывается оптимальной или близкой к оптимальной не только для узкого спектра нагрузок, но и для условий, соответствующих полноценному использованию восстановленного сустава.
Объяснить устойчивость решения на качественном уровне можно линейной зависимостью между факторами внешнего нагружения и целевых напряжений в объеме ножки протеза. Следовательно, в силу зависимости (12) устойчивым оказывается и
значение характеристического тензора, участвующего в построении оптимизирующей оценки (15).
Выбор вида зависимостей Е2 и Е3 обусловлен попыткой найти качественно иные решения проекта ножки протеза тазобедренного сустава и обеспечить положительные значения в оптимальном распределении модуля упругости. Результаты показаны на рис. 8б, 8в, 9б, 9в. Действительно, были обнаружены новые виды решения, из которых видно, что неоднородность свойств материала в оптимальном протезе может наблюдаться как в продельном, так и в поперечном направлениях. Но в обоих случаях обнаруживается тенденция к упрочнению материла в области эпифиза в латеральном направлении, что позволит в дальнейшем более целенаправленно и точно вести поиск оптимального проекта протеза. Распределение свойств по закону Е3 качественно соответствует результатам исследований Денисова с соавторами [6], где обосновывалась трехсекционная конструкция ножки протеза с уменьшающей жесткостью секций от эпифиза к диафизу бедренной кости.
Усмотрев в оптимальных решениях Е1 и Е2 стремление к возникновению упрочняющей полосы по объему ножки протеза (рис. 9а и 9б), авторы предприняли попытки найти оптимальный проект в виде двухкомпонентной структуры проиллюстрированной на рис. 11. В зонах Я1 и К2 размещается однородный изотропный материал со средними свойствами углерод-углеродистых композиционных материалов (ЕсагЪоп = 15-10 Па, данные из [6]), а зона Я3 представляет собой полосу, изготавливаемую из упрочняющего материала - титана (ЕЫапШт = 11-1010 Па), широко применяемого в медицинской практике для изготовления различных протезов [12]. При использовании данной модели считалось, что компоненты не могут терять контакт между собой. Параметрами проектирования в этом случае были: угол наклона параллельных линий раздела зон, их расположение на плоскости и расстояние между ними.
В результате поиска оптимальных размеров зоны Я3 оказалось, что однородный протез из углеродного композиционного работает лучше, соответствует более ровному распределению напряжений в ножке протеза нежели при наличии полосы, придающей дополнительную жесткость. Объяснить это можно тем, что в соответствии с графиком на рис. 8б значения модулей упругости упрочняющего элемента должна быть еще больше, чтобы придавать жесткость ножке протеза и свести к минимуму влияние неоднородности в конструкции. Такая схема была бы аналогична армированию более мягких материалов с помощью нитей или с помощью иных включений с малой объемной долей [13].
Поиск оптимального решения в виде модулей, постоянных в пределах конечных элементов, позволил определить проект свойств протеза, показанный на рис. 8г и 9г. Как и для аппроксимаций Е1 и Е2, по указанному распределению можно сделать вывод о необходимости упрочнения ножки протеза в области эпифиза бедра, однако в области диафиза эти решения расходятся.
Разнообразие полученных решений объясняется неединственностью решения самой задачи оптимального управления в той формулировке, которая предложена в данной работе.
Заключение
Авторами представлено пионерское исследование в области применения теории управления напряжениями деформациями для практических целей разработки оптимального проекта ножки тазобедренного сустава. Однако уже на данном этапе полученные результаты позволяют рассчитывать, что с некоторого момента совершенствования работы расчеты окажутся реально применимыми для конкретных клинических случаев.
Для этого в данной работе достигнуты основные цели, необходимые на данном этапе развития:
• показана применимость развитого метода управления напряжениями и деформациями в упругих средах для задач оптимального проектирования с нерегулярной геометрией,
• описаны подходы к формулированию проблемы оптимального подбора эндопротеза с позиции механики,
• реализован расчетный алгоритм.
Было бы наивно ожидать, что первичные результаты воссоздали бы некоторую абсолютно оптимальную структуру протеза. Но важно отметить, что уже на этом уровне исследований удалось выявить некоторые тенденции, которым, по-видимому, должен отвечать искомый проект ножки. Так, в частности, видно, что необходимо неоднородное упрочнение в объеме протеза, однако выбор материала и форма усиления могут оказаться разнообразными. Также видно, что не всякая усложненная конструкция лучше простого подхода в виде однородного материала со сходными с костью механическими характеристиками.
По ходу исследования возникает ряд вопросов, ответы на которые и образуют перспективу дальнейших изысканий и поиск более точных решений:
1. Каждый из оптимальных проектов получался при поиске локального минимума в правой части неравенства (15). Тогда требуется либо оценить, насколько локальны минимумы разнятся между собой, либо после соответствующего выбора реализовать один из методов поиска глобального минимума.
2. Необходимо исследовать сходимость решения, пусть для каких-либо выбранных частных случаев решения.
3. Реальная система протез-кость весьма далека от плоской, и было бы логично выстроить геометрию модели, соответствующую реальной.
4. Использованный подход допускает иные способы формализации целей оптимального проектирования (помимо (22)). Такие варианты должны быть оценены как с механической, так и с медицинской точек зрения.
5. Реальное применение протезирования сопряжено не только с успешным нагружением обработанной бедренной кости, но и с выполнением ряда ограничений на прочность, на выносливость материалов, на совместимость, на возможности технологической реализации и т.п.
6. Определенный интерес представляет оптимизация механических и геометрических параметров существующих технологических решений конструкций протезов. Это позволило бы уже на этом этапе объективно говорить об
индивидуальном подходе к выбору параметров восстановления тазобедренного сустава с помощью эндопротеза.
Благодарности
Авторы выражают искреннюю благодарность коллеге, профессору кафедры теоретической механики Пермского государственного технического университета С.А. Чернопазову за предоставленный программный пакет расчетов по методу конечных элементов.
Список литературы
1. Насонова, В.А. Остеоартроз тазобедренного сустава / В.А. Насонова, Е.Л. Насонов, Л.И. Алексеева, Ю.В. Муравьев // Справочник поликлинического врача. - 2004. - № 3.
2. Загородний, Н.В. Эндопротезирование тазобедренного сустава у пациентов пожилого возраста / Н.В. Загородний // Клиническая геронтология. - 2001. - № 3-4.
3. Лобенко, А.А. Эндопротезирование при заболеваниях и последствиях повреждений тазобедренного сустава / А.А. Лобенко, А.Н. Поливода, А.М. Игнатьев, А.Л. Чатковский, Д.Н. Дворников. -http://endoprotez.odessa.Ua/obzor.html#text_3.
4. Матвеева, Н.Ю. Остеопороз как причина нестабильности эндопротезов и ее фармакологическая
профилактика / Н.Ю. Матвеева, Н.А. Еськин, З.Г. Нацвлшивили, Л.К. Михайлова. -
http://endoprotez.odessa.Ua/obzor.html.
5. Кирюхин, В.Ю. О постановке и решении задач управления температурными напряжениями / В.Ю. Кирюхин, Ю.И. Няшин, В.А. Лохов // Математические методы и физико-механические поля. -2003. - Т. 46, № 2. - С. 128-135.
6. Denisov, A.S. Some Aspects of Application of Carbon Composite Material in Human Hip Joint Prosthetics / A.S. Denisov, Y.I. Nyashin, Y.V. Akulich, Y.A. Zmeev, Y.K. Osorgin, R.M. Podgaets, V.L. Scryabin, A.V. Sotin // Russian Journal of Biomechanics. - 1997. - Vol. 1, № 1-2. - P. 12-24.
7. Huiskes, R. The Relationship Between Stress Shielding and Bone Resorption Around Total Hip Stems and the Effects of Flexible Materials / R. Huiskes, H. Weinans, B. Van Rietbergen // Clinical Orthopaedics and Related Research. - 1992. - № 274. - P. 124-134.
8. Тимошенко, С.П. Теория упругости / С.П. Тимошенко, Дж. Гудьер. - М.: Наука, 1979.
9. Дюво, Г. Неравенства в механике и физике / Г. Дюво, Ж.-Л. Лионс. - М.: Наука, 1980.
10. Kiryukhin, V.Y. Prescribed thermal stress in anisotropic and inhomogeneous elastic structures: a novel approach / V.Y. Kiryukhin, Y.I. Nyashin, F. Ziegler // Proc. 4th Int. Congress on Thermal Stresses. - Osaka, Japan. - 2001. - P. 577-580.
11. Nyashin, Y. Shape and Stress Control in Elastic and Inelastic Structures / Y. Nyashin and V. Kiryukhin // IUTAM Symposium on "Dynamics of Advanced Materials and Smart Structures". - Kluwer Academic Publishers. - 2003. - P. 285-296.
12. Konyuchova, S.G. Substantiation for the Application of the Porous Inserts into the Plate Implants According to the Strength Condition / S.G. Konyuchova, G.I. Rogozhnikov, Y.I. Nyashin, S.A. Chernopazov, S.V. Eremina, K.V. Dozmorova // Russian Journal of Biomechanics. - 2002. - Vol. 6, № 2. - P. 22-32.
13. Vinson, J.R. The Behaviour of Structure Composed of Composite Material / J.R. Vinson, R.L. Sierakowski. - Dordrecht-Boston-Lancaster: Martinuas Nijhoff Publishers, 1986.
STRESS CONTROL METHOD IN THE PROBLEM OF THE OPTIMAL DESIGN OF HIP PROSTHESIS
V.Y. Kiryukhin, N.N. Lenkova, Y.I. Nyashin (Perm, Russia)
A method of stress control as applied to the problem of optimal design of the hip joint endoprosthesis structure is presented in this paper. The theory of stress and strain control in the model based on theory of elasticity was elaborated and proved in the previous studies by the authors. According to this approach the problem of the reaching the desired stress is solved by searching the thermal field or the mechanical properties. As a result the method of solution was originated and the corresponding algorithm of calculation was detailed. At this stage the particular problem of the obtaining the prescribed stress in the proximal femoral replacement field is considered as a problem of the variyng the mechanical properties in the leg of the prosthetic device. In the present paper the elaborated approach is applied first to the finite element model of the considered region. The aims of the otpimal design include the homogeneity of the stress in the prosthesis and the uniform stress on the contact boundary between the prosthetic device and the bone walls. The possibility of the optimal prosthesis structure design with other parameters of control is illustrated theoretically.
Key words: biomechanics, elasticity theory, optimal design, hip joint, endoprosthesis.
Получено 15 декабря 2004
