CC BY
2Электронный журнал «Труды МАИ». Выпуск № 71
www.mai.ru/science/trudy/
УДК 533.6.071.08
Метод термодинамических функций для исследования электромагнитной подвески моделей летательных аппаратов
Вышков Ю. Д.
Московский Авиационный Институт (национальный исследовательский университет), МАИ, Волоколамское шоссе, 4, Москва, А-80, ГСП-3, 125993, Россия
e-mail:yuvyshkov @ mail. ru
Аннотация
В системе электромагнитной подвески моделей летательных аппаратов в аэродинамической трубе, обеспечивающей стабилизацию положения модели по шести пространственным координатам, возникают известные трудности анализа на основе уравнений механического движения и уравнений Максвелла. В настоящей статье анализ взаимодействия между механической и электрической частями системы подвески проводится на основе общих энергетических соотношений -уравнений энергетического состояния, определяющих это состояние через энергетические функции от переменных состояния системы. В результате получены соотношения, определяющие связи между различными статическими характеристиками рассматриваемых систем, что позволяет находить характеристики, не поддающиеся измерению, по характеристикам, измерение которых не вызывает затруднений. Из полученных соотношений определены условия, предъявляемые к регулятору системы электромагнитной подвески при
необходимости стабилизации многих пространственных координат модели летательного аппарата в аэродинамической трубе.
Ключевые слова: аэродинамическая труба, электромагнитная подвеска, модель летательного аппарата, метод функций энергетического состояния
Введение
Система электромагнитной подвески включает в себя подсистемы различной физической природы - электрическую и механическую. Взаимодействие двух подсистем такого рода происходит и в электромеханических системах другого вида.
Связи и взаимодействие между механическими и электрическими переменными в системе электромагнитной подвески в аэродинамической трубе [1] определяются уравнениями механики и уравнениями электромагнитного поля. Трудности установления соотношений между переменными на основании этих уравнений обусловлены тем, что входящие в уравнения электромагнитные характеристики вещества - магнитная и диэлектрическая проницаемости, удельная проводимость, - зависят от плотности энергии в веществе, причём эти зависимости не поддаются теоретическому расчёту, а экспериментальные характеристики могут быть получены лишь в простейших случаях. При сложной конфигурации электромагнитной системы реального устройства электромагнитной подвески модели летательного аппарата в аэродинамической трубе возникают и серьёзные математические трудности.
Многокомпонентная система электромагнитной подвески
В настоящей работе связи между механическими и электрическими переменными в системе электромагнитной подвески моделей летательных аппаратов в аэродинамической трубе устанавливаются из общих энергетических принципов.
В основу положено уравнение энергетического баланса в дифференциальной форме
ди = 2£=1 рк &хк , (1)
где и - энергия системы, РК, Xк- пара величин, характеризующая определённое взаимодействие.
Метод анализа электромеханических систем, названный методом функций энергетического состояния, состоит в том, что на основании закона сохранения энергии в дифференциальной форме вводятся функции энергетического состояния электромеханических систем и из условия существования полных дифференциалов этих функций устанавливаются общие соотношения между изменениями переменных состояния и энергетических функций.
Полагаем, что сила Рк направлена по координате Ук и вызывает изменение этой координаты йУк за интервал времени дг. Уравнение баланса энергии системы в дифференциальной форме:
1кдх = аи /к2Дк^ + (М+ дУк (2)
где ик, /к - напряжение и ток k - го электромагнита, Ик - сопротивление обмотки k - го электромагнита, W - магнитная энергия - функция состояния многокомпонентной системы электромагнитной подвески
Уравнение обмотки k - го электромагнита
^ + Як/к = ик . (3) Согласно (3) имеем для обмоток всех электромагнитов системы:
22=1^* /*л = ний^ + 22=1/*¿фк. (4)
Сравнивая (2) и (4), получаем уравнение энергетического баланса рассматриваемой многокомпонентной системы электромагнитного подвеса в виде дифференциала магнитной энергии W = W (ф1 , ф2 , • • • Фп , Y1 , Y2 , . . .Yn) :
= 22=1/*¿Фк - ни*'* ¿Ук. (5) Применяя к функции состояния W преобразование Лежандра, получаем другие функции энергетического состояния рассматриваемой системы:
Н = Н2=1рк Ук ; (6) Нов = м- 22=1/* Ф к ; (7)
= Нсв + 22= 1^* Ук • (8)
Функции (6), (7), (8) - электромеханические аналоги термодинамических функций энергетического состояния: энтальпии НЭ , свободной энергии Нсв , энергии Гиббса СЭ .
Полные дифференциалы функций состояния (6), (7), (8):
а нэ = 1£=11к 1£=1Ук а Рк ; (9) а нсв = - <Ик+ Ц=1Рк а Ук ; (10) а сэ = - т=1фк <Ик+ Ц=1Ук а Рк . (11)
Переменные состояния многокомпонентных электромеханических систем, в частности, многокомпонентной системы электромагнитной подвески, выражаются через частные производные функций состояния:
^ дШ к = д'Фк II дШ ^ дНэ д¥к , к = д'к кУ II дНэ дРк , (12)
д1к II дНСв , фк=- дУк Гк дсэ д1к , к II дСэ дFк'
Имея в виду, что вторые смешанные частные производные функций состояния не зависят от последовательности дифференцирования, устанавливаем из (12) соотношения взаимности для многокомпонентных электромеханических систем, в частности, для системы электромагнитной подвески в аэродинамической трубе, обеспечивающей стабилизацию шести степеней свободы подвешиваемой модели
д1к = _ ; = дУ^ ;
д¥г д'к ; дфг д'к ; ( )
дфк = _ д£1 ; = _ д¥1 ; д¥1 д1к ; дР1 д1к ;
Получим необходимое условие устойчивость для многокомпонентной системы электромагнитной подвески. Сила I - го электромагнита является функцией многих переменных
^ = ^ (У1 , У2 , • • • Уп , /1 , /2 , • • • /„ ) (14) Дифференциал ^
др- ДР- ДР- ДР-
¿^ = р ¿у + • • • + р ¿У2 + р ¿\ + • • • + р ¿/2 (15)
1 ДУХ 1 ДУп 2 д/х 1 д/п 2 4 7
Делим (15) на ¿У^:
_Д£1 = др. йу + + ДР. + + ДР. £Уп + ДР £/1 + + ДР. + ДР. £/п (16)
ДУ. Ду ЙУ. • • • ДУ. • • • ДУп ЙУ£ д/1 ЙУ£ • • • Д/. ЙУ£ • • • д/п £Уг ( )
Полагаем, что изменяется только У^ , а все прочие координаты постоянньг Полагаем, кроме того, что ток I - го электромагнита изменяется регулятором только при изменении У^ , тогда как все токи, кроме /, постоянньг В этом случае (16) запишется
_Д£! = ДР + ДР .£/! (17)
ДУ. ДУ. Д/. йу. ( )
Поскольку необходимым условием устойчивости электромагнитной подвески
Др.
является -р > 0, то из (17) вытекает требование к регулятору многокомпонентной ДУ!
системы электромагнитной подвески:
^ > - ДР Ж (18)
ЙУ. ДУ. ДР. 4 7
Система электромагнитной подвески с одним электромагнитом
Применим полученные результаты к простейшему частному случаю системы электромагнитной подвески с одним электромагнитом, сила которого удерживает ферромагнитное тело при воздействии силы тяжести ( рис !)•
А У
м,
т
Рис. 1. Система электромагнитной подвески с одним электромагнитом Уравнение энергетического баланса системы подвески с одним электромагнитом /^ = ^ + РйУ (19)
где ф — потокосцепление , W — магнитная энергия. Уравнение (19) аналогично известному в термодинамике уравнению [2] ТйБ = йи вн + РйУ (20)
где Т — температура, 5 - энтропия, и вн — внутренняя энергия, Р - давление, V -объём.
Энергетические функции состояния системы с одним электромагнитом:
энтальпия
Нэ = W + ГУ ; (21) свободная энергия Нсв = W -1 у ; (22)
энергия Гиббса
О э I Нсв + РУ = W -1 у + ГУ ; (23)
Магнитная энергия системы с одним электромагнитом может рассматриваться
как функция двух переменных состояния : у, У; энтальпия - как функция у, Р; свободная энергия - как функция у, Р; энергия Гиббса - как функция I, Р :
W = W( у, У ) ; Нэ = Нэ (у, Г ); Нсв = Нсв (у, Р ); О э ^ О э ( I, Р ). (24)
Уравнения (24) представляют собой уравнения состояния. Полные дифференциалы функций (24) :
4Ш= ( -Ш ) уау + ( -Ш) у ау ; аНэ = ( ) р ау + ( -НЭ) у ау ; (25) аНсв = (Щг) Уа1+( -¡г) 1аУ ; аОэ = (^) Ра1 + ( *>■
Сопоставление (25) с выражениями для дифференциалов, получаемых из (19) _ (25), позволяет выразить переменные состояния через частные производные энергетических функций состояния:
'= ( д-Ш ) у ; Р=- ( -Ш) у ; I=( --ф ) Г ; у=( ^; (26)
р = - ( -НУ-) ' ; *= -( ^ )у ; *= - (1г )р ; у=( '
Следствием полученных соотношений являются уравнения W = Нсв + I ( д-Нт )у ; Нсв = О э _ I ( ^ )р , (27)
аналогичные известным в термодинамике уравнениям Гиббса - Гельмгольца [ 3 ].
Первое из уравнений (27) определяет магнитную энергию, второе определяет суммарную энергию системы в равновесном состоянии - магнитную и потенциальную энергию подвешиваемого тела в поле электромагнитной силы.
Поскольку значения смешанных вторых частных производных функций (24) не зависят от последовательности дифференцирования, из (26) имеем:
_ ( -У > = ( —ф> ; ( % > = ( -Ф > ; (28)
(дф\ (м \ (дф\ /-У\
_ ( —У У= ( ИГЛ ; _ ( И У= ( У-
Соотношения (26) позволяют выражать одни характеристики через другие, что может быть использовано при проектировании и исследовании систем электромагнитной подвески. Дело в том, что зависимости электромагнитной силы от тока и пространственных координат доступны для измерения, в то время как измерение зависимости потокосцепления от тока и пространственных координат весьма затруднительно, особенно для многокомпонентных электромагнитных подвесов с несколькими электромагнитами при сложной конфигурации магнитного поля, как в системе подвески модели в аэродинамической трубе.
Для системы с одним электромагнитом связь между переменными состояния Р, у, I устанавливается уравнением состояния
/ (Г, у, I ) I 0. (29)
Если известно уравнение состояния, то для полного определения состояния системы электромагнитной подвески достаточно знать две переменные состояния из трёх - каждая переменная может быть представлена как функция двух других:
Г= Г (У, I ) , I = I (Г, У ) , У= У(Г, I ) . (30)
Если функции (30) непрерывны и однозначны, их полные дифференциалы
ар = (I ) у т+(1?) I ^ ; (31)
т = ( 17 ) У ^ + ( я) Г ^ ; (32)
ду = ( ) I йр + ( 17) г ^ . (33)
Шесть частных производных в выражениях полных дифференциалов являются величинами взаимно-обратными:
( £) ' • ( I ) I» 1; ( £) у( 17 ) у= 1; ( I) К 17 ) Г= 1 (34)
Как следует из (34) независимыми являются не более трёх из шести частных производных.
Рассмотрим следующие три частные производные ( ^
I ' ( "1Т) У ' ( ¿17 ) Г и
покажем, что независимыми являются две из них; каждая из этих производных может быть представлена как функция двух других. Из выражения (31) следует:
( £)у •( 1М 1?)' = - 1; ( 1?)' •( 17)у = - 1 (35)
Уравнения (35) представляют собой дифференциальные уравнения системы электромагнитной подвески с одним электромагнитом, как и любой другой подобной электромеханической системы.
Для системы электромагнитной подвески из выражения (31) можно получить необходимое условие устойчивости. Деля (31) на ау , получаем
Т. = ( —1 )г± + ( -1) , > о, (36)
йУ V -I йУ V -У) 1 4 у
откуда вытекает необходимое требование к однокомпонентному регулятору
Т / -1 Ч ( -I \ ^^
ТУ> -( 'sr)l ■ ( > ' (37)
аналогичное условию (18), частным случаем которого (37) и является. Выводы
Применение метода термодинамических функций для анализа многокомпонентных систем электромагнитной подвески позволило получить:
1. Функции энергетического состояния многокомпонентных электромеханических систем, которые дали возможность установить соотношения (13), определяющие связи между различными статическими характеристиками таких систем, что позволяет находить характеристики, трудно поддающиеся измерению, по характеристикам, измерение которых не вызывает затруднений.
2. Уравнения для систем электромагнитной подвески с одним электромагнитом (27), устанавливающие соотношения между энергетическими
функциями состояния и аналогичные термодинамическим уравнениям Гиббса _ Гельмгольца.
3. Соотношения (28) (за исключением известного первого из этих соотношений [2]), устанавливающие связи между статическими характеристиками системы электромагнитного подвеса с одним электромагнитом.
4. Условия, предъявляемые к регулятору системы электромагнитной подвески при необходимости стабилизации многих пространственных координат. Библиографический список
1.Вышков Ю.Д., Ковальногов С.А., Усачёв В.Н., Шаповалов Г.К. Опытная установка электромагнитной подвески модели в дозвуковой аэродинамической трубе. Учёные записки ЦАГИ, 1986, т. XVII, № 4, с. 94 - 97.
2.Сивухин Д.В. Общий курс физики. Термодинамика и молекулярная физика. - М.: Наука, 1978. - 552 с.
3.Ленк А. электромеханические системы. - М.: Мир, 1978. - 285 с.
