CC BY
69
УДК 656.212
В. А. АНДРЮЩЕНКО (ДИИТ), В. Вл. СКАЛОЗУБ (Днепропетровский государственный аграрный университет)
МЕТОД СТРУКТУРНОГО ПРЕОБРАЗОВАНИЯ СТОХАСТИЧЕСКИХ СЕТЕЙ ДЛЯ ГЕРТ-МОДЕЛИРОВАНИЯ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИХ И ЭКОНОМИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ
Розроблено метод структурного перетворення графiв стохастичних мереж, який розширюе сферу засто-сування ГЕРТ-моделей для аналiзу випадкових економiчних i технологiчних процесiв.
Разработан метод структурного преобразования графов стохастических сетей, расширяющий сферу применения ГЕРТ-моделей для анализа случайных экономических и технологических процессов.
The method of structural transformation of graphs of stochastic networks is developed, which extends an application sphere of GERT-models for the analysis of casual economic and technological processes.
Введение
Сетевые модели и методы широко используют при решении многих категорий как технологических, так и экономических задач, например, календарного планирования, замены оборудования, проектировании транспортных сетей, управления перевозками и др. Для анализа случайных процессов, представленных стохастическими сетевыми моделями, применяют графический метод оценки и пересмотра планов, ГЕРТ-метод [1]. Он позволяет определить вероятностные оценки времен выполнения сетевых графиков заданной структуры. Суть метода состоит в выполнении эквивалентных преобразований сетевых графов, которые образуют последовательно-параллельную структуру, содержащую также и петли. В результате преобразований структуры сети для последовательных, параллельных участков и петель исходный граф сводят к одной дуге, нагруженной эквивалентным для всей сети весом - искомой при анализе величиной.
Вместе с тем, не все сетевые структуры могут быть непосредственно представлены как композиция указанных базовых элементов. К ним относится, в частности, структура типа мостиковой схемы. В связи с этим возникает задача эквивалентного автоматического преобразования структуры произвольного потокового графа, отображающего некоторый технологический или экономический процесс, к предусмотренному в ГЕРТ-моделях виду.
Применительно к железнодорожным перевозкам структура графа движения вагонопото-ков часто не удовлетворяет требованиям ГЕРТ-методу - граф их движения не обязательно имеет последовательно-параллельную структу-
ру. В работе предложен метод структурного преобразования стохастических сетей в последовательно-параллельную форму, обеспечивающую возможности применения аппарата ГЕРТ-моделей.
Метод структурного преобразования стохастических графов для ГЕРТ-моделей
Метод основан на построении всех возможных путей в сетевом графе с одним источником (начальная вершина) и стоком (конечная вершина), по которым проходят выделенные части общего потока. При этом, естественно, производится дублирование узлов графа. Параметры дуг при преобразовании пересчитываются в соответствии с величиной потока для данного пути. Параллельно-последовательная форма сети получается рекурсивно путем объединения участков сформированных путей, которые имеют одинаковые префиксы и суффиксы.
Обозначим через й у дугу графа, направленную из 1 -го узла в у -й. Каждая дуга характеризуется весом (например, временем выполнения (у и величиной потока V у ). Поток дуги определим как часть общего потока в сети, который примем за 1. Тогда для дуги й у графа выполняется условие 0 < V у < 1. Для каждого узла графа, кроме начального и конечного, выполняется условие сохранения потока ^ V у vjk .
1 к
Для начального узла выходной поток равен 1, а для конечного - входной поток также равен 1. Пусть - дубликаты узла у. Суммарный поток для узлов-дубликатов равен потоку для ис-
ходного узла ^ Уг] = Уг] . Правила определения
потока для дуг преобразованного графа рассмотрим на фрагменте сети (рис. 1, 2):
уьс =
Ьсг 5
^аЬг ^аЬ
Ьсг
Ьсг
- у путей рк , Pj маршруты от корня к некоторому узлу А (префиксы) одинаковые,
- в каждом из путей рк, р ■ существует
вершина В, после которой маршруты к стоку хп (суффиксы) также одинаковые.
При конъюнкции узлов подпути рк , р ■ от начального узла х0 к узлу А отождествляются так же, как и подпути {В,...,хп} , а между узла-
На рис. 2 показано формирование всех возможных путей в сетевом графе рис. 1 и создание узлов-дубликатов, необходимых для преобразования сети в последовательно-параллельную форму.
Рассмотрим идею метода структурного моделирования на примере стохастической сети рис. 3 [3]. Граф связности узлов сети задается парами О = {(1, 2), (2, 5), (1, 3), (3, 2), (3, 4), (4, 2), (4, 5)}. Связь (4, 5) не позволяет использовать ГЕРТ-преобразования непосредственно. На рис. 4 представлено множество путей из вершины 1 к вершине 5, построенное для структурного преобразования сети. На рис. 5 а, 5 б, 5 с даны этапы преобразования.
Преобразование сети состоит в следующем:
1. Построить множество Р = {pi} всех путей в графе от начальной вершины до конеч-
рг ={х = х2 х'щ = хп } .
2. Выполнить конъюнкцию (объединение) вершин путей рк , р^ (последовательности узлов), если выполняются условия:
Рис. 4. Множество возможных путей в сети
Обобщая сказанное, получаем метод структурного преобразования стохастических сетей:
- объединить все начальные узлы графа, создать один узел-исток, а также и узел-сток;
- получить все возможные пути от истока к стоку как последовательности символов узлов;
- рекурсивно выполнить процедуру конъюнкции путей, у которых совпадают подцепочки-префиксы и суффиксы относительно некоторых узлов А и В; для узлов А и В как новых источников и стоков повторить процедуру конъюнкции;
- процедура структурирования сети заканчивается, если на очередном шаге операции конъюнкции не удается выделить новых узлов источников и стоков.
Расчет нечетких характеристик сетевых потоковых графов
Преобразованная структура может быть использована не только для оценки параметров стохастических сетевых графов, но и для сетей, нагруженных нечеткими величинами. При этом метод оценки значений временных характери-
стик (например, вагонопотоков) состоит в получении нечеткого аналога топологического уравнения Мейсона [1, 2]. Уравнение используется для определения характеристик специально введенной дуги, которая является эквивалентной заменой всего нечеткого графа.
Охарактеризуем выполнение дуг графа О (и , Ж) аналогом производящей функции ГЕРТ-систем [1] в форме пары двух нечетких величин = (Т]; а. ), где величина а. устанавливает, что операция дуги (г,]) будет иметь место, если имеет место узел <« », а Т. - временная характеристика этой операции. Величина а. характеризует объемную составляющую
дуги. Определим эквивалентные преобразования нечеткой сети О(и ,Ж) при ее «стягивании» в один узел для следующих случаев:
1) замена последовательности дуг
(,м ]к )< м1к;
2) параллельные дуги (а, мЬ) < м>Г+ь;
3) композиция элементов сети петля - дуга
(м Г, м. )< м а;
4) две вложенные петли в узле - дуга
(-а -Ь - \ , ч — гхЬ "г г > г г' "у ) ^^ "у
Структура с вложенными петлями введена дополнительно к [1]. Ее производящая функция равна произведению рядов, порожденных петлями. В табл. 1 приведены алгоритмы расчета эквивалентных параметров преобразованных подсетей как нечетких «треугольных» величин.
№ п/п ГЕРТ-операции преобразования сетей Аналоги операций над нечеткими дугами Расчет эквивалентных величин
1 м Х м1к = мгк ми + м]к = мгк (Тг] + Т]к ; Х « ]к )
2 маа + мь = ]ь) (ма о мь)= м{а+Ь) V г] г]! г] (№° п); а Г+к)
3 /(1 - <)=< мм Г1 -а Дг г )-1 Т г Г = * Г (Ту + 1пу (1 + 1т (<Хг- г))Х Т„; а.)
4 не определена % + П( (1 -«Дгг)-1 Т г' ) 8 Г Т. + ту (1 + 1т (а а )) Х Т г Х 1 ^1пу (1 +1т (а Ьг )) Т ь; а.- )
Таблица 1
Расчет нечетких характеристик эквивалентных подсетей
В таблице знаками {+,х} обозначены операции нечеткого сложения и умножения, соответственно, а т(*), ту(*) являются операциями построения изображения и инверсии нечетких величин с треугольной функцией принадлежности. Знаком {о} обозначена операция суперпозиции нечетких величин. Константа 1 как «треугольная» величина представляется тройкой (1, 1, 1). Измененные по сравнению с [1] формулы расчета эквивалентных величин (4-й столбец из табл. 1) позволяют вычислять как временные, так и объемные характеристики исследуемых процессов, в частности, вагонопо-токов.
Таким образом, для построения ГЕРТ-эквивалентов нечетких сетей, характеризующих транспортные или же некоторые экономические процессы, необходимо выполнить их преобразование в последовательно-параллельную форму, а далее в нечеткое ОЯ-ЛКБ представление, используя табл. 1. После этого производится расчет нечетких характеристик дуги, являющейся эквивалентной заменой сети в целом.
На рис. 6, 7 приведен пример преобразования нечеткой сети к структурированному виду, допускающему использование методов свертки табл. 1 и анализа системы в рамках нечеткого топологического уравнения. Процедура и этапы построения соответствуют рис. 3-5.
Рис. 6. Нечеткий граф до преобразования
Выводы
Широкое использование сетевых моделей и методов анализа технологических, экономических и других процессов при использовании стохастических и нечетких параметров опирается на математический аппарат ГЕРТ-преобразований. Вместе с тем, этот метод может быть использован лишь при определенной структуре сетевых моделей. В статье разработан метод автоматического структурного преобразования стохастических и нечетких сетей к виду, необходимому при ГЕРТ-моделировании, что дает возможность расширить сферу эффективного сетевого моделирования.
2.
3.
Рис. 7. Структурированный аналог нечеткого графа сети после преобразования к последовательно-параллельному виду
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
Филлипс, Д. Методы анализа сетей [Текст] / Д. Филлипс, А. Гарсиа-Диас. - М.: Мир, 1984. -496 с.
Прогнозирование показателей движения вагонов иностранных собственников на основе нечетких моделей исходных данных [Текст] / В. А. Андрющенко и др. // Вестник Днепропетр. нац. ун-та железнодор. трансп. им. акад. В. Лазаряна. - 2003. - Вып. 1. - Д.: Изд-во ДНУЖТ, 2003. - С. 84-90.
Скалозуб, В. Вл. Метод структурного перетво-рення потокових графiв для ГЕРТ-моделювання економiчних систем [Текст] / В. Вл. Скалозуб // В зб.: Тези доп. конф., Дншропетр. аграрн. ун-т. - Д., 2008. - С. 125-126.
Поступила в редколлегию 08.07.2008.
