Научная статья на тему 'Метод статистической линеаризации в динамике нелинейных систем мобильных машин'

Метод статистической линеаризации в динамике нелинейных систем мобильных машин Текст научной статьи по специальности «Физика»

CC BY
354
84
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
Ключевые слова
СЛУЧАЙНЫЙ ПРОЦЕСС / НЕЛИНЕЙНАЯ ДИНАМИЧЕСКАЯ СИСТЕМА / СТАТИСТИЧЕСКАЯ ЛИНЕАРИЗАЦИЯ / КОРРЕЛЯЦИОННАЯ ФУНКЦИЯ / СПЕКТРАЛЬНАЯ ПЛОТНОСТЬ / ДИСПЕРСИЯ / RANDOM PROCESS / NONLINEAR DYNAMIC SYSTEM / STATISTICAL LINEARIZATION / CORRELATION FUNCTION / SPECTRAL DENSITY / DISPERSION

Аннотация научной статьи по физике, автор научной работы — Гусев А. С., Щербаков В. И., Чуканин Ю. П., Стародубцева С. А.

Рассматривается метод статистической линеаризации применительно к нелинейным динамическим системам с несколькими степенями свободы.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Похожие темы научных работ по физике , автор научной работы — Гусев А. С., Щербаков В. И., Чуканин Ю. П., Стародубцева С. А.

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Method of statistical linearization of nonlinear dynamics in systems of mobile machines

The method of statistical linearization applied to nonlinear dynamical systems with several degrees of freedom is considered in the article.

Текст научной работы на тему «Метод статистической линеаризации в динамике нелинейных систем мобильных машин»

С.105 - 132.

5. Фомин В.М., Платунов А.С. Метод совершенствования показателей работы бензинового двигателя с внутренним смесеобразованием // М.: Известия МГТУ «МАМИ». - № 2 (12) 2011. - С. 84-95.

6. Фомин В.М., Каменев В.Ф., Хрипач Н.А. Теоретические и экспериментальные исследования работы двигателя на водородно-дизельных топливных композициях // International Scientific Journal for Alternative Energyand Ecology ISJAEE. № 7. 2005. - С. 32-42.

7. Фомин В.М., Атраш Рами. Улучшение показателей работы дизеля на бинарном биоуглеводородном топливе // Транспорт на альтернативном топливе. № 5 (29). 2012. - С. 36-40.

Метод статистической линеаризации в динамике нелинейных систем

мобильных машин

д.т.н. проф. Гусев А.С., к.т.н. проф. Щербаков В.И., доц. Чуканин Ю.П.,

к.т.н. доц. Стародубцева С.А. МГТУ им. Н.Э. Баумана, Университет машиностроения, 8(499)-223-05-23, доб. 14-57; [email protected]

Аннотация. Рассматривается метод статистической линеаризации применительно к нелинейным динамическим системам мобильных машин с несколькими степенями свободы.

Ключевые слова: случайный процесс, нелинейная динамическая система, статистическая линеаризация, корреляционная функция, спектральная плотность, дисперсия.

Методы расчета линейных динамических систем мобильных машин на случайные воздействия к настоящему времени хорошо разработаны [1, 2, 3]. При аналитическом расчете же нелинейных систем часто возникают почти непреодолимые вычислительные трудности. Наиболее эффективным (приближенным) методом расчета таких систем является метод статистической линеаризации [2]. Рассмотрим использование этого метода для расчета нелинейных систем с конечным числом степеней свободы, функционирование которых описывается следующим матричным дифференциальным уравнением вида:

црут+т=т (!)

где: L(p) — матрица линейных дифференциальных операторов (p = d / dt); q(t) - [<7j, q2,.. .,qn f - вектор обобщенных координат;

n — число степеней свободы системы;

ф(<7) — нелинейная вектор-функция сил сопротивления;

f(t)— вектор гауссовских стационарных процессов внешних воздействий с нулевыми средними значениями и заданными спектральными плотностями в виде матрицы: Я7(а>) = [Я/и/р(ш)], (<x,ß = l,2,...«). (2)

Задача состоит в определении матрицы спектральных плотностей выходных процессов

<7(0

^(ш) = [^(ш)], 0U=1,2,•••«)• (3)

Применим к уравнению (1) метод статистической линеаризации, суть которого состоит в замене нелинейной функции q>(q) на линейную ф0(д) = C-q, где матрица коэффициентов линеаризации C = [ckj ] подлежит определению по какому-либо критерию, определяющему близость векторов ф и фп.

Получаем линеаризованное уравнение вида:

[ад+с]-9(0=7(0. (4)

Матрица передаточных функций от внешних воздействий /(7) к выходным процессам д(7) на основе уравнения (4) определяется как:

Ы(/«) = [И к] ('«) ] = [ Ц/«) + С ]-1. (5)

Тогда для определения искомой матрицы (3) имеем формулу в матричном виде:

^ (со) = Н (-/со) • (со) • Нт (/со) (6)

или в скалярном виде:

п п

^ («)=ЕЕ На (-■«) • ('«) • ^ («) • (7)

а=1 р=1

Корреляционные моменты компонент вектора будут определяться по формуле:

«j

=(qkqj) = J Sqtqi (w)dw, (8)

где: — оператор усреднения.

Для определения матрицы C используем критерий минимума среднего квадрата отклонения, выраженного как:

J = ^(ф — CqY • (ф — Cqfj = (фгф-qTCTф-фTCq + qTCTCq) min. (9)

При реализации этого критерия воспользуемся следующими формулами для вычисления производных произведения матриц по матрице:

j^{ABC) = {BÄ)T = (10)

МаСтВ) = (ВА) -^(яГСГф) = ф?; (11)

dCv } dC

~^(ACtCD) = CDA + CAtDt ~^^(qTCTCq) = 2CqqT. (12)

л dJ _

Из условия — = 0 получаем: dC

С = $дт)-(ддту. (13)

Заметим, что для систем с одной степенью свободы формула (13) принимает вид:

(ф я)

c = ■

(я у

Из соотношения (13) следует, что элементы матрицы С выражаются через корреляционные моменты вектора т.е. имеем:

C = [ck =cki<qlql >,<^2 >,<qл qn>)]. (14)

Подставив (13) в (8) с учетом зависимостей (5)-(7), получим следующую систему алгебраических уравнений для определения корреляционных моментов вектора :

V = I ЕЕ[ ^а (-'«) + Ска ]-1 •[ О'« + СР}а/р (Ю) (15)

-¥ а=1 Р=1

Теперь по формуле (13) можно определить матрицу С и затем (путем решения уравнения (4)) - все вероятностные характеристики искомого процесса

Для примера рассмотрим нелинейную механическую систему с двумя степенями свободы, показанную на рисунке 1. Упругие элементы, изображенные в виде пружин, имеют нелинейные характеристики вида (рисунок 2):

= с1 Д1 + Ь1Д3, Д1 = я1 - я2; = с2 А2 + Ь2 Д2, А2 = я2, где: Г2 - усилия в упругих элементах;

01, 02 - обобщенные координаты системы; Л1? А2 - деформации упругих элементов; с1, Ь1, с2, Ь2 - параметры упругости; Ь - коэффициент линейного демпфирования.

Рисунок 1. Общий вид нелинейной механической системы с двумя степенями свободы: шх, П12 - массы; - вынуждающая сила; с19с2— линеаризированные параметры

жесткостей упругих элементов

а) б)

Рисунок 2. Нелинейные характеристики упругих элементов и линеаризирующие прямые: а) - для элемента, соединяющего массы между собой; б) - для элемента,

соединяющего массу т2 со стеной

Нелинейные составляющие упругих характеристик линеаризуем по критерию минимума среднего квадратического отклонения и заменяем на линейные выражения:

Л = (01 - 02)3 » К1 • (^1 - 02^ А2 = 023 » к2 ' 02,

где: К ! =

((01 - 02 )4 ((01 - 02 )2

= 3 (+ - 2$0102), К2 = 3 я1^ - коэффициенты линеаризации;

502, 5002 - дисперсии и коэффициент корреляции процессов 0^) и 02(^), которые

должны быть определены по ходу решения задачи. После линеаризации упругие характеристики принимают вид:

где: д1=с1+Ъ1к1=с1+ЪЪ1'^1+812-28т2)\ (16)

с2 =с2+ ЪЪ2 ^. (17)

Линеаризированные дифференциальные уравнения движения рассматриваемой системы имеют вид:

\м2(}2 —Сх '{дх -02) + 5202 +^02 - О, где: с1 = дх(^, ^, ^ ); с2 = с2(^).

Здесь в скобках указаны аргументы функций сх и с2.

Передаточные функции Н1(/ш) от Г (^) к 01(/) и И2(/ш) от Г (^) к 02(/) определяются из системы уравнений (18) при Г(^) = вш, 01 = Н1(/ш)• вш, 02 = И2(т)• вш. После подста-

(18)

новки и решения получим:

с1+с2— т2(02 + Ът (сг - т^2) • (сх + с2 - т2(й2 + Ьт) - с{

И ¿ко) = ^ ^ 2 „ 2-2 (19)

Н 2 0©) = -2 \ ^ ^-2 , . ч • (20)

(сг -щю )• (сх + с2 -т2со -\-Ьт)-с1

Спектральные плотности и взаимная спектральная плотность процессов q1(t) и д2(/)

будут вычисляться по следующим формулам:

Sí1(ш) = |#1(ш)|2 • SF(ш); (21)

'2 • SF (

SJw) = H2M2 • SF(w); (22)

Sq1q2 (ш) = Н (-ш)| • |Н (/ш)| • SF (ш). (23)

Дисперсии и коэффициент корреляции процессов ) и д2(/) будут выражаться следующими интегралами:

Sl = i Sqi (W) ^ ; ^ = i S.2 (W) ^W ; V = i Sq,q2 (W) ^W

Теперь по формулам (16) и (17) определяем величины q и с2, а по формулам (19) и (20) - передаточные функции. После этого по формулам (21), (22) и (23) находим спектральные плотности и взаимную спектральную плотность выходных случайных процессов q1 (t) и

q2(t) . Рассматриваемую задачу можно считать решенной.

Таким образом, показано, что метод статистической линеаризации в динамике нелинейных систем с конечным числом степеней свободы эффективен и вполне реализуем.

Литература

1. Вибрации в технике: Справочник в 6 т. Т. 1. Колебания линейных систем /Под ред. В.В. Болотина. - М.: Машиностроение, 1999. - 504 с.

2. Гусев А.С. Вероятностные методы в механике машин и конструкций. М.: МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2009. - 223 с.

3. Гусев А.С. Расчет конструкций при случайных воздействиях /А.С. Гусев, В.А. Светлиц-кий . М.: Машиностроение, 1984. -240 с.

4. Щербаков В.И. Избранные задачи по динамике механических систем и конструкций /В.И. Щербаков, И.С. Чабунин, С.А. Стародубцева. М.: МГТУ «МАМИ», 2010. - 288с.

¥

Закрученные струи за лопаточными завихрителями в свободном пространстве и в камере сгорания ГТД

к.т.н. доц. Эммиль М.В.

Университет машиностроения 8 (495) 223-05-23, доб. 1054

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Аннотация. Рассматривается течение закрученного потока воздуха за кольцевыми лопаточными завихрителями в свободном пространстве и в жаровой трубе камеры сгорания ГТД. Представлены профили скоростей и показана интенсивность турбулентности в различных зонах жаровой трубы камеры сгорания.

Ключевые слова: закрученные струйные течения, профили скоростей, турбулентность, жаровая труба камеры сгорания

Закрученные струйные течения широко используются в различных устройствах для сжигания топлива. Закручивание потока воздуха в камере сгорания интенсифицирует процессы турбулентного смешения и, следовательно, процессы горения, поскольку основное влияние на них оказывают газодинамические факторы. Закрутка потока является простым и

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.