CC BY
89
С.105 - 132.
5. Фомин В.М., Платунов А.С. Метод совершенствования показателей работы бензинового двигателя с внутренним смесеобразованием // М.: Известия МГТУ «МАМИ». - № 2 (12) 2011. - С. 84-95.
6. Фомин В.М., Каменев В.Ф., Хрипач Н.А. Теоретические и экспериментальные исследования работы двигателя на водородно-дизельных топливных композициях // International Scientific Journal for Alternative Energyand Ecology ISJAEE. № 7. 2005. - С. 32-42.
7. Фомин В.М., Атраш Рами. Улучшение показателей работы дизеля на бинарном биоуглеводородном топливе // Транспорт на альтернативном топливе. № 5 (29). 2012. - С. 36-40.
Метод статистической линеаризации в динамике нелинейных систем
мобильных машин
д.т.н. проф. Гусев А.С., к.т.н. проф. Щербаков В.И., доц. Чуканин Ю.П.,
к.т.н. доц. Стародубцева С.А. МГТУ им. Н.Э. Баумана, Университет машиностроения, 8(499)-223-05-23, доб. 14-57; sopr@mami.ru
Аннотация. Рассматривается метод статистической линеаризации применительно к нелинейным динамическим системам мобильных машин с несколькими степенями свободы.
Ключевые слова: случайный процесс, нелинейная динамическая система, статистическая линеаризация, корреляционная функция, спектральная плотность, дисперсия.
Методы расчета линейных динамических систем мобильных машин на случайные воздействия к настоящему времени хорошо разработаны [1, 2, 3]. При аналитическом расчете же нелинейных систем часто возникают почти непреодолимые вычислительные трудности. Наиболее эффективным (приближенным) методом расчета таких систем является метод статистической линеаризации [2]. Рассмотрим использование этого метода для расчета нелинейных систем с конечным числом степеней свободы, функционирование которых описывается следующим матричным дифференциальным уравнением вида:
црут+т=т (!)
где: L(p) — матрица линейных дифференциальных операторов (p = d / dt); q(t) - [<7j, q2,.. .,qn f - вектор обобщенных координат;
n — число степеней свободы системы;
ф(<7) — нелинейная вектор-функция сил сопротивления;
f(t)— вектор гауссовских стационарных процессов внешних воздействий с нулевыми средними значениями и заданными спектральными плотностями в виде матрицы: Я7(а>) = [Я/и/р(ш)], (<x,ß = l,2,...«). (2)
Задача состоит в определении матрицы спектральных плотностей выходных процессов
<7(0
^(ш) = [^(ш)], 0U=1,2,•••«)• (3)
Применим к уравнению (1) метод статистической линеаризации, суть которого состоит в замене нелинейной функции q>(q) на линейную ф0(д) = C-q, где матрица коэффициентов линеаризации C = [ckj ] подлежит определению по какому-либо критерию, определяющему близость векторов ф и фп.
Получаем линеаризованное уравнение вида:
[ад+с]-9(0=7(0. (4)
Матрица передаточных функций от внешних воздействий /(7) к выходным процессам д(7) на основе уравнения (4) определяется как:
Ы(/«) = [И к] ('«) ] = [ Ц/«) + С ]-1. (5)
Тогда для определения искомой матрицы (3) имеем формулу в матричном виде:
^ (со) = Н (-/со) • (со) • Нт (/со) (6)
или в скалярном виде:
п п
^ («)=ЕЕ На (-■«) • ('«) • ^ («) • (7)
а=1 р=1
Корреляционные моменты компонент вектора будут определяться по формуле:
«j
=(qkqj) = J Sqtqi (w)dw, (8)
где: — оператор усреднения.
Для определения матрицы C используем критерий минимума среднего квадрата отклонения, выраженного как:
J = ^(ф — CqY • (ф — Cqfj = (фгф-qTCTф-фTCq + qTCTCq) min. (9)
При реализации этого критерия воспользуемся следующими формулами для вычисления производных произведения матриц по матрице:
j^{ABC) = {BÄ)T = (10)
МаСтВ) = (ВА) -^(яГСГф) = ф?; (11)
dCv } dC
~^(ACtCD) = CDA + CAtDt ~^^(qTCTCq) = 2CqqT. (12)
л dJ _
Из условия — = 0 получаем: dC
С = $дт)-(ддту. (13)
Заметим, что для систем с одной степенью свободы формула (13) принимает вид:
(ф я)
c = ■
(я у
Из соотношения (13) следует, что элементы матрицы С выражаются через корреляционные моменты вектора т.е. имеем:
C = [ck =cki<qlql >,<^2 >,<qл qn>)]. (14)
Подставив (13) в (8) с учетом зависимостей (5)-(7), получим следующую систему алгебраических уравнений для определения корреляционных моментов вектора :
V = I ЕЕ[ ^а (-'«) + Ска ]-1 •[ О'« + СР}а/р (Ю) (15)
-¥ а=1 Р=1
Теперь по формуле (13) можно определить матрицу С и затем (путем решения уравнения (4)) - все вероятностные характеристики искомого процесса
Для примера рассмотрим нелинейную механическую систему с двумя степенями свободы, показанную на рисунке 1. Упругие элементы, изображенные в виде пружин, имеют нелинейные характеристики вида (рисунок 2):
= с1 Д1 + Ь1Д3, Д1 = я1 - я2; = с2 А2 + Ь2 Д2, А2 = я2, где: Г2 - усилия в упругих элементах;
01, 02 - обобщенные координаты системы; Л1? А2 - деформации упругих элементов; с1, Ь1, с2, Ь2 - параметры упругости; Ь - коэффициент линейного демпфирования.
Рисунок 1. Общий вид нелинейной механической системы с двумя степенями свободы: шх, П12 - массы; - вынуждающая сила; с19с2— линеаризированные параметры
жесткостей упругих элементов
а) б)
Рисунок 2. Нелинейные характеристики упругих элементов и линеаризирующие прямые: а) - для элемента, соединяющего массы между собой; б) - для элемента,
соединяющего массу т2 со стеной
Нелинейные составляющие упругих характеристик линеаризуем по критерию минимума среднего квадратического отклонения и заменяем на линейные выражения:
Л = (01 - 02)3 » К1 • (^1 - 02^ А2 = 023 » к2 ' 02,
где: К ! =
((01 - 02 )4 ((01 - 02 )2
= 3 (+ - 2$0102), К2 = 3 я1^ - коэффициенты линеаризации;
502, 5002 - дисперсии и коэффициент корреляции процессов 0^) и 02(^), которые
должны быть определены по ходу решения задачи. После линеаризации упругие характеристики принимают вид:
где: д1=с1+Ъ1к1=с1+ЪЪ1'^1+812-28т2)\ (16)
с2 =с2+ ЪЪ2 ^. (17)
Линеаризированные дифференциальные уравнения движения рассматриваемой системы имеют вид:
\м2(}2 —Сх '{дх -02) + 5202 +^02 - О, где: с1 = дх(^, ^, ^ ); с2 = с2(^).
Здесь в скобках указаны аргументы функций сх и с2.
Передаточные функции Н1(/ш) от Г (^) к 01(/) и И2(/ш) от Г (^) к 02(/) определяются из системы уравнений (18) при Г(^) = вш, 01 = Н1(/ш)• вш, 02 = И2(т)• вш. После подста-
(18)
новки и решения получим:
с1+с2— т2(02 + Ът (сг - т^2) • (сх + с2 - т2(й2 + Ьт) - с{
И ¿ко) = ^ ^ 2 „ 2-2 (19)
Н 2 0©) = -2 \ ^ ^-2 , . ч • (20)
(сг -щю )• (сх + с2 -т2со -\-Ьт)-с1
Спектральные плотности и взаимная спектральная плотность процессов q1(t) и д2(/)
будут вычисляться по следующим формулам:
Sí1(ш) = |#1(ш)|2 • SF(ш); (21)
'2 • SF (
SJw) = H2M2 • SF(w); (22)
Sq1q2 (ш) = Н (-ш)| • |Н (/ш)| • SF (ш). (23)
Дисперсии и коэффициент корреляции процессов ) и д2(/) будут выражаться следующими интегралами:
Sl = i Sqi (W) ^ ; ^ = i S.2 (W) ^W ; V = i Sq,q2 (W) ^W
Теперь по формулам (16) и (17) определяем величины q и с2, а по формулам (19) и (20) - передаточные функции. После этого по формулам (21), (22) и (23) находим спектральные плотности и взаимную спектральную плотность выходных случайных процессов q1 (t) и
q2(t) . Рассматриваемую задачу можно считать решенной.
Таким образом, показано, что метод статистической линеаризации в динамике нелинейных систем с конечным числом степеней свободы эффективен и вполне реализуем.
Литература
1. Вибрации в технике: Справочник в 6 т. Т. 1. Колебания линейных систем /Под ред. В.В. Болотина. - М.: Машиностроение, 1999. - 504 с.
2. Гусев А.С. Вероятностные методы в механике машин и конструкций. М.: МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2009. - 223 с.
3. Гусев А.С. Расчет конструкций при случайных воздействиях /А.С. Гусев, В.А. Светлиц-кий . М.: Машиностроение, 1984. -240 с.
4. Щербаков В.И. Избранные задачи по динамике механических систем и конструкций /В.И. Щербаков, И.С. Чабунин, С.А. Стародубцева. М.: МГТУ «МАМИ», 2010. - 288с.
¥
Закрученные струи за лопаточными завихрителями в свободном пространстве и в камере сгорания ГТД
к.т.н. доц. Эммиль М.В.
Университет машиностроения 8 (495) 223-05-23, доб. 1054
Аннотация. Рассматривается течение закрученного потока воздуха за кольцевыми лопаточными завихрителями в свободном пространстве и в жаровой трубе камеры сгорания ГТД. Представлены профили скоростей и показана интенсивность турбулентности в различных зонах жаровой трубы камеры сгорания.
Ключевые слова: закрученные струйные течения, профили скоростей, турбулентность, жаровая труба камеры сгорания
Закрученные струйные течения широко используются в различных устройствах для сжигания топлива. Закручивание потока воздуха в камере сгорания интенсифицирует процессы турбулентного смешения и, следовательно, процессы горения, поскольку основное влияние на них оказывают газодинамические факторы. Закрутка потока является простым и
