CC BY
45
плуатации случайное сложное напряженное состояние, когда компоненты тензора напряжений представляют собой различные по интенсивности и сложности структуры несинхронные и несинфазные случайные процессы.
Ключевые слова: случайный процесс, напряжения, тензометрия, линеаризация, усталость материала, долговечность.
Рассматривается плоское напряженное состояние с компонентами тензора напряжений в виде различных по интенсивности и сложности структуры несинхронных и несинфазных случайных процессов (рисунок 1). Характерными в этом отношении являются тонкостенные элементы металлоконструкций транспортных машин, испытывающих при движении по дорогам со случайными неровностями упругие колебания в продольной и поперечной плоскостях [1-9]. При этом наиболее опасными местами таких металлоконструкций являются узлы. Пример конструкции узлового соединения двух тонкостенных стержней с применением усиливающего элемента показан на рисунке 2а. Надежная информация о напряжениях в таком узле может быть получена только экспериментальными методами, например, электротензометрией. Для этого в наиболее опасных зонах узлового соединения (показаны точками на рисунке 2а) устанавливают розетки тензодатчиков, с помощью которых регистрируют процессы изменения во времени t деформаций в некоторых выбранных при экспериментах трёх направлениях. Если при этом используют прямоугольные розетки тензодатчиков (рисунок 2б), то получают для каждой исследуемой точки три деформации 8х (7), 8у (7), 845о (7) ), которые затем в соответствии с законом Гука пересчитывают в напряжения по формулам:
ах(7) = 7_ЕТ -(ех(7) + у(7));
1 -р2
с у (7) = -(е у (7)х (7));
(1)
V ) = -
Е
•( 2845 (7)-е х (7)-е у (7) ),
2(1 + т)
где: Е, р- модуль упругости и коэффициент Пуассона материала.
Стандартными методами обработки осциллографических записей случайных процессов вначале получают корреляционные функции и спектральные плотности для деформаций, а затем, в соответствии с формулами (1), такие же характеристики и для напряжений [1-3].
Матрицы корреляционных функций (т) и спектральных плотностей Л'., (со) для вектора деформаций е имеют вид:
К 8x8у (*) К8х8 о(Т) х 450
*всо= К8у (X) К8 8 (X) 8у 845о 4
_^8х (Х) 8К СО 8 К450 (х)
^ И ^8у (ю) ^8450 (ю)
58(ш) = ^8у8х И ^у (ю) 8 (ю) 8у 845о 4 у
08х И 450 х ^8 8 (Ю) 84508у 4 ^45о(ю)
Для упрощения записи формул соотношения (1) представим в виде:
3
у- (7)=Е ,('=1,2,:),
(2)
я=1
где: у, хе - соответствующие напряжения и деформации; с1 - коэффициенты влияния, ко
торые здесь не выписываются.
Рисунок 1. Плоское напряженное состо- Рисунок 2. Пример сложного узла металло-яние (а) с компонентами напряжений конструкции (а) и прямоугольная розетка ах, ау, т = т , изменяющимися по тензодатчиков (б)
л ^ У "У ух ^ ^ ^
случайным законам во времени t (б)
Тогда элементы матрицы корреляционных функций и матрицы спектральных плотностей для напряжений будут вычисляться по формулам:
3 3
КУ,Уе (т) = ЕЕСаС*рКх" (т)
о=1 Р=1 3 3
^ (Ю) = ЕЕ Сх^Ха " И'
а=1 р=1
В данной работе при расчете усталостной долговечности элементов конструкций при случайных циклических воздействиях используется энергетическая теория прочности в форме, учитывающей смену этапов растяжения и сжатия [7 ]. При этом вместо известного для эквивалентного напряжения выражения
вводится в рассмотрение энергетическим параметр циклическом нагруженности элементарного объема материала p(t) в виде:
p(t) » (о,(t)-0y(t))• (|о,(t)-sy(t)|) + 3• ^(t)• ^(t)| .
(3)
Здесь все вероятностные характеристики для вектора напряжений а = (стт, стг,, тЛ>,)Г считаются известными. Однако в силу нелинейности соотношения (3) определение всех необходимых для расчёта усталости вероятностных характеристик процесса ) представляет собой сложную и не имеющую до настоящего времени эффективного решения задачу. Поэтому ограничимся эффективным решением и воспользуемся для этого методом статистической линеаризации, т.е. заменим выражение (3) на следующую линейную композицию гаус-совских процессов:
Р^) = ¿1 (аЛ (0 - а у ^)) + 3к2тху ^), (4)
где коэффициенты линеаризации ¿1 и ¿2 вычислим по критерию равенства дисперсий процессов (3) и (4), т.е. по формулам [2]:
k2 =
< (sx -0y )4
< (о, -0y)2
> 3s0 —12^0 «0 о + 6«2 «0 +12^0 о —12^0 о «о + 3s0
_ _ 0,_0,0y 0, 0y_00_°,°y 0y 0y
> s0 — 2s0 0 + s0
0 0,0y °y
(5)
к! =04=(6)
Здесь знаком <...> показана операция усреднения, а все величины, входящие в соотношения (5) и (6), определяются по элементам матриц корреляционных функций. Имеем:
2 2
= Ка (0), - дисперсия процесса ах (г), = Ка (0), - дисперсия процесса ау (г),
2 2 = Кт (0), - дисперсия процесса тху (г), £а а = Каа (0), - коэффициент корреляции процессов а х(г), и а у (г).
При статистически независимых процессах ах (г), а (г), тху (г):
=3 (< +.<).
Тогда дисперсия процесса р(7) и дисперсии его первых двух производных /?(/) и р(() будут вычисляться по формулам:
^ 2 = 3(/ + ¿2)2+27/,
х у
р
2
где: яг =-Кп (0),- дисперсия процесса ах(0, ^ =~Ка (0),- дисперсия процесса ст (О,
V V -У
= -А;т(()).- дисперсия процесса тЛ1(/).
Зсг ст
.у? = дисперсия процесса стх(7),
^ =^¥(0),- дисперсия процесса ст (О, я? = К^(0), — дисперсия процесса хху{г).
Частота процесса р(г) по нулям ^, экстремумам юэ и параметр сложности структуры этого процесса к0 (отношение числа экстремумов к числу нулей) будут вычисляться по формулам [3]:
; ; ■ (7)
^ ^
Из представления (4) следует, что процесс р(г) будет процессом со сложной структурой с к0 > 1 даже в том случае, когда он состоит из суммы процессов с простой структурой, имеющих к0 = 1. Для процессов со сложной структурой понятие цикла напряжения и понятие амплитуды цикла однозначно не определяются и требуется при расчете на усталостную долговечность применять различные приближенные методы приведения (замены) процессов со сложной структурой к эквивалентным по повреждающему действию процессам с простой структурой [1-3]. При этом к наибольшему повреждающему действию (к наименьшей оценке для усталостной долговечности) приводит метод максимумов, в котором за амплитуды напряжений принимаются положительные максимумы, а за расчетную частоту циклов -среднее число таких максимумов в единицу времени. Схематизация процесса в этом случае состоит в переносе положительных минимумов и отрицательных максимумов на нулевую (среднюю) линию.
Такой подход эквивалентен рассмотрению процесса р(г) как узкополосного процесса с к0 = 1, частотой ш0 и с амплитудами циклов, подчиняющимися релеевской плотности распределения вероятностей:
/
/ (Р) = -у ■ ехр
2sí
(8)
р 0
Теперь для расчета на усталостную долговечность стандартное уравнение кривой усталости в амплитудах напряжений а и числах циклов до разрушения N
N (а) =
_т
N
т
а > а
а
а < а_
1'
(9)
где: No, а_1з т - параметры, следует заменить на выражение:
N ( Р ) = ■
Рт/2
р > р_1 = а_1;
р
(10)
¥, р < р_1з
где: р - амплитуда энергетического параметра циклической нагруженности.
В соответствии с линейной гипотезой накопления усталостных повреждений число циклов до разрушения N* будет вычисляться по формуле:
N-1
: /(Р) Ф
N*=lf
(11)
0
^0 N(Р)
А усталостная долговечность (в единицах времени) будет определяться как:
2я
Т* =— N1;. (12)
Шо
Подставив выражения (8), (10) и (11) в соотношение (12), получим следующую формулу для расчета усталостной долговечности:
2-я-^_^ ■ р_т/2_
(13)
т =
1 -Зс
где: Г(р, а) = |
0т/4 /и/2 Н т . л 2 /„2 \
2 -Г|- + 1,^/(2^)
а) = | е ' ■ 1 ■ & - табулированная неполная гамма-функция, значения параметров
которой х = т / 2 + 1 и а = а_1 / ().
Более точные результаты по расчету усталостной долговечности получим при использовании схематизации случайного процесса по методу полных циклов [3]. В этом случае порядок расчета сводится к следующему. Вначале определяется закономерность к = к(х), где х = р / 5р, изменения параметра сложности структуры к от уровня амплитуд Х постепенно
по мере их увеличения исключаемых из процесса простых циклов. Эта функция является решением следующего трансцедентного алгебраического уравнения:
,2
, (14)
1 _ 1 + 1п ко ■ (к _1)
к кп
к ■ (ко _1)
х 2
где: к0 > 1 - начальный параметр сложности структуры.
Плотность распределения вероятностей для амплитуд всех циклов имеет вид:
( \
к2
/ (р)=4 ■
5 Р
V 5Р 0 к, _ 1
Л
к -1
V V р 0 0
(15)
С учетом соотношений (11), (12), (14) и (15) получаем следующую формулу для опре-
2
а
деления ожидаемого числа циклов нагружения до разрушения:
N* = (kQ -1)• No • x-f -a(m,kQ,x_x), (16)
P-1 1 где: x-1 =-; a = —
Sp I x^ 2 • k2 (x>(k(x) - 1>aX (17)
X-1
В выражении (17) величина k (x) - решение алгебраического уравнения (14).
Параметр a = a(m, k0, х-1) определяется численно.
Заключение
Таким образом, введение в рассмотрение энергетического параметра циклической нагруженности материала в сочетании со статистической его линеаризацией позволило эффективно решить задачу оценки усталостной долговечности тонкостенных металлоконструкций транспортных машин, находящихся в эксплуатации под воздействием несинхронных и несинфазных случайных процессов компонент тензора напряжений.
Литература
1. Болотин В.В. Ресурс машин и конструкций. М.: Машиностроение, 1990. 448 с.
2. Гусев А.С. Вероятностные методы в механике машин и конструкций. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2009. 224 с.
3. Гусев А.С. Сопротивление усталости и живучесть конструкций при случайных нагрузках. М.: Машиностроение, 1984. 245 с.
4. Гусев А.С. Случайные колебания деформируемых объектов при транспортировке. //Проблемы машиностроения и надежности машин. 1998. № 1.
5. Гусев А.С., Карунин А.Л., Крамской Н.А., Стародубцева С.А., Щербаков В.И. Теория колебаний в автомобиле- и тракторостроении. М.: Изд-во МГТУ «МАМИ», 2007. 336 с.
6. Гусев А.С., Щербаков В.И., Стародубцева С.А. Оценка вибронагруженности длинномерного легкодеформируемого груза при его транспортировании по дороге со случайными неровностями /Автомобильная промышленность. - № 2, 2014. -с. 24-27.
7. Гусев А.С., Щербаков В.И., Стародубцева С.А., Гребенкина М.И. Расчет прочностной надежности и усталостной долговечности элементов конструкций мобильных машин, нагруженных случайными изгмбающими и крутящими моментами /Известия МГТУ «МАМИ», № 2 (16), Т. 1, 2013. -с. 54-57.
8. Щербаков В.И., Надеждин В.С. Колебания колесной машины при движении по неровной дороге: учебное пособие. М.: МГТУ «МАМИ», 2011. 40 с.
9. Щербаков В.И., Чабунин И.С., Стародубцева С.А. Избранные задачи по динамике механических систем и конструкций. Изд. 2-е, испр. и доп. - М.: Изд-во МГТУ «МАМИ», 2010. 288 с.
10. Whitney C.A. Random processes in physical systems. New York: John Willey, 1990. 320 p.
