CC BY
58
♦-♦
irinavigod ч yandex,ru Ирина Юрьевна Выгодчикова,
кандидат физико-математических наук, доцент кафедры математической экономики, Саратовский национальный исследовательский государственный университет им Н Г Чернышевского
victorgsarffТambler.m Виктор Николаевич Гусятников,
доктор физико-математических наук, профессор, зав кафедрой прикладной математики и информатики,
Саратовский социально-экономический институт (филиал)
РЭУ им.. Г В Плеханова
^¡ap koutr _г^Ък.ги Елена Юрьевна Высочанская,
доцент кафедры прикладной математики и информатики.
Саратовский социально-экономический институт (филиал} УДК 330 4 РЭУ им Г В. Плеханова
МЕТОД СПЛАЙН-АППРОКСИМАЦИИ ЭКОНОМИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ С НЕУСТОЙЧИВЫМ ТРЕНДОМ
Рассматривается проблема аппроксимации даины*. содержащих изломы, колеВэния и подверженных реЭКОЙ смене тенденции Обоснован метод л и на иным сплайн о б с использованием задачи Чебышева и дополнит ельных ограничений, накладываемых на сплайны аппроксимирующей функции & точке их склейки Обоснованы качественные свойства решения задачи с ограничением Представлен пошаговой алгоритм приводящий зз конечное число шагов к точному решению задали сплайн-аппр&ксимзцаи Рассмотрены задачи аппроксимации динамически!? ^ядое количественна* показателей реализации сельскохозяйственной проду-.ции для которым типична ситу а ц и в принципиальной см-ены тренда Проведены вычиспитепьные мс-перимекти
Ключевые слова; сплайн, аппроксимация, минимаксный подход
I.Yu. Vygodchikova, V.N, Cusyatnikov, Ye.Yu. Vysochanskaya
METHOD OF SPLINE APPROXIMATION OF ECONOMIC DYNAMICS WITH UNSTABLE TREND
Tiie article studies ibe problem of approximation ot daia with kmfc oscillations and subject to a sharp change in treno A method of linear splines using the Cftebysiiev problem and adrenal constraints imposed on trie splines of t*i e a pp row ma-ing fu n ebon 3t th e point of th e ir g I ь jng is d i acu s seo. Q ual liat ive p nopert ies of СП с so luti on of the consirai ned protileni are examined. A step-by-step algorithm that requires a Irnte number of steps to arrive at the екай solution ol №e spline appf&xmiation problem is given Problems of approx.mdtmg №e dynamic series of q.^nfiialive indicators Ген agricultural products saleb that invot^ ohangei (n tht? trend зге analysed. Results of cojnputator.al experiments are presented
Keywords: spline, approximation, minimax approach
Введение
Метсдь сплаин-аппроксиг 'оцви получили широкое развитие в задачах моделирования раз дичи ых про-цессо& н технической и естестй^-шо научной сфере благодаря возможности по пучен и я нусОчясчпадки* функций, являющихся качественной заменой исходных. достаточно сложных. функциональных зависимостей
£з а на л и.зе эио-ном иче-скик процессов решениезздач аппроксимации также играет важную роль так как Полученная в результате функциональная записиГлос1 Ь -оаволяст ускорить, процесс принятия решении [7] создающих условия дня устойчивого ¡раздутия экономических су-бъектов [в[ Однако в экономических задачах сплаии-аппроксимауия применяется значитепы--■о реже, что обязано со сложностью выбора ГоЧе£
склейки сплайнов и степени аппроксимирующей функции на каждом участке ашроксимации.
Стандартный методы сплэйн-аппрокоимации не всегда могут учесть смену тенденции и разворот тренда анализируемого показателя, так как не могу1" отличить точи и с шумовыми изменения зд значений пока азтепя отточек смены тренда При этом увеличение степени аппроксимирующей функции неизбежно приводит к искажению результатов прогнозирования гэь поги тем с го на основе аппроксимации Точки разворота тренда целесообразно использовать в качестве точен склейки егшайнов, однако /х отыскание само по себе проблематично
Поэтомудпй экон омических а эдач необходимо применять специфичнее методы сппайн-зппроксимэциу. которые позволяют выделить ба-э ионы а точки склейки сплайнов построить качественную аппроксимирую щую функцию, сглаживающую шумы и учитывающую колебания тренда
Целью работы яаляетей совершенсгвовение методов сплайн-аппрсжалмации экономически* процессов, протекающих б условиях неустойчивого тренда
1. Постановив задачи исследования
Одной иь 1 ипичных экономических задач в которых требуется построение аппроксимирующей функции, используемой при приняли управленческие решений [1| яэпяется задаче анализа объемов реализации и цен товаров
Для динамически* рядов количественных показателей реализации многих видов товароэ типична си-туй цк!я пр и нци лиэ я ьной с мены тренд а 7а кал сит уа ци я обычно возникает ввиду влияния на спрос одновременно нескольких р аз нон вп рае пенных факторов Рассмотрим некоторые из них
I На спрос существенно влияет цена, увеличение которой (способствует снижению реального потребительского спроса Однако сама цена формируется под действием спроса и предложении, поэтому снижение предложения товара вернет цену «на место» и дина-
мическая картина «ценз - спроса претерпев опреде-ле ¿ные колебач ия, нридег в отноейтапыкщ равковве
2 Инфляция, когорая меняв- структуру потреби■ тельского спросе
3 Конкуренты, создающие необходимость проведения разумной ценовой п-олити>:и
А Сезонность Этот фактор является очень существенным Б моделях динамических ргдов учитывающих тренд и сезонность, ооычно предполагается, что за аесь период трендоваядинамита рассматриваемого показателя достаточно устойчива Возможно. если оы инфляционные процесса бы пи не значительными а конкуренция с отрасли ничтожна, так оно и выло бы Однако таких производителен единицы К ним можно отнести производителей элитных натуральных мопdm мы*продуктов котике неизбежно ^сражают принтом их цены подвержены сезонным колебаниям.
Ё качестве примера рассмотрим типичную ситуа цию на рынке сельскохозяйственной продукции результаты реализации молока пред приятием Кировской области [Ё] за 2D11 Г (таблица).
Приведенные □ таблице данные (ках по объему реализации, так и по цене) явно содержат существенный излом г ре нда К примеру анализ и? Нового трафи ¡¡а (рис. 11 и попытка аппроксимации линейными полиномами методом наименьших кьадратоэ (WHK} и методом, основанным на решении задачи Чебышёэа [5{. приводят к выводу о аысоких ошибках аппроксимации и необходимости учета смены тренда
Применение болеезысоких степеней аппроксимирующих функций позволяет достичь хорошей аппроксимации отдельных наблюдении, нов целом искажает рез уп ь та г прогноз про з а ни я По атому в та ки х си туаци-ях требуется новый подход к аппроксимации данных целесообразно применять метод сплайнов. Однако отыскание точки смен-ы тренда с использованием традиционных методов затруднительно, поскольку в целевой функции не у-мтывается ошибка аппроксимации которзя с приближением точки Смены Тренда существенно возрастает В такой ситуаций целесообразно применять минимаксный подход.
Исходные ЛЯ иные
Мисйц ZQ1T Г OFUrfM кг Сррднни Ц«НЛ реЭЛИМЦЧИ, fjyti |'м|
Январь 310 300 14,83
Феврали 165 4D0
Морг 1ВД700 1Э,1
Апрель 1WBO0 12 9
Ms* IBS но 12.7
Июнь ISO jao н.е
Июль- 131 МО Ю.Й
Август 33 4 DO
Сактябро 97 500 9,91
Октябрь 1Эв 100 и.е
Ноябрь 153ЭОО 12.е
Декабрь 17ч 400 13.5
♦
Ii 14 L2 11 10 - UtHl
\ д \ V _ _г
---- х. —
\ / S / -_«AI™_. жя£1_
т
0 1 1 » * S 4 7 < >14 11 Ii U
--•^-Ц-rtii.pyö Lr
Оипгк| iTiTiw (МПК)(кипк1лии onniiwi
--Опенка пены з! I rsitc HTiü-ibTiaj с ™ гока 21,1 ■г с ■.
Рис. f Аппроксимация цены мало«
2. Минимаксный те той сппайн-аппроксимац ии
Пусть Гц 5 ■ <tA . N > 2 А-itöo,«!)
Задач-з Чебышёва [5] Длт> Линейного полинома ( P\iA/) ■■ (Т() I P\t ) состоит а отыскании минимальной (повеем наби11вдени((шощибкй апп^окслг-.'ации за счет выбе ра коэффициентов а п ip оксими рующего полwhg м а
¿- +1. л"
■ nun
.M-.ft2
(1)
Добаьин* а задачу f1) дополнительные ограничения (2), для определенности изложения математического аппарата, связывающие значение аппроксимирующего полинйгла н начальной точке
masjy, -öu f'ih |
¡гЩН:
> min
J. J) /Г :J„-Hljii: J-4,;
{2)
Определим некоторое понятия, используемые а алгоритме [2] Частичным базисом назовем множество
с фиксированной точвдг. = iü £7 - множество всех базисоа
Обозначим р = min р{А)
1 "о =7п1
Утверждение 1. Решение задачи (2) существует Доказательство Возьмем . ¡" = (j'.,.()) Ясно, что .Г е /> Бычиспнмдлр. I 1 и рассмотрим множество D" = ¡.Ге Ü\p(A\<p\. \ ')} Задамз (2) эквивалентна следующей задаче'
/?(.■[* = JOBS Vt tl„ Ojlk
t =oji
■ шиь
r. p"
(3)
Преобразуем целевую функцию задачи (3), воспользовавшись ограничением 4 ö|fe = ум ^виду
р{щ > - m&N |vt -у0 -ii,'Щ -tt )| t ww
Возьмем = 0, k-1 Имеем Отсюда, лосхольку >0, получаем
Цалее. |< +1'<>| Слгтдова-пепьчо, множе-
сшо язпяетсяограниченным ц очевидно, зам кну-тым, поэтому непрерывная функция А ! достигает этом множестве сводка минимального значения Гаким обрааом. доказано, -то решение зад-зчи (2) существует
Следующий гспрос состойI и отыскангл решения Для этого докажем Следующий факт
Утверждение2. Решение задачи (2) едингтвенно Вектор Да) 3 (^(с}- Я является решением
этой задачи тогда и толыго тогда. хогда дл? некоторого частичного базиса с и величины //¡¿г) выполняются равенства(«прерванный» апьтернэнс)
(6}
-нр} (7}
р(А{&) = |/КО)|
гаетея
Доказательство Приведем геометрическое доказательство, поскаль«/ задач а (2) содержит лишь да е переменные
Необходимость. Пусть .-Ucf) = R1-
рашвьие гадали [2) Ясно, что оно удовлетворяет (5), поскольку принадлежит множеству D. Далее, рассмотрим те точки сетки Т, р. которых достигается
mgx m - (erty Если среди таких точек
i =I,jV
существует Îj( И th , удовлетворяющие равенству
yh =-07,
получаем (ён?)-
Предположим, что это не та*. Р последнем случае все точхи, в которых достигла* |V; щ[а) а,(erItjL| лежат в одной к vuw
из полуплоскостей, определяемых функцией
р(А(Ф) =«,jl(T) + ii-, CcrV
Поворот этой линейюй функции вокруг точки Ц|-.1'м I в направ пении лруппи попуп помости на достаточно малый угол приведет, авиду непрерывности, к снижению значения целевой функции, что противоречит предполагаемой оптимальности вектора Л(сг| ~ (<г loi. ir,(ti))e И-Досгпзточность
Предположим, длрЛ ■ Ш.Л^ф /^выполняется ( 5И7) Если предположить, что решение иное о но может быть пол уче но ид / iA (tj )/) = пп (о-} - if j ( сг )i ЛИШЬ поворотом вокруг точки ), что неизбежно
приведет к росту значения целевой функции пиОо ь точ*е ) , либо В точке Попутно можно делать вывод о недопустимости существования д&ух различных решении
Таким образом, доказано, что решение задачи (2) единственно и сведите* итерационному решении системы (5}-(7) Перебор бааисо& и выеод об огр-цмапь-ности текущего решения системы получается при выполнении равенства p{A(tf) = |/J(cr)i Существование решвния обосновано выше, поэтому данный процесс Судет завершав на определенном шаге, количество итераций Конечно и не срев^шает ччлела базисов указанного о ид а
Замечание 3. При выполнении для /j{о"J
условий теоремы имеем равенство
(ID}
Таким образом, решение задачи (?) сводится к многократному выполнению вычислительных процедур по формулам
Решением системы (бИ?) можно получить в явном виде (еаиду упоредоченности а — - I, } С 7");
<т)
_->Ji
íei
У^и <!z * ' h, '-'"У 'A+'ft-*/..
{S)
Метод решения задачи (2) состоит в многократном эешении системы
Приведем рациональный алгоритм решения задачи, который следует из пред ставенных вы lug рассуждений и состоит в пошэповой процедуре Шаг О Выбираем любой частичный оазис Шаг 1 Вычисляем (0М1О)
Шаг 2 Вычисляем max !v. - £7M|o") - № to")/, I
i
Если эга величина совпадаете полученным в результата решения системы значением |/т{гт)|, делаем еыэод об оптимальности вектора >3 - (iTfl{e), Иначе переходим к шагу 3 Шаг 3. Ищем од^у из "почек сетки, а которой этот максимум достигается Ясно, что полученная точка не была в первоначальном оазисе Так включим ее в базис, исключив ту точку базиса, которая находится с новой точкой в одной полуплоскости, определяемой линией - (Jf> ((Т) + . С новым базисом
переходим к шагу 1
В работе метод сплайнов рассмотрен для задачи (2), а также для задачи с ограничением в последней точке:
piA \- max i-y А=0. V1'
a,
о
mm
, (10}
tice рассуждения: приведенные выше, несложно повторить для задачи (10) Таким образом, точка склейки сплайнов выполняет одновременно роль последней точки для части данных «слееа» (решение задачи (10)) и начальной точки для «правой* части данных (решение задачи (2}). Чтобы определить эту точку, будем применять одновременно два метода (метод наименьших «шадрзтов (Mhíí) и задачу (1)). точку склейки берем вблизи пересечения аппроксимирующим функций дпя рассмотренных подходоr Далее требуется выполнить аппроксимацию сплайнами согпасно приведенной процедуре
3. Результаты
Определим течку ей» йк и сплайнов Для этого применим задачу Чебышйвэ без ограничении :'!} R результате решения этой задачи выделено три точки «экстремального сазиса» [5: перв-ый. последний периоды и август 2011 г {еосьмой период) (рис 2)
Точку склейки сплайнов выбираем сразу после агооой точки экстремального (аазиса (Пересечение апррэгсимируюш.и* функций по двум методам) Действительно. переломный момент ценовой w объемной динамик*! произошел в сентябре 20И г, когда тенденция падения показателей меняется на их рост. Эту точку и возьмем дпя склейки сплайнов Результаты анализа цены молока 5 использованием задач (2) и (1Q1H ограничения в точке склейки девятый период сентябрь 2011 г.) представ лен и на рис Э
« 1 1*
и II 11
1Й
* ----
-Т
7
3
Точи
ШП1ЯНОЕ
Цнм. кг
Оигн>.£ игны 1МНК) (машэшмьнм сншбт 2 Оиеяы иенш (ЧебышаХчиснмаллЁЯ ишнш
1П 11 12 13
Рис. 2. Определение точки «склеили сплайнов*, цоиа
чн
14
13
те &
.....»с-ч >
ч ч\ / /
11 ""- //
Точо екя г-й (.за
'-•'■Цела; руо.и
Оасашквы (спяжйим МНК1 '.'максимально л-»
ГУг^итд удч [грчй»^! Д|11ЧДП1Ч|(Ч1Ч-11«1ИДИ ПГГТПП 6
10 11 II 19
Мрт"
Рис.З Аппроксимация цены молола
Удачный йыбор точки «скяейни» сплайнов привел !■. высокому качеству аппроксимации обоими методами
(с учетом огра>|ирония а зтай тач*е)
Аппро^слмация предложенным методом сппэйноь позволила достичь коэффициента к.ороеллции между расчетными и фактическими данными по объ-
ему реализации оио^ми методами свыше 0.96 Про веденные эксПв|й#Менты показывают, что предложенный под к од может применяться в экономико-стати-стичестом ззализе данных Для улучшения качества аппроксимации полученной традиционными методами
Заключение
Методопогия сплайн-аппроксимации. хорошо протестированная в технически* задачах, к сожалению, До сик пор не получила широкого распространения в анализе экономичеелия данных Возникало одновременно две существенные проблемы для проведения вынисли^пьных экспериментов, ыыбор ;очки склейки сплайнов и решение ээдачи аппроксимации для каждого множества данных с учетом ограничивающего условия продиктоазнногэ необходимостью чпопадз н^н * ё точку скл еики В р аботе ре шен ы обе п роблемы Предложенный метод сплэин-дппроксимэц^и позволяв : существенно повысить кауйетао аппроксимации ЛЮмОйических данных точность прогнозов и эффективность. управленческих решений, принимаемых на его основе.
1. Вы №3 чи го sä L-f,'О. Задз^и оэционалычго поведения экономически* а^итов Ц Математическое и информационное дв^спечениеагонамичкийдечтельшюти науч статей Вьгп. 2. Саратов СГСЭУ, 2007. С. 60-66
2. Выгодчиково У1.Ю. О модификации алгоритма Валла -Пуссена дЛЦ эППрпкСцмециц г,*н&гОэнэчнрг*1 ОтйЗрЧ*?ни4 алгеооэмесяим поли номом с ограничением типа равенства н Известия Саратовского университета, Иоаая ирия Серия
Математика Механика Информатика 2014 T Ч bis 4-2
С. S2S-532.
3. Вьлодчиюва И Ю OÖ аппроксимации многозначного офоб|замья-ив эпг^бран^ея^ум лоп,1номо*лс(}лозн1-;чениями . Известия выашк учебных заведении. Математика 2015 № 2 С
4 Зы^ой-ниАОвэИЮ., ГрпПИцнв Г,С Ан-ЭПиг размеримй ИНфср<Иацг1И о тюр-алном есвррттльщ чте интернет-магазина нэ сайте С WL-'ic-. i=,it;ионием мИнИМаКЬНОГо ЛоДУйДЙ )1 ^аГымаТН-И ЯОЦ^ИЫСГврНое Модвлировиние н аЙвдМИНе, а'рахо-еаини и упраагициц досками et материалов V Меидунар
молодей, науч.-прахг конф. Саратов. Научная книга 2Й16
с. зэ-зг.
5. Демьчноз 3 й? Малозе/иов S.H Введение Е млничакс М: Наука, 1972.
6 Финансовые результаты от реализации молока ОАО . Городской молочный швед* . г Кирово-Чишцц URL htlo.-.1 wrtw.wrwoverage.ruieebovs-eST-aihitrnl ¡датз обращении 25 D2.2Gt7}
7. Яшин НС.. Григорян Е.С. Методологические аспекты рБвсчечечий устойчивости предприятия ,■■' йестних Саратов-СМИ1!} государствам на го сЙЦИзЛьНР-аВДноМнчеСкогР у HülfiE р-¿НТЭТЭ 2D14 №5(54} С Т13-117
В. Яшин И С., Попова Л,Ф £о чаробё СВ. Развитие ме-годепогик анализа рмульитквности ейстермы менеджмента качества промышленные предприятии 'гйестникСаратовского государства иного ЙЦИаЛьНЧ-ЖОНоМИЧИгоТО учияврсите-
та 2018. №4(63). С. 51^56
