Аппроксимация решения краевых задач локально-кубическим сплайном Текст научной статьи по специальности «Математика»

Математическое моделирование

УДК 519.624.2

Аппроксимация решения краевых задач локально-кубическим сплайном

Т. Жанлав*, Р. Мижиддорж^

* Монгольский государственный университет, г. Улан-Батор, Монголия ^ Государственный университет образования, г. Улан-Батор, Монголия

Построен явный локально-кубический сплайн для аппроксимации гладких функций и рассмотрены его аппроксимативные свойства. Предложена сплайн-схема для численного решения краевых задач, основанная на свойствах локально-кубического сплайна и обычного коллокационного кубического сплайна. Схема реализуется путём последовательного решения двух трёхдиагональных систем, отличающихся друг от друга лишь правой частью, что позволяет использовать метод трёхточечной прогонки. Это свидетельствует о том, что данный алгоритм является эффективным, количество операций линейно зависит от числа узлов сетки. Доказано, что построенный сплайн обладает такими же аппроксимативными свойствами, что и локально-кубический сплайн. Таким образом, в данной работе фактически рассматриваются вопросы аппроксимации решений краевых задач. Предложенная схема позволяет найти решение краевой задачи и его первую и вторую производные в узлах равномерной сетки с точностью четвёртого порядка по шагу сетки. Теоретические выводы подтверждены численными экспериментами. Благодаря хорошим аппроксимативным свойствам и простоте алгоритма реализации предложенный метод может быть применён для численного решения краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка, которые часто встречаются как в математике, физике, так и в области естественных и инженерных наук.

Ключевые слова: краевые задачи, кубический сплайн, повышенная точность

1. Введение

Пусть требуется найти решение краевой задачи

Ьи = у" + р(х)у' + д(х)у = /(х), х е [а,Ь], (1)

егу{а) = в1у(а) + ргу'(а) = 7Ь е2 у(Ь) = 02у(Ь) + & у'(Ь) = 72.

Здесь р(х), д(х) и /(х) достаточно гладкие функции, причём д(х) < 0 на [а,Ь].

Постоянные в краевых условиях (2) заданы, и вi ^ 0, ^ 0, ^ 0. В дальнейшем мы считаем, что решение задачи (1), (2) существует и единственно, и оно является достаточно гладким. Для численного решения задачи (1), (2) введена на [а, Ь] равномерная сетка АN = = а + %И, % = 0,1,... , И = ^^}. Ищем решение задачи (1), (2) в виде кубических сплайнов класса С2[а,Ь], т.е.

N +1

у(х) и Я(х) = аэВэ (X), (3)

з=-1

где В^ (х) — нормализованные кубические ^-сплайны [1].

Статья поступила в редакцию 27 января 2016 г.

Работа выполнена в рамках гранта SST_007/2015 фонда науки и технологии Монголии.

(6Ь)

Для использования ^-представления (3) предполагается, что дополнена равномерная сетка Ам с точками

Х-3 < Х-2 < Х-1 < Х0, Хм < Хм+1 < Хм+2 < ХМ+3. (4)

Хорошо известный метод сплайн-коллокации

Ь3(хг ) = / (хг), г = 0,1,...,^,

ехв (а) = 71, е2$ (Ь) = 72, ()

даёт систему [1]

АгО,г-1 - СгЫг + 1 = Л2 г = 0, 1,...,К, (6а)

(01Л - 301)а-1 + Ш1 а0 + (М + З^)^ = бЛц, (#2 Л - -1 + + (^2Л + +1 = 6^72,

где

Л Л2 п 2 2 Л Ь2

А = - + у&, = 2 - 3 Л Вг = 1 + ^Р' + "6 ^.

Система (6) имеет единственное решение при достаточно малом Л и решается методом трёхточечной прогонки. Для коллокационного сплайна справедливы [1]

- у(г) = О (Л2), г = 0,1,2, г = 0,1,...,^. (7а)

Благодаря аппроксимативному свойству (7а) и простоте алгоритма построения метод сплайн-коллокации, как и метод конечных разностей, часто применяется на практике. В работе [2] была доказана следующая лемма.

Лемма 1. Пусть г(х), г+(х) и /(х) в уравнении (1) достаточно гладкие функции. Тогда для коллокационного кубического сплайна,, удовлетворяющего уравнению (5), справедливы соотношения

А2 Б" = у1/ + 0(Л2), ъ = 0,1,...,^, (7Ь)

где

I Б'++1 - 2Б'/ + Б'/_1, ъ = 1, 2,...,М - 1,

А2Я'/ = 1 I 2в'0 - 5Б'1 + 45- - 5?, г = 0, (7с)

I 2^ - 1 + 4^_2 - з, * = N.

Следует отметить, что в работах [3, 4] на основе использования свойств квази-ин-терполяционных кубических сплайнов построены также сплайн-схемы повышенной точности для решения краевых задач (1), (2).

В последнее время появились много работ, в которых применён локально-кубический сплайн в численном анализе [5-7], особенно в построении явных схем для численного решения различных нелинейных уравнений в частных производных [8,9]. В данной работе построен локально-кубический сплайн для решения краевой задачи (1), (2) и получены схемы решения обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) второго порядка, которые дают тот же порядок аппроксимации и для решения и для его производных первого и второго порядка на узлах сетки.

2. Локально-кубический сплайн для решения краевой

задачи

Пусть решение краевой задачи (1), (2) известно, и построим для него локально-кубический сплайн. В работе [5] был предложен локально-кубический сплайн

где

ак = У к +

1

3(Ьк + Нк-1)

N+1

$(а)= ^ (х), з=-1

Л 2 Ук — Ук-1 ,2 Ук+1 — Ук I Пк Г Пк-1

ао = У0 +

Н- Ьк )

Но — Ь-1 : ЬоЬ-1 п

(8)

к = 1,...,К — 1, (9а)

-У о

6

~Уо,

н2. .2 , Нош ,,

а-1 = уо — шЬоУо + —з^-Уо,

НМ — НМ-1 , НМ НМ-1 „

ам = ум +--5-Ум--7.-Ум,

3 "" 6

1^

ам+1 = Ум + шНм -1 у'м +

(9Ь)

(9с)

У'к.

Здесь Ьк = Хк+1 — Хк, (Н-2 = Н-1 = шНо, Нм+1 = Нм = шНм-1), и ш > 0 - заданный параметр.

Показано, что данный локально-кубический сплайн обладает таким же аппроксимативным свойством, как и интерполяционный кубический сплайн. В случае равномерной сетки формулы (9) принимают вид

ак =

—Ук-1 + 8 у к — Ук+1 6

к = 1,2,...,М — 1,

ао = Уо

-Уо,

ам = Ум

-у'к,

2а0 + а-1 = 3у0 — Ну', 2ам + ам+1 = 3 ум + Н у'н. Для аппроксимации производных в (10Ь) и (10с) мы используем формулы

Уо = 6н (—11у° + 18У1 — 9У2 + 2уз) + 0(Н3),

Ум = (11 Ух — 18Ум-1 + 9ум-2 — 2ум-з) + 0(Н3), 6Н

у'' = Н1 (2 уо — 5 у 1 + 4 У2 — уз) + 0(Н2),

1

(10а)

(10Ь) (10с)

(11а)

(11Ь)

Ум = Н2 (2У^ — 5Ук-1 + 4ум-2 — ум-з) + 0(Н ),

которые справедливы при условии у(х) Е С4[а, Ь].

В результате подстановки (11) в (10Ь) и (10с) мы находим «о, ам, 2ао + а-1 и 2ам + ам+1 с точностью 0(Н4), и это не снижает точность локально-кубического

2

2

Н

Н

6

6

сплайна. Таким образом, мы построили на равномерной сетке полностью локально-кубический сплайн, в котором коэффициенты определяются формулами:

^ = -Ук-1 +8ук - Ук+1, к =1, - 1, 6

= 77(4уо + 5у1 - 4у2 + у3), ам = ~(4ум + 5ум-1 - 4ум- + ум-з),

6 1 6 (12)

а-1 = —(21уо - 28у1 + 17у2 - ), 6

ам+1 = 1 (21ум - 28ум-1 + 17ум-2 - 4ун-з). 6

Отметим, что в работе [6] положили к-2 = к-1 = км+1 = км = 0, что соответствует ш = 0. Тогда формулы (9Ь), (9с) приобретают вид

к / - к .

а-1 = уо, ао = уо + 3у0, ам+1 = Ум, ам = Ум - 3Ум. (13)

Если использовать формулу (11а) в последних равенствах, то получим локально-кубический сплайн, полученный в [6], в котором базисные В^-сплайны отличны от нуля на интервале (х^, х^+4). В отличие от (12) коэффициенты локально-кубического сплайна определяются формулами:

«к = -Ук-1 +8Ук - Ук+1, к = 1, - 1, 6

7Уо + Щ1 - 9у2 + 2Уз П/П

а-1 = уо, ао =-18-, (14)

7ум + 18ум-1 - 9ум-2 + 2ум-з

ам+1 = Ум, ам =--.

18

Для локально-кубического сплайна (8) с коэффициентами, заданными формулой (12), имеют места соотношения:

Я''(хо) = -1(2уо - 5У1 + 4У2 - Уз), Я" (х{) = -1(Уо - 2У1 + У2), (Х*) = ^2 (-У- + ЮУг-1 - 18уг + 10уг+1 - Уг+2), Ъ = 2, 3,...,Н - 2,

6к , 1 (15)

Б''(хм) = к2(2ум - 5ум-1 + 4ум-2 - Ум-з),

Б''(хм-1) = (ум - 2ум-1 + Ум-2);

З'(хо) = 1(-11уо + 18у1 - 9У2 + 2Уз), Я'(х{) = 1 (2Уо - 3У1 + 6У2 - Уз),

$'(хг) = ~^(уг-2 - 8уг-1 + 8Уг+1 - уг-2), г = 2, 3,...,К - 2,

12к 1 (16) Я'(хм-1) = 6к(2ум + 3ум-1 - 6ум-2 + Ум-зз),

Я'(хм) = (11ум - 18ум-1 + 9ум-2 - 2ум-з)

и

3(Хг) = -(-У— + 4 Уг-1 +30уг + 4у1+1 - у+ц) , 1 = 2, 3,...^ - 2,

36 (17)

¿(х^ = Уг, 1 = 0, 1,М - 1,М. Справедлива следующая теорема.

Теорема 1. Пусть у(х) е С6[а, Ь]. Тогда для локально-кубического сплайна,, ап-проксимируюшего функцию у(х), справедливы соотношения

Я(хг ) = Уг - — у1У + 0(Ъ6), ъ = 2,33,..., N - 2, (18)

36

Б(хн) = уг, г = 0,- 1^,

Б'(хг) = у[ + 0(Ъ4), г = 2, 3,...^ - 2, Ъз

Б'(х0 ) = Уо + 4 У1У + 0(Ъ4),

З'(х1) = у[ - ^У + 0(Ъ4), (19)

Ъ3

Б'(хм ) = у'н + - у1/ + 0(Ъ4),

Ъ3

Б'(хм-1) = у'м-1 - - у1/-! + 0(Ъ4)

Ъ 2

= Уг - ^ уГ + 0(Ъ4), г = 2, 3,...^ - 2,

Ъ2

Б''Ы = й + У0У - ь2у{У + 0(Ъ4), Ъ2

3"(х1) = у'1 + Ъ2У11У + 0(Ъ4), (20)

Ъ2

Б" (хм-!) = у% —! + - у1/ + 0(Ъ4), Ъ2

Б''(хм) = + ^уГмУ - Ъ2у1/—! + 0(Ъ4).

Доказательство. Формулы (18), (19) и (20) непосредственно проверяются с учётом (13), (14), (15) и у(х) е С6 [а, Ь]. □

и

3. Аппроксимация решения краевых задач кубическим

сплайном

Чтобы построить кубический сплайн, аппроксимирующий решения краевой задачи (1), (2) мы используем теорему 1. Согласно формул (19) и (20) имеем

Ъ2

в'О + ров'о + дово = /о + ^(1 - ЗЪро)у0У - Ъ2у[У + 0(Ъ4),

Ъ2

в' + р+ д1Б1 = Ь + —(1 - Ър 1)у[У + 0(Ъ4),

где

к2

1' + Рг1 + Ягвг = ¡г - ^уГ + 0(к4), % = 2, 3, . . . , N - 2,

к2

Я'м-1 + рм-1Я'м-1 + дм-1Ям = /м-1 + 12(1 - крм-1)у1ы-1 + °(к4),

к2

в'м + рмв'м + дм7м = /м + 12(1 - 3крм)ум - к2у1/-1 + 0(к4). Эти уравнения можно записать в единообразном виде:

к2

7" + РгЯ'г + ягвг = /г - ^ А + 0(к4), (21)

{- (1 - 3кро)у1оУ + 12у{у, i = 0,

- (1 - кр{)у1У, г = 1, Бг =4 у(у, ъ = 2,3,...,М - 2 (22)

- (1 - крм-1)уТмУ-1, г = N - 1,

- (1 - 3крм)у1м + 12ум-1, 1 = N.

Согласно лемме 1 можно заменить у1У в (22) через (7Ь) без потери точности. В результате мы имеем

к2

Б'' + РгБ'г + дгвг = /г - ^Пг + 0(-4), I = 0, 1,...,М, (23)

где

( - (1 - 3кро)А2Б'о + 12А2Б'(, Ъ = 0,

- (1 - кр1 )А2Б'1, г = 1, Г>г ={А2Б", i = 2,3,...,М - 2, (24)

- (1 - крм-1)А2Б'м-1, ъ = Ы - 1,

- (1 - 3крм)А23'м + 12А2в'м-1, г = К. Пренебрегая 0(к4) членами в (23), мы приходим

к2

в'! + Ргв'г + дгвг = П - г, 1 = 0,1,...,М. (25)

Таким образом, построение кубического сплайна, аппроксимируюшего решения краевой задачи (1), (2), сводится к последовательному решению задач (5) и (25), т.е. сначала строится коллокационный кубический сплайн 5(х), удовлетворяющий уравнению (5). Потом строится сплайн Б(х), удовлетворяющий уравнению (25) и краевому условию

е1§о = 71, е2&м = 72, (26)

где

, кР1 Д 2 с» , к@2 Д 2 пП

71 =71 + —А ^ -12 = 12 + —А ^м.

Задача (25) отличается от задачи (5) лишь правой частью. Из Леммы 1.1 и Теоремы 2.1 непосредственно вытекает

т/м- 1 = 7м_ 1 + - а2бм_ 1 + о(к4),

Следствие. Справедливы соотношения:

кз

Уо = во - + 0(к4),

кз

у\ = Я\ А2 Б? + 0(к4),

у' = Б- + 0(к4), г = 2,... - 2, (27а)

-?

12'

кз

у'м = 8'м - ^АЧ'м + 0(к4),

„,'' — 7'' -л- 10^о' - 19 51' + 8 в'2 + Б'з п1Ь4\

Уо = йо + 12 и(к ),

к

у" = в" - 12а2^ + о(к4), к2

у' = Б'' + ^А^ + 0(к4), г = 2, 3,...,М - 2, (27Ь)

к2

у'м-1 = эм-1 - ^А2вм-1 + 0(к4),

Ум = 7м + 108'м - ^+88'м-2 + ^м-з + о(к4),

уг = 7 + 0(к4), г = 0,1,...,Н. (27с)

Справедлива следующая теорема:

Теорема 2. Для построенного сплайна Б(х) справедливы соотношения (18), (19) и (20).

Доказательство. Пусть в(х) удовлетворяет (25) вместе соответствующими краевыми условиями. Используя Лемму 1.1, запишем (25) в виде

к2 кз

^ - у' - ъуГ + к2у±1 + рг^г - уг - Ту1У) + дг(15г - у) = 0(к4), i = 0,N, (28а)

к2 кз

я'' - у' - йу1У + РгМ - Уг + -уГ) + ^ - Уг) = 0(к4), г = 1,И - 1, (28Ь)

к2

з'' - У'1 + ^УГ + РгОУ - у!) + аф - у) = 0(к4), ъ = 2,3,..., N - 2. (28с)

В уравнении (28а) знак + (-) соответствует случаю % = 0 (% = N). Теперь вычтем уравнения (28) из уравнений (23). В результате мы имеем

( 5 -Б)'' + Рг(Б -Б)г + дг(Б - Б)г = 0(к4), ъ = 0,1,...,М,

(29)

е1(Б - Б)о = 0, е2(Б -Б)м = 0.

Обозначим

м+1

(-°), = '73 .

3 = -1

в -Ё = V (х^), ^ = аз - аз. (30)

В терминах коэффициентов й^ уравнения (27) записывается в виде

АЛ— - Сй + Вгй+! = 0(Ъ6), г = 0,1,...,^ (вф - г3Р\)й—1 + 4Ъвгйо + (вф + 3р1)й1 = 0, (29')

( М - Зр2)йм — ! + 4Ъв2й1Н + (02 Ъ + Зр2)йм+! = 0.

Матрица системы (29') имеет диагональное преобладание:

Ъ2

Сг -Аг -Вг = -—дг > 0 1 = 0,1,...^.

Следовательно, система (29') имеет единственное решение и имеет место

йг = 0(Ъ4), ъ = -1, 0,+ 1. (31)

Из (30), с учётом (31), имеем

Б(х) - Б(х) = 0(Ъ4), Ух е [а, Ь]. (32)

С учётом (18) и (32) мы приходим

Б - Уг = Бг - Бг + Бг - Уг = 0(Ъ4), 1 = 0,1,..., N (33а)

т.е. формула (18) справедлива 0(Ъ4). Из (28с) и (33а) следует, что

Ъ2

- у! + ^ У™) + РгБ - У'г) = 0(Ъ4), 1 = 2, 3,...^ - 2. Далее, из (30) и (31), получаем

Б -б' = йг+!-йг—! =0(Ъ3),

%= й'+! -ыг + й'—! =0(ъ2) i = o, 1,...^. г г Ъ2

(33Ь)

(34)

Если учесть (19) и (34), то ясно, что выражения в квадратных скобках в уравнении (33Ь) являются малыми величинами относительно Ъ (по крайне мере 0(Ъ2)). Если рг = 0 в (33Ь), то

Ъ2

Б'! - у! + й уГ = 0(Ъ4), г = 2,3,...^ - 2. (35)

Если же Pi = 0, то из (33Ь) следует, что выражения в квадратных скобках являются малыми величинами одного и того же порядка, а следовательно, согласно (33Ь) их порядок равен четвёртому, т.е

Б'! - у! + ЪЪ2/12 • у\У = 0(Ъ4), Б'г - у'г = 0(Ъ4), г = 2,33,..., N - 2.

Аналогичным образом из (28а) и (28Ь) непосредственно вытекают

Ъ2 Ъз _

Б'' - у! - ^у1/ + ЪЪ2у= 0(Ъ4), Б - у'г - ^уГ = 0(Ъ4), г = 0^,

S' - у'1 - ^уГ = 0(h4), S - у' + ^yiv = 0(h4), г = ТЖ-Г

соответственно. Теорема доказана полностью. □

С использованием пятиточечных формул

у" = (-У— + -6У— - 3% + -6Уг+1 - Уг+2) (36)

у'г =(Уг-2 - 8у— +8уг+1 - уг+2), г = 2,3,..., N - 2 (37)

можно построить разностную схему повышенной точности. Но, здесь возникают дополнительные вопросы об аппроксимации краевых условий и уравнения (1) в точках х = х0, х\, хм-\, хм. Полученная пятидиагональная система, к сожалению, не сводится к решению трёхдиагональной системы, как это имеет место в локально-кубической аппроксимации. В результате только значения решения в узлах сетки найдутся с точностью 0(Н4). В то время, как видно из Теоремы 3.1, кубический сплайн, построенный для решения задачи (1), (2) не только аппроксимирует значения решения, но и его производных. Любопытно отметить, что формула (16) для

S,(хi) полностью совпадает с (37). Как следствие, выполнение соотношения (19) очевидно.

4. Результаты численных расчётов

Качество схемы проверено на ряде примеров. Рассмотрим тестовую задачу и"(х) + втх ■ и'(х) - хи(х) = 2(собх - - — х) ■ втх, х е [0,к] с краевыми условиями

и(0) = и(тт) = 0 (I)

и

и(х) - 2и'(х) = -4, х = 0; и(х) + -и'(х) = --, х = к. (II)

Точное решение задачи имеет вид и(х) = 2втх.

В табл. 1 приведены численные результаты, полученные на равномерной сетке.

Таблица 1

Численные результаты, полученные на равномерной сетке

Погрешности I II

h = ïï/10 h/2 h/4 <Ji h = ïï/10 h/2 h/4 <Ji

£o 1.94-04 5.70-06 3.0-07 5.12 3.99-03 2.68-04 1.71-05 3.89

£i 0.68-02 4.11-04 2.53-05 4.05 4.74-03 3.32-04 2.21-05 3.83

£2 4.64-04 1.55-05 4.88-07 4.90 5.86-03 3.56-04 2.21-05 4.04

Использованы обозначения:

£ о = max lui — »S'il, £i = max {и[ — ei (S' ,S'')}, e2 = max lu'- — ëi(S",Sh

O^i^N O^i^N O^i^N

где

ei(S',S")= <

h3

Si - h- A2Si', i = 0,N, i 12 ' h3

Si + h- A2 S'/, i = l,N - 1,

i 4

_Si, г = 2, 3,... ,N - 2,

Si + -dOSd - 19S1 + 8S2 + S3), i = 0,

ë%(S' ',S' ')={

h2

Si - ^ A2 s' ,

i = 1,N - 1,

h2

Si + hrA2Si, г = 2, 3,... ,N - 2, 12

SN + 12(10SN - 19SN-1 + 8SN-2 + SN-3),

В табл. 1 приведены коэффициенты Рунге О' = log2

= N.

Si(h)- ei(h/2)

ei(h/2) -edh/4)

подтверждают теоретические выводы относительно порядка сходимости (Теорема 2, Следствие).

и

4

5. Заключение

В работе предложена сплайн-схема для численного решения краевых задач. Доказано, что построенный сплайн обладает такими же аппроксимативными свойствами, как локально-кубический сплайн. Следовательно, предлагаемая сплайн-схема может быть применена с успехом для численного решения краевых задач для ОДУ второго порядка.

Литература

1. Завьялов Ю. С., Квасов Б. И., Мирошниченко В. Л. Методы сплайн-функций. — М.: Наука, 1980.

2. Жанлав T. О методе сплайн-аппроксимации решения обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка. — 1992.

3. Жанлав T. О трехточечной сплайн-схеме повышенной точности // ЖВМ и МФ. — 1991. — Т. 31, № 1. — С. 40-51.

4. Дронов С. Г., Лигун А. А. Об одном сплайн-метод решения краевой задачи // Укр. матем. журнал. — 1989. — Т. 41, № 5. — С. 703-707.

5. Жанлав T. О представлении интерполяционных кубических сплайнов через B-сплайны // Методы сплайн-функций (Новосибирск). — 1981. — № 87. — С. 3-10.

6. Sablonnier P. Univariate spline quasi-interpolants and applications to numerical analysis//Rend. Sem. Mat. Univ. Pol. Torino. — 2005. — Vol. 63, No 3. — Pp. 211-222.

7. Zhanlav T., Mijiddorj R. The local integro cubic splines and their approximation properties // Appl. Math. Comput. — 2010. — Т. 216, № 7.

8. Zhu C. G., Wang R.-H. Numerical solution of Burgers equation by cubic B-spline quasi-interpolation // Appl. Math. Comput. — 2009. — Т. 208, № 1.

9. Zhu C., Kang W.-S. Numerical solution of Burgers-Fisher equation by cubic B-spline quasi-interpolation // Appl. Math. Comput. — 2010. — Vol. 216, No 9. — Pp. 26792686.

UDC 5A9.624.2

Local-Cubic Spline for Approximate Solution of Boundary Value

Problems

T. Zhanlav*, R. Mijiddoj

* National University of Mongolia, Ulan-Bator, Mongolia ^ Mongolian State University of Education, Ulan-Bator, Mongolia

We have constructed an explicit local-cubic spline for the approximation of the smooth functions and have studied the behavior of the approximation. To solve numerically boundary value problems, a spline-scheme based on the properties of the local-cubic spline and the standard cubic spline collocation is proposed. The scheme is implemented by sequentially solving two tridiagonal systems, which allow to use the three-point sweep method and differ from each other only by matrix of the right-hand side of the equation. It indicates that this algorithm is efficient. The number of operations depends linearly on the number of grid nodes. It is proved that the constructed spline possesses the same approximation properties as the local-cubic spline. Thus, in this paper we actually considered the approximation of the solutions of the boundary value problems. The proposed scheme also allows to find the first and second derivatives of the solution of the boundary value problem on the uniform grid nodes of the fourth-order accuracy with respect to the step-size of the grid. The numerical experiments confirm the theoretical order of convergence. Due to good approximation properties and the simplicity of the algorithm implementation, the proposed method can be applied to solve numerically the boundary value problems for the second order ordinary differential equations, which often occur in mathematics, physics, and in the field of natural and engineering sciences.

Key words and phrases: boundary value problems, cubic spline, high accuracy

References

1. Y. S. Zav'yalov, B. I. Kvasov, V. L. Miroschnichenko, Methods of spline-functions, Nauka Moscow, 1980, in Russian.

2. T. Zhanlav, On a spline approximation method for solving ordinary differential equations, in Russian (1992).

3. T. Zhanlav, A high accuracy three-point spline scheme, USSR Comput. Math. Math. Phys. 31 (1) (1991) 28-36.

4. S. G. Dronov, A. A. Ligun, A certain spline method for solving a boundary-value problem, Ukrainian Mathematical Journal 41 (5) (1989) 608-612.

5. T. Zhanlav, B-representation of interpolatory cubic splines, Methods of spline-functions, (Novosibirsk) (87) (1981) 3-10.

6. P. Sablonnier, Univariate spline quasi-interpolants and applications to numerical analysis, Rend. Sem. Mat. Univ. Pol. Torino 63 (3) (2005) 211-222.

7. T. Zhanlav, R. Mijiddorj, The local integro cubic splines and their approximation properties, Appl. Math. Comput. 216 (7).

8. C. G. Zhu, R.-H. Wang, Numerical solution of burgers equation by cubic b-spline quasi-interpolation, Appl. Math. Comput. 208 (1) (2009) 260-272.

9. C. Zhu, W.-S. Kang, Numerical solution of burgers-fisher equation by cubic b-spline quasi-interpolation, Appl. Math. Comput. 216 (9) (2010) 2679-2686.

© ЖанлавТ., МижиддоржР., 2016