CC BY
137
Фундаментальные проблемы теоретической и прикладной механики Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского, 2011, № 4 (5), с. 1959-1960
1959
УДК 519.71
МЕТОД СКОРОСТНОГО ГРАДИЕНТА В ЗАДАЧАХ АДАПТАЦИИ И УПРАВЛЕНИЯ С ОГРАНИЧЕНИЯМИ
© 2011 г. М.С. Ананьевский
Институт проблем машиноведения РАН, Санкт-Петербург
msaipme@yandex.ru
Поступила в редакцию 24.08.2011
Предложено развитие метода скоростного градиента на задачи асимптотического управления с наличием фазовых ограничений. Проведено обобщение метода скоростного градиента, позволяющее синтезировать функцию управления как в конечном, так и в дифференциальном виде для задач с фазовыми ограничениями. Сформулированы и доказаны теоремы о достижении цели управления в замкнутой системе. Предложенный алгоритм продемонстрирован на примере одновременного управления несколькими нелинейными осцилляторами. Приведены результаты численного моделирования.
Ключевые слова: метод скоростного градиента, фазовые ограничения, управление колебаниями.
Рассматривается задача управления механической системой:
с!х
(оу) ~^=р(х,и^ х(0)=х0, хек", иеКт,
где и — вектор управления, х — вектор состояния системы, t — время. Пусть дополнительно задана некоторая неотрицательная функция Q(x, {) и пусть целью управления является асимптотическая минимизация этой целевой функции Q(x, t): (ЦУ) Q( х^), 0 = 0.
Для решения поставленной задачи в 1979 г был предложен метод скоростного градиента [1], суть которого заключается в выборе функции управления в следующем виде:
^и , dQ ,п.
(ау) - = -у. ^ и—, и(0) = и0,
здесь производная функции Q(x, I) берется в силу системы (ОУ), у — положительно определенная матрица (параметр алгоритма).
Проводится обобщение метода скоростного градиента на случай, когда к уравнениям динамики объекта управления (ОУ) и цели управления (ЦУ) добавляются фазовые ограничения. Рассматриваются ограничения вида «не выйти за пределы области»:
В(х^)) > 0, t > 0, а также вида «движение по поверхности»:
В(х(г)) = 0, t > 0.
В первом случае («не выйти за пределы области») вводится вспомогательная функция У(х^):
V (х, t) =Q (х, t) + -га-,
В( х)
и алгоритм управления предлагается выбирать в
следующем виде (а > 0 — параметр алгоритма):
du . dV ,_ч
— = -у- grad , и(0) = и0. dt dt Во втором случае («движение по поверхности») предполагается, что В(х) — линейная функция. Предлагается использовать стандартный ал -горитм скоростного градиента для целевой функции:
V (х, t) = Q (х, t) + ХВ (х), где X — вектор множителей Лагранжа.
Приведены уточненные формулы для обобщенного алгоритма скоростного градиента, а также теоремы, устанавливающие достаточные условия выполнения цели управления с учетом фазовых ограничений.
Метод скоростного градиента, изначально сформулированный для задач адаптивного управления, имеет много приложений [2]. С помощью алгоритмов, построенных по методу скоростного градиента, были успешно решены некоторые задачи управления лабораторными установками: управление вибрационным стендом [3], управление многомаятниковой мехатронной установкой [4], управление раскачкой маятника Фу-руты [5] и др. Метод оказался эффективным и для задач управления колебаниями в квантово-механических моделях молекулярных систем [6, 7].
Приведены примеры синтеза алгоритмов управления механическими системами с учетом фазовых ограничений на основе метода скоростного градиента. Эффективность предложенного метода продемонстрирована на примере синтеза алгоритма селективного управления системой, состоящей из нескольких нелинейных маятников
с дефицитом управляющих воздействий. Приведены результаты численного моделирования.
Работа выполнена при поддержке ФЦП «Кадры», гос. контракт №16.740.11.0042.
Список литературы
1. Фрадков А.Л. Схема скоростного градиента и ее применение в задачах адаптивного управления // Автоматика и телемеханика. 1979. №9. С. 90-101.
2. Андриевский Б.Р, Стоцкий А.А., Фрадков А.Л. Алгоритмы скоростного градиента в задачах управления и адаптации (обзор) // Автоматика и телемеханика. 1988. №12. С. 5-59.
3. Томчин Д.А., Фрадков А.Л. Управление прохождением через область резонанса при пуске двухроторных вибрационных установок // Пробл. машиностро-
ения и надежность машин. 2007. №4. С. 91-96.
4. Fradkov A.L. et al. Multipendulum mechatronic setup for studying control and synchronization. In: Dynamics and Control of Hybrid Mechanical Systems / Ed. by G. Leonov et al. Singapore: World Scientific, 2010. P. 211-222.
5. Shiriaev A.S. et al. Swinging up of simplified Furuta pendulum // Proc. 5th European Contr. Conf. Karlsruhe, Aug. 31 - Sep. 3, 1999.
6. Ананьевский М.С. Селективное управление наблюдаемыми в конечноуровневых квантовых системах // Автоматика и телемеханика. 2007. №8. С. 32-43.
7. Ананьевский М.С., Ефимов А.А., Фрадков А.Л. Управление изомеризацией в классических и квантовых ансамблях нежестких молекулярных систем. Пример LiCN/LiNC // IX Всерос. съезд по теоретич. и прикл. механике: Тез. докл. Нижний Новгород, 2006. С. 14.
THE VELOCITY-GRADIENT METHOD FOR ADAPTIVE CONTROL AND CONTROL
WITH PHASE CONSTRAINTS
M.S. Ananyevskiy
New results for velocity-gradient method for control with phase constraints are obtained. A new control function for finite and differential form of the velocity-gradient method is proposed. The analytical results on the applicability of the algorithm are presented. The problem of constrained energy control of two pendulums by a single control action is studied as an example. Simulation results are presented.
Keywords: velocity-gradient method, phase constraints, control of oscillations.
