CC BY
31
МЕТОД СКАНИРОВАНИЯ ДЛЯ ИССЛЕДОВАНИЯ СОВЕРШЕННОЙ КОНКУРЕНЦИИ В РАСПРЕДЕЛЕННЫХ ЭКОНОМИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ
УДК 519.7, 330.42
Илья Михайлович Калюжный
Аспирант кафедры Высшей математики, Московский государственный университет экономики, статистики и информатики, Москва Тел.:89161244701, Эл. почта: [email protected]
Описан метод сканирования, который позволяет исследовать совершенную конкуренцию в распределенных экономических системах, описанных дифференциальными уравнениями в частных производных параболического типа.
Ключевые слова: конкуренция, распределенная экономическая система, автоволновые процессы, метод сканирования.
Iliya Mikhailovich Kaluyzhny
Post-graduate student, the Department of Higher Mathematics
Moscow State University of Economics, Statistics and Informatics (MESI) Tel.: 89161244701, E-mail: [email protected]
SCANNING METHOD FOR STUDY OF PERFECT COMPETITION IN DISTRIBUTED ECONOMICAL SYSTEMS
"Scanning method" for analyzing perfect competition in distributed economical systems that are describe by partial parabolic differential equations is proposed.
Keywords: perfect competition, distributed economical system, autowave processes, scanning method.
1. Введение
Конкуренция имеет место во всех процессах экономической деятельности. В литературе обычно описываются установившиеся результаты конкуренции между дискретными экономическими системами [1-3]. Конкуремнция — борьба, соперничество в какой-либо области. В данной работе рассматривается конкуренция в рыночных условиях в отсутствии производства товаров. Будет рассмотрена совершенная конкуренция — экономическая модель, когда отдельные покупатели и продавцы не могут влиять на цену, но формируют её своим вкладом спроса и предложения. Рыночное поведение продавцов и покупателей заключается в приспособлении к равновесному состоянию рыночных условий.
Признаки совершенной конкуренции: бесконечное множество равноценных продавцов и покупателей; однородность и делимость продаваемой продукции; отсутствие барьеров для входа или выхода с рынка; высокая мобильность факторов производства; равный и полный доступ всех участников к информации (цены товаров).
2. Экономическая среда как активная среда
Большинство известных моделей описывают динамику средних показателей экономики, например, динамику ВВП и являются линейными. Использование более сложных нелинейных моделей интенсивно развивается в настоящее время [4-7]. Идея использования этих моделей основаны на том, что экономическая и социальная среда является, так называемой, активной средой. Если в рамках нашего подхода рассматривать в качестве локальных процессов промышленные и сельскохозяйственные производственные процессы, в качестве процессов переноса — транспортные перевозки сырья и продуктов, в качестве энергии — финансовые и энергетические ресурсы, требующие возобновления, то подобная распределенная система действительно является активной средой. В ней могут возникать драматические конкурентные взаимодействия между региональными «водителями ритма», спиральные волны, т. е. зоны структурно разделенные, а также и полностью хаотические режимы. Также известно, что региональные или отраслевые экономические подсистемы могут входить в колебательный режим, и для нас не представляется странным возникновение пространственных автоколебаний. Видимо, имеет смысл условно воспринимать представление о «водителях ритма» как о центрах экономического роста, регионального или же отраслевого.
3. Алгоритм сканирования
Для исследования совершенной конкуренции с распределенных средах будем рассматривать системы нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных параболического типа [4-7]
дБ,
dt
!- = F(Б,£„...,En) + DiAE, (i = 1,...,n)
(1)
где Е - переменная, ^ - нелинейная функция, О. - коэффициент диффузии. В двумерном случае система уравнений имеет вид
дх дх
^Г1 = f(х1 > Уг) + D1Axi^^T = g (х1' х2) + D2 Ax2 dt dt
(2)
Уравнение (1) является более общим, чем (2). В данной работе реализован программный комплекс для расчета режимов нелинейных динамических систем с помощью множества глобально связанных осцилляторов, поскольку он позволяет учесть не только диффузионные связи, но и связи более общего характера.
Точечной системой для (1) является система обыкновенных нелинейных дифференциальных уравнений
<Е .
= ^ (Ер..., Еп) (3)
м
Для автоволновых систем такие системы дифференциальных уравнений являются, так называемыми, жесткими системами. Исследование таких систем
№2, 2011
168
Статистика и математические
требует применение специальных методов.
Наличие гетерогенности, сложной структуры областей приводит к значительному усложнению программы и времени счета. Для повышения эффективности решения с учетом особенностей вычислительной среды МайаЪ-7 разработан алгоритм, основанный на сканировании области - алгоритм сканирования, основанный на сканировании области, аналогичном сканированию в телевидении или цифровых матричных устройствах. Узлы счета располагаются на траекториях сканирования, число которых равно числу узлов в элементарной операции счета, как показано на рис. 1.
Ведущая траектория имеет последовательную возрастающую нумерацию узлов. Она позволяет учесть сложную геометрию области. Для определения соседних точек каждого узла ведущей траектории сканирования используется еще четыре траектории. Нумерация точек остальных вспомогательных траекторий осуществляется в процессе предподготовки основной вычислительной программы. Проиллюстрирует создание вспомогательных траекторий на примере. Создание вспомогательных траекторий иллюстрируется табл.1. В первом столбце таблицы указаны номера ведущей траектории, в последующих столбцах - левая, правая, нижняя и верхняя вспомогательные траектории. Строка таблицы позволяет сформировать правую часть дифференциального уравнения, используемого в расчетах. Разработана методика проведения быстрого формирования траекторий.
Краевые условия не кодируются номерами ведущей траектории, но они учитываются при нахождении правых частей дифференциальных уравнений. По всем найденным номерам всех пяти траекторий и известным значениям переменных, соответствующих номерам траекторий, формируются правые части дифференциальных уравнений, используемые в МайаЪ 7. Каждой точке ведущей траектории соответствует определенная вычислительная формула для расчета правой части используемых дифференциальных уравнений. Таким образом, формируется одномерный массив данных, предназначенный для ввода в программу решения жестких систем дифференциальных уравнений в МайаЪ 7, например, ОБЕ-15, ОБЕ-45. После вы-
Рис 1. Схема сканирования в случае прямоугольной области
Таблица 1. Формирование вспомогательных траекторий
Ведущая Левая Правая Нижняя Верхняя
8 2 14 7 9
9 3 15 8 10
10 4 16 9 11
полнения расчетов на одном шаге вычислений по полученным данным и известной матрице пересчета для точек ведущей траектории сканирования создается массив расчетных данных для исходной области. Краевые условия в случае задачи Дирихле выводятся без изменений. В случае задачи Неймана и смешанной краевой задачи отдельно выводятся значения двух граничных точек, одна из которых рассчитывается с помощью заданной производной по координате. Далее процесс повторяется. Графическая визуализация полученного решения производится дискретным образом частями заданного объема. После вывода очередной порции конечные значения используют в качестве начальных для последующих расчетов. Таким образом, достигается быстрая эффективная визуализация расчетов в режиме online. Программа была использована для расчета процессов распространения возбуждения в проводящей системе сердца со сложной геометрией, близкой к реалистичной. Результаты расчетов подтвердили факт значительного увеличения скорости счета и сокращения объема базовой программы в несколько раз за счет удаления условных операторов программы, необходимых для учета сложной геометрии области и граничных условий.
Узлы счета располагаются на траекториях сканирования. Ведущая траектория имеет возрастающую нумерацию узлов, нумерация узлов остальных траекторий вычисляется в процес-
се предподготовки. По найденным номерам всех траекторий сканирования и известным значениям переменных, соответствующих номерам траекторий, формируются правые части дифференциальных уравнений. Таким образом, формируется одномерный массив данных для ввода в программу решения жестких систем дифференциальных уравнений в МайаЪ 7.
В качестве примера моделирования конкуренции рассмотрим конкуренцию между крупными магазинами мебели в Москве. Рассмотрение производим в определенном упрощении ситуации, полагая конкурентную среду распределенной. В рассматриваемом случае изучена конкурентная динамика в распределенной среде с семью выделенными объектами. Каждый из магазинов в начальный момент времени обладает одинаковыми ресурсами. Магазины имеют примерно одинаковую площадь, примерно одинаковый ассортимент товаров, примерно одинаковые цены на товары. С течением времени два из них начинает предлагать покупателям более выгодные условия для покупок, например, делит однотипные товары на более дорогие и более дешевые, что позволяет привлечь большее число менее обеспеченных покупателей. Таким образом, они постепенно захватывают большую долю рынка, и в итоге подавляют остальные магазины. Схематически динамика конкуренции иллюстрируется рисунком 2.
Приведенный рисунок иллюстри-
Рис. 2. Моделирование конкуренции крупных мебельных магазинов в Москве
Рис. 3. Моделирование конкуренции предприятий сектора услуг
рует конкуренцию типа постепенного подавления более слабых экономических объектов и сегментации территории распределенной экономической системы.
Возможно моделирование конкуренции не только магазинов, но и предприятий сектора услуг, например, компаний, занимающихся установкой пластиковых окон, ремонтом бытовой техники. При конкуренции этих компаний типа конкуренции будет иной - «сканирующая» конкуренция. В данном случае подавления более слабых экономических объектов наблюдаться не будет, каждая конкурирующая компания будет захватывать свой участок рынка. С течение времени области, захваченные каждой из компаний, будут смещаться (см. рис. 3).
При моделировании в качестве точечных систем использовалась система уравнений Бонхоффера - Ван дер Поля - Фитцхъюга. Отметим одно интересное свойство исследуемых систем. При использовании других близких математических моделей отдельных элементов системы качественные закономерности динамики конкуренции при соответствующем подборе параметров уравнения сохраняются.
4. Заключение
В статье рассмотрен метод сканирования, который позволяет исследовать совершенную конкуренцию в распределенных экономических системах, описываемых дифференциальными уравнениями с частных производных параболического типа. Данный метод позволяет перейти от решения уравнений в частных производных к системам нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений.
В вычислительном эксперименте метод показал свою эффективность.
Литература
1. Колемаев В.А., Экономико-математическое моделирование, Юнити, Москва, 2005.
2. М. Пу Т. Нелинейная экономическая динамика. Ижевск, 2000
3. В.-Б. Занг, Синергетическая экономика. Время и перемены в нелинейной экономической теории, «Мир», Москва, 1999
4. Пугачева Е.В., Соловьенко К.Н. Самооргонизация социально-экономических систем, Издательство БГУ-ЭП, Иркутск, 2003
5. Твердислов В.А. Экономика России как активная среда // Преодоление
времени / Под ред. Ю.М. Осипова, В.М. Кулькова, Е.С. Зотовой. М., 1996
6. Твердислов В.А. Особенности пространственно-временной самоорганизации в социоэкологической системе России // Россия в актуальном времени-пространстве / Под ред. Ю.М. Осипова, О.В. Иншакова, М.М. Гузе-ва, Е.С. Зотовой. М.—Волгоград, 2000
7. Березин И.С., Жидков Н.П. Методы вычислений, том 2, Государственное издательство физико-математической литературы, Москва, 1962
8. Erwin Stein, Ren De Borst, Thomas J.R. Hughes. Encyclopedia of Computational Mechanics (3 Volume Set) free download. 2004. 233
9. Мазуров М.Е., Калюжный И.М., О методе сканирования при решении
граничных задач для нелинейных уравнений параболического типа в гетерогенных областях сложной геометрии, САЙТ - 2009
References
1. Kolemaev V.A., Economical and mathematical modeling, Unity, Moscow, 2005.
2. M. Poo. Nonlinear economical dynamics. Izhevsk, 2000
3. W.-B. Zhang, Synergetic economics. Time and changes in nonlinear economical dynamics, «Mir», Moscow, 1999
4. Pugwcheva E.V, Solovenko K.N. Self-organization in economical and social systems, BGUEP, Irkutsk, 2003
5. Tverdislov V.A. Russian economics as active medium // Conquering time
/ Editors. Y.M. Osipov,V.M. Kulkov, E.S. Zolotova, Moscow, 1996
6. Tverdislov V. A. Feature of self-organization in social and ecological sys-mem in Russia // Russia in current space and time / Editors: Y.M. Osipov,
O.V.Inshakova, M.M. Guzeev, E.S. Zolotova. Moscow-Volgograd, 2000
7. I.S. Berezin, N.P. Zhidkov Calculations methods, volume 2, Moscow, 1962
8. Erwin Stein, Ren De Borst, Thomas J.R. Hughes. Encyclopedia of Com-
putational Mechanics (3 Volume Set) free download. 2004. 233
9. M.E. Mazurov, I.M. Kalyuzhny, About scanning method for solving boundary problems of nonlinear partial parabolic differential, SAIT - 2009
