CC BY
52
УДК 51-72:530.145
МЕТОД РЕШЕНИЯ ОДНОМЕРНОГО УРАВНЕНИЯ ШРЕДИНГЕРА ПРИ ПОМОЩИ СТЕПЕННЫХ РЯДОВ
© И.Н. Беляева, Н.А. Чеканов
Belyaeva I.N., Chekanov N.A. Method of solution for the one-dimensional Shroedinger equation by means of the power series. The article proposes a symbolic numeric approach for solving of the eigen-value problem for the one-dimensional Shroedinger equation based on the basis solutions of the Cauchy problem in the form of the power series. Results of the boundary problem for some Schroedinger operators such as anharmonic oscillators, including the quartic oscillator with double well, are presented.
ВВЕДЕНИЕ
В настоящей работе предложен аналитически-численный метод, основанный на нахождении линейно независимых решений задачи Коши по методу Фробе-ниуса [1] в виде степенных рядов, с помощью которых решается исходная краевая задача для уравнения Шре-дингера.
Предложенным методом в среде MAPLE решено одномерное уравнение Шредингера для ангармонических осцилляторов с четвертой, шестой и восьмой степени нелинейности, включая осциллятор с двумя локальными минимумами, а также для других систем. Отметим, что ангармоническим осцилляторам, посвящено огромное число работ (см., например, [2-4]). Это связано с тем, что эта модель имеет полезные приложения в атомной и молекулярной физике, в квантовой теории поля, в теории твердого тела.
ИЗЛОЖЕНИЕ МЕТОДА
Пусть дано уравнение
(x) + 2(E - V(x))^(x) = 0, (1)
где функция V (x) может иметь полюс не выше второго порядка в окрестности точки x = x0, которое надо
решить на собственные значения Е с заданными граничными условиями на конечном или бесконечном интервале с квадратично интегрируемой функцией
w( x).
Для решения задачи (1) вначале находим два линейно независимых решения уДx) и y2( x) задачи
Коши дифференциального уравнения (1) со следующими начальными условиями
\уХ x0)=1
U'( x0) = 0
|>2( x0) = 0 Ы (x0) = 1
Если функция V (х) не содержит особенностей, то решения у (х) и у2 (х) ищем в виде следующих степенных рядов:
да
у1(х,Е) = 1 + ^с®(х - х0)к
к=2
да
У2( х, Е) = х - хо 42)( х - хо)к (3)
к=2
которые автоматически удовлетворяют начальным условиям (2). Коэффициенты с®, с™ определяются
единственным образом посредством подстановки ряда (3) в уравнение (1) и приравниванием к нулю коэффициентов при различных степенях независимой переменной.
При наличии особенностей в уравнении (1) в точке х = х0 вид решений (3) усложняется. Из теории обыкновенных дифференциальных уравнений известно [1], что для того чтобы уравнение, в частности вида (1), имело в окрестности особой точки х = х0 хотя бы
одно частное решение в виде обобщенного степенного ряда
У(x) = (x - x0>p^ck(x - x^к, (c Ф 0),
(4)
где показатель р есть некоторое постоянное число, необходимо и достаточно, чтобы функция V(х) в
уравнении (1) имела полюс не выше второго.
При наличии полюса второго порядка вид двух линейно независимых решений зависит от корней Р1,
р2 определяющего уравнения
(2)
Р(Р - 1) + /с = 0
(5)
к=0
и
где ^ - коэффициент при полюсе второго порядка в разложении функции 2(Е — V (х)) ■
Тогда, если корни определяющего уравнения различны (р1 > р2) и их разность р1 — р2 не равна целому положительному числу, то два линейно независимых решения имеют вид:
да
У (х, Е) = (х — х0)р £ 4° (х — х0)к,
к=0 да
У2( х, Е) = (х — Хо)Р2 ^ с(2)(х — Хо)к (6)
к=0
Коэффициенты ск и С(2) определяются подстановкой рядов (6) в уравнение (1), после предварительного умножения обеих частей его на (х — х0)2. При
этом коэффициенты С0(1) и С0(2) остаются произвольными, которые положим равными единице.
Если же разность р1 — р2 есть целое положительное число, то одно решение, соответствующее большему корню р1, по-прежнему имеет вид
Уі (х, E) = (х - хо)Р Zск')(x - хо)к, (со} = 1),
(7)
а второе линейно независимое решение определяется следующим рядом:
да
У2 (х, Е) = (х - хо)Р2 £ с® (х - хо)к +
к=0
+ #-1 У1(х, Е)1п(х - х0) . (8)
В случае равенства р1 - р2 = 0 одно частное решение имеет вид (7), а второе линейно независимое решение имеет вид (8), но при этом коэффициент
#-1 * 0.
Как известно, общее решение уравнения (1) находится по формуле
У( х) = Сі Уі( x) + C2 У2 ( x),
(9)
где С1 и с2 - произвольные постоянные, которое содержит и решение \у(х) краевой задачи (1).
Согласно условиям исходной краевой задачи ее собственные значения Е и собственные функции \у(х) определяются из следующей однородной системы алгебраических уравнений
|С1( Е) • ^ (Я1ф, Е) + С2 (Е) -^2(К1еА, Е) = 0, (10)
[СДЕ) • ^(Я^, Е) + С2( Е) • , Е) = о,
и R .ht - левая и правая граничные точки.
Нетривиальное решение этой системы определяется из равенства нулю соответствующего детерминанта
0( Я, Е):
D(R, E) =
E) Ч/2(Rleft, E)
V(RnSht, E) 4/2(Rr,Sht, E)
= 0, (11)
которое выполняется не при всех, а при определенных значениях энергии Еп, составляющих энергетический
спектр уравнения Шредингера (1). Для построения волновых функций (х, К) необходимо решить однородную линейную систему алгебраических уравне-
C1(E„) • у1(Rleft,E„) + С2(E„) • W2(Rleft,E„) = 0, (12)
ОД) • V^Rgt,, E„) + С2( En) • yRh, En) = 0.
относительно Cj( En ), C2( En ) и удовлетворить усло-
R
вию нормировки J ЦГЦГ* dx = 1 Волновые функции
- R
представляются аналитически в виде степенных рядов с заданным числом членов N.
Краткое описание алгоритма. Нами разработан алгоритм и составлена численно-аналитическая программа EWA на MAPLE. Эта программа состоит из следующих шагов.
1. Вводятся начальные данные: потенциальная функция V(x), граничные точки R и R . ht, N число членов степенного ряда, флаг Type V, указывающий на наличие или отсутствие особенностей функции
V (x).
2. Нахождение двух линейно независимых решений, если функция V (х) не содержит особенностей.
3. При наличии полюсов не выше второго порядка, находим коэффициенты р1, р с^ , с(2) и ^
4. Нахождение энергетического спектра.
5. Построение нормированных волновых функций.
ТЕСТИРОВАНИЕ ПРОГРАММЫ
Для проверки достоверности результатов, полученных этим аналитически-численным методом, было проведено тестирование программы EWA для потенциальной функции V (х) в уравнении (1) с бесконечными
стенками А) и гармонического осциллятора Б). В случае А) первые десять уровней совпадают с точными значениями E = Пn2/8R2,n = 1,..10,.. с девятью знаками после десятичной точки, если взять N = 68 и R = R = R = 1. В случае Б) при значе-
lefi right
ниях N = 138 и R = R = 5,9 относительная по-
left right
грешность ß % вычисленного десятого уровня составляет 0.004 % от точного его значения
E = n + 1/2 n = 01 . Максимальная абсолютная
разность между точной и вычисленной волновой функ-
к=0
цией для x е [R R ] при n = 3 в случае Б) менее
L left5 right J
10-9.
Был также рассмотрен случай наличия полюса второго порядка. Предлагаемым методом было решено радиальное дифференциальное уравнение с нулевыми граничными условиями в нуле и на бесконечности
d2 y(r)
dr2
2E +
1 - 4/2
А
4r
--r
y(r) = 0, / = 0,1,2,...
(13)
собственные значения и собственные функции которого известны [5].
При помощи программы EWA для данного уравнения найдены волновые функции и вычислен энергетический спектр, для которого при l = 1, N = 116 и Rf = 10-8, Rright = 5.6 относительная погрешность
вычисленного, например, третьего уровня составляет 0,001% от точного его значения. Максимальная абсолютная разность между точной и вычисленной волновой функцией для х £ [ R R ] при n = 3 менее 10"9.
L left5 right J
Заметим, что точность расчетов зависит от числа N и от величины К , и выбором их значений эту точность можно увеличить.
РЕЗУЛЬТАТЫ
Приведенный выше метод был применен для вычисления энергетических уровней и волновых функций ангармонических осцилляторов, потенциальная функция которых в уравнении (1) равна V(х) = х72 + ахр, (р = 4,6,8), где а > 0 - пара-
метр нелинейности. При сравнении полученных уровней энергии Ееш с их значениями Е 1 из работы [2]
найдено хорошее согласие.
В работе вычислены энергетический спектр и волновые функции для ангармонического осциллятора с двумя минимумами, потенциальная функция которого имеет вид V (х) = а(х2 - а2)2, где а > 0 и а -параметры.
■ 1 L±-| CD - X 1 1 І
\ /05
\ °-5' -1
V \ / N
^|р А У і
\ /°5 V
vy л: V
Рис. 1. Квадраты волновых функций ^2(х, Е0) для основного состояния (слева) и ц/2(х, Е1) (справа), а также график потенциальной функции при а = \/2, а =0,25
Рис. 2. Волновая функция ц2(х, Е0) Для основного состояния (слева) и ц2(х, Е3) (справа) для состояния с п = 5 , а также график потенциальной функции при а = л/2 , ОС =1
Таблица 1
Сравнение энергетического спектра EШA гамильтониана (1) с данной потенциальной функцией
со значениями из работ [3] и [4]
n E EWA Eja , [3] E EWA Esn , [4]
a = уі2, а = 1, R = 3,4, N = 180 a = V2, а = 0,25, R = 3,7, N = 116
0 1,80081349 1,80081349 -0,299521302 -0,299521367
1 1,89650538 1,89650538 0,046371670 0,046371082
2 4,37046673 4,37046673 1,227973957 -
3 5,57335024 5,5733520 2,459861283 -
4 7,65142527 - 3,938317733 -
5 9,92036057 - 5,581833988 -
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
В работе предложен аналитически-численный метод решения краевой задачи для уравнения Шрединге-ра и представлены результаты расчетов для ангармонических осцилляторов, хотя подобные расчеты были проведены и для других систем, например электрона и плоского атома водорода в магнитном поле. При сравнении полученных результатов с имеющимися в литературе найдено хорошее согласие.
ЛИТЕРАТУРА
1. Трикоми Ф. Дифференциальные уравнения. М.: ИЛ, 1962. 352 с.
2. Banerjee By.K. General anharmonic oscillators // Proc. R. Soc. Lond., A.364, 1978. Р. 265-275.
3. Jafarpour M., Afshar D. Calculation of energy eigenvalues for the quantum anharmonic oscillator with a polynomial potential // J. Phys. A: Math. Gen. 2002. V. 35. Р. 87-92.
4. Erik Van der Straeten and Jan Naudts. The quantum double-well anharmonic oscillator in an external field // J. Phys. A: Math. Gen. 2006. V. 39. Р. 933-940.
5. Справочник по специальным функциям / под ред. М. Абрамовиц и И. Стиган. М.: Наука, 1979. 832 с.
БЛАГОДАРНОСТИ: Авторы глубоко признательны профессору И.В. Пузынину и участникам его семинара ЛИТ ОИЯИ за плодотворное и полезное обсуждение.
Поступила в редакцию 23 апреля 2006 г.
