Метод равномерно точной аппроксимации и его применение к расчету аэродинамического взаимодействия комбинации крыло-фюзеляж и тела вращения при сверхзвуковых скоростях полета Текст научной статьи по специальности «Физика»

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ И А Г И

Том XIV 1983 № ‘г

УДК 533.6.011.5:533.695

629.735.33.015.3:533.695

МЕТОД РАВНОМЕРНО ТОЧНОЙ АППРОКСИМАЦИИ И ЕГО ПРИМЕНЕНИЕ К РАСЧЕТУ АЭРОДИНАМИЧЕСКОГО ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ КОМБИНАЦИИ КРЫЛО—ФЮЗЕЛЯЖ И ТЕЛА ВРАЩЕНИЯ ПРИ СВЕРХЗВУКОВЫХ СКОРОСТЯХ

ПОЛЕТА

С. И. Кусака я

Рассмотрена задача об определении аэродинамических характеристик тела вращения в трехмерном поле скоростей возмущений, индуцируемых комбинацией крыло — фюзеляж в сверхзвуковом потоке. Для получения более точных по сравнению с линейной теорией результатов на основе работ [1, 2] сформулирован метод равномерно точной аппроксимации нелинейного дифференциального уравнения для добавочного потенциала скоростей, описывающего слабовозмущенные пространственные сверхзвуковые течения последовательностью линейных уравнений. Доказана сходимость метода к первому члену асимптотического разложения точного решения в области неравномерности формального разложения решения в ряд по малому параметру. Найден общий вид первого приближения к решению точной задачи вблизи скачков уплотнения или характеристических поверхностей, совпадающих в линейной теории с конусами Маха невозмущенного потока. Приведены примеры расчета поля местных скосов потока, создаваемых комбинацией крыло — фюзеляж, а также коэффициентов подъемной и боковой сил, действующих на помещенное в это поле тело вращения.

При расчете аэродинамических характеристик тела, находящегося в трехмерном поле скоростей возмущений, индуцируемых каким-либо другим телом или системой тел, возникает задача более точного по сравнению с линейной теорией определения поля местных скосов потока в окрестности рассматриваемого тела и распределения давления по его поверхности. Для решения этой задачи необходимо, в частности, иметь алгоритм построения равномерно точного решения в зонах с конечными градиентами давления в течениях сжатия и расширения и введения Нелинейных поправок, связанных с наличием таких зон, в формулы для аэродинамических характеристик, полученных формальным разложением решения в ряд по малому параметру.

2—«Ученые записки ЦАГИ» №2

17

Пример указанных областей течения показан на рис. 1 и 2, иллюстрирующих случай обтекания тела вращения трехмерным сверхзвуковым потоком, формирующимся около комбинации крыло — фюзеляж. Первая область расположена между поверхностью слабого разрыва 2С, выходящей из точки пересечения передней кромки с поверхностью фюзеляжа, и характеристическим конусом

Рис. 2

невозмущенного потока с вершиной в той же точке. Вторая область ограничена конусом Маха и поверхностью сильного разрыва 24, выходящих из носка тела вращения.

Уравнение поверхности разрыва 2, под которой в дальнейшем подразумевается либо 25, либо 2С) в цилиндрической системе координат СЬс0/? имеет вид

/? = — х[\ +?{Х, 9)],

(1)

где предполагается, что ось л: параллельна вектору скорости невозмущенного потока, а начало координат О совпадает с вершиной поверхности 2.

Функция р(х, 0) на конечных расстояниях от точки О имеет

величину порядка добавочной скорости на 2, р = |/М2—1, М — число М невозмущенного потока.

Линейная теория не дает решения между конусом Маха и поверхностью 2, поэтому следует подробнее остановиться на решении точной нелинейной задачи в тех зонах течения, где формальная линеаризация уравнений и граничных условий неприменима.

1. Уравнение и граничные условия для первого приближения к точному решению задачи в областях с конечными градиентами давления. Рассмотрим пространственное сверхзвуковое установившееся адиабатическое движение идеального совершенного газа, в котором изменения составляющих вектора скорости V, обусловленные наличием обтекаемых тел, малы по сравнению с модулем вектора скорости У0 невозмущенного потока:

V = Ко + У0 V, V <с 1. (2)

Считаем, что значения гидродинамических элементов в некоторой точке Р возмущенного течения найдены в п-м приближении или с точностью до величин (й-)-1)-го порядка малости, если разность между приближенным и точным решениями в этой точке имеет порядок 0(г>р+1).

С точностью до величин третьего порядка малости возмущенное поле течения описывается добавочным потенциалом скоростей <р, связанным с вектором скорости V соотношением V — К0 + + V? и удовлетворяющим следующему дифференциальному уравнению:

К-(К-у)К-а2 у-У = 0, (3)

которое в криволинейной ортогональной системе координат д1 д2д3 приводится к виду:

И (с?) = 0, (4)

3 3

где Щ<р) = 2 2 ац ^а.а + ^ квазилинейный оператор гиперболи-1=1 /= 1 ‘ ;

ческого типа; коэффициенты ау и Ь — известные функции переменных 9;, © ; а — скорость звука.

I

Рассмотрим задачу об определении поля скоростей за поверхностью разрыва Е, уравнение которой запишем в виде:

р(Чи я* д») = о. (5)

Параметры течения в области, где Р < 0, считаем известными и обозначим индексом „—а искомые величины в точках области, где /">0, обозначим индексом

Согласно условиям динамической совместности разрыв составляющей вектора скорости V вдоль оси <7г на поверхности Е определяется выражением

[П = -7г-7ГГУ\’ {6)

Н-1 <?<?£ I Vр I

где

1/л]=т4б1/;г

(х+1)

2

— 1

которое отлично от нуля на Е6. и равно нулю на £с, поскольку в точках поверхности Ес нормальная составляющая скорости равна скорости звука:

{\Г-чЩ\чГ\ = а. (7)

Здесь Яг — параметры Ламэ; [1/л]=1/+— У„, У,, — нормальная к 2 составляющая скорости, вычисляемая в точках поверхности 2.

Обозначим через 8 малый параметр, характеризующий толщину слоя, прилегающего к поверхности 2, в котором градиенты возмущенных скоростей имеют конечную величину. Полагая <?/?/<??, ф 0, разрешим (5) относительно

?з=/(?1. ?г)-

Уравнение характеристической поверхности, вычисленной по параметрам течения непосредственно перед 2, запишем в виде:

Г с (<7ь <72> 9з> о) = О, (8)

где /\Г=/Г(?1, д,, о) я3у /7 — /— 8аГ(?„ Яъ 8)> «г = 0(1). Перейдем к внутренним переменным

Г[\—Я\' У12==Я'2’ — Р"с {Ди Я2> Яъ 8)/8 (9)

и рассмотрим область, в которой •»],= 0(1). Последовательность значений переменной т)3 описывает семейство характеристических поверхностей 2^, проходящих через точки внутренней области, в которых функцию Р* можно представить в виде:

Г+-Ре- + ЬСп,(711, ъ, Ц, (10)

где С^3 = 0(1), а индекс „т;3и, который в дальнейшем опускаем, указывает на зависимость функции С от %, как от параметра.

Для описания поля скоростей возмущений во внутренней области введем добавочный потенциал <]*

?+ = <р~ + Ф (И)

н разложим его по асимптотической последовательности функций

сс

Ф = 2 ^ (8) и Ъ, ъ)> ^1=52- (12)

/=1

Замечая, что

у+ = V- + Ц, уь, (13)

и подставляя (13) в (3), найдем, что первый член асимптотического разложения (12) удовлетворяет уравнению

Ун"-(К+-у)у>1 — <А =°. (14)

где скорость звука а+ связана со скоростью а_, вычисленной в той же точке, что и а+, но при й = 0, следующим соотношением:

а+ = я__8^^^о|ТрГ|^. + 0(8*), (15)

которое получается из условия постоянства энтальпии торможения.

Входящий в (14) оператор Гамильтона в координатах д1,, я2, Яз. определяется выражением:

которое после перехода к внутренним переменным принимает вид

+

5 д713 Иі дги

7ГІ8 дгі3

где

V ( дНі'

к,—

дР:

(16)

ИТ = Н1[*1и Ъ> /с {ч\ь %)], орты, взятые вдоль осей <7,-

Используя (15) и (16) и учитывая, что в точках поверхностей 2* и 27 выполняется соотношение (7) при условии, что входящие в него величины взяты соответственно с индексами „ + “ и „ — приведем (14) к виду:

а-\чГс + з 1^- + 2т]:

<?Чі

* Л 2

дЪ

*ІЗ

/ = 1 П1 \ j=l и

р=У7 —а_у/7/№~|, » = ’

Г и д\п (Я2Я3) , Л А <Э1п (Я!Я2)]

[ 1 Ч ^ ^3 1.3=0’

\/7 — вектор скорости, вычисляемый непосредственно перед 2.

Функция ф! должна удовлетворять уравнению (17), условию сращивания с решением во внешней области и соотношениям (6) на поверхности 2, которые после подстановки в них (13) имеют вид:

дікі д-Чі

+

а2 сі

= 0, (17)

где

дР уп

_ 2___________________

дді ~~ + 1) К0 дд. |

V:

— 1

(18)

При этом величина ]/„ с учетом (8) и (16) определяется выражением:

Vп —- “Ь 8 \\РС I £ (® ) + О (82),

где введено обозначение

, 1 / "V ег

(19)

Чр~с

аиг

Из соотношений (18), (19) и условия непрерывности потенциала окончательно находим, что ф1 на поверхности 2 удовлетворяет следующим условиям:

Фі = 0,

Ц) (х + О

(20)

Уравнение для функции С получим из соотношения (7), записанного в точках поверхностей £* и £7- Принимая во внимание равенство

у/-'+ = 7/т4-з (Е-~=-~д~ -

которое получается применением оператора (16) к обеим частям (10), и используя соотношение (15), получим, что функция С удовлетворяет уравнению

*4.)----(21)

Р- 2

в которое % входит как параметр.

2. Общий вид первого члена асимптотического разложения точного решения вблизи скачков уплотнения или характеристических поверхностей, совпадающих в линейной теории с конусами Маха невозмущенного потока. Для описания поля течения вблизи поверхности 2, заданной уравнением (1), воспользуемся цилиндрической системой координат ql = x, q2 = Q, q3 = R. Замечая, что

Нх — Нъ = 1, Нг — г, приведем уравнение (17) и условия (20) к виду:

2*^Г + ^ = °. <22а>

■ь=о. ^=-4-^. (W

где X = (у. 4- 1)М4/Р4-

Переходя к новым переменным £ = = *12> С = '/)з/'у]г и обоз-

начая производную д'Ь^дС через м, имеем:

2£ -щ----2С — (о = 0; (23)

4 Е /О/i!

и) — х 5 ^ . (24)

Применяя метод разделения переменных ш = Vl{%, ^) l/2(yj, С), получим

£ дУг С dF2 _ 1 Kj аГ v2 д: - 2 >

откуда следует, что

U) = /i(7i)ETC^_) (25>

где функция h(y\) и константа а определяются из условия (24) на £ и условия сращивания решения уравнения (23) с первым членом асимптотического разложения точного решения во внешней области, который представляет собой, как показано в работах [3, 4], решение волнового уравнения, граница области существования которого с помощью деформации независимых переменных приведена в соответствие с головной характеристической поверхностью, вычисленной по параметрам течения непосредственно за поверхностью £.

Согласно этому решению частная производная по т)3 от первого члена разложения потенциала 4 во внешней области определяется выражением В{ъ) (уь/ъ)112* гДе ФУН1<ДИЯ В (ъ) находится из условия равенства нулю нормального компонента скорости на обтекаемой поверхности.

Из условия сращивания следует, что а = 2 и

ш = 5А(ч)уТ, (26)

где переменная С согласно (9) и (10) определяется выражением

С =/7/(4) +С/Ч1. (27)

Функцию С найдем из уравнения (21), которое в данном случае имеет вид

дс ______^4*1 /по\

дтц - 2 дг1з ■

Замечая, что в силу (26) dtyjdv\3 = h (т]2) (?]3/'»i1)1/2, и интегрируя

(28) вдоль линий пересечения поверхностей 1+ с меридиональны-

ми ПЛОСКОСТЯМИ У12 — const, получим

C=_l„*L. (29)

Подставляя (29) в (27) и учитывая (26), придем к уравнению, позволяющему выразить переменную С через координаты qt:

VZ=-± h(q2) ± У 4- H4q2) +

рс (?1. Чк Яз. ь)

°Я1

где знак „ + “ перед корнем берется в случае, когда В (т]2) 0, что

соответствует течению расширения в окрестности £, а знак „ — “ — при 5(т)2)-<0, что соответствует течению сжатия.

В случае обтекания комбинации крыло — фюзеляж, показанной на рис. 1, найденное решение приводит к следующему выражению для вектора добавочной скорости, отнесенному к модулю вектора скорости невозмущенного потока:

у<р+ = уср- — 8/г |/Ст, (30)

где через т, обозначен вектор с компонентами (—1/(3, соэ®, бшО) вдоль осей .х, у, г.

При этом из условия сращивания внешнего и внутреннего решений следует, что

yih=±{ 2(3)3/2-

(т0 — 2а)

(р2 cos2 ft — tg2 х) ’

где а —угол атаки между вектором У0 и осью л:, т0 — тангенс угла наклона поверхности крыла к оси хт в точке А, у — угол стреловидности передней кромки крыла.

Как и следовало ожидать, полученное решение совпадает с первыми двумя членами разложения добавочного потенциала скоростей в ряд по малому параметру, построенному в работе [4] в окрестности поверхности 2 с помощью метода деформированных координат.

Для расчета аэродинамических сил, действующих на тело вращения в трехмерном поле скоростей, описываемом формулой (30), необходимо наряду с определением положения и интенсивности скачка уплотнения, выходящего из вершины тела (см. рис. 1), учитывать его влияние на величину и распределение давления по обтекаемой поверхности, поскольку формальное применение метода малого параметра может привести в этом случае к значительным погрешностям.

Для построения решения, описывающего с равномерной точностью область между головным скачком уплотнения и поверхностью обтекаемого тела, в работе [2] на примере обыкновенного дифференциального уравнения, аналогичного тому, которое впервые исследовалось Лайтхиллом [5], а также в случае осесимметричного обтекания тела вращения предложено использовать метод итераций, на первом шаге которого решается линейное уравнение с вычисленным на границе коэффициентом при старшей производной. В настоящей работе дана формулировка метода равномерно точной аппроксимации применительно к задаче Коши для уравнения (4), описывающего слабовозмущенные сверхзвуковые течения, и доказана его сходимость к точному решению в области неравномерности формального разложения решения в ряд по малому параметру.

3. Метод равномерно точной аппроксимации задачи Кощи для нелинейного уравнения последовательностью задач Коши для линейных уравнений. Запишем уравнение (4) в виде:

Я5(?) = //,(?)-Я (ср),

3 3

где р) =

ч + ^ есть линейный относительно старших 1=1 /=1 ‘ >

производных оператор, в котором коэффициенты ац вычислены по данным Коши на

С точностью до величин второго порядка малости оператор /У^(ср) преобразованием независимых переменных £г = |Д<7и ^2, <78) можно привести к каноническому виду, в результате чего получим:

3 3 3

£(«=22 к, -««) тЦг + (31)

Аг=1 / = 1 к е к = 1 я

где /. (<?) — волновой оператор,

С ___ У У Л . дЬ- И —ууа

СЫ — да. д?,- ’ дя.да.

1=\ г= 1 ^ /= 1 <=1 V

Применяя к уравнению (31) метод итераций

О, т = 1,

ГО, т = 1,

£(?т) = ( р^т_х), т >2,

где через Г обозначена правая часть (31), придем к цепочке уравнений для <рш, аналогичных по виду уравнениям для членов ряда по малому параметру, но в отличие от последних не имеющих особенностей в точках характеристической поверхности невозмущенного потока, в которую „переходит" скачок уплотнения 2^ после линеаризации уравнений и граничных условий.

Докажем сходимость предложенного метода в окрестности скачков уплотнения, описываемых уравнением (1), где формальное разложение решения в ряд по малому параметру неприменимо.

Рассмотрим решение уравнения (22а) при условии, что гу=^0.

Замечая, что на конечных расстояниях от вершины скачка уплотнения и'- = т(?)2)7Ь и вводя новые переменные по формулам

а уравнение (22а) — к обыкновенному дифференциальному уравнению

аналогичному тому, которое получено в работе [6] для конических течений.

Применение метода равномерно точной аппроксимации для построения первого приближения во внутренней области сводится к решению уравнения (34) с помощью итерационного алгоритма, на первом шаге которого решается линейное дифференциальное уравнение, совпадающее с исходным в точке Ь — \\

где_у0=1, а штрих означает дифференцирование по t.

Докажем сходимость этого итерационного процесса к точному решению уравнения (34)

где переменная £ изменяется в пределах 1<;£<М, М = 0(1)>0. Интегрируя уравнение (35) при условии ут (1) = 1, находим:

Покажем с помощью метода индукции, что для всех ££(1, М] и т > 3

Используя (37), убедимся в справедливости (38) при т— 1, 2,3. Предположим, что неравенства (38) выполняются для (т — 1)-й итерации. Тогда, учитывая, что

и принимая во внимание неравенства (39) и (40), убедимся, что производная у'т для рассматриваемых значений переменной £ и индекса итераций т изменяется в пределах, указанных в (38).

(32)

приведем (226) к виду

(33)

(£2 — 2 + 2у) — іу = 0,

(34)

Ру'т- *У* = 2(1 -ут_х)ут_х, т;>\,

(35)

кр)=4-1 +4-(з^-2^ ,

(36)

У«(0= 1 + 2/'-3 (1 — Ут-\) У'т-\ ^ і, т> 1. (37)

(38)

\<Ут.1<і, 0 <у'т_1 < 1

(39)

из (37) получим:

(40)

что эквивалентно первым двум неравенствам (38). Переписывая уравнение (35) в виде

Ут = *~2\*Ут + 2(1 ~Ут^) У’т-,]

Учитывая (38) и вновь применяя метод индукции, докажем, что для любого фиксированного номера и>1 и для всех ^£(1,М]

ую^Ут+1ю& ут^а), (41)

где верхние неравенства относятся к случаю ш-четных, а нижние— к случаю т-нечетных.

Непосредственные вычисления с использованием (36) и (37) показывают, что неравенства (41) выполняются для от=1, 2. Рассмотрим разность ут+1—ут_ 1, которую согласно (37) можно представить в виде:

У

т +1

-Ут-1 = 2*! "_3 К1 -Ут)У'т — 0— Ут-2)У'т-2]^.

(42)

Применяя к интегралу в правой части (42) теорему о среднем, получим

Ут+1 ~ Ут-1 = (1 —Т Ь'» (0 +.Ут_2 (0]} К (0 -_УИ_2 (0], 1 <7'<£,

откуда с учетом того, что выражение в фигурных скобках в силу (38) меньше нуля, следует, что если ут — ут_2^0, то ут+] —

У т—1 ^ °"

Замечая далее, что точное решение К(£)>1 для tC( 1, М] и удовлетворяет тождеству

г

К(0 =

1 + 2/т-з(1 - к)

А

с помощью рассуждений, аналогичных предыдущим, получим, что разность у 1—К меняет знак от итерации к итерации. Следовательно, неравенства (41) доказаны.

Тогда, используя тождества

I Ут+1 ~ Ут 1 = I (Ут + 1 — У) + (У—У т) 1 = I (Ут~ У) + (У ~ Ут + 1) I

Рис. 3

и учитывая, что согласно (41) при /га-четных ут+1 — У < ут_х — У, а при /га-нечетных У — Ут+1<СУ— Ут_р окончательно получим:

тах I Ут+1 — Ут I < ^тах |^т— уя_г 1 , 0<й < 1

и, следовательно, ряд

У\ + (У2'—У1) + (Уз‘— Уг) + • • • сходится, и, таким образом, последовательные приближения ут сходятся равномерно к точному решению уравнения (34) для всех рассматриваемых значений Ь. Скорость сходимости иллюстрируется примером расчета первых четырех итераций, представленным на рис. 3, где переменная я введена по формуле $ = — 1.

4. Примеры расчетов. Во внешней области течения предложенный метод приводит в первом приближении к формулам линейной теории, в которых линеаризованные характеристики заменены на характеристики, вычисленные по значениям добавочных скоростей на скачке. Соответствующее выражение для потенциальной функции <рв, описывающей дополнительные возмущения, которые вносятся в слабовозмущенный трехмерный поток телом вращения, имеет вид

Ф Г ____-

■ 8 271 J _ т)2 _ Г2№.2

4Г>

второе слагаемое соответствует поперечному обтеканию, 5(£) — площадь поперечного сечения тела вращения, через р обозначен тангенс угла наклона возмущенной характеристики к оси х, вычис-

Рис. 4

0Л5

0,7

0,3

0,3

ленный с учетом величин первого порядка малости по значениям добавочных скоростей на скачке в его вершине.

На рис. 4 и 5 представлены результаты расчетов местных продольного (г) и бокового (с) скосов потока, создаваемых изолиро-

ванным крылом 0^ = 0) и комбинацией крыло — фюзеляж (еш = = 0,08), а также коэффициенты подъемной (С2) и боковой (Су) сил, действующих на расположенное в этом поле скосов тело вращения, представляющее собой комбинацию параболического оживала и цилиндрического корпуса (см. рис. 2). Пунктиром показаны результаты, полученные без введения поправок на положение характеристической поверхности, выходящей из вершины тела вращения. Положение тела вращения описывается координатами его носка в системе Охуг. Крайней левой точке по оси л: на рис. 4 и 5

Рис. 5

соответствует точка пересечения носка тела вращения со скачком уплотнения, присоединенным к передней кромке крыла. За характерную площадь при вычислении коэффициентов Су и С2 взята площадь поперечного сечения цилиндрического корпуса 5 = тиа1. Все размеры отнесены к длине бортовой хорды крыла АВ (см. рис. 1).

Расчеты проводились при числе М = 2,5, а — 5° в сечении ys = = 0,4 на высоте 2^ = 0,08 под крылом, имеющим параболическую профилировку с относительной толщиной с — 2% и углом стреловидности ^ = 40°, при следующих геометрических параметрах тела вращения: / = 0,25, /н// = 0,3, а//= 0,0715.

Из рис. 5 видно, что для рассматриваемых значений параметров задачи наличие фюзеляжа приводит к уменьшению коэффициента боковой силы вследствие уменьшения боковых скосов потока в зоне расположения тела вращения, что объясняется более резким, по сравнению со случаем обтекания изолированного крыла, падением скосов потока после прохождения границы центральной области возмущений, обозначенной на рис. 4 и 5 точками 1, и смещением этой границы к передним кромкам крыла.

ЛИТЕРАТУРА

1. Васильченко В. И., КусакинС. И. Решение задачи об обтекании тел вращения сверхзвуковым потоком газа в теории малых возмущений. „Изв. АН СССР, МЖГ“, 1977, № 6.

2. Васильченко В. И., Губанов А. А., ПритулоМ. Ф. Метод равномерно точной линейной аппроксимации нелинейных дифференциальных уравнений в случае малых возмущений и задача обтекания тел вращения сверхзвуковым потоком газа. Труды ЦАГИ, вып. 2089, 1980.

3. К у с а к и н С. И., Притуло М. Ф. Метод деформированных координат в задаче обтекания крыла сверхзвуковым потоком газа. В сб.: „Аэромеханика", М., „Наука”, 1976.

4. К у с а к и н С. И. Особенности поля скоростей вблизи комбинации крыло — корпус, расположенной под углом атаки к набегающему сверхзвуковому потоку. „Изв. АН СССР, МЖГ“, 1980, № 6.

5. Lighthil 1 М. J. A technique for rendering approximate solutions to physical problems uniformly valid. Phil. Mag., vol. 40, N 311, 1949.

6. Булах Б. М. О некоторых свойствах сверхзвуковых конических течений газа. ПММ, т. 25, № 3, 1961.

Рукопись поступила 24/IX 1981 г.