CC BY
66
_______УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ЦА Г И
Том XV 198 4
№ 6
УДК 629.735.33.015:533.6.013.7
МЕТОД РАСЧЕТА УСТАНОВИВШЕГОСЯ ДВИЖЕНИЯ САМОЛЕТА ПО СПИРАЛИ
В. К■ Святодух
Получены уравнения установившегося движения самолета по спирали (модуль скорости центра масс V и угловая скорость ю постоянны) в форме, содержащей угол атаки а, угол скольжения й, направляющие
«К
косинусы вертикали и параметр —. Для случая когда аэродинамические
силы не зависят от угловых скоростей самолета, направляющие косину-
01 V
сы вертикали определены как явные функции переменных а, (3 и —,
а полные уравнения установившегося движения самолета сведены к трем уравнениям моментов, зависящим от этих переменных. В пространстве (О V
переменных а, |3 и — определены области, в которых анализ уравнений моментов может быть значительно упрощен за счет уменьшения числа одновременно рассматриваемых уравнений. Изложена методика приближенного учета зависимости аэродинамических сил от угловых скоростей самолета.
Балансировка самолета при движении по спирали или, в частности, в штопоре может быть определена с достаточной для практических целей точностью в предположении, что инерционные сила и момент, обусловленные изменением абсолютной величины скорости центра масс и угловой скорости за счет изменения плотности воздуха при снижении самолета, малы по сравнению с другими силами и моментами. При этом уравнения равновесия самолета представляют собой систему шести трансцендентных уравнений. Аналитически эта система уравнений в общем случае не решается, а поиск решений численными методами (см., например, ¡[1]) значительно затруднен из-за большого числа переменных и существенной нелинейности аэродинамических характеристик самолета.
Радикальное упрощение общих уравнений равновесия самолета и задачи в целом получается в том случае, когда вектор скорости центра масс V коллинеарен вектору угловой скорости <о [2—4]. При этом уравнения моментов отделяются от уравнений сил, что не только облегчает поиск численных решений, но и дает возможность качественного анализа движения.
Однако даже в случае штопора самолета предположение о коллинеарности векторов Кии является грубым, так как приводит к значительным погрешностям в определении инерционных (гироскопических) моментов самолета [5].
Ниже показано, что при обычном предположении о независимости коэффициентов аэродинамических сил от угловых скоростей самолета уравнения установившегося движения самолета по спирали приводятся к трем уравнениям моментов при произвольном угле наклона траектории.
1. Рассмотрим общие уравнения движения самолета:
т
йУ
йі
4- т [«о, V] = /? + тц,
йк
<іі
+ К К\=М.
(1.1)
Здесь т — масса самолета; V, іо — скорость центра масс и угловая скорость вращения самолета относительно Земли; К.—кинетический момент самолета);^—гравитационное ускорение; /?, М — главный вектор и главный момент внешних сил (аэродинамических и реактивных); й
— производная вектора во вращающейся системе координат, связанной с самолетом.
Задачу об установившемся движении самолета по спирали будем рассматривать в предположении, что вектор о) совпадает с местной вертикалью (рис. 1). Хотя из-за переменной плотности воздуха движение не является строго установившимся, для расчета балансировки самолета будем полагать
¿V
<и
йК
' <и
■ 0.
(1.2)
Введем следующие величины:
— безразмерный главный вектор внешних сил Сц
сн~ о V2
(1.3)
где р — плотность воздуха, 5 — характерная площадь самолета;
— безразмерный главный момент внешних сил т%
т«=1л£—’ <ь4>
2*.
где / — характерный линейный размер самолета;
— безразмерный кинетический момент самолета к
к = 0-5)
где Су г. п — коэффициент подъемной силы в горизонтальном полете
(|'6>
— орт скорости центра масс V
г» = У/У; (1.7)
— орт местной вертикали Л°, направленный вверх, •
А°-----вт/гг; (1.8)
— безразмерный вектор А
Л = ^Г.ПА°; (1.9)
относительную плотность самолета [х
2т р 51
параметр Пф, определенный соотношением
соК
(1.10)
Яф = —. (1.11)
£
Величина ю1/ численно равна центростремительному ускорению, которое реализовалось бы на вираже самолета при скорости V и угловой скорости ю. Учитывая, что при движении по спирали такая величина центростремительного ускорения никогда не может быть достигнута (поскольку окруженная скорость всегда меньше V), а также то, что
оз У
отношение имеет размерность перегрузки, в дальнейшем будем
называть величину Пф фиктивной перегрузкой.
Величину со будем считать положительной для левых и отрицательной для правых спиралей. Если учесть, что при движении по спирали вектор о> коллинеарен вектору А", то при таком определении знака величины со можно записать
о> = шА°. (1.12)
Тогда уравнения движения самолета по спирали, получающиеся из (1.1) при условии (1.2), с учетом (1.3) — (1.12), можно представить в следующей безразмерной форме:
«ф [А, г>] = с* — А, (1.13)
№~п2ф [А, £]=0. (1.14)
2. Рассмотрим общие выражения для векторных величин, входящих в (1.13) и (1.14). Для сн и тК имеем соотношения
сц—сц(‘°’ ю> ■$> ^)> |
тК — тК(ч>, «о, 5, У), \
где
8 = 8(8Э, 8Н) 8В), (2.2)
бэ, бн, бв — углы отклонения органов управления: элеронов, руля направления, руля высоты; ш—безразмерная угловая скорость самолета
ю = — (!). (2.3)
V v ’
Величины to и V определяются формулами
(2-4)
v==(tT’ (2-5)
которые следуют из (1.6), (1.9) — (1.12) и (2.3) и условия, что А°—единичный вектор.
Заметим, что для режимов штопора явная зависимость сR и mR от V нехарактерна; она появляется в тех случаях, когда либо рассматривается полет с работающим двигателем, либо когда аэродинамические коэффициенты зависят от числа М или скоростного напора из-за влияния упругости конструкции самолета.
Компоненты единичного вектора v в связанной системе координат самолета определяются соотношениями:
vx — cos a cos ¡3, ]
vy — — sin a cos [3, I (2.6)
vz — sin p, J
где а — угол атаки, р — угол скольжения.
Вектор 5 (2.2) можно представить в виде суммы двух векторов: некоторого постоянного вектора 80, определяемого положением рычагов управления самолетом, и вектора Зи, определяемого системой улучшения устойчивости и управляемости,
3 = 80 + 8а, (2-7)
причем для установившегося движения в общем случае
8в = М®» Яд» *» Р). (2-8)
где ttR—вектор перегрузки,
= = (2-9>
у Г.п
Величину О) можно определить по формуле
которая следует из (2.3) — (2.5). 54
(2.10)
Компоненты вектора k в связанной системе координат самолета определяются соотношениями
ьх
ky
к
где ix,..., iz — безразмерные моменты инерции самолета (отнесенные к
JX
ml2:ix= тії и т. д.).
Считая величину ц параметром, получаем, учитывая (2.1)—(2.11), что шесть скалярных уравнений, соответствующих (1.13) и (1.14), содержат десять переменных: угол атаки а, угол скольжения р, фиктивную перегрузку Пф, три компонента вектора А, три компонента вектора §0 и коэффициент тяги ср (см. ниже), направление которой считается заданным. Следовательно, четыре величины должны быть заданы. Их выбор зависит от рассматриваемой задачи. Например, для установившегося штопора
30 = const, ср = 0.
При учете гироскопического момента двигателя ЛАГ=[/СДВ> to], где /Сдв — кинетический момент вращающихся частей двигателя, левую часть уравнения (1-14) необходимо дополнить членом
i—У'2—1« [/Сдв, А]. Эта добавка не изменяет общей структуры
\ ё 1 тГ
уравнений (1.13) и (1.14).
3. Назовем приведенными уравнениями моментов уравнения, которые получаются из (1.14) в результате исключения вектора А. С целью определения вектора А рассмотрим скалярные уравнения равновесия сил. Умножая равенство (1.13) скалярно на v и на А , получим
(A, v) = (cR, v), (3.1)
(іh,cR) = h\ (3.2)
Соотношения (3.1) и (3.2) представляют собой условия равновесия сил по касательной к траектории полета самолета и по вертикали соответственно. Возведя в квадрат обе части равенства (1.13), получим
после преобразований
nl[h*-(cR, vY] = c\-h\ (3.3)
Можно показать, что соотношение (3.3) представляет собой условие
равновесия сил в проекциях на радиус-вектор спирали. Хотя в итоге
необходимо найти направляющие косинусы вектора А в связанной системе координат самолета, уравнения (3.1)—(3.3) в развернутой форме удобно записать для скоростной системы координат Oxayaza■ Принимая,
-- ^X ■ ^ху hy ^XZ |
= 1ху “Ь fy ^уг^2> j (2-11)
= — txzhz- іуг/іу + ith2, J
и имея в виду, что для скоростной системы координат V {1, 0, 0), получим из (3.1) — (3.3) после преобразований
Ф — угол между вертикалью и скоростью центра масс самолета,
Рассмотрим вначале случай, когда Сц не зависит от У и в. Если 3 (2.7) зависит от м [см. (2.8)], это означает, что можно не учитывать и зависимость коэффициентов сил от углов отклонения органов управления. В этом случае к, р и г не содержат компонентов вектора Айв декартовой прямоугольной системе координат О кУа кга (рис. 2) первое уравнение (3.6) дает прямую, расстояние до которой от начала координат равно р, а второе уравнение — окружность радиуса
(3.6) дают два решения для кУа и Пример расположения окружности и прямой при приведен на рис. 2. Анализ пока-
зывает, что одно из этих решений (точка /) соответствует левому
(3.6)
(3.5)
Здесь
(3.7)
(см. рис. 1).
2
г — су г. п sin ср. В общем случае
и уравнения
Рис. 2
(Пф > 0), а другое (точка 2) — правому (пф < 0) вращению самолета. Эти решения можно представить в виде
k _ Ч”ИфЧ h _ Ч+ЛфЧ Уа~ ^ + nl * ПЧ Í3-8)
При прямолинейном полете самолета яф = 0; в этом случае Пуа = Суа, hZa — cZa. Это решение соответствует координатам точки касания прямой и окружности, поскольку при Яф = 0, как.видно из
(3.7), р = г. При вертикальном снижении f = cZa = cv — 0; при этом, согласно (3.7), р — г = 0 и независимо от величины пф hya — hZa=0.
Переходя к связанной системе координат, получим из (3.5) и (3.8)
hx =-----í---[сх — пф (су sin P-fc, sin a cos Р) + tí1. сх cos а cosp],
i + «Ф
Ау =------------l—~[Су + пф(сх$т$ — c2cosacosP)—/г;; с* sin a cosp], (3 9)
1 + п\ а
Аг = ----^ (<?, + Яф Суа COS р + ftjj, Сжв sin р),
* "Ь пф
где
С* = (сх COS а — с sin a) cosp + с,sin р,
Л ¡ (ЗЛО)
Суа — Су cos a -f- сх Sin а. 1
Необходимо учитывать, что величина cR (3.4) содержит две составляющие: безразмерный главный вектор аэродинамических сил cj, и безразмерный главный вектор газодинамических сил
(тяги) ср, cR = + ср, причем величины Сха и са считаются поло-
жительными, когда сила направлена в сторону отрицательного направления соответствующей оси координат. Поэтому в (3.9) и (3.10)
Сх = -с1 + сРх, сХа= - с$а +сРХа.
Таким образом, благодаря использованию обобщенных координат (фиктивной перегрузки и направляющих косинусов) уравнения балансировки самолета при движении по спирали могут быть приведены при cR — cR(v, §0) к трем уравнениям моментов, что существенно упрощает задачу. В этой связи заметим, что направляющие косинусы использовались для упрощения анализа сложных пространственных движений летательных аппаратов и ранее: в работе [6] — для исключения особенности в общих уравнениях движения летательного аппарата, а в работе [7] — для определения квазистатических режимов движения летательного аппарата. Применительно к штопору самолета известны и другие подходы. Так, в работе [8] для упрощения уравнений движения самолета используется предположение о том, что главный вектор аэродинамических сил совпадает с нормальной осью самолета. В работе [5] используется приближенная связь углов ат и рш, определяющих положение вектора w относительно самолета, с углами a и р и угловой скоростью со.
СЦ == ^Ц (а> Р» Яф, 8д, Л), (3.11)
и для вычисления левых частей уравнений (1.14) при заданных значениях а, р и Пф необходимо предварительно решить при этих значениях я, Р и Пф систему уравнений (3.9), в которой теперь коэффициенты сил согласно (3.11) —функции Ьх, ку и кг.
При точном учете зависимости (3.11) это эквивалентно по существу рассмотрению исходной системы (1.13), (1.14). Однако вследствие того, что коэффициенты сил зависят от угловых скоростей и углов отклонения органов управления в существенно меньшей мере, чем коэффициенты моментов, зависимость ск от А можно учесть приближенно. Так, при расчетах штопора в (3.11) можно положить, что вектор А коллинеарен вектору V
А = — /ш. (3.12)
При ЭТОМ коэффициенты СИЛ будут функциями к = СуТ. п и для вычисления величины /г, входящей в соотношение (3.11), вместо (3.9) можно использовать уравнение (3.3), которое с учетом (3.12) принимает вид
Л2 (1 + п\) - п2фс1а(к) - с\(А) = 0. (3.13)
Величины кх, ку и кг, входящие в уравнение (1.14), вычисляются
по соотношениям (3.9), в которых коэффициенты сил в соответствии
с (3.12) являются известными функциями А — — Где /1*= —Л* (а, ¡3, Пф)— решение уравнения (3.13). Заметим, что при необходимости точного вычисления величины А на основе уравнений (3.9) и исходного соотношения (3.11) величина А = — її... V может быть принята в качестве первого приближения.
4. Полученные выше уравнения моментов являются трансцендентными уравнениями относительно а и р и содержат высокие степени параметра Пф (при линейной зависимости коэффициентов моментов от угловых скоростей до Яф включительно). Поэтому их решения могут быть найдены лишь численными методами, причем в общем случае необходимо рассматривать систему трех уравнений, т. е. осуществлять поиск решений в пространстве трех переменных. В отдельных областях этого пространства поиск решений можно значительно упростить благодаря уменьшению числа одновременно рассматриваемых уравнений. Рассмотрим эти области и соответствующие им уравнения.
а) Область п% > 1. При больших значениях лф величины кх, Л,у и [см. (3.9)] можно приближенно представить в виде
ні = аі + -^ > 1 = у, г, (4.1)
где йі и Ьі — функции аир.
Если коэффициенты моментов содержат безразмерные угловые скорости (Ох, со У и (02 не более, чем во второй степени, то скалярные уравнения моментов можно представить в виде
'Р; о гаФ У і і я|-ф;- 2 = 0, 7 = 1, 2, 3, где — функции аир.'
Система трех уравнений сводится к двум уравнениям, связывающим а и р, и соотношению «ф = пф(а, Р). Отметим, что при скоростях полета, характерных для штопора (V—80-^100 м/с), величину 2 (юУ\2
йФ = ] (1.11) можно считать существенно большей единицы при
| а» | >0,350,4 1/с. Средние значения угловой скорости при штопоре современных самолетов могут достигать 1—2,5 1/с [4].
б) Область |р|<8, где е — малая величина.
Пусть/ — левая часть уравнения (1.14),
/ = — п2ф [А, к]. (4.2)
Для небольших величин р приближенно можно записать
/-/о+4{-Р, (4-3)
где /о и ^ — функции а и Пф, определяемые как значения функции /(р, а, Пф) и ее производной по р при р = 0.
Условие /=0 [см. (1.14)] дает три скалярных уравнения, линейных относительно р, которые сводятся к двум уравнениям, связывающим а и Пф, и соотношению р = р(а, щ). Диапазон углов скольжения, в котором формула (4.3) обеспечивает приемлемую точность, определяется в основном характером зависимости аэродинамических Коэффициентов от р.
в) Область |р|<>, а-------
Выражение для / (4.2) можно представить в виде
+ + т)-
» д/ д/ ,
где /о, — и —— функции параметра пф, определяемые как зна-
д[1 да
чения функции /(Р, а, пф) и ее производных по р и а при р = 0 %
И а = ~2~ ■
Три скалярных уравнения [см. (1.14)], линейных относительно аир, могут быть сведены К одному уравнению относительно Пф
9 (Яф) = 0 (4.4)
и двум соотношениям р = р(яф) и Да = Да (Пф), где Да = а •----------.
Функция ф(пф)является полиномом высокой степени (девятой степени при линейной зависимости коэффициентов моментов от угловых скоростей). Поэтому уравнение (4.4) может иметь несколько действительных корней.
5. Выразим кинематические параметры спирали, не вошедшие в уравнения (1.13) и (1.14), через коэффициенты сил и фиктивную перегрузку Пф.
Соотношение для скорости центра масс получим из (1.6), (1.9),
(2.5) и (3.3)
-< где в и I — малые величины.
Из определения векторов г» (1.7) и А0 (1.8) и угла <р (см. рис. 1) следует соотношение
ЭШ <р = ]/"1 —(А0, V)2 ,
или, с учетом (1.6), (1.9), (3.1) и (5.1),
г2 \1/2
з1п ср — . „ 1/2 . (5.2)
(1 + Т”*)
Для угловой скорости вращения система со на основании (1.6), (1.10), (1.11) и (5.1) получаем соотношение
( 4 м/4
¡ge Л1/2 \ 1 + с2 /
. = яф 1*. -Л____________________сл________L_. (5.3)
Радиус спирали г можно определить по формуле
V .
Г —-----вШФ
|®|
или, с учетом (1.6), (1.10) и (5.1)—(5.3),
с2 \»/а
г~ ( °2*
°r ! лф1 I 1 + ^пф
(5.4)
Положение связанной системы координат самолета относительно Земли будем характеризовать углом тангажа ■&, углом крена у и «углом рыскания» г|з во вращающейся системе координат (см. ниже). Для определения О и ^ воспользуемся известными выражениями для угловых скоростей самолета при вращении его вокруг вертикальной оси:
шу = о) cos 0 cos 7,
(Иг = — ш cos & sin 7. Отсюда и из (1.9), (1.12) и (5.1) получим
.2 \ 1/2
Sin & hx 2 2 „2 U/2 ’ 2 2 ’
1СЯ + сха пф)
И.
tg-r=-------sign sin 7 =— sign A,. (5.6)
fly
Чтобы определить угол <l>, введем в рассмотрение вращающуюся прямоугольную систему косердинат с началом О в центре
масс самолета, ортами которой? являются векторы А0, 1 = ^~
и х = [/, А0] - h— (см. рис. 1). По определению вектор т
совпадает с направлением окружной скорости самолета, а вектор I коллинеарен радиус-вектору спирали г (совпадает с ним при правом и противоположен ему при левом вращении). Определим угол ^ как угол между вектором I и прямой ОА, являющейся проекцией связанной оси Ох на горизонтальную плоскость, проходящую через центр масс самолета (см. рис. 1). Учитывая, что I и т— единичные векторы, и обозначив орт оси Ох через і, имеем соотношения (/, I) = cos ф cos ft, (/, -с) — sin ф cos ft.
Отсюда получим, учитывая выражения для Í и т,
•T.nvx-h
cyr.n(vzhy — vyhz) ’
= sign (vz hy — vy ht),
где
CR
2 \I/2
ФІ
by Г. П
(5.7)
(5.8)
Для штопора характерны большие углы атаки, большие величины Пф (порядка десяти единиц) и небольшие углы скольжения. В этом случае соотношения (5.1) — (5.7) упрощаются и принимают вид
V
-V-
pgl Cv sin а
r=pl
Ctga
Су
Ctga
>^п.ф Y
sign sin 7 ~ sign (P
Пф
3
cosa, tgT~--—
’ ® 1 Sin a
Ctga'
4 cvsin a
Iи У
COS ot
Пф sin2 a
tg 'r
Пф
Су Э + Сг sin а
Пф sin2 а
sign cos <]> = sign (геф Су sin 2а).
Здесь принято, что Су и sin а — величины одного знака; кроме того, в выражении для г|: положено | ¡J \ < | cos a | .
При больших величинах щ и небольших значениях р выражения для направляющих косинусов вертикали на основании (1.9), (4.1) и (5.8) можно представить в следующем виде:
Л" =аг — cos a, h°
Ли г
«ф
Если балансировка самолета в штопоре определяется в предположении, что радиус спирали равен нулю, т. е. что й° = —V, то различие получается только в величине Л”, которая в этом случае при малых р равна 1гг — — р. Именно это и приводит к существенным погрешностям в определении инерционных (гироскопических) моментов крена и рыскания и в целдм параметров штопора.
Автор благодарит А. А. Шилова за обсуждение статьи.
1. Adams W. М., William M. Analytic prediction of airplane equilibrium spin characteristics. — NASA TND — 6926, 1972.
2. Бюшгенс Г. С., С ту дн ев Р. В. Динамика пространственного движения самолета. — М.: Машиностроение, 1967.
3. Журавченко А. Н. О методе решения задачи штопора. — Труды Первой всесоюзной конференции по аэродинамике 1931 г., 16—21/V, М., Государственное авиационное и автотракторное изд—во, 1932.
4. Котик М. Г. Динамика штопора самолета.—М.: Машиностроение, 1976.
5. Журавченко А. Н., Вержанская Е. А. Исследование штопора самолета в аэродинамической трубе с учетом радиуса его траектории. — Труды ЦАГИ, 1936, вып. 260.
6. Шилов А. А. Об исключении особенности в общих уравнениях движения летательного аппарата. — Инженерный журнал, 1962, т. II, вып. 3.
7. Ш и л о в А. А. Влияние массовой и аэродинамической несиммет-рии тела на характер его пространственного движения. — ДАН СССР, 1968, т. 183, № 5.
8. Пышнов В. С. Штопор самолетов. — Труды ВВА РККА им. Жуковского, сб. 1, 1929.
Рукопись поступила 8/1V 1983
