CC BY
73
Канд. техн. наук, доцент Воронежского Государственного архитектурно-строительного университета
А. М. Зайцев
УДК 536.2
МЕТОД РАСЧЕТА ПРОГРЕВА МНОГОСЛОЙНЫХ КОНСТРУКЦИЙ ПУТЕМ ПРИВЕДЕНИЯ ИХ К ОДНОСЛОЙНОЙ ПЛАСТИНЕ НА ОСНОВЕ МОДИФИЦИРОВАННОГО УРАВНЕНИЯ НЕСТАЦИОНАРНОЙ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ ФУРЬЕ
Предложена новая трактовка физического смысла и размерности коэффициентов теплопроводности и "температуропроводности" для нестационарных процессов. В результате этого получено модифицированное уравнение нестационарной теплопроводности Фурье, на основе которого разработана методика расчета прогрева многослойных конструкций приведением их к однослойной пластине. Дан пример расчета, показана высокая эффективность предложенного метода.
Существующая трактовка и вывод модифицированного уравнения нестационарной теплопроводности Фурье
Интенсивная разработка аналитических методов решения различных задач нестационарной теплопроводности, которые широко используются в практике инженерных расчетов, ведется со второй половины XIX в. Однако проведенный анализ решений задачи прогрева многослойных конструкций, полученных разнообразными методами математической физики для исследования фундаментальных и прикладных задач при различных граничных условиях, показывает [1-12], что окончательные расчетные выражения во всех случаях представляют собой громоздкие формулы, малопригодные для инженерных расчетов.
Для получения приемлемых для практических расчетов результатов рассмотрим физическую сущность процесса передачи тепла в твердом теле, проанализируем вывод уравнения нестационарной теплопроводности Фурье и влияющих на процесс коэффициентов. Для этого рассмотрим одномерное стационарное температурное поле (рис. 1, [6, 10]).
Температурное поле при стационарных процессах определяется уравнением
X = X (х ). (1)
Наиболее резкое изменение температур наблюдается в направлении нормали п к изотермической
поверхности. Предел отношения изменения температуры At к расстоянию между изотермами по нормали An называется градиентом температур и обозначается одним из следующих символов:
dt
lim (At!An) An^ о = — = grad t. (2)
dn
Температурный градиент является вектором, направленным по нормали к изотермической поверхности в сторону возрастания температуры, его размерность — °С/м. Количество тепла, проходящее в единицу времени и отнесенное к единице площади изотермической поверхности, называется плотностью теплового потока.
Основной закон теплопроводности показывает, что плотность теплового потока прямо пропорцио-
t + At
n — —
t
\ - dt /dn
V
t - At
Рис. 1. Изотермы стационарного температурного поля
q
нальна разности температур и определяется уравнением
дг
ц = -X grad г или цх = -X — . (3)
дх
При этом физический смысл коэффициента теплопроводности определяется из соотношения (4) для стационарного (отметим это!) температурного поля, из которого следует, что
К = -Х Т2 - Т
Бт х 2 х г
(4)
В результате получаем, что коэффициент теплопроводности равен количеству тепла, проходящего в единицу времени через единицу поверхности при перепаде температуры на единицу длины нормали, равном 1°С. Отсюда следует, что коэффициент теплопроводности имеет размерность кДж/(м-ч-°С).
Следует подчеркнуть, что размерность коэффициента теплопроводности получена для стационарных условий теплопередачи. Количество тепла при стационарной теплопроводности, проходящее через две поверхности, расположенные на некотором расстоянии друг от друга, будет одинаковым, но при нестационарном процессе часть тепла расходуется на нагрев (охлаждение) тела, поэтому количество тепла, проходящее через указанные поверхности, будет разным.
Вывод дифференциального уравнения нестационарной теплопроводности для одномерного температурного поля приводится, например, в работе [6]. Для этого в одномерной и изотропной неограниченной пластине выделяется элементарный параллелепипед, объем которого равен dx dy dz (рис. 2).
Количество тепла, втекающего через левую грань dy dz в параллелепипед в единицу времени, равно цх dy dz, а вытекающего через противоположную грань в единицу времени — цх + ёх dy dz. Если цх> цх + ¿х, то элементарный параллелепипед будет нагреваться, тогда разница между этими потоками
Чх 1 1х+йх
/ / х
у/ау
/ ёГ
по закону сохранения энергии равна аккумулированному теплу, т.е.
дг
Цх¿у ^ - Чх + ¿х¿у ^ = ср — ¿х аУ &> (5)
дт
где с — коэффициент удельной теплоемкости материала, Вт-ч/(кг-°С); р — плотность материала, кг/м3; х, у, z — координаты, м; г — температура, °С; т — время, ч.
Величина цх + ёх есть неизвестная функция х. Если ее разложить в ряд Тейлора и ограничиться двумя первыми членами ряда, то можно записать
дцх
Цх + ёх ~ Цх + ——ах.
дх
Тогда из равенства (5) будем иметь
(6)
дцх , , , дг , , , --ах ау dz = ср — ах ау dz. (7)
дх дт
Применяя формулу для теплового потока (3), получим уравнение нестационарной теплопроводности Фурье:
дг
дт
= а -
дх 2
(8)
Рис. 2. Поток тепла через элементарный объем тела
где а—коэффициент температуропроводности, м/ч.
Приведенный вывод дифференциального уравнения нестационарной теплопроводности показывает формальный подход к использованию размерности коэффициента теплопроводности. Полученная для условий стационарной теплопроводности (уравнение (4)) размерность коэффициента теплопроводности в дальнейшем применяется и при выводе уравнения нестационарной теплопроводности. Некорректность такого подхода демонстрируют рис. 2 и формула (6), из которых видно, что через противоположные грани параллелепипеда передается разное количество тепла. В результате этого получили трудно объяснимую размерность коэффициента температуропроводности — м/ч.
Как отмечается в публикациях [11, 12], "...при критическом пересмотре терминологии необходимость постоянно, со степенью внедрения того или иного термина, вынуждала оставлять в отдельных случаях некоторые термины, которые при строгой оценке являются не совсем удовлетворительными, но не вызывают недоразумений и практических ошибок (например, "коэффициент температуропроводности")".
В свете современных представлений о процессе теплопроводности [14] тепло в твердых телах пере-
z
дается движением электронов и колебательным процессом кристаллической решетки тела. Таким образом, процесс теплопроводности в твердых телах неразрывно связан с объемом тела, поэтому его размерность должна определяться соответствующим образом, т.е. количеством тепла, передаваемым единицей объема твердого тела в единицу времени при перепаде температур противоположных поверхностей (одномерное поле) в 1°С. Это хорошо видно на рис. 2. Следовательно, коэффициент теплопроводности будет иметь размерность кДж/(м3-ч-°С).
Таким образом, мы уточнили физическую сущность и размерность коэффициента теплопроводности для процессов нестационарной теплопроводности. А из этого следует, что размерность коэффициента "температуропроводности" будет следующей:
a =
кДж
ср м
3
кг -°С м3 = 1 = _! 3 С кДж кг ч
(9)
Следовательно, коэффициент а имеет размерность ч-1, а также физический смысл коэффициента скорости выравнивания температурных неравенств в твердом теле или, как отмечается в работе [15], характеризует скорость изменения температуры вещества в нестационарных тепловых процессах.
Определив новую размерность коэффициента а, мы получаем несоответствие размерностей в левой и правой частях уравнения нестационарной теплопроводности Фурье, а именно
°С
°С
ч ■ м~
(10)
Для устранения этого несоответствия достаточно перейти к безразмерным координатам. Примем, что заданный размер тела, определенный например в метрах, будет выражаться в безразмерном виде по отношению к 1 м. Таким образом, вместо х = 0,3 м имеем
X = * = = 0,3. 1 1м
(11)
В итоге получим модифицированное уравнение нестационарной теплопроводности Фурье в виде
dt_ 5т
=a
5X2
(12)
где X — безразмерная координата;
а — коэффициент скорости изменения температуры вещества, имеющий размерность ч-1. Теперь размерности в правой и левой частях уравнения (12) совпадают и равны °С/ч. Полученное выражение не отличается от исходного уравнения нестационарной теплопроводности Фурье, так
как правая и левая части выражений (8) и (12) одинаковы. Однако для полученного уравнения значение критерия Фурье будет значительно отличаться, так как в нем теперь только два аргумента— a и т — имеют размерность.
Методика перехода от решения задачи прогрева для многослойных систем к однослойной пластине
Модифицированное уравнение нестационарной теплопроводности Фурье позволяет получить простое решение задачи прогрева многослойных конструкций за счет преобразования в однослойную. Рассмотрим это на примере решения задачи первого рода, когда на одной поверхности системы пластин задается определенная температура. Примем, что она является постоянной величиной (tnoe = const), а на противоположной стороне теплообмен отсутствует.
Математическая задача в этом случае сводится к решению системы дифференциальных уравнений:
5t 1(X1, т) = 52(X1, т) — a1---
5т
5X2
5tn(Xn, т) _ 52(Xn, т)
(13)
5т
=a
5Xn
с начальным и граничными условиями
11 = (X1, т) = ...= tn(Xn, т) = 10 ti = (5i, т) = ...= ti +1(5i + ^ т)
5ti + 1(5i +1, т)
+1
5X
(14)
X 5ti (5 i, т) =X i 5X
t1(0, т) = tconst , 5tn (5 общ , т) „
X n - = 0
n 5X
где X, т) — температура г-й пластины; X — безразмерная координата; 5г — относительная безразмерная координата;
, аг — коэффициенты теплопроводности и скорости изменения температуры вещества для г-го слоя соответственно; (0 — начальная температура системы пластин;
tc
постоянная температура на поверхности
первой пластины.
Для упрощения решения поставленной задачи преобразуем многослойную пластину в однослойную с определенным значением коэффициента а. Если мы рассмотрим коэффициент а как совокупность трех величин (а = ^/ср), то входящее в него отношение X/р (в соответствии с принятой размер-
ч
ностью коэффициента теплопроводности X) будет иметь размерность
X р
кДж
м~
кДж
м "
. °С кг кг • ч • °С
(15)
Данное отношение показывает, какое количество тепла необходимо получить на 1 кг вещества для того, чтобы за 1 ч поднять его температуру на 1°С. Это одна зависящая от времени составляющая коэффициента а. Другая составляющая — коэффициент удельной теплоемкости с, кДж/(кг-°С) — не зависит от времени. Произведение коэффициента удельной теплоемкости на объем тела представляет собой объемную удельную теплоемкость (т.е. с¥ или с53, где V — объем тела; 5 — толщина пластины) и характеризует связь между количеством тепла (кДж) и температурой тела единичной плотности. Объемная удельная теплоемкость показывает, какое количество тепла необходимо подвести к единице объема тела единичной плотности, чтобы поднять его температуру на 1°С.
Необходимо учитывать, что при нестационарных процессах теплопроводности выравниваются именно температуры тел, но не их внутренние энергии [16]. При этом удельная теплоемкость и плотность тела (а отсюда и масса) — это разные показатели: удельная теплоемкость характеризует температуру, а плотность — внутреннюю энергию тела.
Следовательно, для того чтобы перейти от многослойной пластины к однослойной в процессах нестационарной теплопроводности, необходимо все слои гомогенизировать по значению объемной удельной теплоемкости вещества, т.е. чтобы для всех преобразованных слоев выполнялось условие
с1 5 3 с тах
(5г )3
(16)
где стах для определенности принято для слоя со значением атах.
Таким образом, приведены в соответствие шкалы показателей температуры отдельных слоев. Отсюда толщины модифицированных слоев можно определить по формуле
5 г, м =5 г 3с1!сп
(17)
Чтобы сохранялось термическое сопротивление исходного и модифицированного г-го слоев должно выполняться условие
Чм =Хг [(5г)г/5].
(18)
Для соблюдения условия сохранения энергии для исходной и модифицированной толщин г-й пластины должно выполнятся равенство
с1 5 3Р г= с тах (5 г )М Р г, м & г > (19)
из которого можно определить значение коэффициента плотности для модифицированного слоя.
В результате проведенных преобразований получена модифицированная однослойная пластина, у которой одинаковы удельные объемные теплоемкости отдельных слоев, соответствующие значению для г-го слоя а1, равному атах. Исходя из этого преобразованы толщины остальных пластин. Следовательно, общая толщина полученной однослойной пластины будет составлять
Я,
= £5 г =51
г = 1
£5 г, м г = 2
(20)
Таким образом, получена однослойная пластина общей толщиной, определяемой формулой (20), с однозначным для всех слоев значением удельной объемной теплоемкости, равным стах5 3тах. Показатели 5г м, м и рг, м определяются по формулам (17), (18) и (19) соответственно.
Нестационарное температурное поле в каждой точке полученной однослойной пластины будет определяться относительной координатой и критерием Фурье. При этом у данной пластины должно быть однозначное значение коэффициента аг, принимаемое равным атах. Значение критерия Фурье для г-го слоя модифицированной однослойной пластины в связи с изменением коэффициента аг необходимо определять по формуле
2
(^ г = К1, т а тах Т г / Кр
(21)
где атах — общее однозначное значение для всех слоев однослойной модифицированной пластины; Япр — приведенная суммарная толщина модифицированной однослойной пластины, которая определяется по формуле (20); коэффициент Кг т введен для сохранения гомо-хронности [14] (одинаковости по времени) процесса прогрева для всех слоев исходной многослойной пластины из-за изменения значения коэффициента а1.
Из вышесказанного следует, что для слоя со значением аг, равным атЬ, произведение ат увеличится в атах /атЬ раз. Следовательно и для других слоев время необходимо увеличить во столько же раз. Поэтому коэффициент Кг т для остальных слоев будет определяться по формуле
К1,Т атах /аг
(22)
Таким образом, для того чтобы сохранилось одинаковость во времени (гомохронность) процесса прогрева всех слоев многослойной пластины, необходимо чтобы для всех других слоев значение аг также было увеличено на этот коэффициент, т.е. чтобы сохранилось равенство критерия Фурье для каждого исходного слоя. Поэтому при расчетах
5:
Р1
а ая
5, 5я
с Ся
к, к
р, Ря
Кг',х(аг )тах 1 (а г )тах
(5 )м (5я )м
(с)тах (с)тах
(К )м (Кя )м
(р )м (Ря )м
б КгМ )п (5:)
(с,) тах (Р1)
Рис. 3. Схема преобразования многослойной пластины в однослойную: а — параметры многослойной пластины; б — параметры приведенной однослойной пластины, гомогенизированной по значению стах5тах
прогрева г'-го слоя коэффициент аг необходимо увеличить в Кг х раз.
В итоге получается, что для расчета прогрева отдельных слоев исходной многослойной пластины можно пользоваться номограммой для расчета прогрева однослойной пластины. Но при этом для каждого исходного слоя необходимо принимать свое значение критерия Фурье в соответствии с формулой (21).
Схема перехода от многослойной пластины с различными теплофизическими характеристиками к однослойной, гомогенизированной по значению стах5 тах, представлена на рис. 3.
При этом изменение коэффициента а (из условий сохранения гомохронности процесса для всей системы) компенсируется коэффициентом Кг х. Для определенности принято, что минимальное значение коэффициент а имеет для я-го слоя, максимальное — для 1-го слоя, а промежуточное — для г-го слоя. Поэтому коэффициент Кг х для я-го слоя будет равен 1, для всех других слоев — значению, определяемому по формуле (22).
Методика расчета прогрева
многослойных конструкций на основе преобразования их в однослойную пластину
Расчет прогрева многослойной пластины, преобразованной в однослойную, производится в следующей последовательности:
1. Гомогенизируются все слои многослойной пластины по значению стах5 тах, при этом толщина модифицированных слоев вычисляется по формуле (17).
2. По уравнению (20) определяются общая толщина модифицированного слоя, а также относительные координаты г-го слоя 5г м /Км.
3. По формуле (22) находится значение коэффициента преобразования Кг .
4. По соотношению (21) для каждого слоя определяется критерий Ро: (Ро )г = йтахК1,х'^М .
5. Для заданных значений координат и времени с помощью формулы и номограммы, приведенных в работе [8], находим искомую температуру в многослойной пластине.
Пример расчета
Требуется рассчитать прогрев двухслойной пластины при следующих условиях: в начальный момент температура слоев одинакова и равна 20°С, на левой границе (X = 0) температура становится равной 600°С, на правой границе теплообмен отсутствует (тепловой поток равен нулю). Толщины и теплофизические характеристики для пластин составляют:
• для первого слоя:
51 = 0,06 м, К = 1,094 Вт/(м-°С), с1 = 0,464 Вт-ч/(кг-°С), р1 = 1900 кг/м3,
а1 = 1,237-10-3 м2/ч;
• для второго слоя:
52 = 0,15 м, К2 = 0,0931 Вт/(м-°С), с2 = 0,638 Вт-ч/(кг-°С), р2 = 220 кг/м3,
а2 = 0,661-10-3 м2/ч.
Решение поставленной задачи произведем в соответствии с изложенной выше методикой, т.е. путем перехода к задаче прогрева однослойной пластины с заданными краевыми условиями [6, 17].
Чтобы воспользоваться известным решением, необходимо двухслойную пластину преобразовать в однослойную. Для этого за а расчетное принимаем значение атах, т.е. для первого слоя атах = 1,237-10-3 ч-1. Затем по формуле (17) определяем модифицированную толщину второго слоя:
5 2, м = 5 = 0,15.1^ = 0,1668.
0,55 0,4
По уравнению (20) находим общую толщину модифицированного слоя:
Км = 51 + 52, м = 0,06 + 0,1668 = 0,2268. По формуле (21) вычисляем критерий Г0:
атахКг,х'г 1,237 • 10-3 (г =-^- = --— '= 0,02405х,.
к м
0,2268
2
Для того чтобы удовлетворялось условие гомо-хронности двухслойной пластины, необходимо для
а
а
с
°С
500-
400-
300-
200-
100-
0
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 х, см
Рис. 4. Изменения температуры прогрева двухслойной пластины для различных моментов времени, полученные: ----численным методом;- по предлагаемому методу
каждого слоя определить значение коэффициента преобразования Кг,т по формуле (22). Для первого слоя К1т = 1,237.10-3/0,661-10-3 = 1,871, для второго — К2,т = 0,661 • 10 3/0,0661 • 10 3 = 1. Таким образом, при расчете прогрева первого слоя значение (Г01)м = 0,02405.1871т = 0,045т, второго слоя -(<2)м = 0,02405т.
Затем с помощью графика и расчетной формулы [6, 17] определяем изменение температурного поля в полученной однослойной пластине для различных координат сечения. На рис. 4 представлены графики прогрева рассматриваемой двухслой-
ной пластины, полученные по разработанной методике и численным методом [18].
Из рис. 4 видно, что имеется хорошая сходимость результатов расчета в большом диапазоне температур и времени. Время изменялось от 0 до 30 ч (0 < < 1,57). Максимальное расхождение полученных результатов расчета не превышает 15% по отношению к численным расчетам. Причем максимальное расхождение имеет место на границе соприкосновения слоев, а для других сечений рассматриваемой двухслойной пластины оно не превышает 10%. Это подтверждает приемлемую точность предлагаемого метода для технических расчетов с минимальными затратами времени.
Заключение
Проведенные в данной работе исследования показывают, что размерность коэффициента теплопроводности при нестационарных процессах теплопроводности определяется как кДж/(м3-ч-°С), вследствие этого размерность коэффициента скорости изменения температуры вещества будет ч-1. Перейдя к безразмерной координате, получаем модифицированное уравнение нестационарной теплопроводности Фурье, на основе которого разработана методика расчета прогрева многослойных конструкций, сводящаяся к решению задачи прогрева однослойной пластины. При этом для расчетов прогрева таких конструкций можно использовать решения, графики и номограммы, имеющиеся в литературе для однослойных пластин. На примере расчета показано, что предложенная методика проста в применении и обладает достаточно высокой точностью для инженерных расчетов.
ЛИТЕРАТУРА
1. Береговой С. Г., Подстригач Я. С. О теплопроводности многослойных оболочек // Изв. АН СССР. Механикатвердоготела. — 1972. — № 3. — С. 105-110.
2. Будак Б. М., Самарский А. А., Тихонов А. И. Сборник задач по математической физике. — М.: Наука, 1972. — 678 с.
3. Видин Ю. В., Пшеничников Ю. А. Теплопроводность многослойного плоского тела в стадии регулярного режима //Изв. АН СССР. Энергетика и транспорт. — 1973. — № 4. — С. 148-151.
4. КарслоуХ. С., Егер Д. К. Теплопроводностьтвердыхтел. — М.: Наука, 1964. — 317 с.
5. Коган М. Г. Нестационарная теплопроводность в слоистых средах //ЖТФ. — 1957. — Т. 27, № 3. — С. 522-531.
6. Лыков А. В. Теория теплопроводности. — М.: Высшая школа, 1967. — 599 с.
7. Макагонов В. А. О возможности приведения многослойных конструкций к однослойным при тепловых расчетах//Изв. вузов. Строительство и архитектура. — 1974. — № 4. — С. 137-140.
8. Филимонов С. С., Двин Ю. П. Расчет температуры в многослойной стенке при воздействии на нее теплового импульса // В кн.: Тепломассоперенос в однофазных и двухфазных средах. — М.: Наука, 1971. — 104 с.
9. Цой П. В. Методы расчета отдельных задач тепломассопереноса. — М.: Энергия, 1971. —384 с.
10. Михеев М. А., Михеева И. М. Основы теплопередачи. — М.: Энергия, 1973. — 320 с.
11. Теория теплообмена. Терминология. Вып. 83. — М.: Наука, 1971. — 80 с.
12. Смородинский Я. А. Температура. 2-е изд. перераб. и дополн. — М.: Гл. ред. физ.-мат. лит., 1987. — 192 с.
13. Мучник Г. Ф., Рубашов И. Б. Методы теории теплообмена. Ч. 1. Теплопроводность: Учебное пособие для вузов. — М.: Высшая школа, 1970. — 288 с.
14. Гухман А. А. Применение теории подобия к исследованию процессов тепломассообмена. — М.: Высшая школа, 1974. — 328 с.
15. Чертов А. Г. Физические величины (терминология, определения, обозначения, размерности, единицы): Справочное пособие. — М.: Высшая школа, 1990. — 335 с.
16. Балашов М. М. О природе: Книгадля учащихся 8 кл. — М.: Просвещение, 1991. — 96 с.
17. Пехович А. И.,Жидких В. М. Расчеты теплового режима твердых тел.—Л.: Энергия, 1966.— 304 с.
18. Ваничев А. П. Приближенный метод решения задач теплопроводности в твердых телах // В сб.: Труды НИИ-1. — М.: Изд-во бюро новой техники, 1947. — 62 с.
Поступила в редакцию 04.04.06.
