Метод расчета напряженного состояния, обусловленного динамическим нанодвойником Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 539.21

МЕТОД РАСЧЕТА НАПРЯЖЕННОГО СОСТОЯНИЯ, ОБУСЛОВЛЕННОГО ДИНАМИЧЕСКИМ НАНОДВОЙНИКОМ

В. В. ВЛАШЕВИЧ, О. М. ОСТРИКОВ

Учреждение образования «Гомельский государственный технический университет имени П. О. Сухого»,

Республика Беларусь

В ряде динамических испытаний дислокации движутся с малыми скоростями, поэтому напряжения и смещения, обусловленные скольжением, хорошо описываются решениями для квазистатического случая. Однако при движении двойникующих дислокаций, как правило, динамическими эффектами нельзя пренебрегать. Это связано с тем, что процесс двойникования является высокоскоростным. При этом скорость двойникующих дислокаций соизмерима со скоростью звука [1]-[5].

В [2] разработаны дислокационные модели остаточных клиновидных двойников макроскопического и мезоскопического масштабного уровня. Расстояния между дислокациями в мезоскопической модели не считаются малыми [2]. В данной модели должен присутствовать параметр, определяющий расстояние между двойникую-щими дислокациями. Напряжения и деформации при этом определяются дискретным суммированием как напряжений, так и деформаций каждой двойникующей дислокации двойниковой границы. На этом уровне рассматриваются наноразмерные двойники или участки двойниковых границ до десятых долей микрометра [2].

Цель данной работы - создание дискретной наномасштабной модели динамического двойника для количественного расчета у него напряженно-деформированного состояния.

Постановка задачи

Для расчета полей напряжений, создаваемых нанодвойником, рассмотрим схему, представленную на рис. 1. На схеме показан нанодвойник в виде совокупности двой-никующих дислокаций. Параметры di и Ь определяют расстояние между двойни-кующими дислокациями (рис. 1). Эти параметры являются проекциями на оси ОХ и ОY отрезка, соединяющего две соседние дислокации. Пусть длина нанодвойника L, а его ширина у устья H.

Так как двойникующие дислокации являются частичными дислокациями Шокли [1], то их вектор Бюргерса раскладывается на две составляющие: краевую (#кр) и винтовую (йв). Направление этих составляющих показано на рис. 1. При I = 0 примем время зарождения двойника. Рассмотрим движение нанодвойника вдоль оси OX при I > 0. Участки B0B и С0С когерентны. Это наблюдается в случае, если отсутствует генерация новых двойникующих дислокаций. Пренебрежем напряжениями, которые создают когерентные участки границ двойника. Данные напряжения малы из-за отсутствия на таких границах двойникующих дислокаций. Тогда фронт напряжений будет перемещаться с двойникующими дислокациями на некогерентных участках двойниковых границ. Для упрощения задачи без потери общности решения примем di и Ь постоянными на всем рассматриваемом промежутке времени, полагая ^ = vt (рис. 1), где v - скорость движения двойника вдоль оси OX вершины.

при t = 0

при t >0

Рис. 1. Схематическое изображение динамического двойника в виде совокупности двойникующих дислокаций

Используя принцип суперпозиции и известные соотношения для расчета полей напряжений движущейся дислокации, на основании наномасштабной модели двойника [2] представим формулы для расчета компонент тензора напряжений.

(х у)=

Ь о тсу2

N

I

п=0

УI

(х+2ц-у2\)(у+п/)

(х - Ь+^1 - vt)2 +у2 (у + п/)

МУ

(1+У2 )(у+п/ )

м

+1

т=1

(х - Ь+^1 - vtУ' +у2 (у+п/ )2 (Х+2^-уг2Х)(у - т/)

+

У1

(х -Ь + тй2 -у^2 +уг2(у -т/) МУ (1 + У2 )(У - т/2) (х - Ь+тй2 - у^2 +у2 (у - т/ )

-(*, У уЩ jZ

2rcv I и=о

+

+Z

m=1

+

(l + y 2 )2 (x - L + nd1 - vt)

(x - L + nd1 - vt )2 +y 2 (y + nh^f

4y J (l + у 2 )2 (x - L + nd1 - vt)

(x - L + nd1 - vt )2+у2 (y+nhi)2

(l + y 2 )2 (x - L + md2 - vt)

(x - L + md2 - vt)2 + у 2 (y - mh2)

4y J (x - L + md2 - vt)

- +

(x - L + md2 - vt)2 + у 2 (y - mh^ )2

a yHx

b с2

(x, У ) = Ct

TCV

N

Z

у J [^-у2 (^ + 2M)](У + nhi)

n=o l (x - L + ndl - vt )2 + у 2 (y + nh1 )2

му t(l+у2 )2 (У+nhi)

M

+Z

m=1

(x - L + ndl - vt )2 + у 2 (y + nhl )2 у j [^-у2 (^ +2M)]( У - mh2)

+

(x - L + md2 - vt)2 + у2 (y - mh2)

му t(l+у2 )2 (У - mh2)

(x - L + md2 - vt)2 + у2 (y + mh2)'

CTxz (x, У )

МЬв

2л

N

Z

n=0

у

(У + nhl)

M

+Z

m=l

(x - L + ndl - vt)2 + у2 (y + nhl )2

____________у t (У - mh2)__________

(x - L + md2 - vt)2 + у2 (y - mh2 )2

+

(x y )=

МЬв

2л

N

Z

n=0

у Ax

(x - L + ndl - vt)

M

+Z

m=l

(x - L + ndl - vt)2 + у2 (y + nhl )2 у t (x - L + md2 - vt)

+

(x - L + md2 - vt)2 + у2 (y - mh2)

(x, y) = v(a „(x, y)+a yy(x, y)),

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

где N и M - число двойникующих дислокаций на каждой из двойниковых границ; ц - модуль сдвига; v - коэффициент Пуассона; t - время; ct и с - скорости продольной и поперечной звуковых волн, определяемые по формулам [l]:

о=л-т-; о1 =

х + 2ц (7)

Рс

где р0 - плотность среды, в которой движется дислокация; X - коэффициент Ламе, рассчитанный по формуле [1], [3]:

х= (1 + ,00 - 2У) ■ (8)

Скорости продольной и поперечной звуковых волн связаны с соотношениями [1]:

Уt =

1-^т; У1 =

о2 ’

L't

2

1 -,Г. (9)

В соотношениях (1)-(6) для расчета полей напряжения было учтено, что в точках А, В, С (рис. 1) может находиться только одна двойникующая дислокация [2].

Результаты расчетов и их обсуждение

Результаты расчетов полей напряжений представлены на рис. 2-7. Расчет производился для титана. Принималось: N = 100; М = 99; ц =41 ГПа; р = 2,2 кгс/м3; V = 0,32; Е = 112 • 109 Па; di = 0,1 нм; / = 0,01 нм. Длина некогерентного участка нанодвойника находится по формуле Ь = Ndi■ Рассчитывалось распределение компонент тензора напряжений у динамического нанодвойника в момент времени t = 10-4 с.

Участки ВоВ и С0С двойниковых границ когерентны и движение двойникующих дислокаций происходит вдоль оси ОХ (рис. 2). Участок АВС имеет форму клина и является некогерентным. Фронт напряжений перемещается вместе с двойникующи-ми дислокациями. В положительном направлении оси OY напряжения ахх положительны, а в отрицательном направлении оси OY - отрицательны (рис. 2). Таким образом, у одной из границ динамического двойника нормальные напряжения а сжимающие, а у другой - растягивающие. На участке АВ сконцентрированы максимальные значения напряжений, а участок АС соответствует минимальным значениям напряжений (рис. 2).

Распределения складывающих напряжений аи ауг имеют схожую конфигурацию (рис. 3 и 4), но отличаются по величине. Концентрация напряжений наблюдается в некогерентной области двойника. В обоих случаях значения складывающих напряжений положительны во второй и третьей четвертях плоскости XOY и отрицательны - в первой и четвертой.

Распределение нормальных напряжений ау показано на рис. 5. В положительном направлении оси OY напряжения ау отрицательны, а в отрицательном - положительны. Напряжения ау меняют знак по отношению к направлению развития двойника. Максимальные напряжения ауу сконцентрированы в средней части двойника, а на противоположных границах двойника напряжения различны.

01

У- нм

Рис. 2. Распределение нормальных напряжений охх(х, у) (МПа) у динамического нанодвойника в момент времени t = 10-4 с

V, нм

У, нм

Рис. 4. Распределение складывающих напряжений оуг(х, у) (МПа) у динамического нанодвойника в момент времени t = 10-4 с

у. им

у, нм

Рис. 6. Распределение нормальных напряжений огг(х, у) (МПа) у динамического нанодвойника в момент времени t = 10-4 с

У, нм

Складывающие напряжения агг (рис. 6) у одной из границ динамического двойника сжимающие, а у другой - растягивающие. Максимальные напряжения агг сконцентрированы на границах двойника.

Складывающие напряжения а(рис. 7) в положительном направлении оси ОУ отрицательны, а в отрицательном направлении данной оси - положительны. Конфигурации нормальных напряжений ау и складывающих напряжений аотличаются

тем, что максимальные напряжения ав некогерентной области АВС сконцентрированы на границах двойника, а максимальные напряжения ау в средней части двойника.

Заключение

На основании дислокационной наномасштабной модели проведены расчеты напряжений у динамического нанодвойника. Установлено, что фронт напряжений при отсутствии генерации дополнительных двойникующих дислокаций мигрирует вместе с движущимся скоплением двойникующих дислокаций.

Литература

1. Хирт, Дж. Теория дислокаций / Дж. Хирт, И. Лоте. - М. : Атомиздат, 1972. - 600 с.

2. Остриков, О. М. Механика двойникования твердых тел : монография / О. М. Ост-риков. - Гомель : ГГТУ им. П. О. Сухого, 2008. - 301 с.

3. Ландау, Л. Д. Теория упругости / Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц. - М. : Наука, 1987. -246 с.

4. Спицин, В. И. Электропластическая деформация металлов / В. И. Спицин, О. А. Троицкий. - М. : Наука, 1985. - 158 с.

5. Савенко, В. С. Новые каналы реализации механического двойникования / В. С. Са-венко // Письма в ЖТФ. - 1998. - Т. 24, № 9. - С. 43-49.

Получено 04.02.2014 г.