МЕТОД ПРИСТРЕЛКИ ДЛЯ РАСЧЕТА УСТАНОВИВШЕГОСЯ ПЕРИОДИЧЕСКОГО РЕЖИМА АВТОНОМНЫХ ГЕНЕРАТОРОВ Текст научной статьи по специальности «Математика»

Система (1) с условием (2) образует краевую задачу. Метод пристрелки основан на замене решения краевой задачи (1), (2) решением системы нелинейных алгебраических уравнений относительно вектора состояния в начальный момент времени х(0).

Используя вектор-функцию

Ф(х(*0X ^ *) = [ф1(ХОоХ Ч, *), Ф2(ХОоХ ^ *), к, ФN (х(^0), ^ *)]Т,

отражающую переход состояния х(*0) в момент времени *0 в состояние х(*) в момент времени и полагая *0 = 0, имеем х(Т) = ф( х(0),0, Т).

Тогда условие (2) может быть записано в виде системы алгебраических уравнений относительно вектора х(0):

Ф( х(0),0, Т) - х(0) = 0. (3)

Метод пристрелки можно рассматривать как итерационный процесс решения нелинейной системы (3) относительно вектора х(0), причем на каждом шаге итерационного процесса вектор х(Т) = ф( х(0),0, Т) находится решением задачи Коши с соответствующими начальными условиями [1, 2].

Применение метода Ньютона для решения алгебраической системы (3) приводит к линейной системе относительно вектора ньютоновской поправки на каждой итерации:

[Фх - Е]Лх* (0) = -(Ф(х* (0),0, Т) - х* (0)), (4),

где * - номер ньютоновской итерации; Лх] (0) = х}+1(0) - х} (0) - вектор ньютоновской

Е дФ( х(0),0, Т) ф

поправки; Е - единичная матрица; Фх =--фундаментальная матрица урав-

йх(0)

нений в вариациях. Эффективный метод вычисления этой матрицы был предложен в работах [3, 4].

Особенностью построения метода пристрелки для моделирования автономных генераторов является то, что величина периода и соответственно частота колебаний заранее неизвестна и ее требуется определять в процессе решения. Неоднозначность определения периодического решения для автономных систем формально следует из того, что система алгебраических уравнений, соответствующая методу пристрелки, имеет одну дополнительную неизвестную Т при том же количестве уравнений N. Поэтому для обеспечения однозначности периодического решения необходимо сформулировать дополнительное условие, которое позволит сократить на единицу количество неизвестных либо увеличить на единицу количество уравнений. Выбор такого условия и определяет вариант метода пристрелки для автономных систем.

Фиксация начального уровня переменной состояния. В [3, 4] предложено использовать фиксацию начального значения одной из переменных состояния: хк (0) = ё,

где ё - заранее заданная величина; к - индекс выбранной переменной. В результате из перечня неизвестных системы исключается начальное значение к-й переменной состояния и общее количество неизвестных становится равным количеству уравнений системы. Предполагается, что фиксация начального значения производится для последней (к = Ы) из перечня переменных состояния. Это предположение не ограничивает общности, так как достигается соответствующей перенумерацией переменных. Система уравнений (4) в этом случае принимает вид

фх11 - 1 фх12 • фт1 "Ах/ (0)"

ф х 21 фх22 - 1 • • фт 2 Дх2 (0) =

ф хМ1 ф хм 2 • фтм _ АТ]

ф1( х] (0),0, Т) - х/ (0) ф2( х* (0),0, Т) - х2 (0)

фn (х] (0),0, т) - а

(5)

Матрица Якоби системы (5) отличается от (4) последним столбцом, который со-

дф, (х(0),0, т)

держит соответствующие производные по величине периода фт, = ■

дТ

Вычислив матрицу Якоби, можно на шаге ньютоновского итерационного процесса определить поправку к предыдущей аппроксимации переменных путем решения линейной системы (5) и затем определить новые значения начальных условий и периода интегрирования.

Обобщенный метод фиксации начального уровня переменной состояния. Основной недостаток метода с фиксацией начального значения состоит в том, что не гарантируется совместность полученной системы уравнений пристрелки. Действительно, для существования решения необходимо, чтобы уровень фиксации а находился в пределах области значений соответствующего периодического решения хм(^. Однако на практике не всегда можно заранее задать величину, удовлетворяющую этому условию. Выбор в качестве такой величины значения начального приближения, полученного после нескольких периодов интегрирования системы ОДУ с начальными условиями, отклоняющимися от равновесных, также не может этого гарантировать.

Поэтому более удобным может оказаться рассматриваемое в ряде работ обобщение метода фиксации начального значения [2]. При этом предлагается фиксировать начальное значение не одной из переменных состояния, а некоторой линейной комбинации начальных значений всех переменных:

N

у и (0) = а,

/ , I=1

(6)

фх - Е фТ Дх](0) ф(х] (0),0, Т) - х] (0)

£Т 0 ДТ] а

где £ - вектор-столбец заранее заданных коэффициентов линейной комбинации.

При обобщенном методе фиксации начального значения к уравнениям метода пристрелки добавляется уравнение (6), образуя систему N + 1 уравнений с N + 1 неизвестными (М начальных значений переменных состояния и период Т).

Система уравнений для ньютоновской поправки в этом случае принимает вид

(7)

Однако обобщенный подход полностью не устраняет указанный недостаток метода с фиксацией начального значения, тем более, что желательно не требовать от пользователя задания лишней входной информации.

Попыткой автоматического решения проблемы являются различные варианты метода с варьированием переменной фиксации уровня и его значения [2, 4]. Для того чтобы обобщенный алгоритм с фиксацией начального уровня мог быть успешно завершен, необходимо выполнить условие невырожденности матрицы Якоби. В работе [2] предлагается принять

=

ёф, (х(0),0, г)

ёг

(8),

г=Т

а в [5] предлагается выбирать для нового шага переменную состояния с наибольшей по модулю производной в конечной точке периода. Следует отметить, что построенный на основе этого метода итерационный процесс не соответствует ньютоновскому процессу для заранее определенной нелинейной системы [1].

Автоматический выбор момента окончания интегрирования. В отличие от рассмотренного подхода, предлагается метод, который, с одной стороны, избавлен от указанных выше недостатков метода с фиксированным начальным уровнем, а с другой -представляет собой ньютоновский итерационный процесс для заранее определенной нелинейной системы метода пристрелки. Рассмотренный метод предполагает, что на шаге ньютоновского итерационного процесса для определения невязки решается система дифференциальных уравнений на интервале времени от 0 до момента текущей оценки периода. В работе [1] приведены выражения для случая проведения интегрирования до того момента, когда последняя переменная вновь принимает заданное начальное значение. В отличие от этого, предполагается, что момент окончания интегрирования определяется автоматически с использованием некоторого условия.

Рассмотрим систему уравнений, которую необходимо решить при таком подходе. Для этого введем обозначение для функции, значением которой является указанный момент времени Т(х(0)) . Система уравнений метода пристрелки при этом записывается в виде

Ф( х(0),0, Т (х(0))) - х(0) = 0.

(9)

Имеем систему из N уравнений с N неизвестными, так как величина периода не является одной из неизвестных, а получается как значение момента окончания интегрирования, т.е. как результат вычисления функции Т(х(0)) . Система уравнений (4) в этом случае принимает вид

Фх - Е + ФТ

дТ дх(0)

лху (0) = -[ф(х] (0),0, Т(х] (0))) - х] (0)]

(10)

Для определения момента окончания интегрирования воспользуемся методом сечений Пуанкаре [6]. На рис.1 представлена траектория х(г) в фазовом пространстве. Траектория начинается в точке х(0). Гиперплоскость п проходит через точку х(0) и перпендикулярна вектору п, который представляет касательную к траектории х(г) в точке х(0). Момент времени, соответствующий пересечению траекторией гиперплоскости п в точке х(Т), будем принимать в качестве времени окончания интегрирования. Момент пересечения можно определить с помощью функции

у(г) = пТ [ф(х(0),0, Т(х(0))) - х(0)], (11)

которая дает проекцию разности Рис1 траектория осциллятора в фазовом [ф(х(0),0, Т(х(0))) - х(0)] на нормаль п. пространстве

Точки пересечения траектории х(^) с плоскостью п соответствуют нулям функции ). Так как функция у(/) обращается в нуль дважды за время одного цикла, то дополнительное условие

&{( )

Ж

> 0

(12)

обеспечивает выбор искомой точки пересечения.

Таким образом, условие окончания интегрирования может быть записано в виде уравнения

пт [(х(0),0, Т (х(0))) - х(0)]= 0.

(13)

Дифференцирование уравнения (13) дает

п

откуда

Ф х +Фт

дТ

дТ дх(0)

т

П Ф х

= 0.

дх(0)

т

п фт

(14)

Подставляя выражение (14) в (10), получаем систему для вычисления ньютоновской поправки

( " ф ^ ы (0) = -[ (0),0, т(х] (0))) - х] (0)]. (15)

Фх - Е + Фт

т

П Ф х

т

п Фт

Таким образом, модификация метода пристрелки, заданная уравнением (15), не содержит дополнительных переменных, кроме переменных состояния схемы, и не требует задания никакой дополнительной информации для определения момента окончания интегрирования. Момент окончания определяется в процессе самого интегрирования по нулям функции ) с дополнительным условием (12). При практической реализа-

ции метода в качестве

х(0)

по времени

вектора п удобно выбрать нормированную производную

|х(0)||"

жж ГЗп Я,

Яь

11

сз

С1

с.

Яг

¥1

01

С2

Рис.2. Схема £С-генератора: С1 = 33 пФ, С2 = 33 пФ,С3 = 3,17 пФ, Сс = 560 пФ, Ы = 100 нГ, Яу= 680 Ом, Яь = 100 кОм, Яс = 1,2 кОм, ¥м = 10 В

Численный эксперимент. Приведем результаты расчета установившегося режима с помощью предложенного метода. В качестве примера рассмотрим расчет £С-генератора [7]. Схема генератора представлена на рис.2. Математическая модель схемы в соответствии с модифицированным методом узловых потенциалов [8] содержит семь переменных. Данная схема работает на частоте 308,6 МГц, что примерно соответствует периоду 3,24 нс. На рис.3 представлен временной отклик на выходе генератора (см. рис.2, узел 1), рассчитанный с помощью традиционного анализа переходных процессов. Из графика видно, что в схеме имеются постоянные времени, которые определяют процесс установления, занимающий тысячи периодов. Из этого следует, что для применения традиционного

метода пристрелки с фиксацией уровня необходимо задание узла и уровня сигнала, соответствующего установившемуся состоянию.

На рис.4 представлены результаты расчета установившегося режима с помощью предложенного метода. Отметим, что в этом случае не требовалось задания никакой дополнительной информации. Для получения подобных результатов с помощью метода пристрелки с фиксацией уровня необходимо задать уровень сигнала 7,2 В в узле 1 (рис.4). Задание же уровня, например, в 6 В приведет к неверным результатам.

8,5 8,0

т

£ 7,5 л

£ 7,0

2 6,5 Д

й 6,0

о '

^ 5,5

0,0 10,0 20,0 30,0 40,0 Время, мкс

50,0 60,0

7,7

В, 7,5 ¡3 73 « '

у

/ \

\ /

S 7,1 ч /

/

8 6,9 о £ 6,7

—--

6,5 0,

0 0,4 0,8 1,2 1,6 2,0 2,4 2,8 3,2

Время, нс

Рис.4. Установившийся режим генератора

Рис.3. Переходной процесс в генераторе

В обоих случаях для обеспечения сходимости метода пристрелки начальное приближение рассчитывалось с помощью моделирования переходных процессов.

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант № 09-07-00029-а).

Литература

1. Актуальные проблемы моделирования в системах автоматизации схемотехнического проектирования / Под ред. А.Л.Стемпковского. - М.: Наука, 2003. - 430 с.

2. Kundert K.S., White J., Sangiovanni-Vincentelli A. Steady-state methods for simulating analog and microwave circuits. - Boston: Kluwer Academic Publishers, 1990. - 247 р.

3. Aprille T.J., Trick. T.N. A computer algorithm to determine the steady-state responce of nonlinear oscillators // IEEE Trans. on Circuit Theory. - 1972. - Vol. CT-19, N 4, July. - P. 354-360.

4. Гурарий М.М., Русаков С.Г., Зарудный Д.И. Моделирование на ЭЦВМ периодических процессов в интегральных схемах // Автоматика и вычислительная техника. - 1973. - N 1. - С. 83-85.

5. Чуа Л. О., Лин Пен-Мин. Машинный анализ электронных схем. - М.:Энергия, 1980. - 340 с.

6. Shilnikov L.P., Shilnikov A.L., Turaev D.V., Chua L.O. Methods of qualitative theory in nonlinear dynamics. - Singapore: World Scientific, 1998. - 392 р.

7. Rhea R. W. Oscillator Design and Computer Simulation. - N.Y: McGraw-Hill, 1995. - 303 р.

8. Влах И., Сингхал К. Машинные методы анализа и проектирования электронных схем. - М.: Радио и связь, 1988. - 560 с.

Статья поступила 16 февраля 2009 г.

Ульянов Сергей Леонидович - кандидат технических наук, заведующий сектором Института проблем проектирования в микроэлектронике РАН. Область научных интересов: методы схемотехнического моделирования, методы расчета радиотехнических схем, моделирование полупроводниковых приборов. E-mail: ulyas@ippm.ru

Гурарий Марк Моисеевич - кандидат технических наук, старший научный сотрудник Института проблем проектирования в микроэлектронике РАН. Область научных интересов: методы моделирования и оптимизации интегральных схем, методы схемотехнического моделирования периодических и квазипериодических режимов, анализ динамических систем.

ПРОБЛЕМЫ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ

Международное сотрудничество МИЭТ с компанией Synopsys

С.В. Умняшкин, А.А.Миндеева

Московский государственный институт электронной техники (технический университет)

Московский государственный институт электронной техники (технический университет) является ведущим вузом России в области подготовки специалистов для электронной промышленности и представляет собой учебно-научный комплекс с развитой инновационной инфраструктурой. В рамках направлений учебно-научной деятельности вуза в университете создана интегрированная система непрерывного образования, охватывающая довузовскую подготовку, среднее профессиональное и высшее образование, а также подготовку кадров высшей квалификации. Выпускники МИЭТ востребованы не только в России, но и за рубежом.

Современные изделия электроники являются сложными устройствами, содержащими десятки различных интегральных схем, выполненных по нанометровым технологиям. В связи с этим подготовка высококвалифицированных специалистов должна включать не только изучение теоретических дисциплин, но также получение практических навыков и овладение маршрутами проектирования микроэлектронных изделий средствами современных инструментариев систем автоматизированного проектирования (САПР).

В области разработки САПР для микроэлектронных изделий, включая сложные СБИС и системы на кристалле, в мире широко известны три крупнейших зарубежных компании-лидера: Synopsys, Cadence и Mentor Graphics. В 2003 году между компанией Synopsys, их дистрибьютором в России компанией Alt-S и МИЭТ был подписан договор о сотрудничестве. По договору университету были предоставлены 10 бесплатных лицензий на пакет программного обеспечения, направленный на изучение маршрута проектирования цифровых схем, и необходимые средства вычислительной техники. В соответствии с договором профессор Ермак В.В. организовал факультативную подготовку группы из 10 одаренных студентов МИЭТ. Активное участие в создании и становлении учебной программы приняли ведущие ученые и специалисты-разработчики: академик РАН Стемпковский А.Л., Семенов М.Ю., Калашников В.С. и Ласточкин О.В. Они разработали методические материалы (учебное пособие и лабораторный практикум) по курсу «Основы логического синтеза средствами САПР Synopsys с использованием Verilog HDL». Первые выпускники, освоившие маршрут автоматизированного проектирования цифровых схем средствами САПР Synopsys, сразу же оказались востребованными прежде всего теми организациями, которые приняли активное участие в их подготовке (ГУП НПЦ «ЭЛВИС», ИППМ РАН).

Возможности САПР компании Synopsys расширялись. Ей удалось приобрести швейцарскую фирму ISE AG TCAD, разработавшую ПО для приборно-технологического моделирования в области конструирования и проектирования элементной базы, технологии формирования ИС и элементов микросистемной техники.

Приборно-технологическое моделирование - другое важное направление подготовки, реализуемое в МИЭТ. Оно опирается на использование программной среды Sentaurus TCAD компании Synopsys, позволяющей выполнять «виртуальное производство» полупроводниковых приборов. Использование программного продукта Sentaurus TCAD позволяет существенно сократить расходы на проектирование ИС, поскольку уменьшает количество необходимых