Метод припасовывания при решении нелинейных задач в электротехнике Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

ЭЛЕКТРОЭНЕРГЕТИК

УДК 621.3.011.72

МЕТОД ПРИПАСОВЫВАНИЯ ПРИ РЕШЕНИИ НЕЛИНЕЙНЫХ ЗАДАЧ В ЭЛЕКТРОТЕХНИКЕ

И.И. ЕРМАКОВ *, В.В. КИСЕЛЕВ**

*

**

Казанское высшее артиллерийское командное училище Казанский государственный энергетический университет

В статье рассматривается один из методов решения нелинейной задачи в электротехнике. Он связан с математической моделью линейного трансформатора, экспериментальные исследования которого показали, что его динамические и статические характеристики, по крайней мере, в два раза лучше классического. Приводятся уравнения состояния электрических и магнитных процессов и дается их решение.

Линейный трансформатор (Тр) [4], принципиальная схема которого изображена на рис. 1, по вторичной цепи представляет собой нелинейную электрическую цепь.

Рис. 1. Линейный трансформатор

Нелинейность создается введением в схему диодов Д1-Д4, необходимость в которых обусловлена принципом работы такого Тр [5]. Известно, что к

© И. И. Ермаков, В. В. Киселев

Проблемы энергетики, 2007, № 1-2

настоящему времени в мировой практике общих методов решения таких задач нет. Поэтому в каждом конкретном случае используют методы решения, которые позволяют наиболее быстро и удобно достичь конечных результатов. Тем более, что для подтверждения решений всегда можно воспользоваться методом моделирования.

В рассматриваемом случае предлагается использовать метод припасовывания в сочетании с методом наложения. Физическая сущность такого подхода обосновывается тем, что, во-первых, приходится рассматривать [4] в общей ветви два источника ЭДС: рабочую обмотку (РО - L3, L4) и обмотки обратной связи (ОС - L1 и Lj); во-вторых, нагрузка (Ян) включается (рис. 1) в диагональ симметричного моста, образованного конденсаторами (С1 и С2) и обмотками ОС (Li и Lj). В каждый полупериод синусоидального тока, протекающего по вторичным обмоткам Тр, в работу вместе с рабочей обмоткой ( L3 , L4 ) попеременно включаются или левая обмотка ОС L1 , или правая L2 . Каждому полупериоду тока соответствует период импульса энергии магнитного поля Тр, постоянная составляющая (полюсность) которого определяется начальной фазой тока.

Отметим, что в настоящее время в работах [2, 3] при расчете трансформаторов рассматривается только правая половина основной кривой намагничивания. Считается, что поскольку магнитодвижущая сила определяется действующим значением тока и она всегда положительна, то нет необходимости в рассмотрении левой половины основной кривой намагничивания. Однако результаты проведенных экспериментов показали [5], что магнитодвижущая сила, в зависимости от фазы тока, определяет полюсность («N-S» или «S-N»)

намагниченности, т.е. если г* = Im sin ; i 2 = Im sin(mí +180 °) = -Im sin , то намагничивающие силы будут разными по знаку, хотя действующие значения токов одинаковы.

Для распознания полюсности намагниченности в схему Тр включены диоды Д1 и Д3. Они же совместно с диодами Д2 и Д4 обеспечивают направленную разрядку конденсаторов С * и С j. За счет разрядки конденсаторов создается смещение по фазе (запаздывание) тока по отношению к ЭДС вторичных обмоток. Через полупериод переменного тока во вторичных обмотках Тр роли половин схем моста меняются.

Таким образом, диоды Д1-Д4 обеспечивают соответствующий принцип работы Тр, но они делают электрическую цепь нелинейной. Решение задачи упрощается тем, что в каждой полупериод в линейном варианте работает или левая или правая половина моста вследствие разделения обмоток диодами. Это дает основание рассматривать в каждый полупериод времени изменения переменного тока ту или иную половину моста в линейном плане, а затем полученные результаты «сшивать» или «припасовывать» [2].

Смысл введенных во вторичную обмотку Тр (рис.1) дополнительных устройств сводится к тому, чтобы повысить инерционность обмоток и тем самым обеспечить противофазность токов в первичной и во вторичной обмотках Тр. При активной нагрузке классического трансформатора указанные токи смещены не на

180 °, а на угол, равный 90 ° + а. При «оптимальной» нагрузке, когда ее

сопротивление равно внутреннему сопротивлению источника ЭДС, угол а = 45 °,

т.е. токи в первичной и во вторичной обмотке смещены не на 1800 , а только на

1350. Поэтому в последующем задача будет состоять в том, чтобы доказать, что можно достичь того, что угол а за счет введенных в Тр устройств будет равным

или близким к 900.

С целью сокращения последующих математических записей примем условия:

е1 = е2 = е ; е0 = ке ; Я1 = Я2 = Яб ; Ь0 = Ь3 + Ь4 ;

¿1 = ¿2 = Ь; Ьо = кЬ; С1 = С2 = С , (1)

где к — число, показывающее, во сколько раз ЭДС или и индуктивность рабочей обмотки больше ЭДС и индуктивности обмотки обратной связи; ке, кЬ -соответственно ЭДС и индуктивность рабочей обмотки; е, Ь - ЭДС и индуктивность обмоток ОС.

Условимся, что работа Тр начинается с левой половины схемы, что соответствует положительной полуволне тока во вторичных обмотках.

Задача решается методом наложения. При этом учитывается, что обмотки Ь1 и Ь2 включены встречно. Поэтому ЭДС е1, наводимая в обмотке Ь1 (рис. 1), не будет влиять на ток, протекающий по ветви Ь2 ^ Я2 ^ С2. Точно также ЭДС е2 , наводимая в обмотке Ь2 , не будет влиять на ток, протекающий по ветви Ь1 ^ Я1 ^ С1. Вместе с тем, каждая из указанных ЭДС может замыкаться на себя через нагрузку. Что касается рабочей обмотки, то ее ЭДС ео замыкается через все ветви, входящие в электрическую цепь (рис.1) вторичной цепи.

Для расчетов воспользуемся операторным методом с использованием преобразования Лапласа.

Исходя из изложенного, общее сопротивление для ЭДС (ео) рабочей обмотки (гр) в изображении по Лапласу ( р - оператор Лапласа) будет рассчитываться по зависимости [5]

(Ср +1) I ЬСр(ЬСр2 + Я1Ср +1) + Ян(ЬСр2 + ЯдСр +1) ?(р)= кЬр +-----------------------------------------------1+

(2)

( ЬСр2 + ЯдСр +1^ ЬСр2 + Я2Ср +1)

где Я1 = Я н + Я б ; Я 2 = 2 Я н + Я б .

Ток, протекающий по рабочей обмотке, определится зависимостью

кЕ ( р ) (ЬСр2 + Яб Ср+ 1)(ЬСр2 + Я2 Ср+1) (3)

р кЬр^ЬСр2 + ЯбСр+ 1)(ьСр2 + Я2Ср+ х)+(я6Ср+1 )[^^(ьСр2 + Я1Ср+1)+ Ян (ьСр2 + ЯбСр+1)]

где Zр (р), Iр (р ), Е (р ) - полное сопротивление, ток и ЭДС в изображении по Лапласу.

Общее сопротивление в цепи обмотки обратной связи 2ос (р) [5]:

кЬр(Ср +1)+ Г кЬСр2 + ЯбСр +11(Ьр + Ян )

2осМ=--------------------------------------------------------------Т^~,----• (4)

( кЬСр2 + ЯбСр +1 )

Ток, протекающий по обмотке ОС, находится по зависимости / Е (р )(кЬСр 2 + Яб Ср +1)

1е (р ) =-------------------------------------------------------------:-тЛ-2----б-1------. (5)

кЬр(Яб Ср +1) + [кЬСр 2 + Яб Ср +1 )Ьр + Ян )

Падение напряжения на г0, включающего в себя две параллельные

ветви: Ь о = Ь з + Ь 4 и Я1С1 (рис. 1), будет определяться выражением

„ ( , Е (р)(Яб Ср + 1)кЬр

ис 1( р ) =-----------------------------------------------------------;-—7-2----Ц-Г . (6)

кЬр(Яб Ср +1) + [кЬСр + Яб Ср + 1дЬр + Ян )

Ток, протекающий по ветви через Я1 и С1 (рис. 1) по причине воздействия ЭДС (е 1), находится из соотношения

/ ч кЕ(р)ЬСр2

1е 1 (р)=—(----------ч ( 2----------)). (7)

кЬр (Яб Ср +1) + [кЬСр 2 + Яб Ср +1 )Ьр + Ян )

Падение напряжения на этой же ветви, обусловленное ЭДС (е о) рабочей

обмотки, определяется зависимостью

kE[p—яЯ>cp+1)[ъСр2+яс+1)+ян( ЬСр2+ЯбСр+1)] . (8)

иео(р)=----------------------------------------------------------------

кЬр^ ЬСр1 + ЯдСр+1)^ ЬСр2 + Я2Ср+1)+(ср+1—^ ЬСр2 + ЯхСр+1)+Ян^ ЬСр1 + Я^Ср +1)

Ток, протекающий через Я1 и С1, обусловленный ЭДС рабочей обмотки, рассчитывается по соотношению

к£(р)Ср|^ЬрЬСр2 + Я1Ср +1)+ Ян (ЬСр2 + ЯбСр +1)] (9)

1ео(р)=------------------------------------------------------------------------

кЬрГ ЬСр2 + ЯбСр +1^ ЬСр2 + Я2Ср + ^(Ср + 1)ЦЬр^ ЬСр2 + «(Ср +1)+ Ян( ЬСр2 + ЯбСр +1) Следует заметить:

во-первых, по ветви, образованной элементами Я1 и С1, протекают, согласно методу наложения [2], два тока: 1е 1 (р) и 1е о (р), причем встречно. Не касаясь конкретных значений параметров вторичной цепи Тр, в последующем предполагается [5], что ток 11 (рис. 1) определяется зависимостью

11 = Iео (р) -Iе1 (р). (Ю)

В принципе выражение (1о) можно преобразовать, но для построения структурно-динамической схемы (СДС) оно более удобно.

Во-вторых, ток рабочей обмотки (I р), обусловленный ЭДС е о, состоит из

двух частей, одна из которых (Iео) протекает через ветвь Я1 и С1, вторая (12 ) -

через Ь1 (рис.1) и параллельные ветви, образованные нагрузкой Ян и элементами Я2 и С2, т.е.

12 (р)= !р (р)— Ie0 (р) =

кЕ (р) ЬСр 2 + Я1Ср + 1^(ябСр +1) . (11)

кЬр^ ЬСр 2 + ЯбСр +1^ ЬСр2 + Я2Ср + 1^ + (ябСр +1) Ьр( ЬСр2 + Я1Ср +1) + Ян (ЬСр2 + ЯбСр +1^

Падение напряжения на нагрузке за счет ЭДС ео будет рассчитываться по формуле

и нео (р ) = 12 (р )• г 1( р )

( ) Ян (ЬСр 2 + Яб Ср +1) где 21 (р ) =

ЬСр 2 + Я1 Ср +1

( ) кЕ (р)(Яб Ср + 1)Ян (ЬСр 2 + Яд Ср +1)

те. и нео ( р ) =-----------------------------------------------------------—-, (12)

г о ( р )

где го (р)= кЬр^ ЬСр2 + ЯбСр +1 ЬСр2 + «2Ср +1) +

+ (ябСр + 1)ьр[ЬСр2 + Я1Ср +1) + Ян^ЬСр2 + ЯбСр +1) .

В этом случае ток, обусловленный ЭДС рабочей обмотки и протекающий через нагрузку, определится зависимостью

( ) кЕ (р)(Яб Ср + 1)(ЬСр 2 + Яб Ср +1)

1 нео (р) =-----------------------------------------------------------------—-. (13)

г о ( р )

Таким образом, по нагрузке в течение полупериода протекают в одном направлении два тока, один из которых Ie (р) обусловлен ЭДС е 1 обмотки ОС,

второй I нео (р) - ЭДС рабочей обмотки.

Результирующий ток нагрузки I н ( р ) определится зависимостью

Iн (р)= Iнео (р)+ ^ (р). (14)

Подставляя в (14) выражения (5) и (13), находим

кЕ (р)(Ср +1)ГЬСр2 + ЯбСр +1']

!н (р )=--------------------------------- +

го (р )

Е (р) кЬСр2 + ЯбСр +1")

+—т-----------;-------------------V----------ч. (15)

кЬр (Ср +1)+ [ кЬСр2 + ЯбСр +1 ( + Ян )

В развернутом виде выражение (15) представляет собой достаточно громоздкую в математическом описании функциональную зависимость. Для решения в таких случаях идут или по пути упрощения, не нарушая при этом физической сущности работы устройства, или по пути введения в анализ структурно-динамических схем [5]. Воспользуемся и тем, и другим.

Представим выражение (15) в виде двух составляющих, т.е.

^ кЕ (р) (ЯбСр +1)( ЬСр2 + ЯбСр +1)

кЬр ^ ЬСр2 + ЯбСр +1)^ ЬСр2 + Я2Ср + 1^ + (ябСр +1) Ьр^ ЬСр2 + Я1Ср +1^ + Ян ^ ЬСр2 + ЯбСр +1^

= Е(р\ (р)

1 + ^пр! (р )• ^0С1 (р) ’

(б Ср +1)

где WПрl (р) = —т-----------------------г - передаточная функция прямой цепи;

Ьр (ьСр 2 + Я 2 Ср +1)

( ) Ьр (ЬСр 2 + Я1Ср +1)+ Ян (ЬСр 2 + Яб Ср +1)

Жос1 ( р ) =------------т----------------т------------- - передаточная

к \ЬСр 2 + Яб Ср +1)

функция обратной связи, которая может быть также представлена в виде двух составляющих, т.е.

, ч Ьр (ЬСр2 + Я1 Ср +1) Ян

^ос1 ( р ) = ~ гЛ-------------------+ — ■ (17)

к \ЬСр 2 + Яб Ср +1) к

А теперь проделаем то же самое для второй составляющей [ Ie (р)] тока в выражении (15), т.е.

( ) Е (р)(кЬСр2 + Яб Ср +1)

1e ( р ) =--------------------------------------------1 \-=

кЬр(Яб Ср +1) + (Ср 2 + Яб Ср + 1ДЬр + Ян )

Е(р)• ^пр2 (р)

. (18) 1 + ^пр2 (р)• ^ос2 (р)

где Жпр 2 (р) = 7----1-----г- - передаточная функция прямой цепи по току Iе (р);

( Ьр + Ян )

кЬр( Яб Ср +1)

W0С 2 (р) — -г---------------т - передаточная функция обратной цепи.

(ЬСр 2 + Яб Ср +1)

Итак, передаточная функция по току нагрузки - в функции ЭДС вторичных обмоток Тр - определяется выражением

Iн(р) ^р1(р) + Wпр 2(р) (19)

— I , (19)

Е(р) 1 + Wпр 1 (р)• Wосl (р) 1 + Wпр2 (р)• Wос2 (р)

которому соответствует структурно-динамическая схема, представленная на рис. 2.

Напомним, к чему следует стремиться. В рассматриваемом случае задача сводится к тому, чтобы доказать, что угол смещения между током нагрузки и ЭДС

вторичных обмоток Тр равен 900 , т.е. в идеале передаточная функция (19) должна иметь вид

тгг=-> <*»

Е (р ) р

Рис. 2. Структурно-динамическая схема трансформатора

где N число, соответствующее коэффициенту передачи Тр.

Сравнивая выражения (19) и (20), можно видеть, что идеала не получилось. Следовательно, необходимо или менять подходы к решению задачи, или продолжить решение и выяснить - имеется ли в этом случае какой-то выигрыш. Последуем последнему совету.

Вернемся к начальным рассуждениям.

В классическом трансформаторе, работающем на активную нагрузку, запасенная в обмотках энергия магнитного поля в каждый полупериод расходуется (рассеивается) в этот же полупериод через нагрузку, в том числе и ее постоянная составляющая намагниченности. В следующий полупериод картина повторяется. В линейном Тр введение конденсаторов С1 и С2 преследует цель за счет их разряда на индуктивности обмоток сохранить постоянную составляющую намагниченности магнитопровода. Это возможно в том случае, когда в течение полупериода величины энергии, запасенной в обмотках Тр и

конденсаторах, будут равны. Причем оптимальный режим обмена энергией будет в том случае, когда они настроены на резонанс по второй гармонике [5], т.е.

1

LC =-------. (21)

4 ш 2

При переходе от изображения по Лапласу (р) к изображению Фурье (p = уш) получим

1 / ч2 1

LC =-------Ош )2 = —. (22)

4 ш 2 4

В этом случае СДС (рис. 2) существенно упрощается и приводится к виду, представленному на рис. 3. Можно пойти по пути дальнейшего упрощения путем введения в схему, в частности, балластных сопротивлений (R) с целью исключения больших скачков тока во вторичных обмотках Тр при коммутации. Естественно, они оказывают влияние на динамику работы трансформатора, но не являются определяющими. Их роль в динамике Тр можно оценить по СДС (рис. 3) с использованием программного обеспечения «SIAM». Для последующих расчетов будем считать, что их величины равны нулю.

В этом случае СДС, изображенная на рис. 3, примет вид, представленный на рис. 4.

Рис. 4. Приближенная СДС

Обе структурно-динамические схемы (рис. 3, 4) легко реализуются при моделировании на ЭВМ с помощью программного обеспечения «SIAM» [5]. Из СДС (рис. 4) находим передаточную функцию по току нагрузки в функции ЭДС

W ( p ) =

1 н ( Р ) E ( Р )

к

4 - к

Г 4 + 3 к > - г — — ^ “

Lp + Rn —- - к + -

1 4 12 3 J

+ -

Lp(4 + 3к ) + Ян (4 - к )

(23)

Переходя от изображения по Лапласу к изображению Фурье, получим

1 н (ую ) = E (ю )

9 к* + 24 к +16

)+(4-к )

(2 1 -к 3 2 )

—Ljro (4 + 3 к ) + Ян 4

8

---2 к

\ 3

[Ljra(4 + 3к) + Ян (4 - к)]

где Iн (ую ), E (ую) - комплексы тока и ЭДС.

Из выражения (24) следует, что максимальное отставание тока в нагрузке от

4

напряжения (от ЭДС обмоток) достигает при значении к = —. При большем

3

значении коэффициента к некоторые звенья, входящие в передаточную функцию (19), переходят из разряда минимально-фазовых в разряд неминимально-фазовых. Этот вопрос заслуживает отдельного рассмотрения. При учете балластных сопротивлений, которые всегда включают в себя омическое сопротивление обмоток Тр, коэффициент передачи к может повыситься.

4

При к = — из выражения (24) находим 3

Iн (/ю )= Е (/ю )

Ь

4,5------/ю +1

Ян

3 Ь/ю

Ь

3-----/ю +1

V Ян

(25)

Переходя от алгебраической формы записи (25) к показательной, имеем

1 н (/ю)= ТЕ(/ю)

45 Ь '2

4,5------ю

Ч Ян ,

+1

Ью.

3 1 '2

3------ю

V Ян у

+1

+ ф 2

4 5 1 Л 2

4,5-------ю

Я„

+1

- /

2+Ф2-Ф1

г „ > 2

Ь

Ь ю.. 3 ю +1

Я н V н ^

(26)

Ь Ь

где ф 1 = агС^4,5---ю; ф 2 = arctg3-----ю.

Ян

Ян

При этом

Ь Ь

3-----ю- 4,5-------ю

ф 3 = агй^ф 2 - агС^ф 1 = агй£-

Ян

Ян

1 +13,5

Ь

-----со

V Ян У

2

2

е

е

L

1,5------to

RH

- arctg--------------H--------- . (27)

Г L °

1 +13,5

-------to

V RH J

Угол ф 3 определяет собой погрешность в отклонении тока нагрузки от

п

ЭДС, т.е. реально смещение тока определяется углом не--------------, а углом

2

С п ^

---Ф 3

2

. Эта ошибка во многом зависит от частоты переменного тока. Для

V2 У

высоких частот она близка к нулю. Например, для экспериментального трансформатора, имеющего параметры: Ь = 15,9235дГГ,

С = 159,235дкк , / = 50Гц

при Ян = 100 Ом, угол ф 3 = 4 ° 10 ;

при Ян = 10 Ом , угол ф 3 = 9 ° 50 ;

при Ян = юЬ = 5 Ом , угол ф 3 = 5 ° 50 .

Последний вариант соответствует оптимальной нагрузке. Если сравнивать полученный результат для ф 3 с возможным углом рассогласования в классическом трансформаторе, где этот угол составляет

45 °, то выигрыш в предложенной схеме будет вполне очевиден.

Таким образом, с учетом всех возможных задержек, обусловленных разрядом конденсаторов, в фазовом состоянии тока по отношению к ЭДС обмоток Тр, в конечном итоге ток в обмотках трансформатора будет вынужден

изменить свою фазу на 180° , иначе говоря, из положительной области перейти в отрицательную. В работу вступит (согласно начальному условию) правая половина моста. Начальными условиями для электрических величин в этом случае будут конечные их значения, которые они получили при изменении процессов в левой половине моста. Но, как уже указано, для правой половины моста начальные условия электрических величин будут нулевыми. Поэтому принцип припасовывания в этом случае реализуется достаточно просто -решения, полученные за полупериоды, суммируются. Или иначе, поскольку мост выполнен по симметричной схеме, то, обеспечив требуемую динамику левой половины, можно быть уверенным, что и правая половина будет работать в том же режиме.

Summary

One of the methods of solving the non-linear problem in electrical engineering is examined in the paper. It is connected with the mathematical model of line transformer, the experimental investigations of which have demonstrated that its dynamic and static characteristics at least two times better than those of classical transformer. State equations of electric and magnetic processes and their solution are given in the paper.

Литература

1. Бесекерский В.А., Попов Е.П. Теория систем автоматического регулирования. - М.: Издательство физико-математической литературы, 1966. -990 с.

2. Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники. Электрические цепи. - М.: Высшая школа, 1974. - 528 с.

3. Данилов И.П., Капаев В.И., Карань А.И., Шаповал И.А. Основы электрооборудования ракетной техники. - М.: МО СССР, 1989. - 664 с.

4. Решение о выдаче патента на полезную модель №2006116763/22 Российская Федерация, МПК И01Р27/00(2006.01)1. Линейный трансформатор / Ермаков И.И., Киселев В.В., Мулюкин К.Н., Попов Ю.И. Заявл. 15.05 2006 г.

5. Ермаков И.И., Киселев В.В., Гильфанов К.Х. Методика синтеза нестационарных электрических линий с распределенными параметрами. -Казань: КГЭУ, 2006. - 168 с.

Поступила 31.10.2006