CC BY
8
УДК 629.5
МЕТОД ПОСТРОЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТНОЙ ОБЛАСТИ РАБОТОСПОСОБНОСТИ СУДОВЫХ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ СРЕДСТВ АВТОМАТИЗАЦИИ НА ОСНОВЕ
ИЗОВАРНОЙ МОДЕЛИ
Г.А. Пюкке (КамчатГТУ)
Рассмотрены теоретические аспекты построения области идентификации параметров компонент судовых САУ в пространстве выходных параметров объекта диагностирования. Изложена методика нахождения законов распределения выходных параметров устройства по известному закону распределения входных величин при детерминированной модели объекта диагностирования.
Theoretical aspects of construction of identification of area parameters of a Component ship’s SAC in the space of target parameters of diagnosing object are investigated. The technique of the laws of distribution of target parameters of the device under the known law of distribution of entrance sizes is stated at the determined model of diagnosing object.
Приведенный в работе [1] метод диагностирования электрических цепей, базирующийся на применении детерминированной аналитической модели, позволяет рассматривать задачи идентификации параметров компонент электрической цепи и задачи определения степени работоспособности объекта диагностирования (ОД). Однако применение детерминированных моделей не позволяет учитывать всей совокупности дестабилизирующих факторов, воздействующих на систему и тестовые сигналы, что сказывается на точности метода и адекватности модели реальным условиям диагностирования.
Особенности схем электрических средств автоматизации (ЭСА), насыщенных компонентами различных типов и характеристик, приводит к появлению неявных и нелинейных уравнений связи входных и выходных параметров. Это усложняет применение чисто аналитических методов расчета и сказывается на точности оценок при идентификации параметров компонент. Высокий уровень корреляционных связей между параметрами компонент, имеющий место, как правило, в сложных электронных схемах, приводит к невозможности раздельной регистрации изменения одного из параметров без учета влияния остальных, что усложняет структуру аналитической модели.
Традиционный подход разрешения проблем диагностирования предполагает выполнение определенных требований, предъявляемых к выходным параметрам системы yi при
идентификации параметров ее компонент, обеспечивающих работоспособность ОД в условиях эксплуатации. Условия работоспособности, как правило, задаются неравенствами в нормальной форме в пространстве параметров компонент xi - ximin > 0; ximax - xi > 0 или в пространстве выходных параметров yj > 0, i = 1, m; j = 1, n. При этом система условий работоспособности в пространстве выходных параметров будет определять гиперповерхности, ограничивающие область работоспособности G. При наличии производственного разброса входных параметров xi (i = 1, m) в пространстве параметров компонент выделяется некоторая область идентификации, которая после воздействия на детерминированную модель, связывающую вектор входных параметров gi с совокупностью выходных параметров K12 [1]
Ki = Fi(gi) K2 = Di(gi) ' Ki = LK
Ki = F2(g2) K2 = D2 (g2) Ki = Li (K2)
......... .................... ..................... (1)
Ki = Fm (gm) K2 = Dm (gm) Ki = Li (K2),
выделяет в области G некоторую подобласть Н, содержащуюся в G, совпадающую с G или пересекающуюся с G (рис. 1). Здесь К^ К2 - коэффициенты передачи выбранных каналов прохождения тестового сигнала ОД; gi, gm - входные параметры ОД. Задача идентификации в этом случае сводится к определению положения области Н в пространстве диагностирования относительно области G. Зависимость положения и формы области Н от вида статистических законов распределения входных параметров может быть положена в основу методики построения
области работоспособности О, если на статистическое условие разброса входных параметров наложить условие дрейфа входных параметров в пределах области работоспособности. В общем случае вероятность попадания величины выходного параметра К/ в область Н вследствие технологического разброса входных параметров gi выражается многократным интегралом [2]:
В1 В2 Вп
Р(А1<К1<В1; А2<К2 < В2; ....; Ап <Кп <Вп) = { { .... { щ(Кь К2, ..., Кп) йК№2 .... dKn, (2)
А1 А2 Ап
где ¥(К1, К2, ..., Кп) - многомерная плотность вероятности;
К} = К^1, g2, ..., gщ); К2 = К2 ^1, g2, ■ ■■, gщ); ■■■; Кп = Кп ^1, g2, ■ ■■, gm) - уравнения связи
входных параметров ОД с выходными;
gl, g2, ■■■, gm - входные параметры ОД;
А1, В1; А2, В2; ...; Ап, Вп - границы изменения выходных параметров.
Однако применение аналитических методов расчета интеграла (2) из-за сложности
нелинейных связей параметров, их корреляционных связей и произвольного характера законов распределения входных параметров затруднено. ЬЬ Вычисление интеграла (2) целесообразно выполнять
— методом статистических испытаний, позволяющем
Рис.1 Положение области идентифишцш разрешить трудности, связанные с наличием
в пространстве выходных параметров
нелинейных и неявных уравнений связи входных и выходных параметров ОД. Использование этой методики оправданно при произвольном характере законов распределения входных параметров и при неограниченном их разбросе.
Согласно описанной в работе [1] модели и при случайном характере входных параметров случайные значения выходных параметров К1 и К2 будут принадлежать соответствующим интервалам (Аг-, Вг), где г = 1, 2, и подчиняться соответствующим законам распределения. Тогда интеграл (2) можно записать так:
В1 В 2
Р(А< К < В1; А2 < К2 < В2) = | | ^(Кь К^КМ2, (3)
А1 А2
где К1 = К1 g2, ..., gm); К2 = К2 g2, ..., gm) - коэффициенты передачи выбранных каналов
диагностирования.
Для нахождения интеграла (3) методом статистических испытаний разыгрывается случайная величина К (/' = 1, 2) на интервале (Аг, В) по закону ¥(К1, К2) и регистрируется количество N реализаций К/, принадлежащих интервалам (А1, В1), (А2, В2). При достаточно большом количестве испытаний М отношение ШМ с некоторой точностью определит величину интеграла (3). Границы интервалов (А1, В1), (А2, В2) вычисляются через детерминированную модель (1) на основе методики, изложенной в работе [1]. Это дает возможность получить информацию о вероятности попадания выходных параметров в заданную область при известной плотности вероятности ¥(К1, К2). Построение области Н в пространстве выходных параметров будет сводиться к статистическому расчету на основе детерминированной модели (1) по всем реализациям всех случайных величин входных параметров gi и построению законов распределения выходных параметров. Методика построения вероятностной области распределения выходных параметров ОД включает в себя первоначальное определение законов распределения входных параметров ф ^■), в общем случае различных, определение с использованием диагностической модели (1) законов распределения выходных параметров и их моделирование на ЭВМ, статистический расчет области Н и построение гистограмм законов распределения выходных параметров и их аппроксимации (рис. 2). Методика статистической обработки данных разброса входных параметров gi и определения на ее основе законов распределения входных параметров общеизвестна и включает построение гистограмм распределения входных параметров и аппроксимацию гистограмм теоретическими законами с использованием критериев согласия. Законы распределения выходных параметров К находятся с использованием функциональной зависимости (1), в общем случае нелинейной, и информации о функции и плотности распределения входных параметров.
Рис. 2. Алгоритм построения области работоспособности выходных параметров
Если функция Р^г) монотонна и дифференцируема на всей области изменения входных параметров gi, то функция распределения О(К) выходного параметра К определяется из соотношения:
Р-1 (Кг)
<
G(K) = Pft < K} = P{n < F-1 (K)} = J f(g)dgu
где Р1(К1) = gi - функция, обратная функции Р^); % - случайная величина выходного параметра; п
- случайная величина входного параметра; /г ^) - плотность распределения случайной величины входного параметра; аг - нижний предел изменения входного параметра.
Соответственно плотность распределения вероятности случайной величины выходного параметра определяется по формуле:
Яг(Кг) = dО(Ki)/dKi = /Р (Кг)) \ (Р1 (К))' |.
Для модели (1) плотность вероятности выходных параметров ОД, выбранных в качестве диагностических признаков, определяется системой:
Qi(Ki) = fi(Fi~1(Ki)) Q2(Ki) = f2(F2~i(Ki))
(Fi~i(Ki))'
(F2~i(Ki))
Qi(K) = fi (Df1 (K2)) | (Df1 (K2)) ’ |
QK = f2(D2~i(K2)) I (D^KJJ'I (4)
2т(К0 = /т(Рт-1(К1)) \ (Рт^К) ' \ 2т(К) = /тРт^К)) \ ^(К)) ' \
После определения законов распределения выходных параметров (4) выполняется моделирование законов распределения на ЭВМ, т. е. разыгрывается случайная величина выходного параметра методом обратных функций на основе последовательности равномерно распределенных в интервале (0, 1) случайных чисел Гг:
Р-1 (Кг)
Гг = | а- (Ki)dKi, Гг = О(К). (5)
аг
После разрешения уравнения (5) относительно Кг величине Гг последовательно присваиваются значения из совокупности случайных чисел, обеспечивающие получение соответствующих реализаций выходных параметров [3]:
Кг = О-1 (Г).
Если заданы границы интервалов (А1, В1), (А2, В2), определенные на основе
детерминированного расчета, то можно вычислить вероятность попадания случайной величины выходного параметра в эти интервалы:
В1 В2
Р(А1 < К1 < В1) = | а(К1^К1 ; Р(А2 < К2 < В2) = | д(К2)с1К2. (6)
Вычисление интегралов (6) выполняется на основе разыгранного массива значений К по законам Qt (К) с помощью метода статистических испытаний. Испытание считается успешным, если выходной параметр принадлежит области (Аг, Вг). При достаточно большом количестве испытаний М отношение N/M (где N - количество успешных испытаний) определяет вероятность
попадания К в интервалы (Аг-, В). Применительно к модели (1) для т варьируемых входных параметров вероятность попадания соответствующих величин К, и К2 в соответствующие интервалы определяется следующей системой соотношений:
Р(а, < К, < в,) = | (К)ёК,; Р(С1 < К2 < й) = | (К2)с1 К2;
а1 с1
Ь2 й2
Р(а2 < К, < в2) = | <¿2 (К,)й К, ; Р(С2 < К2 < й2) = | <¿2 (К2 )й К2, (7)
от ат
Р(ат < К1 < вт) = | ¿т (К,)й К,; Р(Ст < К2 < йт) = | ¿т (К)а К2;
Рис. 3. Покомпонентные области разброса выходных параметров
где ¿(К,), ¿(К2), / = 1, т - покомпонентные плотности распределения вероятности выходных параметров, соответствующие различным законам распределения входных параметров (рис. 3).
Таким образом, в пространстве выходных параметров {К} начальное состояние ОД вследствие технологического разброса параметров будет изображено областью Н (а не точкой), построенной в соответствии с методикой, рассмотренной в работе [1] и на основе модели (1). Необходимо отметить, что наличие
корреляционных связей между входными параметрами усложняет решение задачи идентификации и будет рассмотрено при исследовании дрейфа входных параметров с целью решения основных задач диагностирования.
Область начального состояния ОД(Н) можно градировать по вероятностям попадания Р,, Р2, Р3, ... выходных параметров в заданные пределы в пространстве диагностирования {К,, К2}. Использование соотношений (7) позволяет теоретически вычислить для каждой построенной подобласти вероятности попадания выходных параметров в каждую из зон (рис. 4).
Практически это можно выполнить
описанным способом с помощью метода статистических испытаний. При временном дрейфе первичных параметров область
идентификации Н перемещается в пространстве диагностирования {К,, К2} по траекториям,
соответствующим изменениям параметров
различных компонент ОД (рис. 3). Перемещение области Н относительно области работоспособности О позволяет определить запас работоспособности ОД и идентифицировать неработоспособную компоненту. Диагностический эксперимент сводится к определению величин функций передачи двух каналов прохождения тестового сигнала К, и К2.
Рис. 4. Градация области разброса выходных параметров по вероятностям
Литература
1. Кузнецов С.Е., Пюкке Г.А., Портнягин Н.Н. Диагностирование электрических цепей методом изовар // Изв. вузов. Электротехника. - 1998. - № 1.
2. Шор Я.Б. Статистические методы анализа и контроля качества и надежности. - М.: Советское радио, 1962. -250 с.
3. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика: Учебное пособие для вузов. - М.: Высшая школа, 2001. - 320 с.
