Метод поиска экстремума в условиях помех Текст научной статьи по специальности «Компьютерные и информационные науки»

МАТЕМАТИЧНЕ ТА КОМП'ЮТЕРНЕ МОДЕЛЮВАННЯ

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ И КОМПЬЮТЕРНОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

MATHEMATICAL AND COMPUTER MODELLING

УДК 004.032.2

С. Г. Антощук, А. А. Николенко

МЕТОД ПОИСКА ЭКСТРЕМУМА В УСЛОВИЯХ ПОМЕХ

В статье представлен и математически обоснован метод поиска экстремумов в условиях помех с использованием гиперболического вейвлет-преобразования, что позволяет повысить помехоустойчивость и снизить чувствительность к локальным экстремумам.

ВВЕДЕНИЕ

В практической деятельности часто приходится рассматривать автоматическую систему регулирования, на входе которой действуют одновременно полезный сигнал и случайная составляющая (помеха). Примерами таких систем могут служить автопилот (возмущающие воздействие случайного характера: порывы ветра, изменение других атмосферных факторов, изменение тяги двигателей самолета и т. д.), радиолокационная система сопровождения цели (отраженный от цели сигнал содержит в себе случайные помехи, происходящие от вибраций, поворотов цели, замирания сигнала и т. п.) и множество других [1].

Для таких систем актуальной является задача отыскания такого закона управления, при котором достигается экстремальное значение некоторого функционала качества, что можно свести в конечном итоге к реше-

© Антощук С. Г. , Николенко А. А., 2005

нию задачи нахождения экстремума некоторой функции при наличии помех. Рассмотрим метод отыскания экстремума функции /0хп) на основании наблюдаемых значений /(х1,х2, ...,хп) при наличии аддитивной помехи ^(х1,х2,..., хп):

/(х1,х2,..., хп) = /о(х1,х2,., хп) + ^(х1,х2,.--> хп).

Для решения этой задачи традиционно применяются градиентные и прямые методы поиска экстремума. Следует отметить, что в практических задачах часто трудно или невозможно получить производные в виде аналитических функций, необходимые для градиентных алгоритмов. Вычисление аналитических производных можно заменить вычислением производных по разностным схемам, однако возникающая при этом ошибка, особенно в окрестности экстремума, ограничивает возможности такой аппроксимации. В этом случае применяются прямые методы, в которых направление поиска полностью определяется на основе последовательных вычислений целевой функции. Однако скорость сходимости таких методов, как правило, низкая [1].

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

В статье рассматривается метод поиска экстремума функции при наличии помех с использованием гиперболического вейвлет-преобразования [2]. Известно, что градиент не является единственной функцией, равной нулю в точке оптимума [3]. В частности, таким свойством обладают преобразование Гильберта /(ж) =

1 f £

= п | X дискретное преобразование Гильберта и

—ад

разработанное на его основе гиперболическое вейвлет-преобразование (ГВП), сочетающее в себе преимущества преобразования Гильберта и вейвлет-преобразова-ния [2].

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОБОСНОВАНИЕ МЕТОДА ПОИСКА ЭКСТРЕМУМА С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ВЕЙВЛЕТ-ПРЕОБРАЗОВАНИЯ

ГВП определяется путем свертки [4] НЖГ( =

+ ад

1 Г * (X ~ ЖдЛ

=— I /(ж)¥ I-1ёж, где /(ж) - преобразуемая

J 1 5 у

- ад

(анализируемая) функция; (ж) - двухпарамет-рическая базисная функция, получающаяся из материнского вейвлета у0(ж) в результате масштабирования с масштабным множителем $ е К+ и сдвига с параметром ж0 е К. Получены адаптивные вейвлетные функции на основании материнского вейвлета у0(ж) = 1

= -О (ж), где О (ж)

паж

адаптирующая функция,

удовлетворяющая условиям О(-ж) = О(ж), О(ж) = = 1(ж - е) - 1(ж - у); 1(ж) - единичная функция Хеви-сайда; а> 0 - масштабирующий коэффициент, е, у -некоторые положительные параметры (рис.1а). Дискретное ГВП некоторой дискретной последовательности {/п} определяется как свертка этой последовательности с базисной функцией которая соответствующим образом перенормируется с масштабом $ и сдвигается по пространственной шкале на интервал пАж:

ИШТ( п,э) = ^1 /п У*( ^ П)Аж п = о

Дискретное ГВП функции /(ж) можно рассматривать как дискретную свертку /(ж) с некоторым фильтром, импульсная и амплитудно-частотные характеристики (на некотором масштабе) которого представлены на рис. 1. На самом нижнем уровне (кривая 1) АЧХ стремиться к АЧХ дифференциатора. Такой фильтр имеет самую широкую полосу пропускания, что определяет его низкую помехоустойчивость. С ростом порядка фильтра его ширина пропускания сужается, что увели-

V

- г г X

г.

N

а)

в)

Рисунок 1 - Гиперболическое вейвлет-преобразование: материнский вейвлет ГВП (а); импульсная (б) и амплитудно-частотные (в) характеристики

чивает помехоустойчивость и уменьшает влияние помех на результат преобразования. ГВП, сохраняя особенности преобразования Гильберта, обладает рядом полезных свойств с точки зрения обработки сигналов: имеет высокую, по сравнению с операцией дифференцирования, помехоустойчивость; линейно, следовательно, гауссовский процесс после него остается гаус-совским, математическое ожидание случайного гаус-совского процесса после ПГ становится равным нулю, а дисперсия не изменяется, обладает свойством частотной локализации.

Рассмотрим поиск экстремума функции одной переменной /(ж) с помощью ГВП. Будем считать, что на интервале поиска /(ж) является унимодальной, непрерывной дважды дифференцируемой функцией. Пусть ж* - координата экстремума. При соблюдении упомянутых условий / (ж) можно разложить в ряд Тейлора в 5-окрестности точки ж

/(ж) = /(ж ) + /(ж )(ж - ж ) +

Г (ж ) 2!

* 2

(ж - ж ) + К,

где К - остаточный член ряда.

Учтем необходимое условие существования экстремума в точке ж (т. е. /(ж ) = 0) и ограничимся первыми тремя слагаемыми ряда

/(ж) = /(ж ) +

/"(ж*) 2!

*2

(ж - ж ) .

(1)

Пусть у (ж) - базисная функция, получающаяся в результате сдвига материнского вейвлета Уо(ж) на жо единиц вдоль оси ж при некотором постоянном масштабе 5. Рассмотрим ГВП функции (1) ИШТж (ж) =

44

1607-3274 «Радюелектронжа. 1нформатика. Управлшня» № 2, 2005

= | /(Ь)^х0(х - Ь)йЬ. С учетом области определения

- ад

функции ^о(х) получим

+ад х0 у+х0 НШТХа(х) = | /(£)^Хо(х - £)М = | £-1^+ | х-^

-у+х0

(2)

С учетом (1)

НШТх( х ) =|

-у+х0

-е+*о^ % ,/(х \2

0/( х ) + / \ (Ь - х )

х - Ь

■йЬ+

т+хо/(х") + /х)(Ь - х*)2

-йЬ.

1 х - Ь

е+хо

После интегрирования в итоге получим

НШТХ( х) = [/(х*) + 1-/'(х')(х - х*)2]:

(3)

1п

(х^ Ну - х0)(х - е -х0)

(хн н е - х0)(х - у - х0)

+ 2(х - х )/(х )(е - у)-

-/(х )(е -Т)(х -хо).

(4)

Анализируя выражение (4) замечаем, что при х = х0 НШТх(х0) = 2(хо - х*)/'(х')(е - у). (5)

Следовательно для текущей координаты х, совпадающей с осью симметрии базисной функции (х), * * х0 при х = хо = х имеем НШТх (хо) = 0. Таким образом, значение ГВП исходной функции /(х) равно нулю в точке экстремума. Из равенства (5) можно записать

* НШТх (х0)

х = х0 --*-0- = х0 - р- НШТх(х0) (6)

2/ '(х )(е - у) 0

1

где р = -

2/(х )(е - у)

Равенство (6) можно использовать для итеративного нахождения точки экстремума функции / (х):

с*[к] = х*[к - 1 ] - Р[к]НЖТ(х*[к - 1 ]), (7) где к - номер итерации.

ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНАЯ ПРОВЕРКА

ПРЕДЛОЖЕННОГО МЕТОДА

Проиллюстрируем работу метода поиска экстремумов с использованием гиперболического вейвлет-пре-образования для одномерного случая. Функция представляется в виде /(х) = /0( х) + х).

Для поиска экстремума по алгоритму, записанному в дискретном виде (7) необходимо определить такое х[к], при котором ГВП НЖТ(х[к - 1]) равно нулю с заданной точностью, что обеспечит выполнение равенства |х[ к] - х [ к - 1 ]|<8.

Коэффициент р позволяет регулировать скорость сходимости итерационного процесса и обеспечивает его устойчивость. На характер процесса существенное влияние оказывает масштаб базисной функции ГВП. Проведены исследования устойчивости работы алгоритма и количества требуемых итераций в зависимости от масштаба и коэффициента р (рис. 2). Анализ полученных результатов показывает, что скорость сходимости итерационного процесса растет с увеличением коэффициента Р и масштаба (количество итераций нахождения экстремума уменьшается). Однако существуют ограничения на коэффициент Р для каждого масштаба ГВП / Р^шт < Р < Р^шах.

Верхний предел Ршах определяет устойчивость процесса (при р > Ршах итерационный процесс расходится). Нижний предел РшШ определяется дискретным представлением аргумента исходной функции. На основании приведенных зависимостей можно рекомендовать выбор значений коэффициента р для каждого масштаба ГВП.

Результаты применения предложенного метода поиска экстремумов представлены на рис. 3. При моделировании к исходной функции добавлялась аддитивная гауссовская помеха с дисперсией у2 = 0,1. Как

видим, полученное значение экстремума для функции

*

с помехами х и 300, что совпадает с экстремумом исходной функции.

к 100

50

......

бЗ

--1-- г^--- ............а \

Р ]

50

100

150

Рисунок 2 - Зависимость количества итераций (к) от коэффициента Р на разных масштабах

+ ад

0

X

№ ...........

0,5 ............

О -="=

100 300

i i и

100 300 500

Рисунок 3 - Применение ГВП для нахождения экстремума функции одной переменной

Предложенный метод был использован для нахождения экстремума функции нескольких переменных. ГВП выступает аналогом частной производной и выполняется по каждой координате в отдельности при фиксированных других. Проиллюстрируем последнее на примере поиска максимума функции двух переменных (рис. 4, а)

г = 10 - (ж 1 - 1 )2 - (ж2 - 2)2.

При моделировании к исходной функции добавлялась аддитивная гауссовская помеха с дисперсией ст2 = 0, 1 (рис. 4, б).

Задача поиска экстремума исходной функции решалась методом поиска в пространстве ГВП и градиентным (квазиньютоновским) методом. Оба метода показали близкую скорость сходимости и точность при определении координат экстремума в отсутствии помех. Однако при добавлении аддитивной гауссовской помехи градиентный метод (и аналогичные с использованием производных первого и высших порядков) оказались не работоспособными, в то время как методы поиска в пространстве ГВП показали хорошую работоспособность (рис. 4, г).

Проведено исследование зависимости точности определения экстремума и скорости сходимости от отношения сигнал/помеха. При отношении сигнал/помеха в диапазоне 5-10 погрешность нахождения положения экстремума не превышала 4 % при масштабах ГВП более 32 и при отношении сигнал/помеха более 10 - погрешность нахождения положения экстремума не превышала 2 % при масштабах ГВП не менее 4. Ни один из градиентных методов не достигает таких результатов, поскольку введение в целевую функцию аддитивного гауссовского шума делает градиентные мето-

в) г)

Рисунок 4 - Результаты моделирования: поверхности тестовой функции: исходная (а), с аддитивной гауссовской помехой (отношение сигнал/помеха равно 7)

(б) и траектория движения при работе поискового алгоритма на основе ГВП: для функции исходной (в) и с гауссовской помехой (г)

ды неработоспособными уже при отношениях сигнал/ помеха менее 15 (по мощности). Следовательно, поисковые алгоритмы на базе ГВП значительно менее чувствительны к локальным экстремумам, чем самые устойчивые градиентные многошаговые итерационные алгоритмы. Более того, изменяя масштаб ГВП, можно регулировать эту чувствительность.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Метод поиска в пространстве ГВП показал хорошую работоспособность для поиска экстремумов функции одной или нескольких переменных, особенно при наличии шумов, когда использование градиентных методов невозможно. Сравнение данного метода с градиентными методами показывает преимущество в сходимости разработанного метода при больших масштабах ГВП и близкие результаты при малых масштабах. Кроме того, методы поиска экстремумов функции на базе ГВП менее чувствительны к локальным экстремумам, особенно это ощутимо при больших значениях масштаба ГВП. Предложенный метод может быть рекомендован для широкого круга задач оптимизации.

ПЕРЕЧЕНЬ ССЫЛОК

1. Эйкхофф П. Основы идентификации систем управления. Оценивание параметров и состояния. Перевод с англ. / Пер. под ред. Н. С. Райбмана. - М.: Мир, 1975. - 680 с.

2. Antoshchuk S. G., Krylov V. N. Hyperbolic wavelet domain image processing -// Сучасш проблеми радю-електрошки, телекомушкацш, комп'ютерноТ ¡нженерп. Матер1али м1жнародноТ конференцп. Вид-во нац. ун-ту «Льв1вська пол1техшка». - Льв1в, 2004. - С. 219-220.

46 ISSN 1607-3274 «Радюелектрошка. 1нформатика. Управлшня» № 2, 2005

В. И. Дубровин, Н. А. Миронова, В. А. Конопля: МНОГОКРИТЕРИАЛЬНАЯ ОПТИМИЗАЦИЯ ТЕХНОЛОГИЧЕСКОГО ПРОЦЕССА С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ МЕТОДА АНАЛИЗА ИЕРАРХИЙ

3. Баскаков С. И. Радиотехнические цепи и сигналы. -М.: Высшая школа, 1988. - 448 с.

4. Клих Ю. А., Антощук С. Г., Николенко А. А. Адаптивные базисные функции вейвлетного преобразования // Труды Одес. политехн. ун-та. - Одесса, 2004. -Вып. 2(22). - С. 121-125.

Надшшла 7.02.05 Шсля доробки 26.09.05

У статт1 представлено та математично обгрунто-вано метод пошуку екстремум1в в умовах завад з ви-ко-ристанням глпербол1чного вейвлет-перетворення, що доз-

воляв nideuw,umu 3aeadocmiuKicmb i 3nu3umu nymnueicmb do AOKaAbHux eKcmpeMyMie.

At the article the extremum searching method under hindranced conditions of using hyperbolic wavelet transform is presented and mathematically substantiated, that allowing to increase noise-immunity and reducing sensitivity to local extremums.

УДК 519.816:004.942

В. И. Дубровин, Н. А. Миронова, В. А. Конопля

МНОГОКРИТЕРИАЛЬНАЯ ОПТИМИЗАЦИЯ ТЕХНОЛОГИЧЕСКОГО ПРОЦЕССА С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ МЕТОДА АНАЛИЗА ИЕРАРХИЙ

Проведено исследование метода анализа иерархий. Рассмотрено применение данного метода для задач группового принятия решений. Решена задача многокритериальной оптимизации технологического процесса с использованием метода анализа иерархий.

ВВЕДЕНИЕ

Деятельность руководителя крупной компании связана с необходимостью постоянно принимать решения различной сложности с учетом большого количества экономических, социальных, политических, юридических и моральных факторов [1], что приводит к постановке задачи многокритериальной оптимизации с привлечением экспертов (специалистов в различных областях знаний) или лиц, принимающих решение (ЛПР). Для повышения степени объективности и качества процедуры принятия решений целесообразно учитывать мнения группы экспертов [2-6]. При этом обоснованный вывод можно получить при помощи методов принятия групповых решений.

При использовании в процессе принятия решений субъективной информации, представленной в виде количественных или качественных оценок, возникают условия неопределенности. Причинами возникновения неопределенности являются: неполнота знаний ЛПР о свойствах объектов, недостаточная степень уверенности ЛПР в правильности экспертных оценок, противоречивость знаний, нечеткость представления информации [7]. Поэтому для реализации задачи принятия решений в условиях неопределенности необходимо обеспечивать сравнение факторов, не имеющих количественных характеристик, либо совместно сравнивать количественные и качественные характеристики. В ка© Дубровин В. И. , Миронова Н. А., Конопля В. А., 2005

честве инструмента для решения таких задач могут применяться эвристические методы [1, 8-9], методы на основе экспертных оценок [10], а также метод анализа иерархий (МАИ) [2-6].

МАИ [2] позволяет группе людей взаимодействовать по интересующей их проблеме, модифицировать свои суждения и в результате объединять групповые суждения в соответствии с основным критерием: при проведении попарных сравнений объектов по отношению к некоторой характеристике, или характеристик по отношению к главной цели. Обратные связи обеспечивают ключ к объединению групповых суждений рациональным образом.

МЕТОД АНАЛИЗА ИЕРАРХИЙ

При принятии управленческих решений и прогнозировании возможных результатов ЛПР обычно сталкивается со сложной системой взаимозависимых компонент (ресурсы, желаемые исходы или цели), которую нужно проанализировать. МАИ (Analytic Hierarchy Process), предложенный Т. Л. Саати [2-6], сводит исследование сложных систем к последовательности попарных сравнений их отдельных составляющих. Метод отличается простотой и дает хорошее соответствие интуитивным представлениям решения проблемы. МАИ предусматривает следующие этапы: построение иерархии, формирование матрицы попарных сравнений (МПС), получение вектора приоритетов, оценка степени согласованности МПС, анализ чувствительности альтернатив.

Этап 1. Построение иерархии.

На данном этапе исследователь представляет струк-