Метод планирования формы гиперизбыточного манипулятора с ограниченным диапазоном изменения шарнирных координат Текст научной статьи по специальности «Математика»

4

ЕЮ. Иванов, А.А. Иванков // Сб. науч. тр. СПбГПУ: Формирование технической политики инновационных

наукоемких технологий. -СПб.: Изд-во СПбГПУ, 2004. -С. 346-352.

УДК 531.133.3

А.А. Иванов

МЕТОД ПЛАНИРОВАНИЯ ФОРМЫ ГИПЕРИЗБЫТОЧНОГО МАНИПУЛЯТОРА С ОГРАНИЧЕННЫМ ДИАПАЗОНОМ ИЗМЕНЕНИЯ

ШАРНИРНЫХ КООРДИНАТ

Задача управления движением кинематически гиперизбыточного манипулятора с последовательной структурой связана с необходимостью определения установок обобщенных шарнирных координат и скоростей по заданному движению конечного звена на временном интервале At. Классическая задача управления движением манипулятора с шестью вращательными степенями подвижности основана на решении обратной задачи кинематики и подробно рассмотрена в литературе [1, 2]. Геометрическая обратная задача для пространственного манипулятора сводится к решению системы шести нелинейных уравнений, которая может иметь неединственное решение и точки сингулярности, соответствующие нулям ее якобиана. Решение обратной задачи кинематики (ОЗК) для определения связи задаваемых линейных и угловых скоростей объекта манипуляций с обобщенными скоростями в шарнирах, либо соответственно ускорений, сводится к решению системы линейных уравнений с почти везде невырожденной квадратной матрицей [1]. При наличии ограничений на диапазон изменения шарнирных координат для решения ОЗК даже для классического манипулятора требуется привлечение аппарата квадратичного или нелинейного программирования. Обратная задача кинематики для кинематически избыточного манипулятора в любой из отмеченных постановок сводится к минимизации некоторого критерия качества в неограниченном или ограниченном пространстве переменных состояния.

В настоящей статье предложен метод решения ОЗК с ограничениями на диапазон изменения шарнирных координат, основанный на минимизации квадратичной нормы отклонения линейной и угловой скоростей конечного звена от скоростей, задаваемых пропорционально

рассогласованию векторов положения и ориентации «схвата» и «цели». Метод применен при моделировании кинематики манипулятора из однотипных модулей с шарнирами вращения ограниченной подвижности.

Постановка задачи

Задача определения по заданному шести-компонентному набору и проекций векторов линейной и угловой скорости конечного звена манипулятора Ы-мерного вектора-столбца ¿ обобщенных скоростей в шарнирах гиперизбыточного манипулятора рассмотрена в работах [1, 3] и формализована записью уравнения

и = , (1)

где матрица Якоби J размера (6 х Ы) имеет столбцовый ранг не более чем 6.

Общее решение линейного уравнения (1) с использованием псевдообратной матрицы J+ представляется суммой частного решения <[„ = Уи неоднородного уравнения (1) и общего решения однородного уравнения, содержащего произвольный вектор Х0,

¿ = J+U + (Е - J+ J)X0. (2)

Псевдообратная матрица матрицы J - единственна, может быть определена как

J+ = НтУ^ + еЕ)-^Т = Нт^т + еЕ^1) (3)

и позволяет получить решение системы линейных уравнения (включая несовместные системы уравнений и уравнения с плохо обусловленной матрицей), имеющее минимальную норму [4, 5].

Определение (3) позволяет записать решение уравнения (1) в одной из форм:

<[ = Л,

у, = 1хт ш^((Гт J + вЕ) уе = ГТЦ) (4)

8—>0

или

Ч = J У2,

У 2 = Нта^(Г Г +вЕ) Ув = и). (5)

8 — 0

Следует отметить, что уравнение для регуля-ризирующего решения ув в (4) является уравнением Эйлера для минимума квадратичного функционала

1,(д) = ,(и - ц )Т(и - Ц) + тд, (6)

а уравнение для ув в (5) соответствует функционалу для двойственной (6) задачи нахождения седловой точки функционала:

12 У2 ) = ^Т 4 + УТ (и - J'?) - 1 ВУТ У2 . (7)

Минимизация функционала (6) в условиях ограниченного диапазона изменения координат шарнирных координат с центром в точке 0, задаваемого неравенством

4 - 4,0 ^ 4,'пах ,

(8)

требует решения на каждом промежутке времени Дt задачи квадратичного программирования с линейными ограничениями типа неравенств

\ч, - 4,0 + -^ Ч,,тах. (9)

Решение задачи (6), (9) прямыми методами минимизации требует привлечения итерационных процедур метода опорных решений или методов штрафных функций [6], существенно увеличивающих вычислительную сложность задачи.

Ограничение (8) автоматически выполняется для новых переменных 9,, связанных с зависимостью

Ч. = Ч.,пах/(9, -9,,о), (10)

где / £ [ —1,1] - дважды дифференцируемая монотонная функция, а 9, £ (-да, да). Дифференцируя (10) по независимой переменной t, получаем линейное относительно производных преобразование обобщенных скоростей.

Задача (1) для новой переменной 0 имеет

вид

и = Г9, (ее)

4Г

где I = 1Л, а Л = — diag{ d 0.

х}.

(14)

(15)

1(9) = е(ц - Г9 )Т (и - Г9) Де9т 9, (12)

либо эквивалентной ей задачи (7) для функционала

н (9, У2) = 29Т9 + УТ (и -19) У2. (13)

Уравнения Эйлера для задачи (12) имеют вид

Ч = АУ>

У1 = Шпагв((П + е Е) У1 = Г Ц),

8 — 0

а для задачи (13)

Ч =1У2,

У2 = Нт а^((1 ^ + еЕ)У2 = Ц).

8 — 0

Решение уравнений (14) или (15) является решением обратной задачи кинематики для ше-стикомпонентного вектора и, составленного из проекций векторов линейной и угловой скорости, которые должны быть определены априори.

Квадратичный критерий (12), уравнения экстремали которого при в = 0 совпадают с уравнениями (1), может быть изменен с целью наложения дополнительных требований на решение неопределенной системы уравнений (1). Модифицированный критерий может иметь вид

I (9) = е(U - Г9)т К2 (Ц - Г9) +

ь 2 1 . . . . (16) + 2 9 тП 29 + 2 в(9-9 „ )т(9-9 0).

Здесь добавлены слагаемое взвешенной суммы квадратов переменной 9 с весами, задаваемыми диагональной матрицей П, диагональная матрица весов К и регуляризирующее слагаемое, которое может рассматриваться как норма отклонения 9 от задаваемого набора производных 9 0. При выборе в качестве 9 0 производных на предыдущем временном интервале это слагаемое имеет смысл квадрата нормы приращения скорости. Критерий (16) может быть записан для приращений обобщенных скоростей $ при изменении задаваемой скорости (угловой скорости). Форма критерия (16) без разделения на отдельные квадратичные слагаемые имеет вид

/($) = 1(Ц - )Т(Ц - Ж) +1 $, (17)

Будем отыскивать решение 0 задачи (11) как решение задачи минимизации функционала

где I =

'К1 ^ п

и =

0

- блочные прямоуголь-

ные матрицы размера ((6 + Ы) х Ы).

Таким образом, задача предсказания обобщенных скоростей по изменяемому положению и/или ориентации «схвата» сводится к минимизации критерия вида (17) или определения седло-вой точки критерия вида (13), т. е. решению уравнений (14) или (15).

Метод и алгоритм решения

В работе [2] в рамках реализации распределенной процедуры нахождения обобщенных скоростей гиперизбыточного манипулятора с шарнирами вращения описан алгоритм итерационного решения уравнения (14). Для используемого метода в [2] приведено доказательство сходимости итерационной процедуры. Анализ описанного в работе [2] алгоритма показывает, что предлагаемый метод является классическим методом Зей-деля, применяемым к решению уравнения (4). Сходимость метода Зейделя доказана для случая невырожденной системы линейных уравнений, а скорость сходимости определяется свойствами матрицы системы уравнений и может быть недостаточно быстрой даже при хорошем начальном приближении.

Для решения систем уравнений с симметричными матрицами наиболее устойчивым к ошибкам округления и быстро сходящимся является метод сопряженных градиентов [6] и его модификации. Свойство сходимости метода при точных вычислениях за число циклов, не превосходящее ранг матрицы без учета кратности собственных чисел, позволяет построить надежную процедуру решения сформулированной обратной задачи в форме (14), т. к. ранг обращаемой матрицы в (14) не более шести. Следует отметить, что вычислительная сложность решения системы уравнений в форме (15) при использовании немоди-фицированного критерия (12) - меньше, чем для уравнения (14), т. к. обращаемая матрица имеет порядок шесть. Однако при использовании параметризованного критерия (17) порядок обращаемой матрицы равен (6 + N) и применение системы уравнений становится вычислительно неэффективным.

В соответствии с (14) решение ОЗК определим как lim %в решения системы уравнений

% =Л71В, (JtJ + BE)Y1b = JTU, либо в соответствии с (15)

(18)

% =

(JJT + bE) Y2b = U.

(19)

Известные методы решения некорректных задач в постановке (18) или (19) используют для нахождения регуляризирующего параметра е, удовлетворяющего дополнительным условиям на норму невязки системы уравнений (18) или (19), трудоемкие алгоритмы оценки, требующие нахождения сингулярных чисел матрицы, либо анализа зависимости нормы невязки от регуля-ризирующего параметра. В связи с тем, что при движении манипулятора матрица I изменяется, а априорная оценка на каждом временном шаге чрезмерно усложняет метод решения, нами использован следующий алгоритм нахождения предельного решения.

Решение У6 = У(е) отыскивается в виде интерполяционного полинома Лагранжа

Y(в) = £y(в, )Qt (b), Bk > 0, (20)

k=1

где Y(Bk) = Yk - решение системы уравнений

либо

(JT J + Bk E)Yk = JTU,

(JJ1 +Bk E)Yk = U.

(21)

(22)

Предельное решение У0 находится методом аналитического продолжения в точку е = 0

Yo =£Yk Qk (0).

(23)

Работоспособность описанной процедуры проверена для т = 2,3 на примерах из [4, 5]. Получено совпадение в пределах точности представления результатов в [4, 5].

Кинематическая модель гиперизбыточного манипулятора

Разработанный метод решения использован при моделировании кинематики гиперизбыточного манипулятора, состоящего из звеньев, связанных универсальными двухстепенными ортогональными шарнирами вращения, плоскость пересечения осей которых при нулевых углах перпендикулярна отрезкам, соединяющим центры шарниров.

Функционал (17), порождающий систему уравнений, описывающих кинематику такого манипулятора из N = N /2 одинаковых звеньев,

k=1

имеет вид

I = -2

N.

V -Б-А

V (

+—Р 2

к=1

N.

ю

V

N.

- Б<-к1к

к=1

]=1

( N.

-Б<к1к

ю

(24)

N.

1 1

+2 Б12к<-к2 +1 вБ(9 к-9 к 0)2

■ к=1

к=1

где V, и ю, - скорость и угловая скорость инструмента; /к - орт оси вращения; Бк = 1к х Як, Лк - радиус-вектор положения инструмента относительно шарнира с номером к. В качестве функции /(9) в формуле (10) выбрана функция гиперболического тангенса. Весовые коэффициенты Р и {р1к} позволяют ставить задачу позиционирования «схвата» без ограничения на ориентацию и управлять «инерционностью» системы.

При выполнении движения к цели (§) скорость У1 и угловая скорость ю, концевой точки манипулятора (инструмента (,)) на временном промежутке Д, задаются пропорционально вектору рассогласования положения и ориентации инструмента и цели:

Ц = а(2г - 2,), (25)

где - 2, = {Р* , Ру , Рг , Юх > юу > Юг I а {Рх , Ру , Рг } " проекции вектора линейного рассогласования, {юх, ю , юг} - проекции вектора конечного поворота, сопряженного тензору поворота инструмента до совмещения с целью.

Процедура определения обобщенных скоростей 9- к повторяется каждый раз в начале временного промежутка Д,.

При моделировании перемещения концевого звена новые значения шарнирных координат п+1 определяются из (6) для 9,,п+1 = 9,,п + 9 ,п+1Д,.

При использовании решения ОЗК для управления манипулятором в режиме реального времени новые значения шарнирных координат и/ или скоростей в начале каждого временного интервала, для которого вычисляются обобщенные скорости, задаются как результат отработки расчетных установок шарнирных координат и/или скоростей на предыдущем временном интервале.

Как было отмечено выше, алгоритм решения ОЗК на основе поиска седловой точки сопряженного (24) функционала вида (13) связан с решением системы линейных уравнений шестого порядка только в случае, когда все р1к и 9 к 0 равны

нулю и сопряженный функционал имеет вид

(_ N.

V -Б-А

I = У11 (

2 Т

+Р У 2

N. \ л N.

-Б-Д + 2 Б9 к2 -,=1 ) 2 к=1

(26)

- 2 вУ1Т • У1 -1 вУ2Т • У2.

Метод решения ОЗК, основанный на минимизации (25), позволяет накладывать дополнительные условия на форму манипулятора, однако вычислительно более трудоемок. В настоящей статье рассмотрены результаты моделирования кинематики гиперизбыточного манипулятора при решении уравнений вида (19), построенных для функционала (26).

Результаты моделирования

Для кинематической модели манипулятора, задаваемой уравнениями экстремалей функционала (26) и целевого условия (25), с помощью описанного метода поиска псевдорешения ОЗК проведены расчеты по моделированию кинематики его движения при выполнении различных заданий по перемещению концевого звена.

На рис. 1 и 2 приведены результаты расчета движения концевой точки многозвенных манипуляторов с суммарной длиной 1,2 м и различным числом двухстепенных шарниров с ограничением на поворот ±п/3 (рис. 1) и ±п (рис. 2) из точки с координатами (0; 1,2; 0) в точку с координатами (0,3;-0,9; 0,3) и заданной ориентацией концевого звена параллельно и противоположно оси ординат.

Из рисунков видно, что предлагаемый метод решения ОЗК одинаково применим как к классической задаче шестистепенного манипулятора, так и к задаче с избыточным числом степеней подвижности. Все манипуляторы без шарнирных ограничений (рис. 2) обеспечивают достижение целевой конфигурации «схвата», при этом манипуляторы с избыточностью при выполнении перехода от прямолинейной конфигурации в целевую точку имеют более компактное расположение шарнирных точек. Требование достижения целевой конфигурации приводит к депланации многозвенника.

Наличие ограничений на диапазон угловых перемещений приводит к запиранию 6-степен-

Рис. 1. Последовательные конфигурации манипуляторов с ограничением диапазона вращения в шарнире [-л/3, п/3]

Слева направо 3, 6, 12, 24 звеньев

Рис. 2. Последовательные конфигурации манипуляторов с ограничением диапазона вращения в шарнире [-п, п]

Слева направо, сверху вниз 3, 6, 12, 24 звеньев

Рис. 3. Зависимости углов поворота смежных звеньев

относительно курсовых (-) и тангажных (----) осей

Цифры соответствуют номерам универсальных шарниров

ного манипулятора до достижения целевой точки. Гиперизбыточные манипуляторы реализуют целевую конфигурацию, при этом в некоторых шарнирах 12-степенного манипулятора значения угловых координат выходят на границы допустимого диапазона. На рис. 3 приведены графики зависимостей углов поворота (в радианах) вокруг курсовых и тангажных осей шарниров от номера шага по времени (Д? = 0,04 с) для шестизвенного манипулятора с двенадцатью степенями подвижности. Из графиков видно, что часть шарниров выходят на ограничение п/3 и манипулятор редуцируется.

На рис. 4 приведены также результаты моделирования движения концевой точки 12-звенного манипулятора по сложной пространственной кривой, радиус-вектор которой в декартовой системе координат задается формулами

'2пX^2

' 2п I ^

Sin

V "в у

' 2п г ^

Sin

'в у

т

V Ф у

(cos

2п ?

-1),

(27)

(

-3cos

2п ?

' 2п ? >

Sin

т

V Ф у

' 2п ? >

cos

т

V Ф у

Тв = 7,5 с

где Ь - длина манипулятора, Тф = 12,5.

Графики на рис. 4 позволяют судить о степени повторяемости конфигурации манипулятора при выполнении циклического задания. Из рис. 5 видно, что алгоритм слежения за движущейся точкой, построенной на формуле (25), приводит к отклонению от заданной кривой (тонкая линия на рисунке) на отдельных участках траектории.

Предложенный метод решения ОЗК позволяет моделировать кинематику движения как классического, так и гиперизбыточного манипулятора с ограниченной подвижностью. Получаемое псевдорешение ОЗК дает возможность непротиворечиво описать режимы запирания, возникающие при достижении границ изменения шарнирных координат. Алгоритм эффективен как для избыточных, так и для редуцируемых в процессе моделирования манипуляторов.

Рис. 4. Зависимости декартовых координат шарниров от номера шага

4

Рис. 5. Траектория движения концевой точки и заданная траектория

Оценка быстродействия алгоритма позволяет утверждать о возможности его применения не только для моделирования кинематики, но и в режиме реального времени для задания установок углов и скоростей для управления манипулятором по заданной конфигурации схвата.

Структура алгоритма допускает распределение вычислений между вычислителями ме-хатронных модулей шарниров и использование его в составе встроенного программного обеспечения, позволяющего управлять многозвенным манипулятором из унифицированных модулей.

Статья подготовлена в рамках работ по выполняемому в соответствии с постановлением Правительства РФ № 218 комплексному проекту по договору № 13 G25310026.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Springer Handbook of Robotics [Text] /Siciliano Bruno, Khatib Oussama (Eds.). -Springer, 2008. -LX. -1611 p.

2. Фу, К. Робототехника [Текст] / К. Фу, Р. Гонса-лес, К. Ли; Пер. с англ. -М.: Мир, 1989. -624 с.

3. Turetta, A. Distributed Control Architecture for Self-reconfigurable Manipulators [Text] / A. Turetta, G. Casalino, A. Sorbara //International J. of Robotics Research. -2008. -Vol. 27. -Iss. 3-4. -P.481-504.

4. Hansen, P.C. Regularization Tools: A Matlab package for analysis and solution of discrete ill-posed problems [Text] / P.C. Hansen // Numerical Algorithms. -1994. -№ 6. -P. 1-35.

5. Кирьянов, Д.В. Вычислительная физика [Текст] / Д.В. Кирьянов, Е.Н. Кирьянова. -Полибук Мультимедиа, 2006. -352 с.

6. Гилл, Ф. Практическая оптимизация [Текст] / Ф. Гилл, У. Мюррей, М. Райт; Пер. с англ. -М.: Мир, 1985. -509 с.

УДК 004.043:004.855.5:004.852

Н.О. Кадырова, Л.В. Павлова

ЭФФЕКТИВНАЯ МЕТОДИКА ОБРАБОТКИ МНОГОРАЗМЕРНЫХ ДАННЫХ БОЛЬШОГО ОБъЕМА

Необходимость использования современных эффективных алгоритмов обработки данных обусловлена быстрым ростом объемов корпоративных хранилищ данных, размерность которых может быть сколь угодно большой.

Методы, способные находить скрытые нетривиальные закономерности в больших объемах данных большой размерности, относятся к технологии, названной интеллектуальным анализом данных (ИАД, англ. data mining) [1]. Различные сочетания методов ИАД позволяют решать многие реальные бизнес-задачи.

Выделяют следующие стандартные типы закономерностей, выявляемые методами интеллектуального анализа данных: ассоциацию; последовательность; классификацию; кластеризацию и прогнозирование [1].

Выведенные из статистических данных закономерности и правила используют для описания существующих отношений, принятия решений и прогнозирования их последствий.

Классические методы восстановления зависимостей по эмпирическим данным можно применять лишь в случае небольшой размерности дан-