CC BY
43
УДК 521.52.17
МЕТОД ПАРАЛЛЕЛЬНОГО СИМПЛЕКТИЧЕСКОГО ИНТЕГРИРОВАНИЯ УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ МАЛЫХ ТЕЛ СОЛНЕЧНОЙ СИСТЕМЫ
Е.А. Чегодаева
В статье предложен новый метод параллельного симплектического интегрирования уравнений движения для малых тел Солнечной системы, позволяющий использовать для решения небесно-механических задач кластеры и суперкомпьютеры.
Задачи, связанные с решением задачи //тел, - это сложные математические задачи, требующие применения эффективных численных методов и огромных компьютерных мощностей. Начиная со статьи Висдома и Холмана [4], симплектические методы стали популярным инструментом решения таких задач. Симплектические интеграторы являются наиболее быстрыми среди интеграторов N тел, а также имеют достаточно большую точность, что делает их подходящими для широкого спектра проблем динамической астрономии. Для наиболее эффективного использования симплектических интеграторов в статье предложен метод распараллеливания интегрирования, позволяющий производить вычисления на кластерах и суперкомпьютерах.
Симплектическое интегрирование проводится отдельно для планет и отдельно для частиц. Запишем гамильтониан для системы N тел в инерциальной системе отсчета
£ р2 £ щт,
т.р1)=Т.я—в1.I ргЧ-;, (1)
/=о I /=о ^¡+119« У] I
где <7; - обобщенные координаты, р1 - обобщенные импульсы, от, -масса / -го тела, / = 0 соответствует Солнцу. Для планет будем использовать координаты Якоби. Обозначим координаты
I
Якоби штрихом, первая координата Якоби х0 - центр масс. Тогда
(2)
где X, определяет местоположение центра масс / тел
V/ _/'=0
17/ = 1>у
J-0
Тогда (1) перепишем в виде
Я = Я,
kepi
-я
inter’
где
Я,
kepi
п-1
■S
1=1
( ~'2 Pi
к2ші
GrtijinQ
(3)
(4)
(5)
/і—і
Winter =YjGmim*
/=1
1
_ ^ GntfTrij 0 <i<j
Гі}
(6)
1_
З Г‘0у
Интегрирование планет происходит с постоянным шагом по времени по схеме интегратора второго порядка ^(г), и для каждой частицы проводится дополнительное вычисление координат планет (Чегодаева [3]).Дпя решения задач связанных с кометами, астероидами и другими малыми телами Солнечной системы более удобен интегратор с переменным временным шагом Емельяненко [1].
150
Вестник ЮУрГУ, № 7, 2006
Чегодаева Е.А.
Метод параллельного симплектического интегрирования уравнений движения малых тел Солнечной системы
Саха, Стадель и Тремэйн [2] показали, что параллельный алгоритм основанный на распараллеливании уравнений движении дает очень небольшую выгоду из-за больших затрат на обмене данными между потоками. Поэтому в данном методе использовалась простая, но эффективная схема, представленная на рисунке. Поскольку вычисления проводятся отдельно для планет и отдельно для частиц, то удобно разделить программу на N+1 процессов (потоков). Нулевой процесс занят расчетом планет и рассылкой данных между остальными N процессами, которые заняты более затратными вычислениями уравнений движения частиц. Такая схема распараллеливания наиболее эффективна.
Схема занятости процессов
Заключение. На основе данного метода написана программа на Fortran с использованием MPI. Проведено тестирование на 52-х процессорном суперкомпьютере ЮУрГУ «Infinity». Данный метод позволит решать множество задач небесной механики и динамической астрономии.
Данная работа была поддержана грантами РФФИ 04-02-96042 и при финансовой поддержке Правительства Челябинской области.
Литература
1. Emel’yanenko V. An explicit symplectic integrator for cometaiy orbits // Celestial Mechanics and Dynamical Astronomy. - 2001. - V.74. - P. 287-295.
2. Saha P., Stadel J., Tremaine S. A parallel integration metod for solar system dynamics // The Astronomical Journal. - V.l 19. - P. 409-415.
3. Чегодаева E.A. Метод симплектического интегрирования уравнений движения для малых тел Солнечной системы // Вестник ЮУрГУ, Серия «Математика, физика, химия». - 2005. -Вып. 5.-С. 49-55.
4. Wisdom J., Holman М. Symplectic maps for the N-body problem // The Astronomical Journal. - 1991.-P. 1528-1538.
Поступила в редакцию 30 сентября 2006 г.
Серия «Математика, физика, химия», выпуск 7
151
