CC BY
10
АСТРОНОМИЯ
УДК УДК 521.13
ИЗОТРОПНЫЕ И ГАРМОНИЧЕСКИЕ КООРДИНАТНЫЕ УСЛОВИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ-ВРЕМЕНИ СОЛНЕЧНОЙ СИСТЕМЫ
В. В. Чазов, И. А. Герасимов, О. Д. Соловьева
(.ГАИШ) E-mail: [email protected]
Современные численные теории движения планет Солнечной системы построены с использованием изотропных координатных условий. Международный астрономический союз в своих резолюциях о системах отсчета пространства-времени рекомендует использовать гармонические координатные условия. В статье представлен алгоритм, связывающий оба подхода. Алгоритм основан на решении дифференциальных уравнений, полученных с помощью формулы тензорного преобразования координат.
Пространство-время определяется значениями 10 компонентов метрического тензора дар, каждая из компонентов является функцией координатного времени и трех пространственных координат, индексы а и /3 принимают значения 0,1,2,3. Квадрат интервала имеет вид йт2 = дар Лха , по повторяющимся индексам выполняется суммирование, х° = сЬ, х1 = х, х2 = у, х3 = г, с — скорость света, £ — координатное время.
Метрические коэффициенты дар должны быть найдены в результате решения уравнений поля [1]. Задача имеет малый параметр — отношение скорости пробной частицы к скорости света. Отношение потенциала взаимодействия пробных частиц к квадрату скорости света пропорционально второй степени малого параметра. Решение уравнений поля в постньютоновском приближении со всей необходимой точностью соответствует достаточно медленным движениям небесных тел Солнечной системы и относительно небольшим силам их взаимного притяжения.
Десять компонентов симметричного метрического тензора связаны между собой четырьмя произвольными соотношениями, так называемыми координатными условиями.
Современная теория движения планет, Луны и Солнца [2], построенная в барицентрической системе отсчета, получена численным интегрированием релятивистских уравнений движения, записанных в постньютоновском приближении с помощью изотропных координатных условий [3].
Международный астрономический союз, принимая во внимание факт, что многие работы по теории относительности выполнены при использовании «гармонических» координат, оказавшихся полезными и более простыми для многих типов приложений [4], рекомендует выбор гармонических координатных условий [5].
В настоящей работе показано, как учесть разницу
между применяемыми изотропными и рекомендуемыми гармоническими координатными условиями.
Введем обозначения: / — гравитационная постоянная; то — масса Солнца; тк (к > 0) — массы планет; г — барицентрический вектор положения произвольной точки в пространстве; гк — барицентрический вектор положения объекта с номером к; vk — барицентрический вектор скорости объекта с номером к; г;| — квадрат модуля вектора скорости; II — потенциал в произвольной точке пространства, создаваемый системой частиц, взаимодействующих по закону Ньютона; 17'к — потенциал в точке расположения объекта с номером к, создаваемый остальными частицами, взаимодействующими по закону Ньютона; Ш — скалярная функция; V — векторная функция с компонентами Уг,
Координатные условия гласят:
dU
А dt 4—
at
V • V = 0 — изотропный случай,
V • V = 0 — гармонический случай.
Изотропная форма представления метрики пространства-времени N + 1 взаимодействующих частиц предполагает, что
U =
и'к =
N
ij>.
к=О 1
N
fmk
rk
fm
W =
1=0, 1фк fmk
N
ij>.
fc=0 1 1 N
'rk|
U'k
V=2-|r
k=0 1
fmk
i'k
7vk •
((r-rk)-vk)
rk
•Гк
rk
Метрика, полученная под гармоническими координатными условиями, отличается от изотропной в вы-
ражениях для дополнительных потенциалов
N
к=О
гк
2^1
1
г-гк)х
N
1=0, N
Г1 — гк |
:(гк-гО
1 ((г ^гк) • Ук)2
2 |г^гк|2
к=О
гк
^к-
Запишем квадрат интервала
йт2 = с2даасИ2 + 2сдог Л е?жг Н ФШ^ж1)2
где
2И2
- +
с-
3\2
2^7
200 = +1 - —
) + 033 (<*®)
2РГ
с4 с4
Ргг — -I о !
С
¿ = 1,2,3.
Потенциал и пропорционален V2. Выражение Ш/с4 имеет порядок у4/с4, а У/с3 пропорционально у3/с3. Формулы для метрических коэффициентов д^ совпадают для обоих координатных условий. Отличие в коэффициенте доо возникает только в четвертом порядке, а в до« — в третьем порядке относительно у/с. Из этого следует, что отличия в координатах ж1, ж2, ж3 будут порядка у2/с2, а отличия в кооорди-натном времени смогут проявиться на уровне у4/с4.
С помощью тензорного преобразования
9а/з(
„0 л<хз) =
дха дх&
Ж" /у»х гг* > Ои > Ои
дхП1 дх"
V
/ /0 ,1 /2 ,3ч (Ж , X , X ,Х }
выведем формулы связи между координатами х'
/0
ж'2, ж'3, удовлетворяющими изотропным коор-
0 /0 ж = ж
1 /1
ж = ж
2 /2 ж = ж
ж3 = ж'3
динатным условиям, и гармоническими координатах 0/ /0 ,1 ,2 ,3ч
дх (х , ж , ж , ж ),
С- 1/ ,0 ,1 ,2 ,3ч
дх (ж ,ж ,ж ,ж ),
х 2/ ,0 ,1 ,2 ,3ч
дх (х ,х ,х ,х ),
х 3/ /0 ,1 ,2 ,3ч
дх (х , ж , ж , ж ),
причем вариация ¿ж°(ж'°, ж'1, ж'2, ж'3) имеет четвертый порядок, а вариация ¿жг(ж'°, ж'1, ж'2, ж'3) — второй порядок относительно отношения у/с.
Подставим соотношения для координат в формулу преобразования, выполним разложение правой и левой частей равенства в ряд Тейлора и приравняем величины одинакового порядка малости. В результате получим следующие дифференциальные соотношения
86х{ дх'°
= (у>(х>)^Ъ(х>))
дбх{
дх13 дёх°
-т=0,
1 ди(х') дх,{
■ 8х
1 Ю'
дёх°
дхп
- =0.
Зависимость функций 5х° и 5хг от координат исчезает, а интегрирование по переменной ж'0 приводит к определенным интегралам
Г
ъ
_ ^ N
дх'г К V
Выражения, стоящие под знаком интеграла, суть известные функции координат и времени, вычисляются на основе численной теории движения Солнца, Луны и планет [2].
Существует два способа выполнения расчетов. В первом фиксирована точка с координатами ж, у, г, и поправки на каждый следующий момент времени вычисляются именно для этой точки. Второй способ состоит в вычислении вариаций вдоль
траектории движения небесного тела или космического аппарата.
Расчеты показали, что значения вариаций очень малы. Для пространственн-временной траектории Земли, например, они не превосходят 3 м на интервале 100 лет. Рисунок иллюстрирует результаты вычислений. Начальная точка совпадает с эпохой 2000.0, январь, 1.5.
8х, м
0
Общий вывод состоит в следующей рекомендации. В прикладных задачах достаточно записать релятивистские уравнения движения пробной частицы на основе «гармонических» координатных условий, а при вычислении возмущающих сил — использовать «изотропные» координаты Солнца, Луны и планет.
Литература
1. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теория поля. М., 1973.
2. Standish Е.М.., Newhall Х.Х., Williams J.G., Falkner W.F.
U JPL Planetary and Lunar Ephemeris, DE405/LE405 / JPL Inter office Memorandum. 1998. N 312.F-98-048. P. 1.
3. Seidelmann P.K. Explanatory supplement to the astronomical almanac. Sausalito, California, 1992.
4. Копейкин CM. 11 Астрон. ж. 1986. 62, № 5. С. 889.
5. Resolutions of the XXIVth General Assembly / Internat. Astron. Union, Information bulletin. 2001. 88. P. 28.
Поступила в редакцию 25.02.05
