Метод отклонений для многокритериальных задач Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.81

А. Л. Гольдштейн

Пермский государственный технический университет

МЕТОД ОТКЛОНЕНИЙ ДЛЯ МНОГОКРИТЕРИАЛЬНЫХ ЗАДАЧ

Предлагается подход к решению многокритериальной задачи математического программирования, концептуально близкий к методу минимаксной свертки и методу идеальной точки.

В нем в качестве обобщенного критерия используется относительное отклонение от идеальной точки. Приводится пример, иллюстрирующий данный подход.

В задаче многокритериального математического программирования известны модель, описывающая множество допустимых решений А и набор целевых функций Fl{K), г = 1...т, отражающих зависимости частных критериев от искомых решений X. Для решения таких задач предложено много методов, основанных на различных подходах [1-4]. Это метод функции полезности, методы построения обобщенного критерия (свертки, главного критерия, идеальной точки, метрик Чебышева и т.п.), лексикографический подход, целевое программирование, методы построения множества Парето, широкий спектр диалоговых методов.

На практике часто обращаются к методам свертки (линейной или максиминной) и методу идеальной точки как наиболее простым и доступным. На наш взгляд, объединение идей этих методов позволяет построить новый метод, более привлекательный с практической точки зрения. В методе максиминной свертки в качестве обобщенного критерия принимается частный критерий с наименьшим значением среди всех критериев, и он максимизируется. В методе идеальной точки обобщенным критерием является расстояние от идеальной точки, в которой все частные критерии имеют оптимальные значения, до множества достижимости. Для измерения расстояния могут использоваться различные метрики, а решение задачи заключается в минимизации данного расстояния. При необходимости в обобщенные критерии могут быть введены весовые коэффициенты.

В отличие от этих подходов нами предлагается использовать в качестве обобщенного критерия относительное отклонение от идеальной точки (в долевом или процентном измерении). Такой критерий независимо от вида модели является по определению линейным.

В предположении строгой положительности всех критериев Fi(X) на допустимом множестве введем относительные частные критерии:

ДХ)= ^(Х)/ Fi(X),

*

где Fi(X) - оптимальное значение ¿-го критерия. Очевидно, что

*

/¿(X )=1 для всех ¿. Тогда относительное отклонение от оптимального значения для максимизируемых критериев ограничим величиной А в виде критериального неравенства

1 - /¿(X) < А,

а для минимизируемых критериев - в виде неравенства

/¿(X) - 1< А.

В итоге многокритериальная задача математического программирования сводится к задаче с одним обобщенным критерием:

А^шт

/¿(X) + А > 1, если Fi(X) ^шах;

/¿(X) - А < 1, если Fi(X) ^шт;

XeD.

Если желательно придать разную значимость отклонениям по частным критериям, то в модель вводятся весовые коэффициенты а

А^шт

/(X) + а А > 1, если Fi(X) ^шах;

/(X) - а А < 1, если Fi(X) ^шт;

Еаг=1;

XeD.

При этом для увеличения значимости критерия следует уменьшать значение соответствующего поэтому коэффициенты а можно трактовать как коэффициенты антизначимости. Величина отклонений по критериям составит аА. Изменение а влечет за собой изменение решения. Очевидно, что если сформулированная задача имеет одно

решение, то оно будет эффективным решением исходной многокритериальной задачи.

На практике удобнее использовать отклонения в процентах. Чтобы перейти к процентам, достаточно в правую часть выражения для /(X) ввести множитель 100, а в критериальных неравенствах заменить 1 на 100.

В качестве примера рассмотрим линейную двухкритериальную задачу:

Х1=9х1+20х2^шах;

Х2=5х1+2х2^ш1п;

9х1+7х2 <126;

-5х1+3х2 <15;

-7х1+1 1х2 <77;

-х1+8х2 >16; х1+х2 >7;

^Х/>.

Допустимое множество задачи показано на рис. 1, а множество достижимости О в критериальном пространстве - на рис. 2.

Рис. 2. Множество достижимости

* *

Оптимальные значения критериев L1 =264,347, L2 =16,25 достигаются в точках C и A соответственно. Решение по обоим критериям одновременно ищем по предложенному подходу, согласно которому получаем модель, представляемую в пакете Lindo в следующем виде:

min y St

3.4046x1 + 7.565 9x2+y>10 0

30.76 9x1+12.3077x2-y<100

9x1+7x2<126

-5x1+3x2<15

- 7x1 + 11x2<77

-x1+8x2>16

x1+x2>7

L1-9x1-20x2=0

L2- 5x1-2x2 = 0

end,

где y- отклонение в процентах. В результате решения имеем:

OBJECTIVE FUNCTION VALUE

1) 38.22319

VARIABLE VALUE REDUCED COST

Y 38.223194 0 .000000

X1 1.495358 0 .000000

X2 7.492263 0.000000

L1 163 .303482 0 .000000

L2 22.461315 0 .000000

ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES

2) 0.000000 -0.762031

3) 0.000000 0.237969

4) 60.095936 0.000000

5) 0.000000 0 . 945532

6) 5 . 052611 0 .000000

7) 42 .442745 0 .000000

8) 1 . 987621 0.000000

9) 0.000000 0 .000000

10) 0.000000 0 .000000

На рисунках соответствующая точка обозначена цифрой 1. Как видно, получено эффективное решение, при этом оба целевые ограничения выполнены как равенства, а отклонение по обоим критериям одинаково и равно 38,2 %. Решение не изменится, если ввести любые равные значения аг-. Влияние аг- на результат показано в строках 1-7 нижеследующей таблицы.

Влияние аг- на эффективные решения

№ а1 а2 Ь1 ¿2 Х1 Х2 У а1у ату Точка нарис.

1 0,1 0,9 224,4 38,4 3,88 9,47 151,2 15,1 136

2 0,2 0,8 201,4 31,73 2,83 8,8 119 23,8 95,2

3 0,3 0,7 186,5 27,4 2,14 8,36 98,2 29,5 68,7 3

4 0,5 0,5 163,3 22,5 1,495 7,49 76,4 38,2 38,2 1

5 0,7 0,3 147,4 19,3 1,12 6,87 63,2 44,2 19 2

6 0,8 0,2 141,4 18,14 0,98 6,63 58,2 46,5 11,7

7 0,9 0,1 136,2 17,13 0,855 6,43 53,9 48,6 5,3

8 - - 143,5 18,6 1,03 6,71 - - -

В предпоследних двух столбцах представлены отклонения в %, сумма которых, естественно, равна у. Из таблицы хорошо виден характер изменения критериев и их отклонений от оптимальных значений в зависимости от значений аг-. Нетрудно понять, что данный метод принципиально позволяет получить все эффективные решения задачи. Отметим, что во всех исследованных точках критериальные ограничения выполняются как равенства. Если к этой задаче применить метод линейной свертки, то мы не получим эффективные решения, лежащие на сторонах АВ и ВС (исключая сами вершины), ни при каких значениях весов критериев.

При обращении к методу идеальной точки без весов с использованием евклидовой метрики применительно к расстоянию в относи-

тельных величинах критериев (%) приходим к задаче квадратичного программирования (КП) с критерием

(3,4046xi+7,5659 x2-100)2+(30,769xi+12,3077 X2-100)2^min.

Преобразованная для Lindo модель задачи КП имеет вид min x1+x2+u1+u2+u3+u4+u5

1916.645x1+808.909x2+9u1-5u2-7u3-u4+u5>6834.72 80 8.90 9x1+417.44 5x2+7u1+3u2+11u3-u4-8u5>3 974.72 9x1+7x2<126 -5x1+3x2<15 -7x1+11x2<77 x1+x2 >7 -x1+8x2>16 end QCP 4,

а результаты решения приведены в 8-й строке таблицы. На рисунках это решение располагается между точками А и 2, оно значительно отличается от решения, полученного предложенным методом без весов. Несмотря на отсутствие весов, метод идеальной точки привел к решению, на которое основное влияние оказал второй критерий.

По нашему мнению, предложенный метод отклонений представляется более удобным и гибким инструментом решения многокритериальных задач, по крайней мере, в сравнении с методами свертки и идеальной точки. Его практичность возрастает при решении многокритериальных линейных задач.

Библиографичекий список

1. Фишберн П.С. Теория полезности для принятия решений/ под. ред. Н.Н. Воробьева. - М.: Наука, 1978.

2. Подиновский В.В., Ногин В.Д. Парето-оптимальные решения многокритериальных задач. - М.: Наука, 1982.

3. Кини Р.Л., Райфа X. Принятие решений при многих критериях: предпочтения и замещения. - М.: Радио и связь, 1981.

4. Ногин В.Д. Принятие решений в многокритериальной среде.

- М.: Физматлит, 2002.

Получено 27.09.2010