Метод отказоустойчивого управления нелинейными динамическими системами: логико-динамический подход Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 681.51

МЕТОД ОТКАЗОУСТОЙЧИВОГО УПРАВЛЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫМИ ДИНАМИЧЕСКИМИ СИСТЕМАМИ: ЛОГИКО-ДИНАМИЧЕСКИЙ ПОДХОД1

А.Е. Шумский, А.Н. Жирабок, Е.Ю. Бобко

На основе логико-динамического подхода предложен метод решения задачи управления нелинейными динамическими системами с дефектами.

Ключевые слова: нелинейная динамическая система, дефект, отказоустойчивое управление, логико-динамический подход.

ВВЕДЕНИЕ И ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

К надежности и безопасности технических систем ответственного назначения предъявляются жесткие требования, что приводит к необходимости разработки комплекса мер по обеспечению их отказоустойчивости. Существующие подходы к обеспечению отказоустойчивости предполагают резервирование либо формирование специального управления, которое позволяет сохранять важнейшие характеристики системы при наличии в ней дефектов (возможно, при ухудшении второстепенных характеристик). Последний подход принято называть аккомодацией к дефектам [1].

Различают пассивный и активный подходы к решению задачи аккомодации [1]. Пассивный подход предполагает, что закон управления изначально разработан так, что обеспечивает адаптацию к параметрическим возмущениям, вызываемым дефектами. Возможности пассивного подхода ограничиваются так называемыми «малыми» дефектами. В основе активного подхода лежит формирование нового управления, позволяющего в той или иной степени устранить влияние дефектов на систему. Активный подход предоставляет больше возможностей, однако его реализация требует, как минимум, предварительного обнаружения дефектов. Более того, многие существующие методы, разработанные в рамках активного подхода, предполагают предварительное оценивание размера дефекта (что требует дополнительных временных и вычис-

1 Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ.

лительных затрат), после чего задача аккомодации может быть решена на основе методов оптимального управления [2], Н^-оптимизации [3], слежения за эталонной моделью [4] и адаптивного управления [5].

Далее решение задачи аккомодации связывается с формированием управления, при котором обеспечивается полная развязка от воздействий, вызываемых дефектами. Такой метод предпочтителен в тех случаях, когда оценивание размера дефектов по тем или иным причинам не представляется возможным или нецелесообразно; его применение позволяет сократить временные затраты на формирование нового управления и, как следствие, повысить эффективность аккомодации.

Подобный метод был также рассмотрен в работе [6], где решение проблемы аккомодации для нелинейных систем с гладкими функциями было получено на основе алгебры функций и дифференциальной геометрии. В настоящей работе для решения этой проблемы применен логико-динамический подход [7—9]. Его особенность состоит в том, что он позволяет работать с недифференцируемыми нелинейностями. Подход не гарантирует получения оптимального решения задачи в смысле размерности получаемых систем, но он оперирует методами линейной алгебры, что существенно упрощает решение задачи. Кроме того, подход применим к системам с линейной функцией выхода и динамикой, приводимой к виду, описываемому следующими уравнениями:

X (?) = Fx(t) + Си(?) + Сф(Лх(?), и(?)) + ХЭ(?),

у(?) = Нх(?). (1)

Здесь х(?) е Я ”, и(?) е Ят, у(?) е Я1 — векторы состояния, управления и выхода; F, С, Н и Ь — известные матрицы соответствующих размеров; Аф1(Л1х(?), и(?))л

ф(Ах(ґ), м(ґ)) =

— векторная фун-

^Фг(Лг х( ?), и( ?))У кция, фг — нелинейная (возможно, недифференцируемая) функция; Лг — матрица-строка, 1 < / < г; С — матрица размера п х г: если в правую часть уравнения для /-й компоненты вектора состояния исходной системы входит нелинейность ф/.(Л/х(?), и(?)), то С(/, у) ^ 0, в противном случае С(/, у) = 0; 9(?) е Яг — вектор, описывающий дефекты: при отсутствии дефектов 9(?) = 0, при их возникновении 9(?) становится неизвестной функцией времени. Будем также обозначать систему (1) без нелинейности ф(Лх(?), и(?)) тройкой £ = ^, С, Н).

Предполагается, что задача обнаружения дефектов решается известными методами, например, описанными в работах [1, 8, 9]. Поскольку функция времени 9(?) неизвестна, решение задачи управления на основе модели (1) при наличии в системе дефектов невозможно. Для преодоления этой трудности предлагается формировать вектор управления и(?) в виде

«(0 = &СК0, Хо(0, «*(0)

(2)

для некоторой функции £, где и*(?) е Ят — новый

вектор управления, х0(?) е Я5, 5 < п, — вектор состояния вспомогательной системы £0, подлежащей определению и описываемой уравнением

Хо (0 = Лх0(0 + С0и(?) + /0у(0 +

+ Соф(АоХо(ґ), У(0, и(1)).

(3)

Модель (3) не зависит от неизвестного вектора 9(?) и может быть использована для построения наблюдателя, оценивающего некоторую линейную функцию от вектора состояния исходной системы при наличии в ней дефектов; эта функция определяется далее.

По аналогии с работой [6] предполагается, что модель, полученная подстановкой уравнения (2) в первое из уравнений (1), может быть преобразована к системе £*, описываемой в общем случае уравнением

х* (?) = F*x*(í) + С*и*(?) + С*ф(Л*х*(?), и(?)) (4)

с вектором состояния х*(?) е Яр, р < 5. Если дефект возник и обнаружен, а управление (2) существует,

Рис. 1. Схема управления системой

то проблема управления исходной системой решается на основе модели (4), которая не содержит неизвестный вектор 9(?), для чего находится требуемое управление и*(?) и затем по формуле (2) определяется управление и(?), подаваемое на систему с дефектом. В результате описанных действий возникает эффект аккомодации к дефектам. Описанная схема управления представлена на рис. 1.

Отметим, что использование управления (2) предполагает движение системы (1) только в некотором подпространстве ее пространства состояний, которое соответствует пространству состояний системы (4). Отсюда следует, что цель управления достигается соответствующим выбором траектории в этом подпространстве. Необходимость существования соответствующей траектории (или необходимость корректировки цели управления для нахождения такой траектории) ограничивает область приложения рассматриваемого подхода.

Задача, решаемая в настоящей работе, состоит в определении условий существования закона управления (2) и всех матриц, описывающих системы (3) и (4), на основе логико-динамического подхода, описанного в работах [7—9]. Для удобства дальнейшего изложения приведем его краткое описание.

1. ЛОГИКО-ДИНАМИЧЕСКИЙ ПОДХОД

Логико-динамический подход предполагает выполнение следующих трех шагов [7—9].

1. Замена нелинейной системы (1) так называемой логико-динамической (ЛД) системой, содержащей несколько линейных подсистем и логических условий определенного вида.

2. Решение задачи для ЛД системы и получение ЛД формы системы (3).

3. Преобразование ЛД формы в нелинейную систему.

Для иллюстрации подхода рассмотрим простой

случай с единственной нелинейностью вида Сф(Ах(г), и(г)) = Gм(г)sign(Ax(г)) для некоторой матрицы О и матрицы-строки А.

На первом шаге исходная система заменяется ЛД системой, которая состоит из трех линейных подсистем

I = (Т, о — о, н), е2 = (Т, о, н), е3 = (Т, о + о, н)

и трех логических условий Ах(ґ) < 0, Ах(ґ) = 0, Ах(ґ) > 0. Если выполняется условие Ах(ґ) < 0, то (при отсутствии дефектов) модель (1) принимает вид Е1: і; (ґ) = Тх^) + + (О — О ’)м(ґ), если Ах(ґ) = 0, то вид і2: і (ґ) = Тх^) + + Ом(ґ), если Ах(ґ) > 0, то вид Е3: і; (ґ) = Тх(ґ) + (О + + О ’)м(ґ). Важно, что все три модели содержат одинаковую матрицу Т. Будем называть і2 линейной частью системы (1).

На втором шаге строится ЛД форма системы (3). Предполагается, что ее структура аналогична ЛД структуре исходной системы, т. е. существуют три подсистемы Е01, і02, Е03 и матрица-строка А0 такие, что выполняется следующее: если А0г < 0, то система (3) принимает вид і01: і о (ґ) = Т0і0(ґ) + (О0 — О0’ )и(0 + /&у(ґ), если А0г = 0, то вид і02: х0 (ґ) = Т0х0(ґ) + О0м(ґ) + /0у(ґ), если Адг > 0, то вид і03: х0 (ґ) = Т0х0(ґ) + (О0 + О0 )м(ґ) + + /0у(ґ). Здесь Т0, О0, /0 и О0 — матрицы, подлежащие

определению, г =

Для построения линейной части системы (3) предположим, что существует матрица Ф с условием Фх(г) = х0(г) V? при отсутствии дефектов. Известно [8], что для этой матрицы выполняются следующие соотношения:

Ф^ = ^,Ф + /Н, Оо = ФО. (5)

Известно также [8, 9], что система (3) будет свободна от неизвестного вектора -Э(г), когда выполняется равенство ФХ = 0. Для согласования логических условий исходной ЛД системы и ЛД системы (3) предположим, что выполняются следующие условия: если Ах(г) < 0, то А0г < 0, если Ах(г) = 0, то А0г = 0, если Ах(г) > 0, то А0г > 0. Поскольку х0(г) = Фх(г) и у(г) = Нх(г),

т. е. А0г = А0

0| . [ фI

= А01 нI і, эти условия выполняются,

если А = А01 н I. Последнее равенство эквивалентно

ранговому равенству

Ф

гапк І н I = гапк

Ф|

н

ч Ау

(6)

Это соотношение представляет собой дополнительное к соотношениям (5) ограничение на матрицу Ф.

2. ПОСТРОЕНИЕ СИСТЕМЫ Е,

о

Матрица Ф может быть получена следующим образом. Введем матрицу Ь0 максимального ранга

такую, что Ь Ь = 0. Условие ФL = 0 тогда эквивалентно равенству Ф = для некоторой матрицы N. Замена матрицы Ф в первом из уравнений (5) на ЛЪ° дает уравнение N1^ = F0NЬ0 + + /0Н, которое может быть преобразовано к виду

(Л - - /о)

г о ^ ¿о Н )

= 0. Это выражение можно

рассматривать как однородное алгебраическое уравнение для неизвестных матриц N F0 и /0. Пусть матрица (Л В С) дает все линейно независимые решения этого уравнения, т. е.

(А В С)

( о ^ ¿о ¥ ¿о Н ^

= 0.

(7)

Для того чтобы матрицы Л и В могли быть использованы для построения системы (3), должно выполняться соотношение В = —F()Л для некоторой матрицы F0, поскольку Л = N и В = — F0N. Для получения матриц, удовлетворяющих этому требованию, найдем строки матрицы В, линейно независимые от строк матрицы Л, и удалим их из матрицы (Л В С). Обозначим полученную матрицу через (Л0 В0 С0) и положим N = Л0, Ф = ЖЬ0. Если при ФС' ф 0 матрица Ф удовлетворяет условию (6), то ЛД система (3) может быть построена, в противном случае — нет; при ФС ' = 0 условие (6) можно не проверять. При положительном исходе проверки положим С0 = ФС и /0 = —С0; матрица F0 является решением уравнения F0N = —В0. В результате получаем линейную часть системы (3), описываемую уравнением х0 (?) = F0x0(í) + С0и(?) + /0у(?).

На третьем шаге полученная ЛД система преобразуется в нелинейную. Для этого согласно работе [8] нелинейный член С0 и(?)81§п(Л0х(?)) с С0 = ФС '

и матрицей Ао, полученной из уравнения А = Ао

Ф

Н

добавляется в правую часть уравнения, описывающего линейную часть, что дает окончательное выражение для системы (3):

•х0 (0 = «о + С0и(?) + /0у(?) +

+ С0 и(?)81§п(Л0х(?)).

3. ОБОБЩЕНИЯ

4. ПОСТРОЕНИЕ СИСТЕМЫ Е,

Предложенный подход может быть применен для других типов нелинейностей, включая гладкие (дифференцируемые), например, G «(í)sin(Ax), G U(í)log(Ax) и др. Действительно, рассмотрим члены G U(t)sign(Ax) и G0 «(í)sign(A0z(í)) в системах (1) и (3) соответственно. Ясно, что последний получен в результате определенного преобразования первого, и логико-динамический подход дает правила такого преобразования. Поэтому нелинейность G U(t)sin(Ax) в исходной системе даст член G0 «(í)sin(A0z(í)) в системе (3). В этом случае ограничение (6) отражает уже не логику, а условия согласования нелинейностей в системах (1) и (3). Логический смысл этого ограничения сохраняется для нелинейностей типа люфт, гистерезис, насыщение, а также в случае кусочно-линейной аппроксимации функций, входящих в правую часть модели исходной системы.

Если модель (1) содержит несколько нелинейностей, то матрица A в условии (6) заменяется на

матрицу A ' = (Ají AT ... AT)T, где jj, j2, ..., jd — номера ненулевых столбцов матрицы С0 = ФС. На третьем шаге нелинейный член добавляется в правую часть линейной части системы (3) в виде

x(t), u(0)^1

.9jd(4y/( t), u (t))

где матрицы-строки Aj,

A,

A0jd определяются из линейных алгебра-

(

ических уравнений A. = A

0j

Ф

V#

I J Ji, j2’

Для того чтобы линейная часть системы отражала структуру исходной нелинейной, необходимо соответствующим образом выбирать матрицу F, одновременно преобразуя нелинейный член. В общем случае рекомендуется использовать матрицу динамики исходной системы в виде F + СЛ, а нелинейный член — в виде Сф(Лх(?), и(?)) — СЛх(?). Во многих случаях к строкам матрицы F достаточно добавить только отдельные члены вида Л. х(?).

Обобщая и несколько упрощая, можно сказать, что логико-динамический подход состоит в решении поставленной задачи для линейной части исходной нелинейной системы и добавлении в полученное линейное решение определенным образом преобразованную нелинейную составляющую исходной системы.

Для построения системы (4) предположим, что векторная функция С0и(?) + С0ф(Л0г(?), и(?)), имеющая 5 компонент, содержит т', т ' < т, компонент вектора и и функция ф дифференцируема по этим компонентам. Без потери степени общности предположим, что это будут первые т компонент: и1, и2, ..., ит,. Предположим также, что для

всех х0 е Я5, у е Я1 и и е Ят справедливо равенство

rank

д

д(Ui, U2, •••, u„.)

(G0u(t) +

+ Co9(AoZ(t), u(t))) j = c

(8)

для некоторого с. Далее введем матрицу ¥ такую, что х*(?) = ¥х(?) V?. Дифференцируя обе части этого равенства по времени и учитывая модель (1) при 9(?) = 0, получаем х* (?) = ¥(¥х(?) + Си(?) + + Сф(Лх(?), и(?))). Из результатов работы [6] следует, что матрицы Ф и ¥ связаны соотношением ¥ = МФ для некоторой матрицы М. Определяя матрицу ¥, рассмотрим два случая.

1. Если 5 = с, положим М = 1с х , где 1с х — единичная с х с матрица, откуда ¥ = Ф. Из равенства х*(?) = ¥х(?) = Фх(?) = х0(?) и моделей (3) и (4) следует соотношение

F*x*(í) + С*и*(?) + С*ф(Л*х*(?), и*(?)) =

= FoXo(í) + С0и(/) + /0у(?) +

+ С0ф(Л0х0(?), у(?), и*(?)), (9)

которое является основой для построения закона управления (2). Поскольку в выражение (2) по предположению не входит вектор состояния х*, примем F* = 0 и С* = 0. Кроме того, для упрощения процесса управления системой £* положим С* = 1с х с. В результате получаем следующую модель системы £*:

x *.¡ (t) = u*.(t), 1 m i m c,

(10)

т. е. для управления системой (4) необходимо определить первые с компонент вектора и*(?). Остальные компоненты могут быть выбраны произвольно, например, можно принять и*.(?) = 0, с +1 < / < т. ♦

2. Если 5 > с, найдем матрицу Р, содержащую с строк, такую, что

rank

д

■ +

д(«!, «2, И„-)' 0

+ РСоф(Аог(?), «(t)))') = С

(11)

для всех х е Я ” и и е Ят. Представим матрицу ¥

в виде ^х =

^(2) = ОФ для некоторой матрицы Q, что соответс-

V1)

(2)

^r(1) х:

х =

vx;

(2)

= х*, где ^(1) = РФ

твует М = Q |. Из сказанного следует, что система

£* ищется в виде композиции двух подсистем. Как и ранее, положим F* = 0, С* = 0 и С* = I х с, что в результате дает

х*.) (?) = и*.-(?), 1 т / т с.

Остальные компоненты вектора и*(?), как и ранее, могут быть выбраны произвольно. ♦

Предполагается, что вектор х**2) = ¥(2)х = ОФх удовлетворяет уравнению

х*2) (t) = F* х*2) (t) + J* х*1) (t) + С*Ф

' I (Зі -(12>

A

т. е. он не зависит от вектора управления. Из этого

уравнения и уравнения х* ; = ОФх получаем

х*2) (?) = ОФ(Рх(?) + Си(?) + Сф(Лх(?), и(?)) +

+ ЬЭ(?)) = О^^?) + С0и(?) + С0ф(Лх(?), и(?))) =

= F* х*2) (t) + J* х*1) (t) + С*Ф

A,

рять условию 01 С0 + С0—ф(Лх, и)) = 0. Такая

откуда следует, что матрица О должна удовлетво

д

'д и

матрица может быть получена следующим обра зом. Введем матрицу О * максимального ранга та кую, что

Q * (Go + Со А ф(лх, «)) = 0,

(13)

тогда О = N*0 * для некоторой матрицы ^. Из

модели (12) и соотношений х*1) (?) = РФ(?) и

(2)

х* (?) = 0Ф(?) следует равенство QФF = F*QФ +

+ /*РФ. Как и в случае системы £0, оно эквивалентно равенству

(N* - F*N* - J*)

^ О*фрл

О*ф V РФ )

= 0.

(14)

По аналогии с матрицей (Л0 В0 С0) получим матрицу (Л* В * С *), что в итоге дает N = Л* и /* = —С *; матрицы F* и Л* — это решения уравне-

ний FN* = —B* и A = A,

РФ Q Ф

соответственно;

примем О = N*0 *, С * = 0С0. Таким образом, получены все матрицы, входящие в модель (12).

5. ПОСТРОЕНИЕ ЗАКОНА УПРАВЛЕНИЯ

Конструируя закон управления, рассмотрим четыре случая.

1. Пусть с = т ' и 5 = с, то из равенств (9), F* = 0, С* = 0 и С* = 1с х с следует уравнение

FoXo(?) + С0и(?) + /0у(?) + ^(Л^?), и(?)) =

= и*(?) (15)

с вектором и* размерности с. Поскольку с = т и 5 = с, оно разрешимо относительно переменных и1, и2, ..., ис и согласно выражению (2) переменные и1, и2, ..., ис могут быть определены с помощью некоторых функций £2, ..., gc следующим образом:

и.(?) = £г(у(?), х0(?), и*1(?), ..., и*с(?)),

1 т / т с = т (16)

Положим и.(?) = и*1(?), т ' + 1 < / < т, для остальных т — т ' компонент. Отметим, что в некоторых случаях равенство (8) может нарушаться для некоторых значений вектора и е Ят, но уравнение (15) остается разрешимым. В частном случае, когда т ' = т, гапк(С0) = с и С0-1 С0 = 0, выражение (16) принимает вид

и(?) = С-1 (и*(?) - FoXo(?) - /0У(?)). ♦

2. Если с = т ' и с < 5, то равенство (15) с учетом определения матрицы Р согласно равенству (11) переходит в уравнение

Р^0(?) + С0и(1) + /0У(?) + С0ф(Л0г(?), и(?))) =

= и*(?),

которое разрешимо относительно переменных и1, и2, ..., ит. в форме (16). ♦

3. Если с < т 'и 5 = с, выражение С0и(?) + + С0ф(Л0г(?), и(?)) содержит избыточные компоненты вектора и. В этом случае можно получить не отдельные компоненты вектора и(?) (как это дается выражением (16)), а только их комбинации в виде

у.(и(?)) = £-(у(?), х0(?), и*1, ..., и*с(?)), 1 т / т с,

для некоторых функций у1, у2,..., ус. В частном случае, когда С0 = (С* С*'), гапк(С0) = гапк(С*) = с

и С*-Х С0 = 0, из уравнения (15) следует простое выражение

(1с х сС*-£ С* )и(?) = С*-Х (и*(?) - FoXo(?) - /0у(?)), в явном виде задающее отмеченные выше комбинации компонент вектора и(?); здесь С*-Х — левая обратная матрица к матрице С*. ♦

4. Если с < т ' и с < 5, все сказанное в п. 3 должно применяться к выражению Р(С0и(?) + С0ф(Л0г(?), и(?))) и матрице РС0, где матрица Р определяется согласно выражению (11). ♦

6. ПРИЛОЖЕНИЯ К ЗАДАЧЕ УПРАВЛЕНИЯ

Как уже говорилось, эффект аккомодации обеспечивается тем, что при наличии в системе дефектов задача управления решается на основе модели (4). Пусть, например, требуется найти управление, переводящее систему (1) из состояния х1 = х(?1) в состояние х2 = х(?2). Для решения этой

задачи находятся состояния системы (4) х^ = ¥х1 и

х2 = ¥х2 (для простоты рассмотрим случай 5 = с). Как следует из модели (10), система Е* имеет элементарное описание, что позволяет получить для нее исчерпывающее решение задачи терминально-

го управления. Поскольку составляющие в модели (10) независимы друг от друга, каждую из них можно рассматривать отдельно. Так как /-я компонента вектора управления совпадает со скоростью изменения соответствующей компоненты вектора состояния х*, то управление, изменяющее

-1 = х*..(?1) на

значение его /-й компоненты с х*

12

. = х*.(?2) в случае х*. = х* ., имеет очевидный

вид, представленный на рис. 2, где иг0 = (х*

- х^- )/(?2 - ?1). Аналогичный вид имеют решения для остальных компонент, подстановка которых в уравнение (3) дает управление для исходной системы.

Как следует из изложенного, в общем случае размерность вектора состояния х* меньше размерности вектора х, в результате чего перевод исходной системы в состояние х2 может осуществляться только с определенной степенью точности, которая определяется матрицей ¥. Это означает, что перевод может быть произведен в такое состояние х2*,

что ¥х2* = ¥х2. При этом можно сказать, что указанная степень точности, а также качество функционирования системы (4) будут определять качество функционирования исходной системы в присутствии дефектов. Отметим, что состояние, фактически достигнутое в результате такого перевода, может быть определено с помощью системы Е0;

точность такого определения дается матрицей

Очевидно, что описанная процедура построения закона управления может быть применена и тогда, когда дефекты в системе (1) не рассматриваются. В этом случае вместо системы (3) может быть взят классический наблюдатель Люенбергера (или фильтр Калмана при необходимости учета возмущений в динамике и измерениях), формирующий оценку х (?) полного вектора состояния исходной системы. Здесь наиболее простой по форме результат получается в случае, когда т = т для всех х е Я ” и и е Ят, где

т' = гапк

д

д(И15 «2, ..., «т)

(СЦ?) + Сф(Ах(ґ), «(?)))

Рис. 2. Вид закона управления

Тогда уравнение FX (?) + Си(?) + Сф(Лх: (?), и(?)) = = и*(?) с вектором и* размерности т разрешимо относительно переменных и1, и2, ..., ит и согласно выражению (2) переменные и1, и2, ..., ит могут

быть определены с помощью некоторых функций &1’ &2’ •••, следующим образом:

u(t) = g(X(t), un(t), •••, u*m(t)), 1 m i m m.

Простое аналитическое решение получается в частном случае, когда rankG = m и G LC = 0, поскольку тогда

u(t) = G L(u*(t) — FX (?))•

Если m' < m, то, как и ранее, можно найти матрицу P, содержащую m' строк, удовлетворяющую

условию rank

д

-(PGU(t) + РСф(Ах(ґ),

«1, «2, •••, Um)

u(t)))) = m' для всех x е R” и u е Rm, и выразить переменные «1, «2, •••, um, из уравнения P(Fx (t) +

+ Gu(t) + Сф(Ах (t), u(t))) = «„(t) Система (4) во всех рассмотренных случаях имеет вид

x*1} (t) = M».(t), 1 m i m m •

7. ИЛЛЮСТРАТИВНЫЙ ПРИМЕР

Рассмотрим систему, описываемую моделью x (t) =

- sign(Xj(t)) + ln(1 + Mj(t) + «2(t))

Xj(t)X2(t) + ln(1 + (t) - M2(t) + Xj(t)M3(t)) + X3(t) - -S(t)

X4(t) - Xj(t)X2( t) + ln( 1 + Мз( t)) - d( t) x3 (t) - x2 (t)) exp -X4 (t)

Xj( t) x2 (t) + x5 (t) + d( t)

' Xi (t y(t) = X4 (t)

IX5 (t)j

Выберем следующие матрицы для ЛД описания системы:

F =

-1 0 0 0 0

-1 -1 1 0 0

-1 -1 0 1 0 , G = 0,

0 -1 1 -1 0

V 1 1 0 0 1 У

ґ л (

0 1 0 0 0 ) 0

-1 0 1 0 0 -1

-1 , C = 0 0 1 0 -1

0 0 0 0 1 0

V 1 У V 0 0 0 0 1 У

L =

Aj = (1 0 0 0 0), A2 = (0 1 0 0 0), A3 = (0 0 0 1 0), A4 = (0 -1 1 0 0).

В этом случае нелинейный член <p(Ax(t), w(t)) принимает вид

<p(Ax(t), M(t)) = f sign(A1 x(t)) + ln(1 + м1 (t) + m2(t)) + A1x(t)^ ln(1 + м1(t) - m2(t) + A1 x(t)m3(t)) ln (1 + m3( t))

A4 x( t) exp (-A3x (t)) - A4x (t) + A3x (t)

A1x (t) A2x (t) - A1x (t) - A2x (t)

Найдем матрицу L0: L0 =

. Уравнение

^ 1 0 0 0 0A

0 10 0 1

0 0 10 1

V 0 0 0 1 0J

(7) имеет несколько линейно независимых решений:

(A0 B0 C0 =

Л

100010000 00 01001000 -1 00 001000000 -1 0

V 000101 -1 1 0 00^

Отсюда Ф =

' 1 0 0 0 0Л с -1 0 0 0 Л ( 0 0 0"

0 10 0 1 , F0 = -1 0 1 0 , J0 1 0 0

0 0 10 1 0 0 0 0 0 1 1

V 0 0 0 1 0у V 0 -1 1 -1 у V 0 0 0 У

G0 = 0, s = 4. Поскольку произведе-

10 0 0 0А

0 10 0 0

0 0 10 0

V 0 0 0 1 0J

ние С0ф не содержит нелинейности с переменной x2,

C=

найдем матрицы А01, А03 и А^ из уравнения А; = Ай1 ^ |

А01 = (0 0 0 0 1 0 0), А03=(0 0 0 0 0 1 0), А04=(0 -1 1 0000). В результате система (3) описывается следующим образом:

Хо (t) = F^t) + V(t) + С0фA0, M(t)

Ґ -1 0 0 0 Л 0 0 0Л 1 0 0 0 0"

-1 0 1 0 X0(t) + 1 0 0 y(t) + 0 1 0 0 0

0 0 0 0 0 1 1 0 0 1 0 0

V 0 -1 1 -1 у V 0 0 0 у V 0 0 0 1 0 У

А sign(A01z(t)) + ln(1 + мх(t) + м2(t)) + A01z(t)) ln(1 + m1(t) - м2(t) + A01z( t)м3(t)) ln (1 + м3( t))

A04Z(t)exp(-A02Z(t)) - A04z(t) + A03Z(t)

A1x (t)A2x (t) - A1x (t) - A2x (t)

^ - sign(y1) + ln (1 + м1 + m2 )) ln ( 1 + M1 — М2 + У1^3) + X03 У2 + Уз + ln (1 + М3) v(X03(t) - X02( t)) exp(-У2( t))J

где г(0 = (. Из вида правой части уравнения для системы (3) следует, что т’ = т = 3. Далее найдем матрицу А (С0ф(А0г, м)):

3 м 00

|- (Сф^^ м)) =

0

У1

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1 + М1 + М2

1 + М1 + М2

1

1

1 + М1 — М2 + У1М3 1 + М1 — М2 + У1М3 1 + М1 — М2 + У1 М3

1

1 + М3 0

а

Так как rank V — (CJ^AqZ, м)) J = 3 для всех м (за исключением некоторых его значений, например, м3 = -1), то с = m’ = 3. Поскольку s = 4 > с = 3, необходимо найти матрицу P, удовлетворяющую условию (11).

)

10 0 0

Наиболее простое решение имеет вид P =

0 10 0 0 0 10

Легко проверить, что уравнение

P(F0X0 + V + CQ<P(A0Z, м)) =

разрешимо для м;, 1 < г < 3, и

м1 = 0,5ехр(м,1 + sign(y1)) + 0,5ехр(м,2 — х03) —

- 0,5у1(ехр(м*3 — у2 — у3) —1)—1,

м2 = 0,5ехр(м*1 + sign(y1)) — 0,5ехр(м*2 — х03) +

+ 0,5у1(ехр(м*3 — у2 — у3) —1),

м3 = ехр(м*3 — у2 — у3) —1.

Три первые компоненты системы (4) имеют стандартный вид (10): х*1(?) = м»;(г), 1 < г < 3. Поскольку

^ = 4 > с = 3, необходимо найти матрицу 0. Можно показать, что условие (13) приводит к матрице 0 * = = (0 0 0 1). Решение уравнения (14) дает N = 1, Д = —1, /* = (0 —1 1). Следовательно, 0 = (0 0 0 1) и С = (2С0 = (0 0 0 1 0). Поскольку произведение С,ф содержит четвертую строку функции ф, из уравнения А; = А1*Ф найдем матрицы А*3 и А*4: А*3 = (0 0 0 1), А*4 = (0 —1 1 0). Описание четвертой компоненты системы (4) может быть получено по аналогии с уравнением (3) в следующем виде:

х*4 (?) = (х»3(?) — х»2(0)ехр(—х,4(0).

Таким образом, построены системы Е0 и Е„ а также закон управления (2), на основе которых может осуществляться управление исходной системой при наличии в ней определенных дефектов.

В рамках решения задачи аккомодации для системы, описанной моделью (1), применен логикодинамический подход, гарантирующий нахождение управления, полностью развязанного от воздействий, вызываемых дефектами. Особенность подхода состоит в применении линейных методов для нелинейных систем с линейной функцией выхода и динамикой определенного вида, что позволяет избежать сложных аналитических вычислений, характерных для алгебры функций и дифференциальной геометрии. Кроме того, логико-динамический подход дает возможность работать с нелинейными системами, содержащими недифференцируемые нелинейности.

ЛИТЕРАТУРА

/- sign(y1) + ln ( 1 + М1 + М2)Л с Л М*1

ln ( 1 + М1 — М2 + У1М3) + X03 = М*2

V У2 + Уз + ln (1 + М3) у М 3 4.

1. Diagnosis and Fault Tolerant Control / M. Blanke, M. Kin-naert, J. Lunze, M. Staroswiecki. — Berlin: Springer-Verlag, 2003.

2. Starosw/eck/ M., Yang H., Jiang B. Progressive accommodation of aircraft actuator faults // Proc. of the IFAC Symposium Safeprocess’2006. — Beijing, PR China, 2006. — P. 877—882. — (CD-ROM).

3. Weng Z., Patton R., Cm/ P. Active fault-tolerant control of a double inverted pendulum // Proc. of the IFAC Symposium Safeprocess’2006. Beijing, pR China, 2006. — P.1591—1596. — (CD-ROM).

Starosw/eck/ M Fault tolerant control: the pseudo-inverse method revisited // Proc. of the 16th IFAC Congress. Prague, Czech Republic, 2005. — (CD-ROM).

5. Jang B., Starosw/eck/ M., Cocquempot V. Active fault tolerant control for a class nonlinear systems // Proc. of the IFAC Symposium Safeprocess’03. — Washington, 2003. — P. 127—132. — (CD-ROM).

6. Шуйский А.Н., Жирабок А.Н. Метод аккомодации нелинейных динамических систем к дефектам // Изв. РАН. Теория и системы управления. — 2009. — № 4. — С. 62—70.

7. Zh/rabok A., Kso/tsev S. Fault diagnosis in nonlinear dynamic systems via linear methods // Proc. 15 IFAC World Congress. — Barcelona, Spain, July 2002. — (CD-ROM).

8. Жирабок А.Н., Усольцев С.А. Линейные методы при диагностировании нелинейных систем // Автоматика и телемеханика. — 2000. — № 7. — С. 149—159.

9. Жирабок А.Н. Нелинейные соотношения паритета: логикодинамический подход // Автоматика и телемеханика. — 2008. — № 6. — С. 160—174.

Статья представлена к публикации членом редколлегии В.Ю. Рутковским.

Шумский Алексей Евгеньевич — д-р техн. наук,

вед. науч. сотрудник, Институт проблем морских технологий

ДВО РАН, г. Владивосток,

Жирабок Алексей Нилович — д-р техн. наук, профессор, Дальневосточный государственный технический университет, г. Владивосток,

Бобко Евгений Юрьевич — ассистент, Дальневосточный государственный технический университет, г. Владивосток,

(4232) 45-08-64, И [email protected].