CC BY
9
МАТЕМАТИКА
www.volsu.ru
001: https://doi.Org/10.15688/jvolsu1.2016.6.3
УДК 517.53:517.977 ББК 22.161.5
МЕТОД ОПТИМАЛЬНЫХ УПРАВЛЕНИЙ В РЕШЕНИИ ОДНОЙ ВАРИАЦИОННОЙ ЗАДАЧИ
Александр Сергеевич Игнатенко
Старший преподаватель кафедры теории функций, Кубанский государственный университет alexandr.ignatenko@gmail.com
ул. Ставропольская, 149, 350040 г. Краснодар, Российская Федерация
Борис Ефимович Левицкий
Кандидат физико-математических наук, доцент кафедры теории функций,
Кубанский государственный университет
bel@kubsu.ru
ул. Ставропольская, 149, 350040 г. Краснодар, Российская Федерация
Аннотация. В работе приводится полное решение вариационной задачи об отыскании поверхности вращения минимальной площади в специальной метрике, возникшей при изучении поведения модуля семейства поверхностей, огибающих препятствия в сферическом кольце. Установлены свойства одного класса гиперэллиптических интегралов, определяющих оптимальные траектории вариационной задачи.
Ключевые слова: минимальные поверхности, поверхности вращения, 6 метод оптимальных управлений, оптимальные траектории, гиперэллиптиче-
20 ский интеграл.
ы из
1. Введение. Постановка вариационной задачи
« и
ш В работе приводится доказательство анонсированных в [1] результатов решения ^ вариационной задачи, возникшей при изучении р-модуля семейства поверхностей, отде-Ч ляющих граничные компоненты кольца при переходе к его подсемейству, состоящему из ^ поверхностей, огибающих принадлежащее кольцу препятствие (континуум). | Рассмотрим семейство плоских кусочно-гладких кривых у, заданных параметрита ческим уравнением г(Ь) = ер(4)+гф(4), £ € [¿0,£1], лежащих в замкнутом множестве £ Вг = [г : г < |г| < г( 1 + 6), ф € [ф0, ф1]}, (0 < ф0 < ф1 < п) и соединяющих © точку г(1о) = г( 1 + 6)е"ф0 с точкой г(и) = г(1 + 61)^, 0 < 61 < 6.
Площадь поверхности в n-мерном евклидовом пространстве Дп, образованной вращением кривой у вокруг полярной оси, вычисленная в метрике . .„_1, х Е Rn, п > 3,
|х|
выражается формулой
5(y) = (п — lK-i Г* sinn-2 ф(*)^(ф'(í))2 + (р'(t))2dt, (1)
Jt о v
где шп — объем n-мерного шара единичного радиуса.
Задача состоит в отыскании точной нижней грани функционала S(y) на описанном классе кривых при естественном условии, что рассматриваются лишь кривые, для которых в точках дифференцируемости ф (t) > 0 и р (t) < 0.
2. Формулировка задачи на языке оптимальных уравнений
Используя терминологию и обозначения, применяемые в [2], сформулируем эквивалентную задачу оптимального управления при ограниченных фазовых координатах. Пусть в замкнутом подмножестве
Вг = {х = (х1,х2) : ф0 < х1 < ф1, ln г < х2 < ln r(1 + 6)}
(2)
двумерного евклидова пространства X заданы точки х0 = (ф0,1пг(1 + 6)) и х1 = = (ф1,1пг(1 + 61)), 0 < ф0 < ф1 < п. Граница прямоугольника Вг состоит из отрезков: Ру = [х Е X : х1 = фу, 1п г < х21п г(1 + 6)}, V = 0,1, Р2 = [х Е X : ф0 < х1 < ф1,ж2 = = 1пг} и Р3 = [х Е X : ф0 < х1 < ф1,х2 = 1пг(1 + 6)}. Зададим кусочно-непрерывную функцию
д(х)
фо - х1 х1 — ф1, ln г — х2,
X
— ln г(1 + 6),
в окрестности Р0; в окрестности Р^ в окрестности Р2; в окрестности Р3.
(3)
Заметим, что в окрестности границы множество Вг может быть задано неравенством д(х) < 0.
В области управления и, состоящей из кусочно-непрерывных, кусочно-гладких вектор-функций и = (и1,и2), определенных на отрезке [¿0,^] и таких, что дг(и) < 0, где
qr (и)
i
—и1, в окрестности и1
и
0,
в окрестности и2 = 0,
(4)
требуется найти (оптимальное) управление, переводящее фазовую точку из положения х0 в положение х1 вдоль (оптимальной) траектории, лежащей в Вг и определенной системой уравнений
dx1 ~dt dx2 ~dt
и
и
(5)
так, что функционал
х0 = Г f(x,u)dt, (6)
Jío
где /0(x,u) = sin™-2x1 \J(u1)2 + (u2)2 принимает наименьшее значение.
Условимся о следующих обозначениях. Область возможных значений (ф0, ф1) разобьем на четыре подмножества:
Dx = |(фо, фх) : 0 < фо < П, фо < Ф1 < П}, D2 = {(фо, Ф1) : 0 < Фо < п, П < Ф1 < п - фо},
2 > vо 4 ух < 2 2 П 2 , 2
D3 = {(фо, фх) : 0 < фо < f, П - фо < фх < п}
<г ф <
2
D4 = {(фо, ф1) : П < фо < П, фо < ф1 < п}.
Положим
Н(t, а) = , -, (7)
( , ) Vsin2(ra-2) t - а2 ,
« — 2
ГФ1 Sin" 2 ф^
ф1) = , 2( 2) 2( 2) =dt, v = 0, l, Ло ^sin2(ra"2)t - sin2(ra"2) ф^
(8)
)>(
ГФ1
h(a, фо, Ф1) =
фо Si
,/ \ ^о(фо, Ф1), если (фо, Ф1) G D1 UD2; h(фо, Ф1) = ^ , , , , , n , , п (9)
hl(фо, Ф1), если (фо, Ф1) G D3 или (фо, Ф1) G D4,
sin2(n-2) t - а2 п-2
dt, (10)
МФо) = Г , , Sin фу , dt. (11)
Уо ^sin2(ra"2)t - sin2(ra"2) фо
Функции Л^(фо, Ф1), V = 0,1 рассматриваются в областях, определенных в (9), так как подкоренное выражение sin2(ra_2) t — sin2(ra_2) фV в них принимает неотрицательные значения, и несобственные интегралы сходятся.
Отметим некоторые полезные в дальнейшем свойства специальных функций, определенных равенствами (8)—(11).
Лемма 1. Имеют место следующие соотношения и свойства:
1. Для любого ф0 G (0, п)
¡2h(n — Ф1) — ho(n — ф1, фо), если фо G (0, |), ^1(фо, ф1) = \ ,, , гп \ (12)
|^ho(n — ф1,п — фо), если фо G [п,п).
2. Если 0 < фо < ф1 < п, то
lim Л,о(фо, ф1) = lim ho(фo, ф1) = 0 (13)
фо^о+ фо^фх-о
и
h*(фl) = sup Л,о(фо, ф1) = ^(ф*, ф1), (14)
фо
где фо = ф*(ф1) является корнем уравнения
Гф1-; dt = tg ф1 . (15)
cos21^sin2(ra-2) t — sin2(ra-2) ф* ^sin2(ra-2) ф1 — sin2(ra-2) фо
3. Л-(фо) возрастает на интервале (0, —) и
— —
h*( -) = sup Мфо) = Ага = - . (16)
2 фо 2V п — 2
4. ^(ф0, Ф1) убывает как функция ф! на интервале ф! е (— — ф0, —) при фик-
сированном фо е (0, П) причем
]2^(фо), если фо е (0, П)
^(фо) = sup h\ (фо, Ф1) = < , ' ' 2' (17)
Ф1 \h*(n — фо), если фо е [f,п).
5. Функция h(a, ф0, Ф1) монотонно возрастает по переменной а на промежутке (0, min(sin™-2 ф0, sin""-2 ф1)), причем sup h(a) = h(ф0, ф1).
а
Доказательство. Первое свойство следует из симметричности значений функции Н(t, sin"-2 а) для а е (0, п) и а е (п, п).
Для изучения поведения функции Л.0(ф0, ф1) осуществим в интеграле (8) замену переменной по формуле у = sin 1 . Полагая b = Ь(ф0) = -г-1—, получаем
с т с j a sin фо \*г0/ sin фо J
~ гЪ sin ф1 ^у
h0(ф0, ф1) = h(b, ^ = J 1 V(y2("-2) - 1)(Ь2 - У2) • (18)
В частности, h(ф0) = h(b, f) = h(b).
Еще одна замена переменной у = 1 + (b sin ф1 — 1) sin2 ф позволяет представить эту функцию в виде собственного интеграла от непрерывно дифференцируемой по параметру b функции
;__/2(п-2) \ -1
2y/bsinф1 — 1 cosф Е C%{n-2)(bsinф1 — 1)fc-1 sin2(fc-1)ф
Н(ф, Ь, ф1) =--iL- .
(cos2 ф ((б2 — 1) + (Ь — 1) sin2 ф + 1 — sin ф^ + cos2 ф^ 2 Поскольку lim Л,о(фо, ф1) = 0 и
фо^о+
lim Л,о(фо, ф1) = lim h(b, ф1)
фо ^ф1-о ^ —
г п Í0
2 lim Н(ф,Ь, ф1Щ =< '
sin ср i ^ 2\
0, если ф1 < п
о ъ^^^ 0 ,—^, если ф! = тг,
sin Ф1 ^ 2 у n—Z' 2
то при ф! < п непрерывно дифференцируемая функция h(b, ф!) достигает своего максимума в точке b* = Ь*(ф!) G (0, ф!), для которой Ц(Ь*, ф!) = 0, то есть Ь* — корень уравнения
Сь sin ф1_ЪЧу_=_tgvi_
J! ^yZ(n-Z) - l (tf - у2) § y/(b Sin ф!)2(п—2) - 1 '
Отсюда следует, что sup Л-о(фо, Ф1) = ^о(ф*, Ф1) = ^*(ф1), где ф0 является корнем
фо
п
~ 2 _ „ уравнения (15). Далее, так как Л/(Ь) = J ^(4А П)<^4 < 0, то Л,(Ь) убывает, а значит
о
Л,(ф0) возрастает на интервале (0, |). Для ф0 е (0, |) и ф1 е (п — ф0, п), учитывая
2 J Н(i, sin""-2 ф1)^ = 2h(sin"-2 ф1, фо, п), имеем
фо
Г п
hl(фo, ф1) = 2 2 Н(i, sin"-2 ф1)^ + ho(п — ф1, фо) = 2h(п — ф1) — ho(п — ф1, фо).
фо
Из того, что тф (фо, ф1) < 0 и lim ^(фо, ф1) = 2Л,(фо) вытекают свойства 3 и
<9ф1 \ ■ ■ ф1 ^п-фо
4. Свойство 5 доказывается аналогично.
Замечание 4. Функция Л-о(фо, Ф1) = , Ф1) = Л ^ф1 / 2(п_2)У 2 2 представляет
(у 1)(^ у )
собой класс гиперэллиптических интегралов, определяющих оптимальные траектории вариационной задачи.
3. Решение вариационной задачи
Дадим полное описание оптимальных траекторий рассматриваемой задачи. Определим
Д1(6, фо, Ф1) = (1 + 6)е"^(ф0>ф1) - 1; Д1(6, Фо) = (1 + 6)е"/1(ф0) - 1; Д(ф0, ф1) = е^(ф0'ф1) - 1;
д(ф0) = е^(фо) - 1.
Теорема 1. В задаче оптимального управления (2)-(6) оптимальными могут быть лишь следующие траектории:
1. Граничная траектория у0, состоящая из отрезков {(ж1,ж2) : ф0 < ж1 < ф1;ж2 = 1пг(1 + 6)} и
{(ж1,ж2) : ж1 = ф1; 1пг(1 + 61) < ж2 < 1пг(1 + 6)}.
2. При 61 е [0, Д1(6, ф0, ф1)) имеем:
2.1 в случае (ф0, ф1) ей1 и Д2 оптимальной «внутренней» может быть лишь траектория уь состоящая из кривой у1(ф0, ф1):
ж2(i) = /;хН(i, sin"-2 фо)^ + 1пг(1 + 61) ж1^) = t G [фо, ф1]
и отрезка
. „ г (20)
{(ж1,ж2) : ж1 = ф0; 1пг(1 + 61) + ^0(ф0, ф1) < ж2 < 1пг(1 + 6)}; (21)
2.2 в частности, если ф1 = п - ф0, то оптимальной может быть любая траектория уь состоящая из кривой у^фо, 6', 61):
!
(*) = /Г-ф0 Н(i, sin"-2 фо)сй + lnr(1 + 61),
ж ( ) = о 1 (22) ж1^) = t G [фо, п — фо]
и двух отрезков
[(ж1,ж2) : ж1 = ф0;1пг(1 + 6') < ж2 < 1пг(1 + 6)}, [(ж1, ж2) : ж1 = п - ф0;1пг(1 + 61) < ж2 < 1пг(1 + 61)}, (23)
где 61 < 61 < 6' < 6 связаны соотношением
1п^ = 2^(ф0); (24)
1 + 61
2.3 в случае (ф0, ф1) Е В3 или (ф0, ф1) Е оптимальной «внутренней» может быть лишь траектория у2, состоящая из кривой у2(ф0, ф1):
!
х
2(t) = /4ф1 Н(t, sinn-2 ф1)(Ц + ln r(1 + Д1(6, фо, ф1)),
ж1^) = t Е [фо, ф1]
и отрезка
(25)
[(ж1 ,ж2) : ж1 = ф1;1пг(1 + 61) < ж2 < 1п г(1 + Д^6, ф0, ф1))}. (26)
3. При 61 > тах(0, Д1(6, ф0, ф1)) имеем:
3.1 в случае 61 > 0 оптимальной «внутренней» может быть лишь траектория Уэ(ф0, ф1):
Í
(t) = J71 Н (t,a)dt + ln r(1 + 61),
x2(t) = n (t,a x1(t) = t Е [фо, ф1],
(27)
где а является единственным корнем уравнения
1п 1 + 6 = Ъ(а, ф0, ф1); (28)
1 + 61
3.2 в случае 61 = 0 оптимальной «внутренней» может быть лишь траектория Уз, состоящая из кривой Уз(фо):
!
x2(t) = J^1 Н(t, sinn-2 ф1)^ + ln г, x1(t) = t Е [фо, ф1], где ф1 является принадлежащим промежутку (фо, ф1) корнем уравнения
ln(1 + 6) = Г1 Н(t, sinn-2 ^1)dt, (30)
фо 1
,n-2 ,„' ' n (i, sin
фо
12
и отрезка [(ж1, ж2) : ф1 < ж1 < ф1; ж2 = 1пг}.
Доказательство. В силу принципа максимума Л.С. Понтрягина для оптимальности управления и(Ь) и траектории х(Ь) на участке Ь Е [т0, т1] целиком, кроме концов ж0 = = (ф0,1пг(1 + 6')), х\ = (ф1,1пг(1 + 61)), лежащем в открытом множестве Вг, необходимо существование ненулевой непрерывной вектор-функции "ф(£) = (ф1(^),ф2(£)), такой что
{
I1 = В = (» — 2) sin"-311 cos х^(и1)2 + (ч2)! (31)
= о ( '
и функция
К (4, ж, и) = - /°(ж, и) + ф^1 + -ф2И2 (32)
достигает в точке и(£) максимума, причем
К (ф(*),ж(*),и(*)) = 0. (33)
Таким образом, если и(£) — оптимальное управление, то
дК _ и1 sin" 2 ж1 i .i. _ п
= .1ч2 ,,..2x2 + 41 = 0,
V/(u1)2+(u2 )2
и2 sin^~ 2 ж1
V (и1)2+(и2 )2
дК _ и2 sin" 2 ж1 i i
ди2 = . Л. 12 , , .2x2 + 42
(34)
откуда следует, что
4
1 v(u1)2+(u2 )
и2 sin"~2 ж1 v(u1)2+(u2 )
..I, _ и sin ж _ „
42 = Л ,,2 . , о,2 = С,
(35)
причем sign(c) = sign(w2). Замечая, что
fu1
= J и?'
= Sig
с, если с = 0,
sign(u1) sin""-2 х1, если с = 0,
в силу (35) находим, что либо u2 = 0 (если с = 0), либо (если с = 0) u2 = 0 и
И = 1 ^Sin2(ra-2)x1 - С2. (36)
и2 ^ v
В первом случае ж2 = const, то есть для t Е [то, Ti] t2(í) = lnr(1 + 6') = lnr(1 + §1) и 6' = 61.
Во втором случае либо и1 = 0 и тогда —с = sin""-2 ф0 = sin""-2 ж1, ф1 = ф0, либо (если и1 = 0) с = — а < 0 и
И т2
= Я(т1, а). (37)
ат1
Это означает, что оптимальная траектория может быть задана в явном виде т2 = = т2(т1) при любом допустимом управлении и1, то есть в этом случае можно полагать и1 = 1 и t1(í) = í, где t Е [т0,т1], т0 = ф0 < т1 = ф1 < п. Тогда на этом участке (оптимальная) траектория, соответствующая управлению и = (1, — Я(í, а)), имеет вид
Í
x2(í) = X/1 Н(í, a)dí + lnr(1 + 61), (38)
ж1^) =í G [фо, ф1],
где значение а определяется из условия
г ф! 1 + 6'
ХЯ(i, a)di = ln-^—. (39)
^ФО 1 + 6i
0
u1 sin" 2 ж1
Из (38) и (39) следует, что ни один из кусков оптимальных траекторий, лежащих внутри Вг, не может начинаться и заканчиваться на одном и том же отрезке границы.
Для проверки условий скачка в точке стыка t = то = фо заметим, что grad(g(x)) = = (—1, 0) в окрестности отрезка Ро, grad(gr(и)) = (—1, 0) в окрестности управления и1 = 0 и р(х,и) = (grad(g(x)),и) = —и1 в окрестности отрезка Ро, причем р(х,и) = 0 на Ро.
В соответствии с граничным принципом максимума [2] существует непрерывная вектор-функция ф = (ф1(^),ф2(t)) и кусочно-непрерывная кусочно-гладкая функция Л(£) (то < t < ¿о) такие, что для f °(х,и) = — sinn-2 фо ■ и2 имеем
f dJt = — В + Л(*) ^ = 0,
I d^2 = 0
L dt 0,
и функция (32) достигает в точке и = (0,м2) условного максимума. Отсюда следует, что
Í
= —Л — v,
sinn—2 фо + ^2 = 0,
причем sinn—2 фо ■ u2(t) + ф2(t) ■ и2(t) = 0. Таким образом, 42(í) = — sinn—2 фо.
Поскольку вектор ф(то) = 0 и касается границы Ро в точке ж(то), то
(ф(то), grad^^^))) = —(Л + v) = 0,
а значит = 0. Так как оптимальная траектория на Ро определяется однозначно и представляет собой отрезок {(х1,х2) : х1 = фо,lnг(1 + 6') < х2 < lnг(1 + 6)}, то оптимальным является любое управление, соответствующее его допустимой параметризации, например, и2(t) = —1, x2(t) = —t + со, где со = фо + ln г(1 + 6') и ¿о = фо — ln 1++6.
Условия скачка в точке стыка t = фо состоят в выполнении одного из равенств [2]:
ф+(фо)= (фо) (40)
или
(фо) + цgrad(^(ж(фо))) = 0, ц =0. (41)
Если на участке [то, т1] = [фо, ф1] оптимальное управление u(t) = (1, 0), то из (35) следует, что ф+(фо) = sinn—2 фо, ф+(фо) = 0, и условие (40) имеет вид sinn—2 фо = 0, то есть не выполняется, если 0 < фо < п. Условие (41) записывается в виде
Í
0 + ц ■ 1 = 0,
— sinn—2 фо + ц ■ 0 = 0,
то есть не выполняется для внутренних точек Р0.
Таким образом, оптимальной на участке [т0, т1 ] может быть либо граничная траектория
[(х1, х2) : ф0 < х1 < ф[,х2 = 1пг(1 + 6)} С Рз, (42)
либо траектория (38), соответствующая (оптимальному) управлению u(í) = (1, — Я(í, а)), где а определяется из соотношения (39). В этом случае 4+(фо) = л/sin2(ra-2) ф0 — а2, 4+(фо) = и уравнения (40) имеют вид л/sin2(ra-2) ф0 — а2 = 0, —а = — sin""-2 ф0, то есть выполняются только если а = sin""-2 ф0. Уравнения (41) не могут быть выполнены. Если 0 < ф0 < п, то из (38) следует, что оптимальная траектория может иметь точку стыка на отрезке Р0, только если ф1 < п — ф0.
Рассмотрим случай, когда т0 = í0 = ф0, т1 = ф1, 6' = 61 = 6 и (оптимальная) траектория начинается с отрезка (42). Предположим, что при t Е [т1, т2] участок оптимальной траектории лежит внутри Рг и соединяет точки (ф'ь lnr(1 + 6)) и (ф1, lnr(1 + 61)). Из приведенных выше рассуждений следует, что либо ф'/ = ф1 и траектория, соответствующая (оптимальному) управлению u(í) = (0,u2), представляет собой отрезок
{(х1,х2) : х1 = ф1,lnr(1 + 61) < х2 < lnr(1 + 6)}, либо ф1 = ф1 и управление u = (1, —Я(í, а)) определяет (оптимальную) траекторию
х2 (í) = J**1 Я (t, a)dí + lnr(1 + 61), /(¿) = ^Е [ф1, Т2 = ф"], причем значение удовлетворяет уравнению
Г1 Я (t ,a)dí = ln 1 + 6
Jo '
Непосредственная проверка условий (40) и (41) в точке стыка т1 = ф1 в обоих случаях показывает, что эти условия не могут быть выполнены, то есть граничная траектория, лежащая в Р3, не может иметь точки стыка с траекторией, принадлежащей Рг.
Таким образом, точка т1 = ф1 может быть точкой стыка оптимальной траектории, только если ф1 = ф1, то есть отрезок Р3 стыкуется с отрезком Рь и получаем граничную траекторию у0.
Предположим теперь, что ф0 Е (0, . Пусть ф1 < п-ф0 и оптимальная траектория имеет точку стыка на Ро, то есть ее часть, лежащая в Рг, задается уравнением
!
х2(í) = /4Ф1Я(t, sin""-2 ф0)^+ lnr(1 + 61),
1х1(4) = t Е (ф0, ф1) причем
Гф1Я(t, sin™-2 ф0)^ = 1п1+^.
Лфо 1 + 61
Поскольку оптимальная траектория не может иметь изломов внутри области Рг (не выполняются условия Вейерштрасса — Эрдмана, эквивалентные соотношениям (40)), то либо ф1 = ф1 и 61 Е [61, 6'), либо 61 = 0, то есть либо конец траектории принадлежит отрезку Рь либо отрезку Р2.
Проверка условий скачка в точке т1 = ф1 = ф1 показывает, что условие (40) выполняется, только если sin""-2 ф1 = sin""-2 ф0, то есть ф1 = п — ф0. При этом 6' и 61 связаны соотношением (24), которое может быть выполнено только если 61 Е Е [0, Д1(6', ф0)]. В этом случае 6' должно быть не меньше, чем Д(ф0). При выполнении
этих условий оптимальной может быть любая траектория уь заданная уравнениями (22), (23) и соотношением (24).
В случае 61 = 0 проверка выполнения условий скачка показывает, что условие (40) не выполняется, а (41) может быть выполнено, только если ф1 = п — ф0.
Таким образом, при 61 Е [0, Д1(6', ф0)] (6' > Д(ф0)) точкой стыка на Р2 может быть только точка (п — ф0,1пг), что соответствует значениям 61 = 0 и 6' = Д(ф0). Утверждение 2.2 теоремы установлено.
Заметим, что оптимальная траектория может иметь две точки стыка на отрезках Р0 и Р1, только если ф1 = п — ф0 и 61 Е (0, Д1(6, ф0)). Следовательно, при 6 < Д(ф0) точки стыка на Р0 не может быть.
Рассмотрим случай ф0 Е (0, п) и ф1 < п — ф0. Предположим, что оптимальная траектория имеет точку стыка на Р0, но не имеет точки стыка на Р1. Тогда ее часть, лежащая в Вг, задается уравнениями
{
x2(t) = /ф1 Н(t, sinn—2 фо)dt + lnr(1 + 61), xl(t) = t Е [фо, ф1],
причем
Г ф1 J фп
Н(t, sinn—2 фо)dt = ln
1 + 6'
'фо 1 + 61
откуда следует, что 6' = (1 + 61)е^0(ф0'ф1) — 1 и оптимальной является траектория у1. Это возможно, только если 0 < 61 < 6' < 6, то есть для 61 Е [0, Д1(6, ф0, ф1)). Таким образом, установлено утверждение 1.1.
Если (ф0, ф1) Е 03 или (ф0, ф1) Е то точки стыка на Р0 не может быть. Выясним, при каких условиях оптимальная траектория может иметь точку стыка на Р1. Из (38) и (39) следует, что оптимальная траектория имеет вид
Í
x2(t) = J71 Н (t,a)dt + ln r(1 + 61), 1
x\t) = t Е [фо, ф1], где значение а определяется из условия
ф1 1 + 6 Н(t, a)dt = ln-—
фп 1 + 61
Проверка условий скачка в точке стыка t = ф1 показывает, что уравнения (40) могут быть выполнены, только если а = sinn—2 ф1, а уравнения (41) не выполняются. Таким образом, оптимальной траекторией, имеющей точку стыка на Р2, может быть лишь траектория у2. При этом 61 = Д1(6, фо, ф1), что возможно только если 61 Е Е [0, Д1(6, фо, ф1)).
Остается рассмотреть случай 61 > max(0, Д1(6, фо, ф1)). При таком условии точек стыка на Ро и Р1 не может быть.
Если 61 > 0, то оптимальной траекторией может быть лишь траектория у3 = = У3(фо, ф1). В силу свойства 5 из леммы 1 уравнение (28) имеет единственное решение при любом таком 61.
Если 61 = 0, то оптимальная траектория может иметь точку стыка х'х = (ф1, ln г) Е Е Р2. В этом случае она состоит из кривой
í
x2(t) = J71 H (t,a)dt, x\t) = t Е [фо, ф1]
и отрезка
{(xl,x2) : ф1 < xl < ф1,х2 = lnг} Е Р2.
Проверяя условия скачка в точке t = ф1, находим, что условие (40) выполняется, только если а = sinn—2 ф1. Поскольку
J-m,
1 Н(t, sinn—2 ^1)dt = ln(1 + 6),
фо
то значение ф 1 является принадлежащим промежутку (ф0, ф1) корнем уравнения. Теорема доказана.
4. Сравнение и оценки площадей минимальных поверхностей, образованных вращением оптимальных траекторий
Вычислим значения функционала Б (у) для кривых, являющихся оптимальными траекториями рассматриваемой вариационной задачи. Лемма 2. В условиях и обозначениях теоремы 1:
1. Б(У0) = (п — 1)шп-1
2. в(У1) = (п — 1К-1
3. Б(У1) = (п — 1)^п-1
4. Б(У2) = (п — 1)^п-1
5. Б (уз) = (п — 1)шп-1
6. Б(У2) =
ф1 sinn—2 tdt + sinn—2 ф1 ■ ln фо ^ 1+61
J^Vsin2(n—2) t — sin2(n—2) фоdt + sinn—2 фо ■ ln Ц6
2 /ф2 У^Й"-2+ sinn—2 фо ■ ln Ц6
/фф1 Vsin2(n—2) t — sin2(n—2) ф1(Ц + sinn—2 ф1 ■ ln Ц6
ГФ1 Vsin2(n—2) t — a2 dt + а ■ ln 1+6 J<P о 1+61
= (п — 1)Wn—1
sin2(n—2) t — sin2(n—2) ф 1 dt + sinn—2 ф 1 ■ ln(1 + 6) + /Ф1 sin'
n 2
tdt
Сравнение значений площадей оптимальных траекторий показывает, что для 1 < < п граничная траектория у0 не может быть оптимальной.
Теорема 2. В задаче оптимального управления (2)-(6) в случае ф 1 < п оптимальными при соответствующих (см. теорему 1) значениях ф 0, ф1 и 61 являются траектории уь Уъ У2, Уз и уз.
Доказательство следует из проверки достаточных признаков экстремальности для указанных траекторий.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Игнатенко, А. С. Метод оптимальных управлений в решении вариационной задачи для модулей семейств поверхностей, огибающих препятствие в сферическом кольце / А. С. Игнатенко, Б. Е. Левицкий // Тр. мат. центра им. Н.И. Лобачевского. — 2002. — Т. 13. — С. 64-70.
2. Понтрягин, Л. С. Математическая теория оптимальных процессов / Л. С. Понтря-гин, В. Г. Болтянский. — М. : Наука, 1983. — 393 с.
REFERENCES
1. Ignatenko A.S., Levitskiy B.E. Metod optimalnykh upravleniy v reshenii variatsionnoy zadachi dlya moduley semeystv poverkhnostey, ogibayushchikh prepyatstvie v sfericheskom koltse [Method of Optimal Control in the Solution of the Variational Problem for the Modules of Families of the Surfaces That Bend Around Obstacles in a Spherical Ring]. Tr. mat. tsentra im. N.I. Lobachevskogo, 2002, vol. 13, pp. 64-70.
2. Pontryagin L.S., Boltyanskiy V.G. Matematicheskaya teoriya optimalnykh protsessov [The Mathematical Theory of Optimal Processes]. Moscow, Nauka Publ., 1983. 393 p.
METHOD OF THE OPTIMAL CONTROL IN THE SOLUTION OF A VARIATIONAL PROBLEM
Alexander Sergeevich Ignatenko
Senior Lecturer, Department of Function Theory, Kuban State University alexandr.ignatenko@gmail.com
Stavropolskaya St., 149, 350040 Krasnodar, Russian Federation
Boris Efimovich Levitskii
Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Associate Professor, Department of Function Theory, Kuban State University bel@kubsu.ru
Stavropolskaya St., 149, 350040 Krasnodar, Russian Federation
Abstract. The paper provides a complete solution for the variational problem of finding a revolution surface of minimum area in the metric |x|-ra+1, corresponding extreme metric for p-module of family of surfaces that separate boundary components of a spherical ring.
The surface area in the n-dimensional Euclidean space Pra, defined by the rotation of the curve y around the polar axis, calculated in the metric -p^br, x G Pra, n > 3, expressed by the formula
5(y) = (n - 1K-1 f^ sin™-2 p(t)WV(i))2 + (p'(i))2di,
Jto V
where is a volume of n-dimensional sphere of radius 1, y is the curve of the family of planar piecewise-smooth curves, given by the parametric equation z(i) = e pM+î(pM, t G [io,ii], is lying in the closed set S = (z : r < |z| < < r(1 + 6), pp G [v0, cp1]}, (0 < v0 < < n) and is connecting the point z(i0) = r(1 + 6)e itp0 and the point z(i 1) = r(1 + 61)e^1, 0 < 61 < 6.
The problem is to find the infimum of the functional S (y) in the described class of curves with natural condition that we consider only curves for which in the points of differentiability p'(i) > 0 and p'(i) < 0. The method of optimal controls by L. Pontryagin [2] is applied for search for optimal trajectories. The properties of the hyperelliptic integral of a special type, arising in the solution of the variational problem, were investigated.
Key words: minimal surfaces, surface of revolution, method of the optimal control, optimal trajectories, hyperelliptic integral.
