Метод оптимальной простой итерации для решения комплексной СЛАУ большой размерности и численное решение 2D и 3D задач электромагнитного рассеяния Текст научной статьи по специальности «Математика»

НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК МГТУ ГА Серия Прикладная математика. Информатика

УДК 512.6:519.64:537.874

МЕТОД ОПТИМАЛЬНОЙ ПРОСТОЙ ИТЕРАЦИИ ДЛЯ РЕШЕНИЯ КОМПЛЕКСНОЙ СЛАУ БОЛЬШОЙ РАЗМЕРНОСТИ И ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ 2D И 3D ЗАДАЧ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО РАССЕЯНИЯ

С.П. КУЛИКОВ, ДЖ. АБДЕЛЬ МАЛИК Статья представлена доктором технических наук, профессором Самохиным А.В.

В настоящей работе изучены вопросы оптимальной сходимости метода модифицированной простой итерации для решения СЛАУ большой размерности с некоторыми специальными типами матриц. Разработаны алгоритмы определения оптимального параметра сходимости метода для различных конфигураций выпуклой комплексной оболочки спектра матрицы перехода. На этой основе получено численное решение некоторых двумерных и трехмерных задач электромагнитного рассеяния и поглощения на локально неоднородных прозрачных телах.

Введение

Численное решение системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ)- одна из наиболее часто встречающихся задач линейной алгебры и численных методов в научных и технических исследованиях. Такая задача возникает во многих прикладных дисциплинах, таких как математическая физика (численное решение дифференциальных и интегральных уравнений), экономика, статистика. При этом прикладные задачи часто требуют решения больших и сверхбольших СЛАУ с числом неизвестных более 1000. К таким СЛАУ, например, приводит численное решение двумерных и особенно трехмерных задач математической физики, в которых условия физической и геометрической аппроксимации двумерной и трехмерной области диктуют использование достаточно мелкой расчетной сетки с большим числом расчетных узлов по линейному размеру. Существующие библиотеки программ на языках высокого уровня (Фортран, СИ и их современные модификации, а также программы, входящие в пакеты Mathcad и Mathlab) разработаны на основе так называемых прямых методов решения СЛАУ (типа метода исключения Гаусса и его модификаций). Число арифметических операций умножения для численного решения СЛАУ размерностью N с помощью прямого метода ~ N3 [1]. Кубическая зависимость числа арифметических операций от размера матрицы СЛАУ приводит при N>1000 к нереально большому времени решения даже на самых современных ПЭВМ. Кроме того, время решения несоразмерно возрастает при использовании прямых методов в случае N>1000 по причине недостаточности объема оперативной памяти для хранения данных задачи.

Итерационные методы решения СЛАУ намного экономнее, как по машинному времени решения, так и по использованию оперативной памяти. Так, если итерационный метод является быстро сходящимся с числом итераций m<<N, то время решения, пропорциональное уже квадрату размера матрицы ~ m*N2, оказывается существенно меньше, примерно в N/m раз для вещественной и 2N/m раз для комплексной СЛАУ. Кроме того, требуется хранить в оперативной памяти, как правило, только одну матрицу - матрицу перехода итерационного метода. При использовании быстро сходящихся итерационных методов вполне решаемыми в реальном времени на современных ПЭВМ оказываются СЛАУ с комплексной матрицей размерностью N>> 1000.

В настоящее время отсутствуют библиотеки подпрограмм широкого назначения для численного решения больших и сверхбольших СЛАУ. Таким образом, разработка эффективных итерационных алгоритмов для широкого класса матриц СЛАУ большой размерности и библиотек подпрограмм на их основе является актуальной задачей.

Наиболее алгоритмически простыми среди итерационных методов являются стационарные итерационные методы, например, модифицированный метод простой итерации [2]. Ниже показано, что можно добиться его эффективной сходимости для достаточно широкого класса вещественных и комплексных матриц СЛАУ. Для нестационарных итерационных методов, таких как методы вариационного типа (минимальных невязок, сопряженных градиентов и др.), сходимость доказана в узком классе матриц СЛАУ, таких, например, как вещественные симметричные положительно определенные матрицы [1]. И в этом узком классе матриц сходимость оптимальных стационарных методов, опирающихся на известные спектральные матричные свойства, оказывается не хуже, чем метода минимальных невязок. В рассматриваемых ниже случаях комплексной неэрмитовой матрицы СЛАУ доказана сходимость метода оптимальной простой итерации и, как показывает опыт расчетов, она лучше, чем у нестационарных итерационных методов. При этом число арифметических операций стационарного алгоритма минимально. Еще одним преимуществом метода оптимальной простой итерации является возможность естественного распараллеливания алгоритма при постановке его на параллельные многопроцессорные системы, так как алгоритм по существу сводится к одному умножению матрицы на вектор.

1. Метод оптимальной простой итерации

Пусть исходная СЛАУ большой размерности имеет вид

Ах = / (1)

где А - заданная квадратная невырожденная, в общем случае комплексная матрица коэффициентов СЛАУ размером NхК, х - искомый вектор из N элементов, / - заданный, в общем случае комплексный вектор правой части из N элементов. Тем или иным способом приведем (1) к виду, удобному для проведения простых итераций

х = Тх + ф (2)

Здесь Т - явная, получаемая не более, чем за К2 операций умножения, матрица перехода, с помощью которой итерации, начиная с начального приближения х(о), строятся следующим обра-

зом

х(к +1) = Тх(к) + ф, к = 0,1,2,... (3)

Так, если Т = Е - А, то будем называть (3) методом простой итерации, если же Т = -Б- (Ь + и) ,

то (3) - метод Якоби, где А = Ь + Б + и - разложение исходной матрицы А на нижнюю тре-

угольную, диагональную и верхнюю треугольную матрицы.

Метод простой итерации (3) сходится, если радиус сходимости матрицы перехода [1]

Р = Р(Т)< 1 (4)

В качестве условия выхода из процесса итераций и достижения заданной точности вычислений е принимается

|х(к+1) - х(к)I < ]—Ге (5)

1 1 Р

Условие (4), как правило, является большим ограничением применимости (3).

Значительно расширить область сходимости (3) можно, модифицировав метод и введя в матрицу перехода комплексный параметр к

~ Т - к1 - ф

Т = Т (к) =-, Ф = ^~ (6)

1 - к Г 1 - к

Для многих практически важных случаев конфигурации спектральной области матрицы перехода T возможно построение алгоритма поиска оптимального параметра к0 в (6), минимизирующего радиус сходимости модифицированной матрицы перехода T

P(T(ko)) = min P(T(к)) <1 (7)

к

Путь поиска оптимального параметра в (7) известен [2]. Пусть WT -выпуклая оболочка комплексного спектра матрицы перехода T, а О — некоторый круг, полностью включающий в себя выпуклую оболочку спектра. Если точка 1 на комплексной плоскости не принадлежит выпуклой оболочке, то возможно построение сходящегося ряда (3) с матрицей перехода (6). На рис.1 показано отображение спектральной области матрицы перехода и его изменение при дробнолинейном преобразовании (6). Для оптимальной сходимости необходимо найти круг О0, «видимый» из точки 1 под минимальным углом 2 а, его центр является оптимальным параметром к0, а скорость сходимости определяется при этом, как р = sin(a) .

2. Алгоритмы поиска оптимального параметра сходимости

Для некоторых типов конфигураций спектральной области матрицы перехода возможно построение алгоритма поиска к0. Это такие спектральные области, как круг, комплексный отрезок, треугольник, многоугольник, не содержащие точку 1. Соответственно для классов матриц перехода с такими спектральными областями возможно построение сходящегося ряда оптимальной простой итерации.

ІШ0І

q = q—k о

1 - kn

уk„ /\ «

b „ ) / niax

іш q

Req

Рис. 1. Преобразование комплексной спектральной области матрицы перехода

В частности, для матрицы A с положительным спектром (вещественной или комплексной эрмитовой) область расположения спектра матрицы перехода простой итерации T = E — A есть отрезок на вещественной оси слева от точки 1 и, таким образом, оптимальный параметр

q і q

__ min___шах fQ\

ko = 2 (8)

где 6- = 1 - атаА, 6шаА = 1 - а-„ - минимальное и максимальное вещественные собственные чис-

Ш1П ^ШаХ ШаА Ш1П

ла матрицы перехода Т, ашаА,аш1П- соответственно максимальное и минимальное собственное

диус сходимости в случае вещественных положительно определенных матриц имеет нестационарный метод минимальных невязок [ 1].

Таким образом, оптимальный параметр в рассматриваемом случае может быть найден алгоритмически с помощью степенного метода, не более, чем за (т1 + т2)■ N2 арифметических операций умножения, где т1, т2- число итераций степенного метода при нахождении максимального и минимального собственного числа. Так как нет необходимости определять оптимальный параметр с точностью более, чем в 2-3 значащие цифры, число итераций степенного метода незначительно, т << N , и на общих затратах метода оптимальной простой итерации затраты этой части алгоритма почти не сказываются.

Аналогично, с помощью (8), вычисляется оптимальный параметр в случаях, когда область расположения спектра матрицы Т - окружность, а также окружность и любые включения в её внутреннюю часть, не содержащая точку 1, а также область спектра - комплексный отрезок, расположенный на луче, исходящем из точки 1. Если область расположения спектра близка к перечисленным выше, то формула (8) может служить для приближенного определения оптимального параметра.

Если спектр матрицы Т лежит на произвольном комплексном отрезке, то оптимальный параметр для сходимости модифицированного метода простой итерации есть точка к0 пересечения окружности, проходящей через точку 1 и концы отрезка, с серединным перпендикуляром к отрезку. Таким образом, алгоритм поиска оптимального параметра к0 в этом случае также определен. Обозначим точкой А точку 1 на комплексной плоскости, а точками В и С - точки концов рассматриваемого спектрального отрезка. Обозначим А а = АААЙ, а Ау = ААЙА . Тогда

радиус сходимости оптимальной матрицы перехода Т (я^)

Назовем окружность с центром в точке к0 и проходящую через точки конца отрезка В и С

«оптимальной» для спектра-отрезка, так как её центр - это значение оптимального параметра и она «видна» из точки 1 под минимальным углом.

В случае, если спектр матрицы перехода лежит на ломаной, состоящей из двух отрезков, или на треугольнике, включая его внутреннюю часть, причем выпуклая оболочка спектра не содержит точку 1, алгоритм поиска оптимального параметра также разработан. Для отрезка, входящего в состав треугольника, строится описанная выше оптимальная окружность. Если третья вершина треугольника лежит внутри её, то оптимальный параметр - значение её центра. В противном случае строятся оптимальные окружности для всех сторон треугольника. Если ни одна из них не содержит третью вершину треугольника, то оптимальным параметром является центр описанной вокруг треугольника окружности. Назовем найденную таким образом окружность «оптимальной» для треугольника, так как её центр является оптимальным параметром для сходимости модифицированного метода простой итерации в случае расположения спектральной области матрицы перехода в области комплексного треугольника.

В случае, если спектр матрицы перехода лежит на ломаной, состоящей из нескольких отрезков, или на многоугольнике, быть может включая его внутреннюю часть, причем выпуклая оболочка спектра не содержит точку 1, алгоритм поиска оптимального параметра следующий.

число матрицы А . Радиус сходимости при этом р = , где X = аш1П /ашаА . Аналогичный ра-

(9)

Находится некоторый характерный треугольник из состава многоугольника, «оптимальная» окружность для которого содержит всю область расположения спектра. Значение её центра принимается за оптимальный параметр сходимости.

Особо остановимся на практически важном случае области расположения спектра матрицы перехода, когда точка 0 является точкой накопления спектрального множества.

Такая ситуация может возникать, когда матрица перехода получена в результате дискретизации вполне непрерывного интегрального оператора, точкой накопления характеристических чисел которого может быть только бесконечно удаленная точка. В этом случае одной из вершин характерного треугольника является точка 0, следующей -одна из близких к точке 1 вершин многоугольника, а также вершина многоугольника, наиболее удаленная от точки 0. Если же вся спектральная область сосредоточена вблизи точки 0, то расчет оптимального параметра проводится с помощью формулы (8), где 6тт = 0 .

Ниже приводятся конкретные примеры расчетов оптимального параметра и численные исследования с помощью разработанной библиотеки подпрограмм двумерных и трехмерных задач математической физики. Подробно рассмотрена задача рассеяния электромагнитных волн на локально неоднородных прозрачных структурах в двумерной и трехмерной постановке.

3. Численное решение 2Б и ЭБ задач электромагнитного рассеяния

Рассмотрена стационарная скалярная задача рассеяния электромагнитных волн Е-поляризации на прозрачном неоднородном в сечении бесконечном цилиндре с поглощением или без, которая описывается двумерным интегральным уравнением Фредгольма II рода для комплексной амплитуды полного электрического поля Е = Е0 + Едап, состоящего из суммы падающего и рассеянного в присутствии диэлектрика полей [2]

Е = ТЕ + Е0,

Е (р) = к0 Ц (є(ф —1) Е (^)О(г Щ+Е0 (р) (13)

5

Здесь є(д) = £а ^)/е0 — относительная диэлектрическая проницаемость в области неоднородности 5, являющаяся комплекснозначной функцией координат д, а £0 и к0 — соответственно диэлектрическая проницаемость и волновое число свободного пространства. Функция Грина свободного пространства в двумерном случае выражается через функцию Ханкеля второго рода нулевого порядка G(r) = — ^И0(2)(г), где г = |р — д| — расстояние между точкой истока

q = (х', у') и точкой наблюдения р = (х, у), х , у — система координат, связанная с областью 5, занятой диэлектриком.

Уравнение (13) уже представлено в виде, удобном для применения метода простой итерации. Спектр такого вполне непрерывного интегрального оператора перехода Т дискретный с точкой накопления собственных чисел в т. 0 . Установим закономерности спектральных картин оператора Т (и возникающей при его дискретизации матрицы перехода Т ), а также опишем алгоритмы определения оптимального параметра сходимости итераций в различных типах задач рассеяния.

К первому типу задач относятся задачи рэлеевского рассеяния, когда размеры области неоднородности ё много меньше длины волны 1. В этом случае спектр оператора перехода занимает небольшую область различной формы возле т. 0 (рис. 2 а, б).

0.1

о

Im( m)

ООО

Im( к )-01

-0.2

0

ВЄО

- 0.3-

■0.3

х

о

0.1

Im( m)

ООО

Im( к) +-Н- -

- 0.2-

0.1

-0.1 0 0.1 0.2

- 0.1 Re(m), Re(к), 1 а)

0.2

° 0

0.3

-0.1 0 0.1 - 0.1 Re(m), Re(к) б)

0.2

Рис. 2. Спектральные картины в рэлеевской области

На рис. 2а изображен спектр в задаче рассеяния на малом в сечении круглом цилиндре диаметром ё = 0.11, где 1 - длина волны в свободном пространстве, и с постоянной относительной диэлектрической проницаемостью £= 4 . На рис. 2б - на цилиндре, в сечении которого тонкий, но резонансный по другому размеру прямоугольник со сторонами соответственно 0.011 и 11 при £ = 5. Во всех случаях оптимальный параметр к есть центр отрезка, соединяющего т. 0 и т , где т - наибольшее по модулю собственное число спектра, т.к. центр оптимальной окружности для этого отрезка лежит практически в его центре ввиду отдаленности точки 1, и эта окружность включает в себя все точки спектра. Таким образом, в рэлеевской (быть может только по одной координате) области оптимальный параметр

к = — 2

а радиус сходимости оптимального ряда простой итерации

(14)

Р =

к «и

1 -к 2

<< 1

В ближней резонансной области, когда ё < 1, оптимальный параметр может иметь близкое к (14) значение.

0.5

0.5

Im( m) 0

ООО

Im( к)

-0.5

0

Е> 0

- 1 -!

№ О L J

“Г 'v О

0 0.5

0.5 О

Imil-L)

0-0-0

Ык)

О

Е> □

-2

+ ••■Ор 1—1 >

о'

- 0.2 Re(m), Re(к), 1 а)

1.2

-2

Е_е(' |_ь') ,Е_е('-к:), 1 2

б)

Рис. 3. Спектральные картины ближнего резонансного рассеяния

Так, на рис. 3 показана спектральная картина для рассеяния на круглом цилиндре с £= 4 . На рис. 3а,б ё = 0.21 и ё = 0.51 соответственно. На обоих рисунках параметр кесть центр

0

1

описаннои окружности вокруг треугольника, построенного на первых трех числах, и эта окружность включает весь спектр. Значение /г весьма близко к (14).

Таким образом, в рэлеевской и ближней резонансной области оптимальный параметр для сходимости метода простой итерации с достаточной для быстрой сходимости точностью определяется по простой формуле (14), где т эффективно, ввиду обособленности этого собственного числа, находится степенным методом.

Наиболее трудоемок для расчетов случай резонансного рассеяния, когда длина волны в среде соизмерима или меньше области неоднородности. Характерные спектральные картины в этой области представлены на рис. 4, 5. Линейные размеры спектральной области намного больше 1, а спектральные точки на комплексной плоскости почти вплотную подходят к т. 1. Это ухудшает обусловленность задачи и уменьшает скорость сходимости процесса итераций. Тем не менее, из-за большого числа неизвестных, необходимых для хорошей аппроксимации задачи в этой области, имеет место выигрыш как во временных затратах, так и в ресурсах памяти при использовании метода оптимальной простой итерации.

Так, на рис. 4а,б, в представлены спектральные картины рассеяния на круговом однородном цилиндре без поглощения диаметром ё = 1, ё = 21 и ё = 31 и с диэлектрической проницаемостью е = 4, е = 2 и е = 2 соответственно.

а)

1т(ц.)

0-0 -о 1ш(к)

О

О-В

■В Ор у.,,;;'-

ч\ " _ 4 ч ■- -■ "в . - -"-о»

2

2

-3 Ей(ц.),йе(к),1

в)

Рис. 4. Спектральные картины резонансного рассеяния на круговом однородном цилиндре

На рис. 4а оптимальный параметр есть центр описанной окружности вокруг треугольника, образованного первым, пятым собственным числом и точкой накопления - т. 0 . На рис. 4б,в аналогичными определяющими треугольниками являются треугольники, образованные верхними точками спектра на рисунке вдоль вещественной оси и вблизи т. 1. При этом оптимальная окружность охватывает все точки спектра и обеспечивает достаточно быструю сходимость ите-

раций. На рис. 4б,в при общем числе узлов сетки N = 432 и N = 768 соответственно число итераций для достижения точности решения в е = 10-5 составило т = 65 и т = 186, что в условиях комплексной матрицы обеспечивает временной выигрыш более, чем в 10 раз по сравнению с прямыми методами.

Конечно, определение спектральной картины также требует машинных затрат » п3. Однако, оказалось, что область локализации дискретного спектра вместе с оптимальным параметром ( к на рисунках) устанавливается с достаточной для дальнейших расчетов точностью при совсем слабой точности аппроксимации задачи в 2-3 сеточных узла на длину волны в среде; при улучшении точности аппроксимации до требуемых 8-10 узлов на длину волны в среде практически не изменяется. Практически не изменяется при этом и количество итераций, необходимое для достижения заданной точности. Размерность же СЛАУ п увеличивается при этом в 10-16 раз для двумерных задач и в 30-64 раз для трехмерных при отсутствии временных затрат на определение оптимального параметра. Все значения оптимальных параметров на представленных выше и ниже примерах были определены для небольших значений п < 100... 200 и при расчетах с большими значениями п не изменялись.

Описанные выше задачи рассеяния на однородных круговых двумерных цилиндрах имеют методическое значение для апробации алгоритма в силу существования строгого решения (методом разделения переменных).

На основе описанной методики и разработанной библиотеки программ для решения СЛАУ методом оптимальной простой итерации численно исследовались практические задачи рассеяния и поглощения на цилиндрических неоднородных несимметричных телах с диэлектрической проницаемостью, соответствующей биологическим мышечным и костным тканям в различных диапазонах длин волн.

На рис. 5 представлена спектральная картина задачи рассеяния и поглощения плоской электромагнитной волны частоты 0.9 Ггц на мышечном цилиндре диаметра 0.25м с несимметричным костным включением. Комплексная диэлектрическая проницаемость тканей в этом диапазоне составляет соответственно е = 52 - 62/ и 14 - 3/.

Рис. 5. Спектральная картина резонансного рассеяния на неоднородном цилиндре

Поведение спектра возле точек 0 и 1 выделено на рис. 5 отдельно. Число точек спектра на рис.5 п = 192, что соответствует 2.5 узлам сетки на длину волны в мышечной среде. Оптимальный параметр найден как центр описанной окружности вокруг ближайшего к т. 0 треугольника, образованного точкой накопления собственных чисел - т.0, собственным числом на вещественной оси слева от т.0 и одним из собственных чисел справа от т.1.

Расчет задачи поглощения проведен с этим оптимальным параметром при достаточной аппроксимации в 7.5 узлов на длину волны в мышечной среде. При этом общее число комплексных неизвестных составило 1728, что уже недоступно для расчетов на ПЭВМ с помощью пря-

мых методов. Решение с точностью е = 10 5 по электрическому полю получено за т = 950 итераций и заняло несколько минут машинного времени.

Рис. 6. Г еометрия области резонансного рассеяния на неоднородном цилиндре и диаграмма поглощения

Для сравнения приведем данные о том, что нестационарные итерационные методы вариационного типа, такие как, например, многошаговый метод минимальных невязок [2], требуют для аналогичного решения на порядок большего количества итераций.

На рис. 6 приведена картина равномерных сеточных узлов двумерной неосесимметричной области рассеяния и 2D диаграмма сечения поглощения электромагнитной волны при ее распространении со стороны неоднородного включения. Моделирование таких задач необходимо при конструировании устройств СВЧ-гипертермии и СВЧ-диагностики биологических тканей.

В векторных случаях стационарной задачи рассеяния электромагнитных волн, а это случаи H-поляризации двумерного рассеяния и общий трехмерный векторный случай, интегральный оператор задачи является сингулярным, а спектр оператора перехода имеет непрерывную и дискретную составляющие. Общий вид интегрального уравнения в этих случаях [2]

Ё (p) = Е0 (р) + v (£(р) - Г)Ё (р) +

+v. p.J (e(q) -1) Ё (q)k02G(r )dQ + J ((e(q) -1) Ё (q), grad) gradG(r )dQ (15)

Q Q

Здесь основные обозначения имеют тот же смысл, что и в (13), v.p. - сингулярный интеграл

в смысле главного значения, коэффициент v во внеинтегральном члене имеет значение v = 1 в трехмерном векторном случае и v = 1 в двумерном векторном случае, функция Грина в трех-

мерном случае G(r)

exp(-ik0r )

4рг

Рассмотрим случай, когда функция комплексной диэлектрической проницаемости имеет в области р набор кусочно-постоянных значений е,г = 1..п, например, одно значение е1, отличное от значения в свободном пространстве е1 Ф1. Непрерывный спектр оператора перехода состоит при этом из отрезков [0,1 — е ], г = 1.п, в частности из одного отрезка [0,1 — е1 ], независимо от конфигурации и размеров области. Дискретный же спектр имеет те же закономерности, что и в скалярном двумерном случае.

Поэтому в рэлеевской области, когда дискретный спектр несущественно сосредоточен возле т. 0, в случае вещественных е > 1, г = 1п, оптимальный параметр для сходимо-1 — е

сти есть к =-----—, где £тах = тах е, г = 1 п.

тах г

Так, на рис. 7а представлен спектр оператора перехода в двумерном векторном рэлеевском случае. Размер диэлектрического квадрата в сечении цилиндра ё = 0.0751, где 1- длина волны,

1 — є

значение проницаемости є = 2. Таким образом, к = =—0.5- значение оптимального пара-

метра сходимости.

На рис. 7б та же задача в резонансном случае ё = 0.751 и дискретный спектр вносит существенную поправку в оптимальный параметр к = —0.5 — 0.8/.

0.5

ИР)

9-Є-Є

ВД

++

—0.5

0 1

0.5

Іт( Р) ООО

Іт( 1) ООО

Іт( к)

— 1.5

+ ^

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5

— 1.5 Я.(Р)ДЄ1)ДЄк) 1.5

-1 0

— 1.5 Яе(Р),Яе(1),Яе(к)

1.5

а) б)

Рис. 7. Спектральные картины рэлеевского и резонансного трехмерного рассеяния

На рис. 8 представлено решение трехмерной векторной задачи рассеяния на кубе со стороной к0ё = 0.751, где 1 - длина волны в свободном пространстве, и проницаемостью є = 4 . Расчет спектра и значения оптимального параметра к = —1.5 — 2.4/ на рис. 8а проведен при слабой аппроксимации задачи в 3 узла расчетной сетки на длину волны в среде при общем количестве узлов сетки N=6*6*6=216. При этом вещественная часть оптимального параметра получена из

1 — є

непрерывного спектра к = =—1.5.

Диаграмма направленности на рис. 8б, которая уже не изменяется при дальнейшем улучшении аппроксимации, получена при этом же оптимальном параметре и общем числе узлов сетки N=9*9*9=729. Размер комплексной матрицы перехода при этом 3*N=2187. Решение задачи такого размера недоступно с помощью существующих библиотек подпрограмм, основанных на прямых методах решения СЛАУ.

ІіиСР)

1т(1)

Ык)

-2

-3.9

\

+

ВД),1ВД,К*(к)

а) б)

Рис. 8. Спектральная картина и диаграмма направленности для резонансного куба

0

ЛИТЕРАТУРА

1. Самарский А. А., Гулин А.В. Численные методы. - М.: Наука, Гл.ред.физ.-мат.лит., 1989.

2. Самохин А.Б. Интегральные уравнения и итерационные методы в электромагнитном рассеянии. -М: Радио и связь, 1998.

A METHOD OF OPTIMAL SIMPLE ITERATION FOR SOLVING THE LARGE DIMENSION COMPLEX SLAE AND A NUMERICAL SOLUTION OF 2D AND 3D ELECTROMAGNETIC

SCATTERING PROBLEMS

Kulikov S.P., Abdel Malik D.

In the present work the problem of optimum convergence for the method of the modified simple iteration for liner system of large dimension with special types of matrixes is studied. Algorithms for finding the optimal parameter of convergence of the method are developed for various configurations of a convex complex environment of the spectrum of a transition matrix. On this basis the numerical solution of two- and three-dimensional problems of an electromagnetic scattering and absorption on locally non-uniform transparent bodies is presented.

Сведения об авторах

Куликов Сергей Павлович, 1953 г.р., окончил МФТИ (1975), доцент кафедры «Прикладная математика» МИРЭА, автор более 30 научных работ, область научных интересов - математическое моделирование и комплексы программ, итерационные методы решения СЛАУ, интегральные уравнения.

Абдель Малик Джихан, окончила Владимирский технический институт (1995), область научных интересов - вычислительные методы математической физики.