CC BY
29УДК 519.718:004.722 DOI:10.31854/1813-324X-2021-7-2-37-43
Метод ограничений в многокритериальной задаче распределения потоков
С.П. Ковальский1 , О.В. Титова2 , И.Г. Стахеев2 , Н.И. Фокин1
Академия ФСО России, Орел 302015, Российская Федерация
2Санкт-Петербургский государственный университет телекоммуникаций им. проф. М.А. Бонч-Бруевича, Санкт-Петербург, 193232, Российская Федерация *Адрес для переписки: ni_fokin@mail.ru
Информация о статье
Поступила в редакцию 25.02.2021 Принята к публикации 11.05.2021
Ссылка для цитирования: Ковальский С.П., Титова О.В., Стахеев И.Г., Фокин Н.И. Метод ограничений в многокритериальной задаче распределения потоков // Труды учебных заведений связи. 2021. Т. 7. № 2. С. 37-43. DOI:10.31854/1813-324X-2021-7-2-37-43
Аннотация: В статье предлагается новый подход к решению многокритериальной задачи формирования ресурсов транспортной сети связи, основанный на сочетании одного из методов многокритериальной оптимизации - методе ограничений и симплекс-методе. Задача декомпозируется и решается поэтапно. На первом этапе формируется множество путей допустимого ранга. На втором производится расчет структурной надежности сформированного на первом этапе множества путей. На заключительном этапе осуществляется выбор оптимальной по целевым функциям, характеризующим стоимость и пропускную способность, совокупности путей транспортирования потоков корреспондирующих пар узлов, который сводится к решению многокритериальной задачи формирования ресурсов транспортной сети связи методом ограничений.
Ключевые слова: многокритериальная оптимизация, многопродуктовый многополюсный потоковый граф, симплекс метод, метод ограничений, корреспондирующая пара узлов, эффективная альтернатива.
1. ВВЕДЕНИЕ
Практика решения задач формирования ресурсов (ЗФР) транспортной сети связи (ТСС) свидетельствует о необходимости учета целого ряда показателей, таких как расход сил и средств на построение и эксплуатацию сети, структурная надежность сети, пропускная способность сети, пропускная способность сечения, пропускная способность квазисечения и т. д. На основании этого можно сделать вывод о том, что задача формирования ресурсов транспортной сети связи является многокритериальной. Следовательно, сам характер задачи приводит к необходимости использования многокритериальных методов решения данной задачи [1-4]. При этом в настоящее время задачи синтеза транспортных сетей решаются, как правило, по одному критерию, а остальные показатели представляются в виде ограничений [5-13]. Следовательно, весьма актуальной является разработка подхода, при котором учитываются сразу несколько показателей в качестве целевых функций. В настоящей работе приведен такой многокритериальный подход к решению задачи формирования ресурсов транспортной сети.
2. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ТРАНСПОРТНОЙ
СЕТИ СВЯЗИ
Для решения ЗФР целесообразно использовать теоретическую модель многополюсной многопродуктовой сети. Совокупность направлений связи (НС) создают в сети потоки различных продуктов, которые не взаимозаменяемы, не смешиваются, существуют одновременно и независимо друг от друга. Единицей потока к -го продукта считается составной типовой цифровой канал, образованный в интересах к-ой корреспондирующей пары узлов (КПУ).
В качестве математической модели структуры ТСС используется многопродуктовый многополюсный потоковый граф [1-7]:
С (А, В, и, Н),
где А = {а.]),] = 1Ж В = {Ъ п},], I = 1Л,] Ф 1,\В\ = п - множество узлов и линий; и = ], I = 1,№,] Ф I ,Н = {Ь7- 1},]Л = Ф I , - векторы про-
пускных способностей и надежности линий, соответственно.
НС формируют не взаимозаменяемые, не смешивающиеся и существующие одновременно и независимо друг от друга потоки различных продуктов.
3. ПОСТАНОВКА МНОГОКРИТЕРИАЛЬНОЙ
ЗАДАЧИ ФОРМИРОВАНИЯ РЕСУРСОВ
Для решения многокритериальной задачи формирования ресурсов транспортной сети связи методом ограничений перейдем от множеств дискретных элементов сети - узлов и ребер к комбинаторным пространствам путей [1-7].
Для постановки многокритериальной задачи формирования ресурсов введем следующие понятия.
Направление связи, организованное на сети в интересах к-ой КПУ, представляет собой совокупность путей nfc = [пк}, к = 1, т, t = 1,2,... из узла ask в узел адк , t - номер пути.
Понятия пути пк из узла as в узел ад, ранга пути -r(nSg) (число ребер, образующих путь) и допусти-
г<гдоп rt
мого пути - пк' = п^ (путь, ранг которого не превышает допустимого значения) введены в [11].
Допустимый ранг пути - гдои (п£) между КПУ на сети ограничен допустимым числом транзитов составного цифрового канала (ЦК), исходя из выполнения самых жестких требований со стороны услуг электросвязи к эксплуатационным нормам на параметры составного ЦК [1-7].
Поэтому при решении ЗФР целесообразно рассматривать не все множество возможных путей -Пк = [пк}, к = 1,т, t = 1,2,... , а только допустимые пути, для которых выполняется неравенство:
г(пг/) < гдоп(п1), к = 1/т. (1)
Следовательно, для решения ЗФР будем учитывать (1) между КПУ:
Z = {zk}, zk = (ask, atk), к = 1, т .
Синтезируемая транспортная сеть связи формируется с использованием узлового Ry и линейного ресурсов ИЛ [1-7]:
Ry = {г*-, wf,df,yJ, U-, Hj}, r = ф = 1Qf,
иЛ = {r%, ,д»,Y%, V ^ H^ r = 1Qr, p = 1Q».
где r% - тип системы передачи; rf - тип сетевого узла; д^ и wf,df - нормированные коэффициенты аппроксимации приведенных затрат на развертывание и эксплуатацию p -го линейного и ф-го узлового средства, соответственно; y% и Y- -стоимость одного канало-километра ij-й линии p-й системы передачи и стоимость одной точки коммутации i-го узла ф-го узлового средства, со-
ответственно; и», и* - количество каналов и трактов, образуемых г» и коммутируемых г* средствами, соответственно; Н», Щ - векторы эксплуатационных надежностей для г» и г* оборудования, соответственно; Т» - вектор параметров структуры г» системы передачи (длины регенера-ционных и усилительных участков, секций дистанционного питания и т. п.); а» - вектор эксплуатационных норм на характеристики каналов и трактов.
В соответствии с целевым использованием ТСС, целевыми критериями ее синтеза могут быть пропускная способность П и расход сил и средств С на построение и эксплуатацию сети:
П = Г1(П2, г», г* , Нтр) = Ш,
С = г», г*, , Нтр) = Ш.
Тогда многокритериальная ЗФР состоит в выборе альтернативы 5 6 в: = , при которой:
штАГ; (В) = V1 -11 (вО , V = 1$ , Ф = 17^
в 11 (в) Ъ2 (в) , Ц ^ Ф
При решении многокритериальной ЗФР учитывают следующие ограничения:
Ь-свк
= ^ (2)
1 = 1 т ^свк
^ ^ = ч,
к=1 Ь=1
= 1, ЧЪ^ 6 п1, = 0, ЧЪ^ £ п1, (3) и] = ^ОТШ, у{ = ^ОТШ, I = 1,...,4, к = 1, т, Ь = 1, ксвк, ] = 1, п .
Получение содержательного решения данной задачи связано с трудностями принципиального характера, являющимися следствием содержания этой задачи, требующей увязки различных противоречивых требований в рациональном решении. Учитывая эти факты, ЗФР декомпозируется и решается поэтапно. На первом этапе формируется множество путей допустимого ранга. На втором производится расчет структурной надежности сформированного на первом этапе множества путей. На заключительном этапе осуществляется выбор оптимальной по целевым функциям, характеризующим стоимость и пропускную способность, совокупности путей транспортирования потоков корреспондирующих пар узлов.
4. РЕШЕНИЕ МНОГОКРИТЕРИАЛЬНОЙ ЗАДАЧИ
ФОРМИРОВАНИЯ РЕСУРСОВ 4.1. Нахождения множества допустимых путей
Для нахождения множества допустимых путей разработан ряд алгебраических методов. Наиболее
распространенным является метод, основанный на возведении структурной матрицы в степень [14]. Этот метод практически исключает появления ошибок и позволяет получать результат в довольно удобной для дальнейшего использования форме.
В [14] дано определение структурной матрицы В = ||Рд|| . В этом же источнике матрица В = ||Рд|| , определяется как булева матрица, к которой применяется аппарат булевой алгебры логики, и при этом используются следующие преобразования:
аАа = а; aV а = а; 1 А = a; a A (aV b) = а; aV aAb = а; а Л а' = 0; aV а' = 1.
(4)
Для нахождения множества путей между заданными КПУ (как всех, так и удовлетворяющих заданному свойству (рангу)) следует последовательно возводить структурную матрицу во вторую, третью и т. д. В итоге мы получим характеристическую матрицу. Если требуется найти все пути не более гдоп, матрицу следует возводить только до гдоп -ой степени, тогда каждое вхождение данной матрицы будет содержать все пути от узла а^ к узлу а1 ранга не более гдоп.
Нахождение множества всех путей п\ от а^ к а1 осуществляется путем раскрытия определителя матрицы Ву с вычеркнутыми ] -м столбцом и I -й строкой:
<
= detB0 =
В;
(5)
4.2. Расчет структурной надежности множества
путей
Исходя из основного предназначения ТСС, наиболее конструктивным показателем структурной надежности является вероятность наличия связи между КПУ - Н2к, к = 1, т. Наличие связи означает существование хотя бы одного исправного пути между 1к [1-6]. Тогда показателем структурной надежности ТСС станет вероятность связности Н, которая представляет собой вероятность наличия, по крайней мере, одного исправного пути между любой парой узлов сети. Один из возможных подходов преобразования требований к структурной надежности сети в требования к связности заключается в следующем. Направление связи представлено математической вероятностной моделью, состоящей из к путей с надежностями каждого пути - НпI,, Ь = 1, к, к = 1, т. Считается, что отказы
элементов путей (ребра графа): независимые события. Тогда надежность ИНС может быть рассчитана с помощью алгоритма ортогонализации.
В [14] имеется следующее утверждение: отрицание конъюнкции Ж] = х^х?...х*1 эквивалентно дизъюнкции:
к; = х^ V х^хП2 V.. .V х^хП2... хП^хП'1. (6)
Выражение (6) можно переписать в следующем виде:
(Xi
. xj =
X'
=
xi
Ху у у *V*
1л2Л3. . . At-1At
(7)
Справедливость преобразования (6) доказана в монографии [15]. Доказательство построено на основе теоремы разложения, которая применяется последовательно для элементов х±,х2,...,х(-1 к элементарной дизъюнкции, получаемой в соответствии с правилом де Моргана из элементарной конъюнкции Кр
D; = х?1 V X?2 V.. .V xntV X,
(8)
На основании теоремы разложения [15] функцию алгебры логики можно записать как:
Х2, Х3,..., X], х]+1,..., хп) =
/
= V Х^Х?.. . х}'/^!, Т\2,. .., Ц], Х;+1,..., Хп).
Булева функция [(х^^,х2,х3,...,хп), представленная в [15] в виде дизъюнктивной нормальной формы (9), эквивалентна функции (10):
f(xi,Х2,Хз,...,xn) = V Kj,j < 2n ,
]=i
f (xi, X2, X3,..., xn ) = = KiV K'K2 V К'К2Кз V.. .V К'К'КЗ... K^n-iKm.
(9) (10)
В матричной форме записи уравнения (9) и (10) принимают вид:
f(xix2x3. . . Xt) =
к,
К2
кт
Ki
KiK2K3... K^-iKm
(11)
Справедливость выражения (11) также доказывается с помощью теоремы разложения. Далее дизъюнкция (11) приводится к дизъюнктивной нормальной форме, в результате получаем ортогональную дизъюнктивную нормальную форму (ОДНФ) булевой функции х1,х2,х3,...,х1) , т. е. производится преобразование условий работоспособности системы к ОДНФ, после чего производиться расчет вероятности безотказной работы системы согласно выражению:
н\г(Х1, х2, х3.....хп) =у1 Щ = 1) = = 1} , (12)
}=1
где Щ - ортогональные члены записанной в ОДНФ [15] функции ¡(хг, х2, х3,..., хп).
4.3. Решение многокритериальной задачи формирования ресурсов ТСС методом ограничений
Основой поиска компромиссного решения ЗФР является система неравенств:
PjWj (ß*) < Ko (min) (]E]),
(13)
где 5* 6 в - эффективная альтернатива при заданном векторе предпочтений - р 6 Р+ [2, 16].
Решение находится путем построения итерационного процесса с параметром к0 6 (0, 1/М) с проверкой совместимости системы неравенств (13) для 5 6 в и заданного вектора р.
Переходим к решению конкретного примера решения ЗФР. Дана сеть связи, представленная на рисунке 1.
Рис. 1. Сеть связи
Fig. 1. Communication Network
Даны матрицы пропускных способностей, стоимости и надежности линий:
П i =
О 6А О l6
6А О l6 l6
О l6 О 256
l6 l6 256 О
О l6 О А
16 О А А
0 А О 6А
А А 6А О
О О,9 О О,9
О,9 О О,9 О,9
О О,9 О О,9
О,9 О,9 О,9 О
с0
Н J =
Пусть длина составного ЦК ограничена условием гдоп < 3. Необходимо организовать два информационных направления связи (ИНС) - 213 и , емкости ИНС - > 25 , > 15, надежность ИНС -Н > Нтр > 0,95. Также требуется найти распределение потоков на сети, удовлетворяющее заданным требованиям.
Решение задачи. Определить допустимое распределение потоков [(Б) по путям 5 6 5, при этом необходимо максимизировать количество каналов по каждому ИНС Ф1(Б)(] 6 Л) и минимизировать функцию стоимости (аренды) каналов Ф2(Б)(] 6 /2). Найти:
ФЛ^у) ^ max , ly'hyj f(s) ,sES
ф2(ау) ^ min ,
(14)
(15)
если
Н>Нтр, f(S) > 0, fu 0 <CU ) (16)
С учетом исходных данных ограничение (16) запишем в виде: Н > Нтр > 0,95, f13) > 25, f{2fl) > 15. Для нахождения путей для Z13 и Z24 (при гДоп < 3) возводим структурную матрицу В = ||Ру || в третью степень. Вхождения хИ.з = abV edV ecb V ас и Улл = cvbdvae дают множество путей для Z13 и Z2fi, соответственно.
Используя алгоритм ортогонализации (6-12), произведем расчет надежности найденных путей (с учетом значений Rj = R¿ = 0,9, V ji = 1, ..., 5 ), получим:
Н13(У13) = 0,97848 > Нтр и H2A(Y2A) = 0,99639 > Нтр.
Потоки по информационным направлениям Z13 = abV edV ecb V acá и Z2¡4 = cV bdVae определим следующим образом:
f(1,3) = f(ab) + f{ed) + f(acd) + f(ecb), (17)
f(2,4) = f( c) + f(bd) + f(ae). (18)
Запишем условия допустимости потоков:
f(ab) + f{acd) + f(äe) < с12 , f(ed) + f(ecb) + f(ae) < C14 , f(ab) + f (ecb) + f(bd) < c23 , f(c) + f (ecb) + f{acd) < C24 , f(ed) + f(acd) + hbd) < c34 .
Введем следующие обозначения:
V1 = f{ab), v2 = f(acd), V3 = f(ae), v4 = f(ed), v5 = f(ecb), v6 = ^bd), v7 = he).
Для ребра (1,2) Для ребра (1,4) Для ребра (2,3) Для ребра (2,4) Для ребра (3,4)
(19)
(20) (21) (22) (23)
(24)
С учетом выражений (19-24) получим следующую бикритериальную задачу оптимизации:
Ф1а): mjix{Ul + V2 + V3 + V4 + v5 + V6 + V-},
пуп^О^ + 8Ау2 +20v3 + 68v4 + 12v5
V
+ 68v6 + Ау7}
Ф (f)
при ограничениях:
(2S) (2 б)
gÀïï - g8(v):
vl + v2 + v3 < 6А, v4 + v5 + v3 < 16, vl + v5 + v6 < 16, v7 + v5 + v2 < 16, v4 + v2 + v6 < 256, vl + v4 + v5 + v2 > 25, v3 + v6 + v7 > 15, v¿ > 0, i = 17.
(27)
Если р1 = р2 = 1/2, то у1 = 16, у2 = 16, у3 = 0, у3 =16, и5 = 0, и6 = 0, и7 = 0 - план, оптимальный по первому критерию; и1 = 15, и2 = 9, и3 = 0, и4 = 9, = 1, и6 = 0, и7 = 15 - план, оптимальный по второму критерию; Ф°(/) = 48, Ф°(/) = 984 - соответствующие оптимальные значения критериев,
Фт™(/) = 40, Ф2тах(/) = 3520- наихудшие значения критериев Ф1 (/) и Ф2 (/) на множестве ограничений.
Функции относительных потерь примут вид:
w^v1 ): plWl (v) = 1 48 - Vi - V2 - v3 - v4 - v5 - v6 - v7 2 8 ' (28)
W2(vl ): 1 20v1 PiWi(v) = ■ + 84v2 + 20v3 + 68v4 + 12v5 + 68v6 + 4v7 - 984 2536 . (29)
Эквивалентная задача линейного программирования (25-27) в соответствии с выражениями (28, 29), а также в соответствии с [16] принимает вид:
4>(f): min{ro = (30)
при ограничениях:
v1 + v2 + v3 < 64, v3 + v4 + v5 < 16,
V1 + v5 + v6 < 16, v2 + v5 + v7 < 16, v1 + v2 + v4 + v5 > 25,v2 + v4 + v6 < 256 , v3 + v6 + v7 > 15,
111111
-v1 + - v2 + - v3 + - v4 + - v5 + - v6 +
2 1 2 2 2 3 2 4 2 5 2 6 (31)
1
+ 2v7 + + 8v8 - 24 > 0,
-1 ■ (20v1 + 84v2 + 20v3 + 68v4 + 12v5 + +6Qv6 + 4v7) + 3536v8 + 492 > 0, vt > 0 , i = 18 .
Решение:
min k0 « 0,02818991, v1 = 16, v2 =0, v3 = 6,5, v4 = 9, v5 = 0, v6 = 0, v7 = 16, Ф?(/) = 47,5, Ф°2(Т) = 1126.
Полученное решение единственное, и оно является точным решением задачи, поскольку для него w^v1) = w2(vl) « 0,02818991,т. е. одинаковы относительные потери от оптимальных значений по обоим критериям.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Задача формирования ресурсов транспортной сети связи по своей природе является многокритериальной. При этом в настоящее время она решается, как правило, по одному критерию, а остальные показатели представляются в виде ограничений. Поэтому весьма актуальной является разработка подхода, при котором учитываются сразу несколько показателей в качестве целевых функций. При этом следует отметить, что если задачу формирования ресурсов решать на основе введения глобального критерия в виде суммы взвешенных относительных потерь - тт^м/^и) + р2ж2(у)}, то
иес
такое условие не обеспечит равноценность критериев. Следовательно, необходима разработка нового подхода.
В настоящей статье предложен новый подход, основанный на сочетании метода ограничений и симплекс-метода. С учетом высокой сложности задачи решение осуществляется путем ее декомпозиции: формирование множества путей допустимого ранга, расчет структурной надежности сформированного множества путей и выбор оптимальной по целевым функциям, характеризующим расход сил и средств, а также пропускную способность, совокупности путей транспортирования потоков корреспондирующих пар узлов. Конкретный пример, рассмотренный в статье, демонстрирует конструктивность и системность предлагаемого подхода.
При этом следует отметить, что данный подход разработан для задач, допускающих дробное решение. Дальнейшем развитием многокритериального подхода может стать подход, учитывающий комбинаторную природу ряда задач синтеза транспортных сетей.
Список используемых источников
1. Лебедев А.Т., Лебедев И.А., Тумановский В.В. Построение региональных цифровых сетей связи // Научно-технический сборник. Телекоммуникационные технологии. Выпуск 1. СПб.: ГУП НИИ «Рубин», 2000.
2. Фокин Н.И. Многокритериальная задача распределения информационных потоков транспортной сети связи // Вопросы радиоэлектроники. 2019. № 12. С. 64-69. DOI:10.21778/2218-5453-2019-12-64-69
3. Муравцов А.А., Стахеев И.Г., Фокин Н.И., Шинкарев С.А. Синтез потоковой структуры мультипротокольной транспортной сети связи региона с учетом обеспечивающих и взаимодействующих подсистем при заданной надежности передачи их потоков // Научные труды SWORLD. 2011. Т. 6.№ 1. С. 32-34.
4. Ковальский С.П., Фокин Н.И., Абдуразаков Р.М., Никитин М.В. Формирование структуры транспортной сети связи // International Journal of Open Information Technologies. 2016. Т. 4. № 6. С. 10-16.
5. Канаев А.К., Лукичев М.М., Муравцов А.А. Синтез потоковой структуры транспортной сети связи с использованием имитационного моделирования // Известия Петербургского университета путей сообщения. 2015. № 2(43) С. 105-111.
6. Трегубов Р.Б., Саитов И.А., Саитов С.И. Элементы теоретико-множественного базиса и системы моделей многопутевых многоадресных инфокоммуникационных систем // Труды СПИИРАН. 2017. Т. 2(51). С. 35-59. D01:10.15622/ sp.51.2
7. Ясинский С.А., Зюзин А.Н. Подход к модернизации топологии транспортных сетей связи на основе кольцевых структур // Информация и космос. 2019. № 1. С. 22-29.
8. Шарифов Ф.А. Задача синтеза надежных сетей // Кибернетика и системный анализ. 2000. Т. 36. № 4. С. 145-157.
9. Шор Н.З., Шарифов Ф.А. Общая задача синтеза надежных сетей // Проблемы информатики и кибернетики. 2006. № 2-3. С. 184-202.
10. Шарифов Ф.А., Гуляцкий Л.Ф. Модели и сложность задач проектирования и реконструкции телекоммуникационных и транспортных систем // Кибернетика и системный анализ. 2014. Т. 50. № 5. С. 49-58.
11. Форд А., Фалкерсон Д. Потоки в сетях. Пер. с англ. М.: Мир, 1966. 276 с.
12. Фрэнк Г., Фриш И. Сети, связь и потоки. Пер. с англ. М.: Связь, 1978. 448 с.
13. Ху Т. Целочисленное программирование и потоки в сетях. Пер. с англ. М.: Мир, 1974. 518 с.
14. Давыдов Г.Б., Рогинский В.Н., Толчан А.Я. Сети электросвязи. М.: Связь, 1977. 360 с.
15. Рябинин И.А., Черкесов Г.Н. Логико-вероятностные методы исследования надежности структурно сложных схем. М.: Радио и связь, 1981. 264 с.
16. Михалевич В.С. Вычислительные методы выбора оптимальных проектных решений. Киев: Наукова думка, 1977. 289 с.
* * *
Method of Restrictions in the Multicriteria Task of Allocation of Flows
S. Kowalski1 , O. Titova2 ,1. Stanheev2 , N. Fokin1
Russian Federation Security Guard Service Federal Academy, Orel, 302015, Russian Federation
2The Bonch-Bruevich Saint-Petersburg State University of Telecommunications, St. Petersburg, 193232, Russian Federation
Article info
D0I:10.31854/1813-324X-2021-7-2-37-43 Received 25 th February 2021 Accepted 11th May 2021
For citation: Kowalski S., Titova O., Sta^eev I., Fokin N. Method of Restrictions in the Multicriteria Task of Allocation of Flows. Proc. of Telecom. Universities. 2021;7(2):37-43. (in Russ.) D0I:10.31854/1813-324X-2021-7-2-37-43
Abstract: In article the new approach to the decision of the multicriteria task of formation of resources of a transport communication network based on a combination of one of methods of multicriteria optimization - a method of restrictions and a simplex a method is offered. The task is decomposed also dares stage by stage. At the first stage the set of ways of an admissible rank is formed. On the second calculation structural reliabilities of the set of ways generated at the first stage is produced. At the final stage the choice optimal on the criterion functions characterizing cost and carrying capacity, set of ways of transportation of flows corresponding pairs of nodes which is reduced to the decision of the multicriteria task of formation of resources of a transport communication network by a method of restrictions is carried out.
Keywords: multicriteria optimization, multiproduct multipole flow graph, simplex method, method of restrictions, corresponding pairs of nodes, efficient alternative.
References
1. Lebedev A.T., Lebedev I.A., Tumanovsky V.V. Construction of Regional Digital Communication Networks. Scientific and Technical Collection. Telecommunication Technologies. Iss. 1. St. Petersburg: Research Institute "Rubin" Publ.; 2000.
2. Fokin N. I. Multicriteria Task of Distribution of Flows of a Transport Communication Network. Issues of Radio Electronics (Voprosy radioelektroniki). 2019;12:64-69. DC)I:10.21778/2218-5453-2019-12-64-69
3. Muravtsov A.A., Stakheev I.G., Fokin N.I., Shinkarev S.A. Synthesis of the Streaming Structure of a Multi-Protocol Transport Communication Network of the Region, Taking into Account the Supporting and Interacting Subsystems with a Given Reliability of the Transmission of their Streams. Nauchnyye trudy SWORLD. 2011;6(1):32-34.
4. Kovalskiy S.P., Fokin N.I., Abdurazakov R.M., Nikitin M.V. Formation of the Transport Network Structure. International Journal of Open Information Technologies. 2016;4(6):10-16.
5. Kanaev A.K., Lukichev M.M., Muravtsov A.A. Synthesis of Streaming Structure of Transportation Communication Network, Using Simulation Modeling. Proceedings of Petersburg Transport University. 2015;2(43):105-111.
6. Tregubov R.B., Saitov I.A., Saitov S.I. Elements of the Set-Theoretic Base and System of Models of Multipath Multi-Address Infocommunication Systems. SPIIRAS Proceedings. 2017;2(51):35-59. D0I:10.15622/sp.51.2
7. Yasinsky S.A., Zyuzin A.N. An Approach to Modernizing the Topology of Transport Communication Networks Based on Ring Structures. Information and Space. 2019;1:22-29.
8. Sharifov F.A. The Problem of Synthesizing Reliable Networks. Cybernetics and Systems Analysis. 2000;36(4):145-157.
9. Shor N.Z., Sharifov F.A. General Problem of Synthesis of Reliable Networks. Problemy informatiki i kibernetiki. 2006; 2-3:184-202.
10. Sharifov F.A., Gulyatsky L.F. Models and Complexity of Design and Reconstruction Tasks for Telecommunication and Transport Systems. Cybernetics and Systems Analysis. 2014;50(5):49-58.
11. Ford L.R., Fulkerson D.R. Flows in Networks. Translated from English. Moscow: Mir Publ.; 1966. 276 p.
12. Frank H., Frisch I.T. Communication, Transmission and Transportation Networks. Translated from English Moscow: Sviaz Publ.; 1978. 448 p.
13. Hu T.C. Integer Programming and Network Flows. Translated from English. Moscow: Mir Publ.; 1974. 518 p.
14. Davydov G.B., Roginsky V.N., Tolchan A.Ya. Telecommunication Networks. Moscow: Sviaz Publ.; 1977. 360 p.
15. Ryabinin I.A., Cherkesov G.N. Logical-Probabilistic Methods for Investigating the Reliability of Structurally Complex Circuits. Moscow: Radio i sviaz Publ.; 1981. 264 p.
16. Mikhalevich V.S. Computational Methods for Choosing Optimal Design Solutions. Kiev: Naukova dumka Publ.; 1977. 289 p.
КОВАЛЬСКИИ Сергей Петрович
Сведения об авторах:
кандидат технических наук, сотрудник Академии ФСО России, metal forever@inbox.ru © https://orcid.org/QQQQ-QQ02-9QQQ-6195
ТИТОВА Ольга Викторовна
кандидат технических наук, доцент кафедры специальных средств связи Санкт-Петербургского государственного университета телекоммуникаций им. проф. М.А. Бонч-Бруевича, olga1110.spb@mail.ru © https://orcid.org/0000-0002-7107-3253
СТАХЕЕВ Иван Геннадиевич
кандидат технических наук, доцент, доцент военного учебного центра Санкт-Петербургского государственного университета телекоммуникаций им. проф. М.А. Бонч-Бруевича, kisasig@yandex.ru © https://orcid.org/0000-0002-1311-5603
ФОКИН Николай Иванович
кандидат технических наук, сотрудник Академии ФСО России, sky79@mail.ru
© https://orcid.org/0000-0001-9658-8731
