Метод многолистных направляющих функций в задаче о бифуркации решений дифференциальных уравнений

Корнев Сергей Викторович; Лой Нгуен Ван

УДК 517.925.52

Б01: 10.20310/1810-0198-2016-21-2-390-401

МЕТОД МНОГОЛИСТНЫХ НАПРАВЛЯЮЩИХ ФУНКЦИЙ В ЗАДАЧЕ О БИФУРКАЦИИ РЕШЕНИЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

В настоящей работе предлагается использовать метод многолистных направляющих функций при исследовании бифуркационной задачи для дифференциальных уравнений.

Ключевые слова: дифференциальное уравнение; бифуркации периодических решений; многолистная направляющая функция; бифуркационный индекс.

1. Введение

Одним из наиболее эффективных и геометрически наглядных способов решения задачи о существовании периодических решений дифференциальных уравнений является метод направляющих функций, общие принципы которого сформулировали М.А. Красносельский и А.И. Перов (см., например, [1, 2]). За более, чем полувековую историю своего существования, метод был развит рядом исследователей в различных направлениях. Отметим в этой связи одно из самых значительных развитий этого подхода на случай дифференциальных уравнений, связанное с понятием многолистной направляющей функции Д.И. Рачинского (см. [3]).

В настоящее время достаточно активно развиваются различные методы исследования бифуркационного феномена в динамических системах, описываемых дифференциальными уравнениями и включениями (см., например, [4-11]).

В настоящей работе, предлагается использовать многолистную направляющую функцию для исследования задачи о бифуркации периодических решений некоторых классов дифференциальных уравнений. Заметим, что различные модификации метода многолистных векторных направляющих функций применялись ранее только в задаче о существовании периодических решений (см., например, [12, 13]).

2. Предварительные сведения

В дальнейшем используются известные понятия и терминология из анализа и теории многозначных отображений (мультиотображений) (см., например, [5, 14-16]). Напомним некоторые из них.

Пусть (Х,йх), (У,Лу) и ) — метрические пространства. Символами Р(У) и К(У)

обозначаются совокупности всех, соответственно, непустых и компактных подмножеств пространства У. Если У — нормированное пространство, то символом Кь(У) обозначается совокупность всех непустых выпуклых компактных подмножеств пространства У.

Определение 1. Многозначное отображение (мультиотображение) Р: X — Р (У) называется:

(г) полунепрерывным сверху (пн. св.), если для любого открытого множества V С У множество

Р-1^) := {х £ X: Р(х) С V}

является открытым в X ;

(гг) вполне пн. св., если оно пн. св. и каждое ограниченное множество и С X переводит в относительно компактное множество Р(и) пространства У ;

(ггг) компактным, если множество

Р(X) := и Р(х)

хех

является относительно компактным в У .

Множество М € К (У) называется асферичным, если для любого е > 0 найдется 5 > 0 такое, что каждое непрерывное отображение единичной сферы а: Бп — 0$(М), п = 0,1, 2,..., может быть продолжено до непрерывного отображения шара а: Вп+1 — 0£(М) , где Бп = {х € € Мп+1: ||х|| = 1}, Вп+1 = {х € Мп+1: ||х|| < 1} и 0$(М) [0е(М)] обозначает 5 -окрестность [соотв., е -окрестность] множества М.

Множество А С X называется стягиваемым, если существует непрерывное отображение (гомотопия) Н: А х [0,1] — А такое, что Н(х, 0) = х, Н(х, 1) = хо для всех х € А. Пространство X называется локально стягиваемым, если оно локально стягиваемо в каждой своей точке.

Множество А С X называется -множеством, если его можно представить в виде пересечения убывающей последовательности компактных, стягиваемых множеств, т. е. А = П{А,п : п = 1, 2,...}.

Множество А С X называется ретрактом пространства X, если существует такое непрерывное отображение (ретракция) г: X — А, сужение которого на А является тождественным, т.е. г(х) = х для всех х € А. Множество А С X называется окрестностным ретрактом, если существует ретракция г: О(А) — А, где О(А) - некоторая окрестность А.

Вложением пространства X в пространство У называется такое отображение Н : X — У, которое обладает свойствами:

10 Н(X) С У - замкнутое множество;

20 Н : X — Н(X) - гомеоморфизм.

Напомним, что пространство X называется абсолютным ретрактом, или АК -пространством, если для любого метрического пространства У и любого вложения Н : X — У множество Н(X) является ретрактом пространства У. Если же множество Н(X) является окрестностным ретрактом, то пространство X называется абсолютным окрестностным ретрактом, или АХ К -пространством.

Отметим, что класс АХ К -пространств достаточно широк. В частности, всякий конечный полиэдр является АХ К -пространством.

Более того, конечномерный компакт является АХ К -пространством тогда и только тогда, когда он локально стягиваем. В частности, каждое компактное многообразие является АХК-пространством и, кроме того, если X0,X1 - АХК-пространства и X0 П X1 - АХК-пространство, то объединение Xо и Xl также является АХК -пространством.

Определение 2. Пн. св. мультиотображение О : X — К (У) называется ,1 — мультиотображением, или О € ,1 (X, У) , если для любого х € X множество О (х) является асферичным.

Утверждение 1. Пусть У является АХК -пространством. Тогда пн. св. многозначное отображение О : X — К (У) является Л— отображением в каждом из следующих случаев:

для любого х € X множество О(х) является

(а) выпуклым множеством;

(б) АК -пространством;

(в) стягиваемым множеством;

(г) К$ -множеством.

В частности, всякое непрерывное однозначное отображение а : X — У является Л— отображением.

Определение 3. Классом CJ (X, Y) называется совокупность мультиотображений F: X — K(Y) вида F = f о G, где G / J(X,Z) и f: Z — Y - непрерывное отображение.

Пусть U С X - открытое ограниченное множество, F: U — K(X) - компактное CJ— — мультиотображение такое, что x/F (x) для всех x / dU. Тогда определена топологическая степень deg(i — F, U) многозначного векторного поля, порожденного мультиотображением F (здесь i - отображение вложения). Эта топологическая характеристика обладает всеми основными свойствами классической топологической стпепени Брауэра (см., например, [5]). Рассмотрим следующее включение:

x / F(x, ß), (1)

где F: X х R — K(X) является CJ -мультиотображением, а ß /R - параметром. Пусть справедливы следующие предположения:

(F1) мультиотображение F является вполне пн. св. и 0 € F(0, ß) для всех ß / R ;

(F2) существует е0 > 0 такое, что для каждого ß , 0 < \ß\ <е0 найдется 5ß > 0 такое, что x/F(x,ß) для всех x/BX(0,^) \{0}, где Bx(0,öß) обозначает замкнутый шар в X радиуса 5ß с центром в нуле;

(F3) бифуркационный индекс в точке (0, 0), определяемый равенством

Bi(F; (0, 0))= lim deg(i — F,Bx(0,Sß)) — lim deg(i — F,Bx(0,Sß)), отличен от нуля.

Символом 6 обозначим множество всех нетривиальных решений включения (1), т. е.

6 = {(x, ß) / X х R: x = 0 и x / F(x,ß)}.

Теорема 1. Пусть выполнены условия (F1) — (F 3) . Тогда существует связное .множество RC 6 такое, что (0, 0) /R и либо R является неограниченным, либо R.3 (0,ß*) для некоторого ß* = 0 .

3. Постановка задачи

Рассмотрим дифференциальное уравнение следующего вида:

x'(t) = f (t,x(t),ß) (2)

в предположении, что

(f 1) непрерывное отображение f: R х Rra х R — Rra является T -периодическим по первому аргументу (T >0);

(f 2) существует c> 0 и положительная функция h: [0, то) — [0, то) такие, что h(0) = 0 и

\f(t,x,ß)\ < ch(\ß\) \x\ для всех (t, x, ß) / [0, T] х Rra х R ; (f 3) для каждого ß / R уравнение (2) имеет решение x: [0, T] — Rra такое, что x(0) = x(T) = 0 .

Пусть в пространстве Мп(п > 2) выделена двумерная плоскость М2 и дополнительное к ней подпространство Мп_2 . Пусть д - оператор проектирования на плоскость М2 вдоль подпространства Мп_2, а р = г — д, где г - тождественный оператор. Ниже элементы Мп_2 обозначаются через £. Пусть ф,р - полярные координаты в М2.

Дифференциальное уравнение (2) эквивалентно следующей системе:

§ = g(t,í,ф,р,л),

% = Н(г,£,ф,р,л), (3)

% = ь)(г,£,<р,р,й,

где непрерывные функции д,Н^ являются Т -периодичными по первому аргументу. Для (г, л) € Мп х М символом Ех обозначим множество решений следующей задачи:

Iх' = f (г,х,л), \х(0) = г.

Известно, что Ех является К$ -множеством в пространстве С([0, Т]; Мп) (см., например, [5, 15]). Определим мультиотображение Е: Мп х М — С([0,Т]; Мп) как

Е(г,л) =

Тогда Е является 1 -мультиотображением (см., например, [5, 15]).

Определим мультиоператор ит: Мп х М — К(Мп) сдвига по траекториям уравнения (2) следующим образом

ит(г,л) = {х(Т): х € Е(г,л)}.

Тогда дифференциальное уравнение (2) эквивалентно включению

г € ит (г, л). (4)

Из условий (/1) — (/2) следует, что ит является С1 -мультиоператором (см., например, [5, 15]). Кроме того, 0 € ит(0,л) для всех л € М. Символом 5 обозначим множество всех нетривиальных решений включения (4), т. е.

5 = {(г, л) € Мп х М: г = 0 и г € ит (г, л)}.

4. Основной результат

Рассмотрим многолистную риманову поверхность

П = {(ф, р): ф € (—ж, ж), р € (0, то)}.

На П для каждого л € М пусть Ш: П х М — М задает скалярную непрерывно дифференцируемую функцию Ш(•, •,л), для которой

д

— Ш(ф,р,л) > 0, (ф,р) € П, (5)

Ш(ф + 2п,р,л) = Ш(ф,р,л)+2п, (ф,р) € П. (6)

Из (6) легко следует, что

V Ш(ф + 2п, р, л) = V Ш(ф, р, л),

где V Ш(ф,Р,/) = (%, .

Для т* > 0 определим область С(т*) = {г €Мга: \рг\ <т\дг\ <т*}.

Определение 4. Пара функций {V (£, /), Ш (ф, р,/)}, обладающих свойствами (5)-(6), называется локальной многолистной направляющей функцией задачи (4) относительно (0, 0) , если для всех / £ М выполняется равенство =0, и если существует ео > 0 такое, что

для каждого /: 0 < \/\< е0 найдется т^ > 0 такое, что:

(а1) для 0 < \рг\ <тц и \дг\ <тц :

< 0;

(а2) для 0 < \qz\ <rß :

h(t, 0, Ф, Р, ß) + w(t, О.ф.р,,) < 0;

(a3) функции a(t,ß) и ß(t,ß), определяемые равенствами

, . / dW (qz,ß) \ a(t, ß) = sup (---,qf (t,z,ß) > ,

z£G(rß) \ dqz /

/ dW(qz, ß)

ß <t-ß)=qf

являются непрерывными; (а4) существует такое целое число что

гТ Т

2n(Nß - 1) < i a(s,ß)ds, ( ß(s,ß)ds< 2nNß

J 0 J 0

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Из приведенного определения следует, что для каждого ß: 0 < \ß\< е0 корректно определена топологическая степень deg(dV , BRn-2(0,Tß)) (см., например, [2]). Обозначим

indV = lim+ degf , BRn-2 (0,rß)) — lim deg ( ,Br- (0,rß)) .

Теорема 2. Пусть выполнены условия (f 1) — (f 3) . Предположим, что для уравнения (2) можно указать локальную многолистную направляющую функцию относительно (0, 0) такую, что indV = 0. Тогда существует связное множество C CS такое, что:

(i) каждой точке (z,ß) /С соответствует решение x: [0,T] — Rn уравнения (2), для которого x(0) = x(T) = z ;

(ii) (0, 0) /С и либо С неограничено, либо Сэ (0,ß*) для некоторого ß* = 0 .

В частности, существует последовательность {xn} решений уравнения (2), {zn} С S, xn(0) = xn(T)= zn, такая, что {xn} неограничена или {xn} сходится к решению x* уравнения (2), для которого x*(0)= x*(T) = 0 .

Доказательство. Очевидно, мультиоператор сдвига Ut удовлетворяет условию (F1) теоремы 1. Покажем, что он удовлетворяет и условию (F2) . Для этой цели покажем,

что включение (4) имеет для каждого л, 0 < \л\ < е0 только тривиальные решения на шаре Вщп (0,5^), где

5

5м 2есть,(М)гм.

Предположим противное, что существует нетривиальное решение г € Вмп (0,5^) . Тогда существует функция х такая, что

I

x' = f (t,x,p) для t € [0,T], x(0)= x(T ) = z.

Из равенства

следует, что

x(t) = x(0) + f (s,x(s),p)ds

J 0

\x(t)\ < \z\ + [ \f (s, x(s),p)\ds < \z\ + [ ch(\p\) \x(s)\ds. 00

Применяя лемму Гронуэлла, получаем

\x(t)\ < \z\ecTh(M) < -r^ < r

2 ■ м ^ ' м-

Если найдется О С (0, Т) такое, что

№) = рх(Ь) =0 для г € О

и

£(г) = 0 для г € (0,Т) \ о, то из определения 4 следует соотношение

(™.д(г(,ф,р,»)) < 0

для всех г € (0 , Т) \ О . Следовательно,

гт ( дУ ((,л)

^—,g(t ,р

С другой стороны,

4 .„ _ .........dt< 0.

0

а dt=[( ^ =

= v(t(T),») - Vш,») = 0.

Получили противоречие.

Если ((t)=0 для всех t € (0,T) , например, x(t) = qx(t) € R2 для всех t € (0, T) , то, из того, что x = 0 следует, что найдется Q С (0, T) такое, что x(t) = 0 для всех t € [0, T] \ Q и x(t) = 0 для t € П . Поэтому

h(t, OMtlrt),») + w(t, 0Mt),r(t),») < 0

для t е [0, T] \ п. Следовательно,

rT /dW(Ф,р,»)иип m m л dW

h(t, 0,^(t),p(t),ß) +-д w(t, 0,^(t),p(t),ß)) dt < 0

>

I + —др

С другой стороны,

Iт (Нг мл + "Ь 0 мл) *=

= ш (ф(Т ),р(Т ),л) — Ш (ф(0),р(0),л) = 0.

Получили противоречие. Таким образом, условие (Р2) так же выполняется.

Итак, топологическая степень ёе^г — ит(•,л),Вмп (0,5м)) существует. Для ее вычисления выберем гм > 0 такое, что

О(^) С Вмп (0,5^).

Так как включение (4) имеет только тривиальные решения на Вмп (0,5 м), то

— ит(•, л), Вмп(0,5м)) = — ит(•, л), О(О^)).

Рассмотрим мультиотображение

Ф(г, г, л) = г — рЩ(г, л) — дит(г, л), г € (0,Т], г € О(гм).

Так как рф(г, г, л) = р(г — и^г,л)), дФ(г,г,л) = д(г — ит(г, л)) и нет нетривиальных решений на О(гм), то имеем

0€рф(г,г,л), г € (0,Т], г € дО(Ом); 0 € дФ(г, г, л), г€ (0,Т], г €дО(?м).

Поэтому

0€ Ф(г,г,л), г€ (0,Т], г € дО(гм). Если Щ(г,л) - траектория, выпущенная из точки г, то

д

-Щ(г,л) = I (г,иь(г,л)),

поэтому

д

—рЩ(г,л) = Р1 (г,Щ(г,л)).

Полагая здесь г = 0, получим

рЩ(г, л) — рг ,

-;-= р1 (0, г, л).

^+0 г

Откуда следует, что поля —рI(0,г,л) и р(г — и£(г,л)) при малых е> 0 направлены непротивоположно. В силу (а1)

фУ(рг, л), —Р1 (0,г,л)) > 0, г € дО(Ом),

где ФУ(рг,л) = .

Так как

0 € д(г — ит (г, л)), г €(0,Т], г € дО(Ом),

то поля

-р/(0, г, л) + д(г - ит(г, /)), VV (рг, /) + д(г - ит (г,/)),

а также поля

-р/(0, г, /) + д(г - ит (г, /)),

р(г - и£(г, /)) + ф - ит (г, /)) = Ф(е, г, /)

непротивоположно направлены при г £ дС(г^). Поэтому

deg(VV (рг, /) + д(г - ит (г, л)),С(г^)) = = deg(-p/(0, г, /) + ф - ит (г, л)),С(г^)) = deg(Ф(е, г, )).

Откуда

deg(г - ит(■,/), С(^)) = deg(VV(рг,/) + д(г - ит(г,/)),С(^)). (7)

Из условия (5) вытекает, что уравнение

Ш(ф, р, /) = ш

однозначно разрешимо относительно ф.

Определим функцию Ф(А, г, /): [0,1] х С(г^) х М ^ М2 равенствами

ф(Ф(А,г,/)) = в((1 - А)р(дит(г,/)), Ш(ф(дит(г,/)),р(дит(г,/)),/)),

р(Ф(А,г,/)) = (1 - А)р(дит(г,/)). Полагая ф = ф(дит(г,/)),р = р(дит(г,/)) в тождестве в(р,Ш(ф,р,/)) = ф, получим

в(р(дит(г,/)), Ш(ф(дит(г,/)),р(дит(г,/)),/)) = ф(дит(г,/))

или

в(Ф(0,г,/)) = ф(дит (г,/)). Отсюда и из соотношений р(Ф(0, г, /)) = р(дит(г, /)), р(Ф(1, г, /)) = 0 следуют равенства

Ф(0,г,/) = дит (г,/), Ф(1,г,/) = 0.

Таким образом, кривая Гг,^(А) = Ф(А, г, /), где 0 < А < 1 а г, / фиксированы, соединяет точки £0 = дит(г,/) и £1 =0. Далее, так как Ш(в(р,ш),р,/)= ш, то

Ш(ф(Ф(А, г, /)), р(Ф(А, г, /)),/) = Ш(ф(дит(г, /)), р(дит(г, /)),/),

т. е. функция Ш(ф,р,/) имеет постоянное значение на Г^ДА). Положим

Ф1(А,г,/) = VV(рг,/) + дг - Ф(А,г,/), А £ [0,1], г £ С(г^). Непрерывная деформация Ф1(А,г,/) соединяет поля

VV(рг,/)+ д(г - ит(г,/)) и VV(рг,/)+ дг. Покажем, что она невырождена на дС(г^) и, более того,

0 £ дФ1(А,г,/), А £ [0,1], г £ дС(г^). (8)

Предположим противное: найдутся А* £ [0,1], г* £ дС(г^) такие, что

0 £ д$1(А*, г*, /), 0 £ дг* - дФ(А*,г*,/).

Тогда

ф(Ф(А* ,г*,/)) = ф(дг*) + 2пк, р(Ф(А*,г*,/)) = р(дг*). Из условия (6) вытекает равенство

Ш(ф(Ф(А*, г*, /)), р(Ф(А*, г*, /)), /) = Ш(ф(дг*), р(дг*),/) + 2пк.

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Но

Ш (ф(Ф(А*, г*, /)), р(Ф(А*, г*, /)), /) = Ш (ф(дит г*),р(дит г*),/) и, следовательно,

Ш(ф(дит(г*, /)), р(дит(г*, /)), /) - Ш(ф(дг*), р(дг*), /) = 2пк. (9)

Положим ш*(Ь,/) = Ш(ф(дЩ(г*, /)), р(дЩ(г*, /)),/). Так как г* £ С(г^), то

иг(г*,/) £ С(т„), I £ (0,Т].

Поэтому верны оценки

- 1) < ш*(Т, /) - ш*(0, /) <

Подставляя сюда равенства

ш*(0,/) = Ш (ф(дг*),р(дг*),/),

ш* (Т,/) = Ш (ф(дит (г*,/)),р(дит (г*,/)),/),

получим

2п(Мм - 1) < Ш(ф(дит(г*,/)),р(дит(г*,/)),/) - Ш(ф(дг*),р(дг*),/) < 2пЩ, что противоречит оценкам (9). Из соотношения (8) и

рФ1(А,г,/) = VV(рг, /) = 0, г £ С(г^), следует, что Ф1(А,г,/) невырождена. Поэтому

deg(VV (рг, /) + д(г - ит (г, /)),С(г^)) = = deg(VV(рг, /) + дг, С(г^))

и в силу (7)

deg(i - ит(■, /), С(г^)) = deg(VV(рг, /) + дг, С(Г^)).

Отсюда, применяя теорему о произведении степеней и свойство нормализации топологической степени, получаем

deg(VV(рг, /) + дг, С(г^)) = deg(VV(рг, /), С(^)) ■ deg(дг, С(¥^)) = deg(VV(рг, /),С(г^)).

Таким образом, получаем

deg(i - ит(■,/),С(7^)) = deg(VV(рг,/),С(¥^)) = deg(VV(рг,ц),БЖп-2(0, т^)).

Теперь утверждение следует из теоремы 1 и того факта, что ind V = 0 . Теорема доказана.

Авторы искренне благодарны профессору В.В. Обуховскому за полезные обсуждения затронутых в статье вопросов.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Красносельский М.А., Перов А.И. Об одном принципе существования ограниченных, периодических и почти-периодических решений у систем обыкновенных дифференциальных уравнений // ДАН СССР. Москва, 1958. Т. 123. № 2. С. 235-238.

2. Красносельский М.А. Оператор сдвига по траекториям дифференциальных уравнений. M.: Наука, 1966.

3. Rachinskii D.I. Multivalent guiding functions in forced oscillation problems // Nonlinear Anal. Theory, Methods & Appl. Amsterdam, 1996. V. 26. № 3. P. 631-639.

4. Kryszewski W. Homotopy properties of set-valued mappings. Torun: Univ. N. Copernicus Publishing, 1997.

5. Gorniewicz L. Topological Fixed Point Theory of Multivalued Mappings. 2nd Ed. Berlin: Springer, 2006.

6. Obukhovskii V., Loi N.V., Kornev S. Existence and global bifurcation of solutions for a class of operatordifferential inclusions // Differ. Equ. Dyn. Syst. Berlin, 2012. V. 20. P. 285-300.

7. Obukhovskii V., Loi N.V. and Yao J.-C. A bifurcation of solutions of nonlinear Fredholm inclusions involving CJ-multimaps with applications to feedback control systems // Set-Valued Var. Anal. Berlin, 2013. V. 21. P. 247-269.

8. Obukhovskii V., Liu Z. and Loi N.V. Existence and global bifurcation of periodic solutions to a class of differential variational inequalities // Int. J. Bifurcation and Chaos. Munich, 2013. V. 23. P. 1350125.

9. Obukhovskii V., Zecca P., Loi N.V., Kornev S. Method of guiding functions in problems of nonlinear analysis. Lecture Notes in Math. V. 2076. Berlin: Springer, 2013.

10. Obukhovskii V., Loi N.V. and Liu Z. On an A-bifurcation theorem with application to a parametrized integro-differential system // Fixed Point Theory. Cluj-Napoca, 2015. V. 16. P. 127-142.

11. Obukhovskii V., Loi N.V. and Yao J.-C. A multiparameter global bifurcation theorem with application to a feedback control system // Fixed Point Theory. Cluj-Napoca, 2015. V. 16. P. 353-370.

12. Корнев С.В. О методе многолистных направляющих функций в задаче о периодических решениях дифференциальных включений // Автоматика и телемеханика. Москва, 2003. № 3. С. 72-83.

13. Корнев С.В., Обуховский В.В. О негладких многолистных направляющих функциях // Дифференциальные уравнения. Москва, 2003. Т. 39. № 11. С. 1497-1502.

14. Kisielewicz M. Differential inclusions and optimal control. Dordrecht: PWN Polish Scientific Publishers, Warsaw Kluwer, 1991.

15. Kamenskii M., Obukhovskii V., Zecca P. Condensing Multivalued Maps and Semilinear Differential Inclusions in Banach Spaces. Berlin-New York: Walter de Gruyter, 2001.

16. Борисович Ю.Г., Гельман Б.Д., Мышкис А.Д., Обуховский В.В. Введение в теорию многозначных отображений и дифференциальных включений. Изд. 2-е. М.: Либроком, 2011.

БЛАГОДАРНОСТИ: Работа поддержана за счет средств гранта РФФИ-Тайвань № 14-01-92004, РФФИ №№ 14-01-00468, 16-01-00386, а также РНФ № 14-21-00066, выполняемого в Воронежском госуниверситете.

Поступила в редакцию 21 марта 2016 г.

Корнев Сергей Викторович, Воронежский государственный педагогический университет, г. Воронеж, Российская Федерация, кандидат физико-математических наук, доцент, e-mail: kornev_vrn@rambler.ru

Лой Нгуен Ван, ПетроВьетнам университет, Ханой, Вьетнам, доктор физико-математических наук, декан факультета фундаментальных наук, e-mail: loinv14@yahoo.com

UDC 517.925.52

DOI: 10.20310/1810-0198-2016-21-2-390-401

METHOD OF MULTIVALENT GUIDING FUNCTIONS IN THE BIFURCATION PROBLEM OF SOLUTIONS OF DIFFERENTIAL EQUATIONS

In this paper we use the multivalent guiding functions method to study a bifurcation problem for differential equations.

Key words: differential equation; bifurcation of periodic solutions; multivalent guiding function; bifurcation index.

ACKNOWLEDGEMENTS: This research is supported by the joint Taiwan NSC - Russia RFBR grant 14-01-92004 and the RFBR grants 14-01-00468, 16-01-00386, as well as RSF grant 14-21-00066 (in Voronezh State University)

REFERENCES

1. Krasnosel'skii M.A., Perov A.I. On a certain principle of existence of bounded, periodic and almost periodic solutions of systems of ordinary differential equations // Dokl. Akad. Nauk SSSR. Moscow, 1958. V. 123. № 2. P. 235-238 (in Russian).

2. Krasnosel'skii M.A. The Operator of Translation Along the Trajectories of Differential Equations. Translations of Mathematical Monographs, V. 19. American Mathematical Society, Providence, R.I., 1968.