CC BY
185
___________________________МЕЖДУНАРОДНЫЙ НАУЧНЫЙ ЖУРНАЛ «ИННОВАЦИОННАЯ НАУКА»
УДК 519.168:856.2
Р.А. Нейдорф
Д.т.н., профессор
В.В. Полях
Студент
Факультет информатики и вычислительно техники Донской государственный технический университет Г. Ростов-на-Дону, Российская федерация
МЕТОД МНОГОЭКСТРЕМАЛЬНОГО ПОИСКА С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ЭВОЛЮЦИОННОГЕНЕТИЧЕСКОГО АЛГОРИТМА И ВЫБОРОЧНОГО КРИТЕРИЯ СТЬЮДЕНТА
Аннотация.
Приведены результаты применения эволюционно-генетического алгоритма для исследования многоэкстремальных зависимостей. Предлагается подход к решению задачи выделения экстремумов путем последовательного анализа и кластеризации отсортированных результатов применения алгоритма начиная с лучшего. Кластеризация осуществляется применением одновыборочного критерия Стьюдента. Результаты выделения экстремумов уточняются дополнительной обработкой алгоритмом областей выделенных кластеров. Иллюстрация предложенного метода иллюстрируются на примере задачи поиска локальных минимумов функции Химмельблау. Алгоритм реализован с помощью программного комплекса «EGSO MET», реализованного средствами Microsoft Visual Studio на языке C#. Испытания показали возможность достижения практически любой точности оценки экстремумов в пределах используемой для вычислений разрядной сетки и расчета доверительных интервалов этой оценки с заданной доверительной вероятностью.
Ключевые слова.
Эвристический алгоритм, генетический алгоритм, оптимизация, функция Химмельблау, выборка, статистики, критерий Стьюдента.
Введение.
Большинство проблем науки и техники связаны с решением задач поиска оптимальных конструкций, технологий, условий и т.п., т.е. с задачами поисковой оптимизации [1-4]. Характерно, что большинство известных на сегодня методов поисковой оптимизации разработано и эффективно используется для нахождения одного оптимума, чаще всего, глобального [5,6]. При этом многие технические объекты оптимизации: задачи планирования, сложные технологические комплексы и пр. характеризуются многоэкстремальностью [5]. Для решения многоэкстремальных задач применяют различные модификации хорошо известных методов, в том числе эвристических.
В настоящее время к использованию эвристических алгоритмов (ЭА) прибегают для решения задач высокой вычислительной сложности (задачи, принадлежащие классу NP-полных). Эвристические алгоритмы не имеют строгого обоснования, но, как показывает практика, часто дают приемлемое (а иногда и удивительно эффективное) решение задач, недоступных для известных детерминированных алгоритмов [5]. Методологически ЭА базируются на положениях таких областей знания, как теория принятия решений, вероятностные рассуждения, нечеткая логика, нейронные сети, эволюционно-генетические механизмы и др., которые частично повторяют и во многом дополняют друг друга [7].
Цель и задачи исследования.
Неопределенность и, зачастую, субъективность выбора структуры и параметров эвристических алгоритмов делает актуальным исследование возможностей применения авторской модификации эволюционно-генетического1 алгоритма для исследования многоэкстремальных зависимостей. Ставятся задачи конструирования универсальной и эффективной генно-хромосомной структуры числовой оценки целевой функции оптимизируемого объекта исследования, выработки и обоснования эффективного подхода к решению задачи нахождения и локализации ее экстремумов, а также уточнения их координат и значений с заданной точностью.
1 Авторы считают, что такое название точнее отражает сущность и механизм поисковой оптимизации методом, который принято называть генетическим алгоритмом.
- 135 -
№ 3 / 2015
ISSN 2410-6070
Сущность эволюционно-генетического алгоритма.
Эволюционно-генетический алгоритм (ЭГА) является эвристическим алгоритмом поиска, чья задача формализуется таким образом, чтобы решение имело возможность быть закодированным в виде вектора (генотип, хромосома) генов, где каждый ген может быть битом или неким другим объектом. Можно выделить следующие этапы генетического алгоритма:
• Создание начальной популяции
• Скрещивание (кроссинговер) - является оператором размножения, для корректного выполнения которого необходимо два родителя. Главным требованием скрещивания является наличие возможности унаследовать черты обоих родителей, «смешав» их каким-либо образом.
• Мутация - оператор, который производит случайное изменение в различных хромосомах.
• Отбор - оператор, отбирающий лучшие пробные решения, которые будут составлять новую популяцию.
Особенности использования эволюционно-генетического алгоритма в задачах с континуальной
оценкой результата.
Эволюционно-генетический алгоритм (ЭГА) является ярко выраженным представителем класса методов дискретной оптимизации. Это обусловливается дискретностью структур как генов, так и хромосом. При этом большинство реальных многоэкстремальных задач характеризуются континуальностью оценок состояния оптимизируемых объектов. Этот факт обусловливает особенности конструирования генов и хромосом решаемых задач, обеспечивающие заданную точность решения.
Реализация генетического алгоритма в разработанном для решения поставленных цели и задач программном средстве производится при помощи известного приема кодирования параметров в двоичные строки [8]. Длина строки зависит от заданной точности оценки. Пусть переменная Xj имеет интервал
изменения [ст,-, йД и необходимая точность составляет т знаков после запятой. В таком случае интервал изменения переменной Xj должен быть разделен как минимум на (й^ — оД X 10т квантов, а требуемое число
битов определяется по следующей формуле:
2™Г1 < (bj - o j х 1GT < - 1.
Обратное преобразование строки битов в действительное значение переменной x.j выполняется с использованием формулы
где десятичное число (строка_б и го bj) представляет собой десятичное значение, закодированное в бинарной строке [8].
Изначально разработанные методы, алгоритмы и их модификации исследуются на тестовых задачах. В связи с поставленной выше целью применения для решения многоэкстремальных задач качестве тестового объекта применения алгоритма выбрана функция Химмельблау. Она выбрана в связи с тем, что имеет четыре одинаковых локальных минимума, поиск которых может наглядно проиллюстрировать эффективность разработанной модификации. Значения функции Химмельблау равны нулю в четырех точках со следующими координатами: (3.0; 2.0), (-2.8051; 3.1313), (-3.7793; -3.2832), (3.5844; -1,8481). Координаты указаны с точностью до 4 знаков после запятой.
Генетический алгоритм унаследовал от своего биологического аналога ту особенность, что при большом размере популяций и большом количестве поколений существует высокая вероятность получения множества значений функции очень приближенных к их локальным оптимумам. В свою очередь, задачи могут характеризоваться множеством оптимумов, которые могут быть близки, или даже равны (именно этим свойством обладает функция Химмельблау). В связи с этим, крайне затруднительно алгоритмически разделить эти оптимумы, на отдельные группы, которые включают в себя только однородные оценки близких к своим оптимумам точек. Такие группы принято называть кластерами.
Таким образом возникает задача безошибочной сортировки и разделения опытных данных на кластеры. Для более детального исследования этой проблемы произведен пробный эксперимент. С помощью разработанного для решаемой в статье проблемы программного средства «EGSO MET» выполнен поиск
Xj — Qj- + десятичное_число(строка_битов f) х ,
Тестовая функция Химмельблау и ее свойства.
Предварительное исследование ЭГА на тестовой функции.
- 136 -
_________________________МЕЖДУНАРОДНЫЙ НАУЧНЫЙ ЖУРНАЛ «ИННОВАЦИОННАЯ НАУКА»
локальных минимумов функции Химмельблау на промежутке [-100; 100]. Использованы входные параметры: размер популяции - 1000 особей, вероятность кроссинговера - 95%, вероятность мутации - 30%, количество поколений - 1000. Итог эксперимента можно наблюдать на рисунке 1.
Рисунок 1 - Минимальные значения функции в каждом поколении
На рис. 1 отображены минимизированные в популяции каждого поколения значения целевой функции функций. Для удобства визуализации они приведены к логарифмическому виду. Визуально видно, что значения минимизируемого критерия в каждом поколении менялись в значительных пределах. Некоторые достигали весьма малых значений, однако при поисковом исследовании неизвестны значения оптимумов, поэтому анализ только величины оптимума каждого поколения популяции не может решить задачу оценки количества экстремумов и их величины. В связи с этим разработан подход к решению задачи, основанный на последовательной обработке полученных в ходе имитационного моделирования данных.
Рисунок 2 - Значения функции отсортированные по убыванию На первом этапе обработки данные о минимальных значениях функции в каждом поколении, полученные в эксперименте, а именно абсолютные значения минимумов, упорядочены по убыванию. Для наглядного отображения результатов выявления расположения локальных минимумов на рисунке 2 показаны данные по 100 последних поколениям. Для некоторых наиболее характерных точек вынесены и показаны в прямоугольных рамках координаты точек. Хорошо видно, что значения функции Химмельблау локализуются в 4 локальных областях, и ни в каких других. Данное наблюдение показывает необходимость разработать алгоритм реализации следующего этапа - формализации процесса селекции данных эксперимента и распределения их по обнаруженным кластерам.
Модификация ЭГА для исследования многоэкстремальных зависимостей.
Для решения этой задачи был разработан модуль, который формализовано решает задачу селекции и упорядочивания данных. Он вошел в ПК «EGSO MET». Математическое обеспечение решаемой задачи сформировано на основе одновыборочного критерия Стьюдента или t-критерия.
- 137 -
№ 3 / 2015
ISSN 2410-6070
Суть одновыборочного /-критерия состоит в том, что можно сравнить любое числовое значение у о со средним «-выборки У = {у, | i = 1, п]. Это позволяет с заданной доверительной вероятностью рд решить вопрос о принадлежности Уо к этому множеству. Для этого необходимо рассчитать среднее по выборке
гг _ £?=lJL
а также стандарт отклонения элементов выборки и среднего по выборке
%!■ =
'УЫу-уУ
п-1
с _ -%э
Эти величины позволяют рассчитать опытное значение одновыборочного /-критерия
1у-Ув1
К =
Если найденное значение to не превосходит табличного значения tT для выбранного уровня значимости рд и числа степеней свободы j=n—1, то можно принять гипотезу принадлежности t0 данной выборке [9].
Результаты обработки данных эксперимента с использованием выборочного критерия Стьюдента представлены на рисунке 3. Видно, что при выполнении алгоритма происходит распределение данных по 4 группам. Группы содержат однородные параметры функции, при которых ее значение приближено к значениям всех ее 4-х локальных оптимумов.
Рисунок 3 - Распределение точек по группам.
Итогом проведенного эксперимента можно считать результаты, приведенные в таблице 1. Найдены все 4 минимума. Отклонения опытных значений экстремумов находятся в диапазоне 5*10-5 - 1,5* 10-4. Отклонение координат экстремумов не превышает 0,0003.
Таблица 1
Лучшие значения каждой группы среди всех популяций
№ кластера Координаты минимумов Лучшие значения F (X, Y) № Поколения
Эталонные Найденные
Значение X Значение Y Значение X Значение Y
1 3,58442 -1,84812 3,58453 -1,8484 0,00015 620
2 -2,80511 3,13131 -2,80544 3,13155 0,0001 115
3 -3,77931 -3,28318 -3,77943 -3,28294 0,00013 337
4 3,0 2,0 3,00002 2,00002 0,00005 514
- 138 -
______________________________МЕЖДУНАРОДНЫЙ НАУЧНЫЙ ЖУРНАЛ «ИННОВАЦИОННАЯ НАУКА»
Заключение.
1) Разработанная модификация ЭГА, основанная на селекции результатов эволюционно-генетического поиска экстремумов с использованием критерия Стьюдента является эффективным и перспективным инструментом исследования многоэкстремальных объектов и процессов.
2) Разработанную модификацию целесообразно развить, включив в алгоритм ветвление процесса поиска для повышения точности оценки величин и координат экстремумов.
Список использованной литературы
1. Пантелеев А.В. Методы оптимизации в примерах и задачах: Учеб. пособие/ А.В. Пантелеев, Т.А. Летова.- М.: Высш. шк., 2002.-544 с.: ил.
2. Черноруцкий И.Г. Методы оптимизации в теории управления: Учебное пособие/ И.Г. Черноруцкий.- СПб.: Питер, 2004.-256 с.: ил.
3. Kristofer B. Jones Search Engine Optimization, 2nd Edition. - Indianapolis: Wiley Publishing, 2010. -306 p. - ISBN: 978-0-470-62075-5
4. Shreves R. Drupal Search Engine Optimization. - Birmingham: Packt Publishing Ltd, 2012. - 101 p. -ISBN: 978-1-84951-878-9
5. Floudas C.A., Pardalos P.M. Encyclopedia of Optimization, 2nd Edition. - Springer, New York: Springer Scince+Dusiness Media, LCC, 2009. - 4646 p. - ISBN: 978-0-387-74759-0
6. Nocedal J., Wright S. Numerical optimization. - Springer, New York: Springer Scince+Dusiness Media, LCC, 2006. - 664 p. - ISBN: 978-0-378-30303-1
7. Ротштейн А.П. Интеллектуальные технологии идентификации: нечеткие множества,
генетические алгоритмы, нейронные сети/ А.П. Ротштейн; Винницкий гос. технический ун-т. - Вiнниця: УН1ВЕРСУМ- Вшниця, 1999. - 302 с.: ил. - Библиограф. с. 296-300.- ISBN966-7199-49-5
8. Батищев Д.И. Оптимизация многоэкстремальных функций с помощью генетических алгоритмов /Д.И.Батищев, С.А. Исаев// Межвузовский сборник научных трудов "Высокие технологии в технике, медицине и образовании", Воронеж, ВГТУ, 1997г, стр.4-17.
9. Портал Знаний, Глобальный интеллектуальный ресурс [Электронный ресурс]: сайт. URL: http://www.statistica.ru/theory/t-kriterii/
10. Нейдорф Р.А. Перестановочный алгоритм биэкстремального решения однородной
распределительной задачи/ Р.А. Нейдорф, А.В. Филиппов, З.Х. Ягубов.- Вестник Дон. гос. техн. ун-та. - 2011. -Т. 11, №5(56)
11. Математическая статистика для психологов. Учебник. - 5-е изд. - М.: НОУ ВПО "МПСИ" : Флинта, 2011. - 336 с. - ISBN 978-5-89502-310-5 (НОУ ВПО "МПСИ"), ISBN 978-5-89349-361-0 (Флинта). -OCR (Библиотека психолога).
12. Гладков Л.А., Курейчик В.В., Курейчик В.М. Генетические алгоритмы / Под ред. В.М. Курейчика. - 2-е изд., испр, и доп. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2006. - 320 с.
13. Панченко Т.В. Генетические алгоритмы: Учебно-методическое пособие/ под ред. Ю.Ю. Тарасевича. - Астрахань: АГУ, 2007. - 87с.
14. Курейчик В.М. Генетические алгоритмы. Состояние. Проблемы. Перспективы // Известия РАН. ТиСУ. - 1999. - № 1. - С. 144-160.
15. Himmelblau D. Applied Nonlinear Programming. — McGraw-Hill, 1972.
16. Гудман, С. Введение в разработку и анализ алгоритмов [Текст] / С. Гудман, С. Хидетниеми ; пер. с англ. Ю. Б. Котов [и др.] ; ред. В. В. Мартынюк. - Москва : Мир, 1981. - 366 с. : ил. - Библиогр.: с. 347-351. - Предм. указ.: с. 361-364. - 2.00 р.
© Р.А Нейдорф, В.В. Полях 2015
- 139 -
№ 3 / 2015
ISSN 2410-6070
УДК 539.196.3
Ю.И.Хлопков
д.ф.-м.н, профессор МФТИ, г. Жуковский Email: khlopkov@falt.ru Зея Мьо Мьинт к.ф.-м.н, докторант МФТИ, г. Жуковский Email: zayyarmyomyint@gmail.com А.Ю.Хлопков
генеральный директор издательства «Квадрат», г. Раменское
Email: khlopkov@falt.ru
МОДЕЛИРОВАНИЕ ТРОЙНЫХ СТОЛКНОВЕНИЙ МОЛЕКУЛ ГАЗА
Аннотация
В работе рассматривается кинетические уравнения парных и тройных столкновения упругих молекул. Свойства газа с ощутимым влиянием тройных столкновений будут отличаться от обычных свойств из-за столкновения молекул между собой и с поверхностью твердого тела. Вероятность тройного столкновения мала по сравнению с парным столкновением.
кинетическое уравнение Больцмана, тройные столкновения, уравнение Лиувилля, потенциал Леннара-Джонса
Понятие об упругих столкновениях играет важную роль в физике, поскольку со столкновениями часто приходится иметь дело в физическом эксперименте в области атомных явлений, и обычные столкновения можно часто с достаточной степенью точности считать упругими [3, 9, 10]. Состояние газа определяется взаимодействием молекул между собой и с границами твердыми или жидкими телами. При взаимодействии частиц могут происходить различные процессы. Процесс столкновения сводится к изменению свойств частиц в результате взаимодействия. Законы сохранения позволяют достаточно просто устанавливать соотношения между различными физическими величинами при столкновении частиц.
Известное интегродифферециальное кинетическое уравнение Больцмана для парных столкновения имеет в виде [1, 5, 7]
f (t, x, y, z, Sx, Sy, Sz) - функция распределения молекул по времени, координатам и скоростям, f', f ' -функции распределения, соответствующие скоростям молекул после столкновения S и Si', g - относительные
азимутальный угол при столкновениях частиц.
Рассмотрим определение скорости парных упругих столкновениях молекул. Столкновение молекул в совершенном газе являются парными, т. е. столкновении участвуют только две молекулы. Упругое столкновение определяется как столкновение, в котором не происходит обмена между поступательной и внутренней энергиями. Скорости двух молекул до столкновения в типичном парном столкновении можно обозначить через Si и S2, а после столкновения Si' и S2'.
В процессе столкновении должны сохраняться массы, импульс, энергии и момент инерции и означает,
что
Ключевые слова
скорости молекул при парных столкновениях g = ^ ^ ^ — ^ , Ъ, в - прицельное расстояние и
+ m2^2 = Щ^1 + m2%2 , m&i2+,
m£l2 ! m2%2 _ тЛ12 , m2^22 2 2 2 2
2
'2^2
2
22
- 140 -
