Применение математических методов исследования в медицине Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 51-78

международный научный журнал «инновационная наука» ФИЗИКО- МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ

Н.Н. Локтионова

К.п.н., старший преподаватель Физико-математический факультет Курский государственный университет Г. Курск, Российская Федерация К.А. Фильчакова К.п.н., доцент Физико-математический факультет Курский государственный университет Г. Курск, Российская Федерация

ПРИМЕНЕНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МЕТОДОВ ИССЛЕДОВАНИЯ В МЕДИЦИНЕ

Аннотация

С помощью математических методов изучают процессы, происходящие на уровне целостного организма, его систем, органов и тканей (в норме и при патологии); заболевания и способы их лечения; приборы и системы медицинской техники; популяционные и организационные аспекты поведения сложных систем в здравоохранении.

Ключевые слова

методы, совокупность, гипотезы, статистика, анализ.

Математические методы в медицине — совокупность методов количественного изучения и анализа состояния и поведения объектов и систем, относящихся к медицине и здравоохранению. В биологии, медицине и здравоохранении в круг явлений, изучаемых при помощи математических методов очень обширен.

Статистическая совокупность — понятие, лежащее в основе всех статистических методов. Объекты, с которыми имеют дело в медицине, обладают большой вариабельностью — их характеристики меняются во времени и пространстве в зависимости от многих факторов, а также существенно отличаются друг от друга. Характеристики таких объектов обычно представляют в виде матрицы наблюдений.

Закон распределения случайной величины — это функция, определяющая вероятность того, что какой-либо признак примет заданное значение (если он дискретен) или попадает в заданный интервал значений (если он непрерывен). При большом числе выборочных данных, значения которых варьируют незначительно, закон распределения может быть аппроксимирован гистограммой.

Статистическое оценивание применяют в медицинских исследованиях, когда получаемых данных недостаточно для установления вида функции распределения случайных величин. В этом случае предполагают, что реализуется один из законов распределения, а матрицу наблюдений используют для оценки параметров этого закона. Статистические оценки могут быть точечными или интервальными.

Проверка статистических гипотез используется чаще всего для определения принадлежности двух имеющихся выборок к одной и той же генеральной совокупности. Подобные задачи возникают, например, при анализе заболеваемости, эффективности лекарственных препаратов и т.п.

Дисперсионный анализ — статистический метод, применяемый для выявления влияния отдельных факторов (количественных, порядковых или качественных) на изучаемый признак и оценку степени этого влияния. Если изучается действие количественного фактора, то предварительно производится его разбивка на градации. Для каждой градации подсчитывается среднее значение изучаемого признака, затем дисперсия среднего по градациям фактора относительно общего среднего и общая дисперсия изучаемого показателя.

Анализ зависимости между признаками. Для оценки степени взаимозависимости двух количественных признаков чаще всего используют коэффициент ковариации или его нормированное значение — коэффициент корреляции:

R-

N

(N ~\) &х af / = 1

(Х;-Х)(У; -У)

- 133 -

№ 3 / 2015

ISSN 2410-6070

где xi и yi — значения первого и второго признаков в 1-м наблюдении, Ox и Оу — стандартные отклонения первого и второго признаков; N — объем выборки, Х и Y — математические ожидания х и у.

При отсутствии связи между признаками величина R равна 0, при возрастании степени связи абсолютная величина R увеличивается. Если исследованию подлежит связь между порядковыми признаками (например, связь между выраженностью реакции Манту и степенью развития туберкулезного процесса), то применяют так называемый ранговый коэффициент корреляции.

Регрессионный анализ. Регрессией называется зависимость среднего значения одной случайной величины от некоторой другой (или от нескольких случайных величин), а регрессионным анализом — раздел математической статистики, объединяющий прикладные методы исследования регрессионных зависимостей.

Распознавание образов. При реализации подхода распознавания задача состоит в поиске такого способа классификации, который позволяет получать наилучшее разбиение групп объектов на классы (образы). Методы распознавания образов широко распространены в медицине — в машинной диагностике, при выделении групп риска, выборе альтернативных тактик лечения и т.д.

Математическое моделирование систем. Основным понятием, используемым при таком анализе, является математическая модель системы. Под математической моделью понимается описание какого-либо класса объектов или явлений, выполненное с помощью математической символики. Модель представляет собой компактную запись некоторых существенных сведений о моделируемом явлении, накопленных специалистами в конкретной области (физиологии, биологии, медицине).

Компартментальное моделирование распространено в медицине и биологии. Согласно определению американского фармаколога и биохимика Шеппарда, компартмент — это некоторое количество вещества, выделяемое в биологической системе и обладающее свойством единства, поэтому в процессах транспорта и химических преобразований его можно рассматривать как целое. Например, в качестве особых компартментов рассматривают весь кислород в легких, всю углекислоту в венозной крови, количество введенного препарата в межклеточной жидкости и т.п. Модели, в которых исследуемая система представляется в виде совокупности компартментов, потоков вещества между ними, а также источников и стоков всех веществ, называются компартментальными.

В компартментальной модели каждому компартменту соответствует своя переменная состояния — количественная характеристика компартмента. Вещество попадает в систему через источники — естественные (физиологические процессы внешнего дыхания, например, источник кислорода) или искусственные; удаляются через стоки — естественные или искусственные. Темпы (скорости) потоков вещества из одного компартмента в другой часто предполагаются пропорциональными концентрациям или количествам вещества в компартменте. Поэтому компартментальные модели описываются системой дифференциальных уравнений, число которых N равно числу рассматриваемых компартментов:

где Xi — количественная характеристика i-го компартмента (количество или концентрация), i, k = 1, 2,..., N; qj — так называемые транспортные коэффициенты,

произведение qijXj определяет скорость потока в i-й компартмент из j-го (индекс О относится к среде), goi — приток в i-й компартмент из окружающей среды. Компартментальные модели широко применяются в фармакокинетике для анализа процессов транспорта и накопления в организме лекарственных препаратов.

Выбор тех или иных математических методов при описании и исследовании биологических и медицинских объектов зависит как от индивидуальных знаний специалиста, так и от особенностей решаемых задач.

Список использованной литературы:

1. Леонов В.П., Ижевский П.В. Математика и медицина.// Международный журнал медицинской практики. - 2005. - № 4, 7-13с

2.. Любищев А.А.Точные науки в разных отраслях деятельности.//Журнал общей биологии. 2003. - 84с.

3. Немцов А.В., Зорин Н.А. История математики. // Международный журнал медицинской практики . -2006.- № 6. -100с.

© Н.Н. Локтионова, К.А. Фильчакова, 2015

- 134 -

___________________________МЕЖДУНАРОДНЫЙ НАУЧНЫЙ ЖУРНАЛ «ИННОВАЦИОННАЯ НАУКА»

УДК 519.168:856.2

Р.А. Нейдорф

Д.т.н., профессор

В.В. Полях

Студент

Факультет информатики и вычислительно техники Донской государственный технический университет Г. Ростов-на-Дону, Российская федерация

МЕТОД МНОГОЭКСТРЕМАЛЬНОГО ПОИСКА С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ЭВОЛЮЦИОННОГЕНЕТИЧЕСКОГО АЛГОРИТМА И ВЫБОРОЧНОГО КРИТЕРИЯ СТЬЮДЕНТА

Аннотация.

Приведены результаты применения эволюционно-генетического алгоритма для исследования многоэкстремальных зависимостей. Предлагается подход к решению задачи выделения экстремумов путем последовательного анализа и кластеризации отсортированных результатов применения алгоритма начиная с лучшего. Кластеризация осуществляется применением одновыборочного критерия Стьюдента. Результаты выделения экстремумов уточняются дополнительной обработкой алгоритмом областей выделенных кластеров. Иллюстрация предложенного метода иллюстрируются на примере задачи поиска локальных минимумов функции Химмельблау. Алгоритм реализован с помощью программного комплекса «EGSO MET», реализованного средствами Microsoft Visual Studio на языке C#. Испытания показали возможность достижения практически любой точности оценки экстремумов в пределах используемой для вычислений разрядной сетки и расчета доверительных интервалов этой оценки с заданной доверительной вероятностью.

Ключевые слова.

Эвристический алгоритм, генетический алгоритм, оптимизация, функция Химмельблау, выборка, статистики, критерий Стьюдента.

Введение.

Большинство проблем науки и техники связаны с решением задач поиска оптимальных конструкций, технологий, условий и т.п., т.е. с задачами поисковой оптимизации [1-4]. Характерно, что большинство известных на сегодня методов поисковой оптимизации разработано и эффективно используется для нахождения одного оптимума, чаще всего, глобального [5,6]. При этом многие технические объекты оптимизации: задачи планирования, сложные технологические комплексы и пр. характеризуются многоэкстремальностью [5]. Для решения многоэкстремальных задач применяют различные модификации хорошо известных методов, в том числе эвристических.

В настоящее время к использованию эвристических алгоритмов (ЭА) прибегают для решения задач высокой вычислительной сложности (задачи, принадлежащие классу NP-полных). Эвристические алгоритмы не имеют строгого обоснования, но, как показывает практика, часто дают приемлемое (а иногда и удивительно эффективное) решение задач, недоступных для известных детерминированных алгоритмов [5]. Методологически ЭА базируются на положениях таких областей знания, как теория принятия решений, вероятностные рассуждения, нечеткая логика, нейронные сети, эволюционно-генетические механизмы и др., которые частично повторяют и во многом дополняют друг друга [7].

Цель и задачи исследования.

Неопределенность и, зачастую, субъективность выбора структуры и параметров эвристических алгоритмов делает актуальным исследование возможностей применения авторской модификации эволюционно-генетического1 алгоритма для исследования многоэкстремальных зависимостей. Ставятся задачи конструирования универсальной и эффективной генно-хромосомной структуры числовой оценки целевой функции оптимизируемого объекта исследования, выработки и обоснования эффективного подхода к решению задачи нахождения и локализации ее экстремумов, а также уточнения их координат и значений с заданной точностью.

1 Авторы считают, что такое название точнее отражает сущность и механизм поисковой оптимизации методом, который принято называть генетическим алгоритмом.

- 135 -