Метод минимального покрытия и другие методы фрактального анализа изрезанности рельефа поверхностей Текст научной статьи по специальности «Математика»

2013

ВЕСТНИК ПЕРМСКОГО УНИВЕРСИТЕТА

Математика. Механика. Информатика

Вып. 2 (21)

УДК 539.3; 622.831.31

Метод минимального покрытия и другие методы фрактального анализа изрезанности рельефа поверхностей

В. Ю. Митин

Пермский государственный национальный исследовательский университет Россия, 614990, Пермь, ул. Букирева, 15 victormitin@ya.ru; (342) 229-15-35

Приведены и сопоставлены различные методы оценки фрактальной размерности, подробно описан метод минимального покрытия. Сформулированы и доказаны основные свойства индекса фрактальности и факторы, влияющие на его значение. Приведены иллюстративные примеры. Показано, каким образом можно осуществлять фрактальный анализ поверхности с помощью индекса фрактальности.

Ключевые слова: фракталы; метод минимального покрытия; индекс фрактальности; фрактальная размерность; показатель Хёрста.

1. Фрактальные множества и фрактальная размерность

Фракталом [1] называется множество, для которого размерность Хаусдорфа-Безиковича строго больше топологической размерности.

Фрактальные объекты можно разделить на математические (модельные) и природные. Примерами математических фрактальных множеств являются множества Кантора, снежинка Коха, салфетка и ковёр Серпинского, алгебраические множества Жюлиа и Ман-дельброта и др.

История изучения природных фракталов началась с исследования длины береговой линии.

При измерении длины в различных масштабах её значение неограниченно увеличивалось, поскольку учитывались всё более мелкие подробности береговой линии.

В монографии [2] показано, что фрактальные свойства проявляют большинство природных объектов, описание которых должно включать изучение структуры на различных масштабах.

© Митин В. Ю., 2013

Фрактальная размерность множества является мерой изрезанности фрактального множества, это утверждение получает наглядное подтверждение, например, при построении множеств Кантора с различными параметрами [3].

В последнее время широкую распространённость обрело исследование последовательностей данных различной природы (рядов) фрактальными методами в физике, медицине, экономике, географии, биологии, теории информации и других областях науки.

При изучении динамики уровня воды в водоёмах Хёрстом был обнаружен эмпирический закон: зависимость между нормированным размахом и длиной ряда в двойных логарифмических координатах близка к линейной. Угловой коэффициент Н линии регрессии для этой зависимости называется показателем Хёрста [4]. С его помощью обычно устанавливают такие статистические свойства временного ряда, как трендоустойчивость и детерминированность, отражающие эффекты долговременной памяти.

Показатель Хёрста часто используется также для оценки фрактальной размерности временных рядов, при этом используется формула, для одномерных рядов имеющая вид D = 2 - H . (1)

Показатель Хёрста обычно используется для временных рядов, но в ряде публикаций (например, [5]) он применяется при оценке фрактальной размерности поверхности.

2. Методы оценки фрактальной размерности экспериментальных поверхностей

Вычислительные эксперименты с различными случайными рядами показывают, что показатель Хёрста как параметр для оценки фрактальной размерности обладает рядом недостатков, одним из которых является зависимость от направления. Для временных рядов направление задаётся однозначно - от прошлого к будущему. Одномерные пространственные ряды имеют два направления, причём ни одному из них нельзя отдать предпочтения. Данная проблема особенно ярко проявляется для случайных рядов, имеющих различное фрактальное поведение на начальном и конечном участках.

Фрактальная размерность, в отличие от долговременной памяти, является локальной характеристикой ряда, т.е. не учитывает поведение ряда с самой первой точки.

Таким образом, для оценки фрактальной размерности пространственных рядов предпочтительнее использовать методы, сущность которых близка к классическому определению фрактальной размерности Хаусдорфа ([6]):

log N(8)

вариации и связанный с фрактальной размер-

ностью соотношением

D = lim

log(1/ 8)

М = Du -1

(3)

Из соотношения (3) следует, что возможные значения индекса фрактальности заключены в отрезке [0, 1]. В методе минимального покрытия вместо симплексов правильной формы (квадратов) используются минимальные покрытия в классе прямоугольников, основание которых имеет постоянную длину 3.

3. Индекс фрактальности

Процедура вычисления индекса фрактальности состоит в следующем. Вводится клеточное разбиение отрезка

®т = [а = 10 < t1 <... < tm = Ь], далее строится минимальное покрытие функции в классе покрытий, состоящих из прямоугольников с основанием 8 = (Ь — а) / т , совпадающим с

отрезком [ti—1, ti ]. Высота прямоугольника на этом отрезке равна величине А. (8) (разности между максимальным и минимальным значением функции на этом отрезке). Вводится величина

Vf (8) = Y A, (8)

(4)

(2)

где N(8) - минимальное количество шаров

радиуса 8, покрывающих целиком данное фрактальное множество.

Более того, использование формулы (1) эффективно лишь в том случае, когда исследуемое фрактальное множество обладает достаточной степенью самоаффинности [1], что для реальных рядов встречается весьма редко.

Если в определении (2) для одномерных рядов или линий на плоскости заменить шары квадратами, получится определение клеточной размерности, часто используемое для оценки фрактальной размерности. В работе [7] показано, что более быстрой степенью сходимости обладает метод минимального покрытия, в котором определяется фрактальный параметр р, называемый "индексом фрактальности", являющийся обобщением индекса

называемая амплитудной вариацией функции f на отрезке [а, Ь], соответствующей масштабу разбиения 8.

Далее необходимо выбрать аппроксима-ционную последовательность величин 8 и построить график зависимости амплитудной вариации (4) от масштаба разбиения 8

V, (8) ~ 8~» (5)

в двойных логарифмических координатах.

Индекс фрактальности / равен угловому коэффициенту линии регрессии, построенной по методу наименьших квадратов для зависимости (5) в двойных логарифмических координатах.

Обобщение метода минимального покрытия на двухмерный случай строится следующим образом. Пусть дана некоторая функция / (х, у) .

Обозначим

А(8) = тах /(х у) — /(х у) -

Х1 - Х-Х.+ 1 - Х -Х.+ 1

У) - У-У)+1 У) - у-У)+\

размах функции I (х, у) на прямоугольном

В. Ю. Митин

I X < х < Х+

участке < , принадлежащем пол-

IУ у < у < У У+1

ному прямоугольнику [а, Ь] х [с, d]. Тогда амплитудная вариация функции f (х, у), соответствующей масштабу разбиения 5 на участке [а, Ь] х [с, d], определяется следуют т

щим образом: Vf (5) = Ау (5). Пусть

'=1 1 =1

существует асимптотическое равенство

Vf (5) ~ 5 , тогда индекс фрактальности /

определяется как угловой коэффициент линии регрессии экспериментального ряда

ln Vf (5)~ -^ln5.

Wf (5) ~ 53~d» , имеем Vf (5) =

W (5) 5i-

f- ~ 5

3. Пусть [a, c] = [a, b] u [b, c]. Пусть далее существуют i = i a,b]( fl) и

/2 = / (f2). Тогда, если все достаточно малые разбиения содержат точку Ь, то

/ = /л{а,с] (f) = тах(/, /2), где 1 е [a, Ь]

f =

/2,t е [b,c]

В данном алгоритме рассматривается минимальное покрытие из класса правильных четырехугольных призм суммарного объема Wf (5). Исходя из соотношения

Таким образом, справедливо соотношение (3).

4. Свойства индекса фрактальности

Индекс фрактальности для бесконечных рядов обладает следующими основными свойствами.

1. Масштабная инвариантность, т.е. инвариантность относительно растяжений (сжатий) и сдвигов вдоль обеих осей.

Доказательство. Пусть индекс фрактальности функции f равен ц, т.е.

V5 (f) ~ (1/5)i(f). Тогда при любом 5>0:

A) V5(g = с+f) = V/о Vs(g) ~ (1/5)i(f); Б) Vs (g = Cf) = CV5 (f) о V5 (g) ~ (1 / 5)f>;

B) Vs (f (kt)) = Vs/k (f (t ))~(k/5)i( f) = kм(1/5)м ~ (1/5)i(f).

Инвариантность относительно сдвигов вдоль оси абсцисс очевидна, так как значения абсцисс не используются при вычислении индекса фрактальности.

2. Индекс фрактальности отрезка прямой равен нулю.

Доказательство. Пусть f - отрезок прямой. Тогда

(V5 > 0): Vs(f) = consto Vs(f) ~ (1/5)0 oif) = 0.

Доказательство. Если все достаточно малые разбиения содержат точку Ь, то

(Зг > 0)(У5е (0, г)):

^а,с]( у) = ^а,Ь]( Ы + ^[Ь,с]( Л)-(1/ 5)Л1 + (1/ 5)/ ~(1/5)тах(/л/

о / = /[а,с] (У) = тах(/1, /2).

4. Если существуют /(У) и /(g) , причем /(У) ^ /(g), то

+ g) < тах(лС/), )).

Доказательство. Пусть

V5 (f )~(1/5 )i( f), V5 (g )~(1/5 ) Тогда

(V 5 > 0): V5 (f + g) < V5 (f) + V5 (g).

Отсюда следует, что

i( g)

(1/ 5)

i( f+g)

■V8 (f + g) < O[(1/ 5 )i( f)] +

+ 0[(1/ 5 )л( я)] о /(/ + g) < тах(/С/), л(g)).

5. Факторы, влияющие на значение индекса фрактальности случайного ряда

Для конечных рядов многие свойства индекса фрактальности принимают относительный характер. На индекс фрактальности могут влиять следующие факторы.

1. Выбор последовательности аппроксимаций. Целесообразно рассматривать только покрытия прямоугольниками, у которых основание намного меньше длины ряда.

2. Длина ряда. Чем больше длина ряда, тем точнее оценка фрактальной размерности.

3. Конкретная выборка из генеральной совокупности заданного распределения. Индекс фрактальности случайных рядов, получаемых на основе некоторых статистических

i

распределений (например, Коши, Парето, Лапласа) принимает значимо различающиеся значения для разных выборок.

4. Параметры, описывающие закон распределения. Например, для функции Вейер-штрасса-Мандельброта W(b,D) индекс фрак-тальности зависит от размерностного параметра D.

5. Количество точек, по которым строится аппроксимация по методу наименьших квадратов. Если точек брать мало, погрешность аппроксимации будет высока. С другой стороны, если взять много точек, то в рассмотрение войдут крупные разбиения, которые дают искаженную информацию о фрактальном поведении функции.

Рассмотрим ряд иллюстративных примеров.

Пример 1. Определим индекс фрак-тальности функции _>^т(х/р) при длине ряда п=2520р+1 для различных значений параметра р. Результаты вычислений индекса фрак-тальности приведены в табл. 1.

Таблица 1

р д(зт(х/р)), п=2520р+1

1 0,707

2 0,279

3 0,130

4 0,074

5 0,044

6 0,033

7 0,024

8 0,019

9 0,015

10 0,019

Данный пример показывает относительный характер понятия гладкости функций для конечных рядов.

Общее число полных волн синусоиды на выбранном отрезке составляет [2520/2л]«400. Если р=1, то на один полный период приходится 6 или 7 точек ряда (т.е. через каждые 3-4 точки возрастание сменяется убыванием и наоборот). Индекс фракталь-ности при этом близок к индексу фрактально-сти равномерного шума. С ростом р количество точек, приходящихся на одну волну си-

нусоиды, увеличивается, индекс фрактально-сти постепенно уменьшается. При р>5 функция является практически гладкой (см. график).

Влияние длины ряда для синусоиды

р

График зависимости индекса фрактально-сти от длины ряда для синусоиды

Из данного примера следует также, что на основе индекса фрактальности нельзя однозначно судить о типе распределения, поскольку значения ц для случайных функций с различными распределениями могут оказаться достаточно близкими.

Пример 2. Вычислим значения индекса фрактальности функции Вейерштрасса-Мандельброта (длина ряда - 75601) при различных значениях параметра D, принадлежащих диапазону [1, 2], полагая, что b=D (табл.2).

Таблица 2

Б=Ь ¡и(Ж (Ь, D) Б=Ь № (Ь, D))

1,1 0,0000 1,6 0,3876

1,2 0,0003 1,7 0,4501

1,3 0,0782 1,8 0,5193

1,4 0,2622 1,9 0,5346

1,5 0,3313 2 0,6268

Результаты вычислений показывают существенную зависимость индекса фрак-тальности функции Вейерштрасса-Мандельброта от параметра D.

Пример 3. При суммировании полезного сигнала А (= 0,2301) и случайного шума R (= 0,5773) с различными отношениями амплитуд были получены следующие результаты (табл. 3).

В. Ю. Митин

Таблица 3

Функция И

А+Я/256 0,2302

А+Я/16 0,2341

А+Я/4 0,2571

А+Я/2 0,3063

А+Я 0,3932

А+2Я 0,4790

А+4Я 0,5322

А+16Я 0,5710

А+256Я 0,5772

Результаты данного эксперимента показывают, что при суммировании двух случайных функций индекс фрактальности зависит от соотношения их амплитуд. Шумы малой амплитуды не оказывают существенного влияния на индекс фрактальности полезного сигнала.

Пример 4. Рассмотрим функции F(t) и G(t) с индексами фрактальности соответственно равными 0,6977 и 0,515, количество точек данных N=2521. Зададим отображение О : у ^ /и(Н), где уе [1,2520], а случайная функция имеет вид

Н ^) =

\F^), I < у ), I > у -1.

В табл. 4 содержатся значения индекса фрактальности в зависимости от у. Таблица 4

у ад

2 0,6917

102 0,6764

202 0,6688

302 0,6584

402 0,6490

502 0,6403

602 0,6294

702 0,6153

802 0,6121

902 0,6097

1002 0,5968

1102 0,5862

1202 0,5789

1302 0,5778

1402 0,5732

1502 0,5628

1602 0,5558

1702 0,5498

1802 0,5468

1902 0,5414

2002 0,5394

Результаты эксперимента показывают, что если функция обладает различным фрактальным поведением на отдельных участках, то её индекс фрактальности зависит от соотношения длин этих участков.

6. Методика оценки фрактальной размерности поверхности на основе индекса фрактальности

Пусть имеется двумерный массив значений ^ху) высоты точек некоторой поверхности. Можно вычислять значения индекса фрактальности отдельно для строк, столбцов и диагоналей массива, вычислять статистические показатели по полученным множествам индексов фрактальности (среднее, максимум, минимум, размах, дисперсия и т.д.).

Если число строк (столбцов) в массиве невысоко, можно объединять несколько строк (столбцов) в один большой ряд, однако при этом возникает погрешность при переходе на новую строку (столбец). Аналогичным образом можно поступать с диагоналями.

При небольшом количестве точек не рекомендуется добавлять новые точки искусственно, например посредством интерполяции, т.к. при этом может измениться фрактальная картина случайного ряда.

Для исследования эффектов анизотропии фрактальной размерности можно, наряду с основными, рассматривать промежуточные направления.

Двумерный аналог индекса фрактально-сти будет принимать значение из диапазона [1,2] и связываться с фрактальной размерностью тем же соотношением (3). Это позволяет получать оценки фрактальной размерности для поверхности в целом.

7. Применение предложенной методики

С помощью метода минимального покрытия и его двумерного обобщения на основе вышеописанной методики в статье [8] проведен фрактальный анализ поверхностей кристаллов соляных пород Верхнекамского месторождения калийных и калийно-магниевых солей в нанодиапазоне. Сопоставлено фрактальное поведение качественно различных областей соляных пород, описаны эффекты анизотропии фрактальной размерности для некоторых соляных пород и установлены их причины.

Список литературы

1. Федер Е. Фракталы. М.: Мир, 1991.

2. Мандельброт Б. Фрактальная геометрия природы. М.: Ин-т компьютерных исслед. 2002.

3. Божокин С.В., Паршин Д.А. Фракталы и мультифракталы. Ижевск: НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика". 2001.

4. Аптуков В.Н., Митин В.Ю., Скачков А.П. Исследование микрорельефа поверхности сильвина с помощью метода Хёрста // Вестник Пермского университета: Математика. Механика. Информатика. 2010. Вып. 4. С. 30-33.

5. Потапов А.А., Булавкин В.В., Герман В.И. и др. Исследование микрорельефа обрабо-

танных поверхностей с помощью методов фрактальных сигнатур // Журнал технической физики. 2005. Т.75, вып. 5.

6. Hausdorff F. Dimension und Äusseres Mass // Matematishe Annalen. 1919. № 79. P. 157-179.

7. Дубовиков М.М., Крянев А.В., Старченко Н.В. Размерность минимального покрытия и локальный анализ фрактальных временных рядов // Вестник РУДН. 2004. Т. 3, № 1.

8. Аптуков В.Н., Митин В.Ю. Сравнительные характеристики изрезанности рельефа поверхности зёрен сильвина, шпатовой соли и карналлита в нанодиапазоне // Физико-технические проблемы разработки полезных ископаемых. 2013. №1.

The method of minimal coverings and other methods for fractal analysis of surface relief roughness

V. Yu.Mitin

Perm State University, Russia, 614990, Perm, Bukirev st., 15 victormitin@ya.ru; (342) 229-15-35

Different methods of fractal dimension estimating are given and compared in the article, the minimal covering method is described in details. The basic properties of fractal index are formulated and proved and the factors which influence its values are discussed. Some illustrative examples are given. The way how to proceed the fractal analysis of a surface with help of fractal index is shown.

Key words: fractals; minimal covering method; fractal index; fractal dimension; Hurst exponent.