CC BY
4
Doronin Denis Olegovich, deputy director, Russia, Moscow, [email protected], ANO Scientific and Information Center «Polar Initiative»,
Ekimov Andrey Ivanovich, chief of staff, ekimov@russianpolar. ru, Russia, Moscow, ANO Scientific and Information Center «Polar Initiative»
УДК 303.732.4, 519.85
DOI: 10.24412/2071-6168-2022-7-142-147
МЕТОД МИНИМАЛЬНОГО НЕСОГЛАСИЯ
А.А. Даничев, А.И. Карнаухов, С.И. Затенко, А.С. Гоголевский, В.А. Соколова, А.А. Иванов,
А.А. Ореховская
Рассмотрен известный метод получения результирующего ранжирования, сводящийся к решению задачи о назначениях. Показано, что применение меры близости на векторах предпочтений для данного метода не корректно. Предложено использовать для построения матрицы потерь меру близости на матрицах отношений. В результате разработан новый метод получения результирующего ранжирования - метод минимального несогласия.
Ключевые слова: порядковая шкала, бинарные отношения, результирующие ранжирование.
Если выполнить количественное сравнение объектов затруднительно, невозможно или нецелесообразно, то объекты оцениваются не в количественных, а в качественных шкалах. В этом случае оценками объектов являются парные сравнения объектов в порядковых (качественных) шкалах [1, 2, 3]. Т.е. для объектов üt и üj возможны следующие оценки: üt > üj : объект üt предпочтительней объекта; üi < üj : объект üi менее предпочтителен объекта üj; üt = üj : объекты üt и üj равноценны; üt * üj : объекты üt и üj несравнимы.
Набор таких оценок эксперта является бинарным отношением.
Основной задачей анализа таких данных является поиск результирующего ранжирования (упорядочивания) объектов. Для составления итогового рейтинга объектов известны различные подходы [1]. В случае противоречивых данных результаты различных методов будут различаться. Для нескольких объектов лучший вариант - вычислить медиану Кемени. Этот метод использует аксиоматически введенную меру близости для порядковых шкал. Известен эвристический алгоритм расчета медианы Кемени, но он применим только для согласованных данных (когда все оценки транзитивны). Для больших размерностей применим способ Борда. Далее в работе представлен метод, который использует меру близости, но при этом может применяться при большом количестве объектов и низкой согласованности данных.
Отношения и представления отношений. Ранжирования являются отношениями линейного порядка. Строгие ранжирования антирефлексивны (объект может быть равноценен только себе), нестрогие - рефлексивны (объекты могут быть равноценны друг другу). Информация об отношениях может быть представлена матрицами отношений. Строки и столбцы матрицы ||ty|| отношения Р соответствуют элементам множества А. Для представления отношений линейного порядка используется матрица ||tj|| с элементами
1, если (üt, üj) е P, (üj, üt) <t P
(эксперт предпочитает объект üt объекту üj),
tu =
0, если (а,, а]) е Р, (а,, а,) е Р
(эксперт считает объекты а, и а] равноценными),
-1, если (а,, а]) £ Р, (а,, а,) е Р
(эксперт предпочитает объект а] объекту а,), 142
Ранжирование принято изображать набором объектов в скобках в порядке убывания предпочтительности, используя при необходимости знак "=" для равноценных объектов. Ранжирование можно представить вектором предпочтений п = (щ, ... пт), /-я компонента которого равна числу объектов, более предпочтительных, чем а/. Более удобно отображать ранжирование вектором рангов Я = (г;, ... Гт) (объект а/ находится на Г/ месте).
Метод минимального несогласия для векторов предпочтений. В работе [1] приведено описание метода поиска результирующего ранжирования, основанного на построении матрицы потерь для векторов предпочтений. Назовем его методом "минимального несогласия для векторов предпочтений". Данный метод минимизирует "несогласие" экспертов с назначением объектам конкретных рангов, рассмотрим его подробнее.
Пусть р( ), ... р(п) - вектора предпочтений, указанные экспертами, а Р - произвольное ранжирование (рассматриваются только строгие ранжирования). Поставим ему в соответствие т - мерный векторр = (р, ... рт). Расстояние от произвольного ранжирования Р, которому соответствует вектор р до ранжирования р(к) определяется по формуле
(k)
йП (А р(к)) = 21 р / - р/
/=1
Пусть в ранжировании Р объект а/ находится на у-м месте. Введем матрицу потерь
Wh
щ=21 р/ - Р( к А=21 ] -1 - Р( к 1.
к=1 к=1
иу характеризует "несогласие" экспертов с назначением объекта а/ на у-е место. Введем переменную
Г1,если / -й объект находится на у -м месте (р/ = у); [0 - в противном случае. Для строгих ранжирований элементы матрицы ||х||т должны быть подчинены двум условиям:
2 ху = 1, / = 1..т, 2 х,з =!, У =1 т.
У=1 /=1
Если матрица ||х'||т соответствует результирующему ранжированию, то сумма 2 иуХу - вес результирующего ранжирования. Возникает следующая оптимизационная зада-
i, h=1 ча
: 2 uijxij ^ min при ограничениях 2 хн = 1, i = 1т; 2 хн = 1 Н = 1т ; Х G[0,1],
j=1 i=1
из-
t, ]
вестная как задача о назначениях или задача о выборе [4]. Задача о назначениях относится числу эффективно решаемых задач линейного программирования. Для поиска решения применяется Венгерский алгоритм [5]
Следует заметить, что в работе [1] данный метод представлен как способ вычисления медианы Кемени. Это не верно, что доказывается примером из табл.1.
Различие между медианой Кемени и метод минимального несогласия
Таблица 1
Метод Результирующие ранжирования (в виде векторов рангов) Исходные ранжирования (в виде векторов рангов)
Медиана Кемени (8 2 4 3 5 7 1 6 9) (5 1 2 7 9 6 8 4 3) (6 2 7 4 1 5 3 8 9) (8 5 3 6 4 2 1 7 9) (9 5 2 1 6 8 4 7 3) (2 4 9 5 6 7 3 1 8)
Метод минимального несогласия для векторов предпочтений (8 1 2 4 5 6 3 7 9) (8 1 2 4 6 5 3 7 9) (8 1 2 5 4 6 3 7 9)
Меры близости на отношениях порядка. Рассмотрим центральный момент метода минимального несогласия для векторов предпочтений - процесс формирования матрицы потерь.
Пусть для всех к = 1..п вектор предпочтений р'(к) отличается от вектора р(к) только 1-й компонентой и р'(к) = ; — 1 ( объект а/ находится на;-м месте). Тогда
т
ик=ёп (р( к))=х I р;( к)—р(к) I=I р'( к)—р(к ) I=I ]—1—р(к ) I
I=1
характеризует "несогласие" к-го эксперта с назначением объекта а, на;-е место. Элемент матрицы потерь
щ=Хик=11;—1—р(к )|.
к=1 к=1
В данном методе расстояние от ранжирования Р, которому соответствует вектор р до ранжирования р(к) определяется по формуле
Сп(р, р(к)) = £ I р, — р(к) I.
/=1
В [1] указанно, что данная метрика использует меру близости Опирмена и (в случае, если векторы предпочтений соответствуют ранжированиям) совпадает с мерой близости, использованной при определении коэффициента ранговой корреляции Спирмена, для определения степени различия между ранжированиями.
Покажем, что использование меры близости на векторах предпочтений для формирования матрицы потерь не корректно.
Рассмотрим строгие ранжирования. Для двух векторов предпочтений всегда можно подобрать индексы /1, /2,.../т' , т' < 0.5т , такие, что рЦ > р/2, к е [1;т'] . Докажем, что расстояние между векторами предпочтений р(1) и р(2) не зависит от взаимного расположения компонент с индексами /1,/2,.../т':
т т ' т
ёП (р(1), р(2))=Е\р,(1)—р(2)\=Е\р/1 — р(2)1+ X \р£°—р^1 =
/ =1 к=1 к=т '+1
т т ' т '
= X —р^+Ер?—ЕрГ
к=т '+1 к=1 к=1
От обмена значениями элементов с индексами /1, /2,.../т ' значение сумм
т ' т '
ЕЕрГ'и ее р?'
к=1 к=1
не измениться, а следовательно не измениться и величина Сп (р(1), р(2)) , что и требовалось доказать.
Например, расстояние от ранжирования р(1) = (а > Ь > с > С) до ранжирования р(2)(с >й >Ь >а) равно 8: р(1) = (0,1,2,3), р(2) = (3,2,0,1), йП(р(1),р(2)) = 3 +1 + 2 + 2 = 8. Так же восьми равно расстояние от р(1) до р(3), р(4), р(5) (табл. 2).
Таблица 2
Распределение голосов___
р(1) р(2) р(3) р(4) р(5)
р(к) а с с сС с
Ь с й с с
с Ь а Ь а
й а Ь а Ь
ёП (р(1), р(к>) 0 8 8 8 8
Расстояние между ранжированиями Я и Як, которым соответствуют матрицы отношений ||^|тхт и ||^к||тхт, следует определять по известной формуле
т
й (Я, Як) = 1X— 1
/, 1=1 144
Данная формула определяет единственную меру близости на отношениях линейного порядка (ранжированиях) [1].
Табл. 3 и 4 иллюстрируют различие между метриками dп и d . Таким образом для построения матрицы потерь корректно использовать меру близости на матрицах отношений
d (Р, Рк).
Таблица 3
Строгие ранжирования_
Ранжирование Вектор предпочтений Матрица отношений
а Ь Р1 = с d Р1 = (0, 1, 2, 3) 71 = ' 0 1 1 Г -10 11 -1 -1 0 1 ,-1 -1 -1 0,
d с Р2 = Ь а Р2 = (3, 2, 1, 0) Т2 = (0 -1 -1 -Л 1 0 -1 -1 110 -1 V 1110,
с d Рз = Ь а Рз = (3, 2, 0, 1) Т3 = (0 -1 -1 -Р 1 0 -1 -1 110 1 V 1 1 -1 0,
а(Р1, Р2) = 10; ё(Р1, Рз) = 8; dп(] Р1, Р2) = dп(Pl, Р3) = 8
Таблица 4
Нестрогие ранжирования_
Ранжирование Вектор предпочтений Матрица отношений
Р1 = а, Ь, с, d Р1 = (0, 0, 0, 0) 7 = (0 0 0 0А 0 0 0 0 0 0 0 0 , 0 0 0 0,
а Р2 = Ь, с, d Р2 = (0, 1, 1, 1) Т2 = ( 0 1 1 г -10 0 0 -10 0 0 ,-1 0 0 0,
а, Ь, с Р3 = d Рз = (0, 0, 0, 1) ( Т3 = V 1 0 0 0^ 10 0 0 10 0 0 -1 -1 -1 0 А /
а(Р1, Р2) = а(Р1, Р3) = 3; dп(Pl, Р2) = 3; dп(Pl, Р3) = 1
Метод минимального несогласия. Ниже предлагается метод поиска результирующего ранжирования, основанного на построении матрицы потерь для матриц отношений - метод минимального несогласия.
Исходные данные: Я1, ... Яп - вектора рангов, указанные экспертами, 71, ... Тп - соответствующие им матрицы отношений.
Пусть некоторый вектор Я = (г1, ... Гт) отличается от вектора рангов Як только 7-й компонентой и Г = у (объект а7 находится на у-м месте). Составим матрицу отношений Т = ||/||т , соответствующую вектору Я . Тогда
uk =
(Т, Tk ) = Х- /
г ' > ]"
характеризует "несогласие" к-го эксперта с назначением объекта а на/-е место. Элемент матрицы потерь
uk
щ=X!
k=1
Оптимизационная задача остается без изменений:
X<
UijXij ^ min. 1
при ограничениях
XXj = 1, i = 1..m; X X = 1, j = I m ; xj = {0,1},
1=1 i=i
где матрица ||Xj||mxm соответствует результирующему ранжированию (Xj =1, если i-й объект на
j-м месте, 0 - в противном случае).
Заключение. В работе предложен новый метод поиска результирующего ранжирования, сводящийся к решению задачи о назначениях - эффективно решаемой задачи линейного программирования. Так же, как и медиана Кемени, новый метод использует аксиоматически введенную меру близости для порядковых шкал, но при этом может применяться при большом количестве объектов и низкой согласованности данных.
Список литературы
1. Литвак Б.Г. Экспертная информация: методы получения и анализа. М.: Радио и связь, 1982. 255 с.
2. Шрейдер Ю.А. Равенство, сходство, порядок. М.: Наука, 1971. 254 с.
3. Юдин Д.Б., Цой Э.В. Отношение Канторовича и задачи обобщенного матеметиче-ского программирования // Экономика и математические методы. 1989. Т. XXVI. Вып. 5. С.885-889.
4. Корбут А.А., Финкельштейн Ю.Ю. Дискретное программирование. М.: Наука, 1969.
368 с.
5. Кристофидес Н.Теория графов. Алгоритмический подход. М.: Мир, 1978. 432 с.
Даничев Алексей Александрович, канд. техн. наук, доцент, adanichev@sfu-kras. ru, Россия, Красноярск, Сибирский федеральный университет,
Карнаухов Андрей Иванович, канд. техн. наук, доцент, [email protected], Россия, Красноярск, Сибирский государственный университет науки и технологий имени академика М. Ф. Решетнева,
Затенко Светлана Ивановна, канд. техн. наук, доцент, [email protected], Россия, Санкт-Петербург, Санкт-Петербургский государственный лесотехнический университет имени С.М. Кирова,
Гоголевский Анатолий Сергеевич, канд. техн. наук, старший научный сотрудник, [email protected], Россия, Санкт-Петербург, Военно-космическая академия имени А. Ф. Можайского,
Соколова Виктория Александровна, канд. техн. наук, доцент, [email protected], Россия, Санкт-Петербург, Военная академия связи им. Маршала Советского Союза С.М. Буденного,
Иванов Александр Алексеевич, канд. техн. наук, доцент, [email protected], Россия, Тверь, Тверская государственная сельскохозяйственная академия,
Ореховская Александра Александровна, канд. с.-х. наук, начальник отдела, [email protected], Россия, Брянская область, п. Майский, Белгородский государственный аграрный университет имени В.Я. Горина
146
METHOD OF MINIMUM DISCLAIMER
A.A. Danichev, A.I. Karnaukhov, S.I. Zatenko, A.S. Gogolevsky, V.A. Sokolova, A.A. Ivanov, A.A. Orekhovskaya
A well-known method for obtaining the resulting ranking, which is reduced to solving the assignment problem, is considered. It is shown that the application of the proximity measure on the preference vectors for this method is not correct. It is proposed to use the proximity measure on the relationship matrices to construct the loss matrix. As a result, a new method for obtaining the resulting ranking has been developed - the method of minimal disagreement.
Key words: ordinal scale, binary relations, resulting ranking.
Danichev Aleksey Aleksandrovich, candidate of technical sciences, docent, [email protected], Russia, Krasnoyarsk, Siberian Federal University,
Karnaukhov Andrey Ivanovich, candidate of technical sciences, docent, karnau-
[email protected], Russia, Krasnoyarsk, Reshetnev Siberian State University of Science and Technology,
Zatenko Svetlana Ivanovna, candidate of technical sciences, docent, [email protected], Russia, St. Petersburg, Saint Petersburg State Forest Technical University,
Gogolevskiy Anatoly Sergeevich, candidate of technical sciences, senior researcher, [email protected], Russia, St. Petersburg, Military Space Academy named after A.F. Mozhaisky,
Sokolova Viktoria Aleksandrovna, candidate of technical sciences, docent, [email protected], Russia, St. Petersburg, Military Academy of Communications named after Marshal of the Soviet Union S.M. Budyonny,
Ivanov Alexander Alekseevich, candidate of technical sciences, docent, [email protected], Russia, Tver, Tver State Agricultural Academy,
Orekhovskaya Alexandra Aleksandrovna, candidate of agricultural sciences, head of department, [email protected], Russia, Maiskiy village, Belgorod State Agrarian University named after V.Ya. Gorin
УДК 512.643.3
DOI: 10.24412/2071-6168-2022-7-147-151 ГЕОМЕТРОГРАФИЧЕСКИЙ ВЕКТОР В МАТРИЦЕ КОМПЕТЕНЦИЙ ИНЖЕНЕРА
Н.М. Куприков, М.Ю. Куприков
Весь мир геометричен. Первичность геометрического образа очень характерна для инженерии. Решение инженерных задач сопряжено с синтезом и анализом геометрических образов технических систем. По мере развития наукоемкого машиностроения методы синтеза и анализа геометрии инженерных систем выросли требования к инструменту проектирования, а, следовательно, и к компетенции инженера проектировщика. Показаны возможные области применения технологий быстрого прототипирования при проектировании. Показано, что верификация тренда развития геометро-графического образования идет через развитие нормативно-правовой документации и посредством деятельности в профильных технических комитетах Росстандарта и специализированных диссертационных советах ВАК РФ.
Ключевые слова: кадры, инженерная графика, цифровые технологии, чертеж, конструкторская документация, автоматизация проектирования, аддитивные технологии, технический комитет, диссертационный Совет.
Принципиальным отличием кадрового потенциала России 21 века является востребованность на мировом рынке. Вхождение в ВТО и участие в международных проектах поставило новые требования к компетентностной модели специалиста наукоемкого
147
