Метод матриц плотности в теории процессинга открытых неравновесных наносистем Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 539.2

М. С. Жуковский, С.А. Безносюк

Метод матриц плотности в теории процессинга открытых неравновесных наносистем

Ключевые слова: неравновесные наносистемы, процессинг, метод матриц плотности.

Key word: nonequilibrium nanosystem, processing,

method of density matrixes.

Введение. В настоящее время в ведущих научно-исследовательских коллективах ставятся задачи разработки нанотехнологий второго поколения, выполняющих в реальном времени (in situ) процессинг многоуровневых неравновесных наносистем материалов. Они включают в себя множество корпоративно действующих квантовых наноэлементов, размеры которых порядка 10 нм. Такие «критические» квантово-размерные наночастицы по физико-химическим и информационным свойствам оказались «равноудаленными» как от атомных квантовых систем, так и от микроскопических классических систем. Процессинг этих корпоративных наносистем в природе происходит на основе принципов квантово-запутанных самосборок и самоорганизаций. Предположительно именно такие наносистемы лежат в основе сложных биоэлементов. Это - мембраны, ферменты, «топливные элементы» биологических клеток. На основе компьютерных нанотехнологий процессинга второго поколения будут создаваться квантовые компьютеры. Именно необходимость процессинга нанобиомиметических систем и квантового компьютинга определяет потребность в наноинжиниринге, использующем наносистемные инструменты, устройства и нанороботы при переработке материалов.

Разработка фундаментальных научных основ наноинжиниринга нового поколения, включающего в себя структурированное знание квантовых механизмов измерения, контроля, управления и переработки неравновесных самособирающихся и самоорганизующихся наносистем материалов, предполагает использование мощного математического аппарата современной теории конденсированного состояния. С учетом особенностей многоуровнего строения наносистем материалов описание строится с помощью различных подходов в рамках метода матриц плотности [1-3]. Дальнейшее развитие в данной области требует постановку задачи использования формализма матриц плотности при исследовании подходов к описанию квантово-запутанных механизмов фемтосекундного процессинга неравновесных открытых наносистем материалов.

Таким образом, возникает необходимость систематизировать концептуальные возможности метода матриц плотности с целью реализации последовательного построения математической модели

движения неравновесных наносистем материалов в квантово-запутанных состояниях. Это позволит определить пути реализации высокоскоростного фемтосекундного измерения, контроля, управления самосборки и самоорганизации наносистем адаптивных материалов. Подходы к решению этих вопросов рассматриваются в данной работе.

Теория процессинга неравновесных наносистем в представлении матриц плотности. В квантово-полевой плазме конденсированного состояния происходят спонтанные нарушения динамической симметрии квантово-механических элементов - неравновесных наночастиц [4-7]. Они задаются гильбертовыми пространствами Ие[. финитных в пространственно-временном континууме электронноядерных подсистем. Механизмы спонтанного появления наночастиц определяются в рамках квантовополевой химии. Для них характерны спонтанные процессы «роения», включающие в себя: 1) объединение и распад систем квантовых элементов как составных квантовых наночастиц, задающихся гильбертовыми пространствами И8Ж; 2) запутывание и распутывание квантовых элементов И в составной квантовой наночастице И8Ж; 3) декогеренцию и ре-когеренцию составной квантовой наночастицы И8Ж. Задание корпоративных квантовых механизмов вышеуказанных системных квантовых процессов требует строгого математического определения понятий чистого и смешанного квантового состояния наночастицы (составной или элементарной).

Чистое квантовое состояние наночастицы полностью задается вектором ¥ гильбертового пространства Ие[. Матрица плотности р = |¥><¥| = р2 = = |¥><¥||¥><¥| = |¥><¥| чистого квантового состояния идемпотентна, т.е. совпадает со своим квадратом. Смешанное квантовое состояние описывается неидемпотентной матрицей плотности р = £;|¥;>Щ;<¥;| с неотрицательными весами 0 < < 1,

нормированными на единицу £;ш; = 1, и не описывается определенным вектором ¥ гильбертового пространства И. Неидемпотентность следует из соотношений: р2 = £;|¥;>щ;<¥;| £||¥|>щ^¥|| =

= £;|¥;>ш;ш; <¥;| Ф £;|¥;*>ш;<¥;| = р. При этом Тг р2 = < Тг р = = 1.

Для составной квантовой наночастицы есть только два типа чистых квантовых состояний - запутанные и незапутанные. В незапутанном состоянии каждый ее элемент сам находится в собственном чистом квантовом состоянии. В запутанном чистом состоянии ее элементы находятся не в собственном чистом состоянии, а в собственном смешанном состоянии. Основное отличие между чис-

тыми и смешанными квантовыми состояниями элемента состоит в следующем. В чистом квантовом состоянии переходы между векторами элемента идут за счет внутренних механизмов квантовой суперпозиции во внутреннем для элемента гильбертовом пространстве Не[, а в смешанном квантовом состоянии - за счет внешних механизмов квантовой суперпозиции во внешнем для элемента запутанном гильбертовом пространстве Н8Ж составной квантовой наночастицы более высокого структурного уровня. Другими словами, квантовые переходы в чистых состояниях элемента определяются только внутренними механизмами самого элемента, а в его смешанных состояниях - только внешними механизмами, задаваемыми типом запутывания с внешними квантовыми элементами, участвующими в роевой корпоративной организации составной квантовой частицы более высокого структурного уровня.

Внутренний суперпозиционный механизм один, а внешних корпоративных механизмов запутывания много, поэтому многочисленны типы декогеренции и смешанных состояний квантовых элементов (отображение «один» во «много»). Типов рекогеренции столько же, сколько типов декогеренции (отображение «много» в «один»). Рекогеренция переводит смешанные состояния в чистые состояния, которые задает гильбертово пространство Не[ наночастицы. Рекогеренция восстанавливает изолированность элемента внутри составной квантовой наночастицы.

Многоуровневое строение объектов в квантовополевой концепции базируется на иерархичности трех типов корпоративных процессов роения элементарных квантовых наночастиц. Для составной квантовой наночастицы определенного уровня ее составные части - это элементарные квантовые наночастицы. В то же время она сама считается элементарной квантовой наночастицей по отношению к составной квантовой наночастице вышележащего уровня строения, элементарной частью которой она является. Участвуя в системных процессах запутывания и распутывания с элементами, образующими наряду с ней составную квантовую наночастицу более высокого структурного уровня, она переходит внутри себя в смешанные и чистые состояния, соответственно. Это и есть переходы деко-геренции и рекогеренции составной квантовой наночастицы Н8Ж.

Модели квантовозапутанного процессинга неравновесных наносистем в представлении матриц плотности. Ниже представлены матрицы плотности для чистых квантовых состояний роевой системы из двух квантовых элементов а и Ь, имеющих по два ортогональных квантовых состояния |0> и |1> у каждого. В общем случае чистое квантовое состояние системы принадлежит линейной оболочке четырех базисных векторов {|00>; |01>; |01>; |11>} вида:

|аЬ> = Соо|00> + С10|01> + С01|01> + С11|11>, (1)

где для комплексных амплитуд Су = |Су|ехр(1’№у) требуются лишь условия нормировки:

1 = ВД2. (2)

Факторизованное чистое квантовое состояние принадлежит линейной оболочке (1), но имеет спе-

циальный вид произведения двух чистых квантовых состояний элементов:

|а>|Ь> = (а|0> + Р|1>) (у|0> + 5|1>) =

= ау|00> + а5|01> + Ру|01> + р5|11>. (3)

В частном случае а = в = у = 5 = (1/2)1/2 полная матрица плотности и редуцированные матрицы плотности для двух элементов а и Ь имеют вид:

1 О

р(а\Ъ ) =

(1 1

4 4

1 1

4 4

1 1

4 4

1 1

V 4 4

р(а\Ъ )р(а|Ъ ) =

4

1

4

1

4

1

4

Г1

4

1

4

1

4

1

4

1 1

4 4

1 1

4 4

1 1

4 4

1 1

4 4

(4)

Тгр = 1; Тгр2 = 1.

(1

Р(а )=Р(Ъ )= 2

V 2

1

2

1

2 у

Р(а )р(а ) = р(Ъ )р(Ъ ) =

(1 1 ^

2 2

1 1

V 2 2 У

(5)

Тгр = 1; Тгр2 = 1.

Все остальные нефакторизуемые в виде (3) чистые квантовые состояния в линейной оболочке (1) относятся к запутанным квантовым состояниям. Ниже, для примера, представлены матрица плотности для чистого запутанного состояния вида (1/2)1/2|00> + (1/2)1/2|11> и редуцированные матрицы плотности для двух его элементов а, Ь:

р(а|Ъ ) =

(1 2 0 0

1

2

0 0

0

0

0 0

1

2

0

0

1

2 у

р(а|Ъ )р(а|Ъ ) =

Тгр = 1; Тгр2 = 1.

(1 1

0 0 —

2 2

0 0 0 0

0 0 0 0

1 1

0 0

V 2 2

р(а ) = р(Ъ ) =

(1 ^

- 0

2

1 ’ ’

0 -

v 2 J

(1 ^

- 0

(Ъ )р(Ъ) = 4 1

0 -

V 4

(7)

2 1

Тгр = 1; Тгр =

В чистом состоянии матрица плотности идемпо-

2

тентна р = р и след квадрата матрицы плотности равен единице Тг р = Тг р2 = 1. В смешанном состоянии матрица плотности неидемпотентна р2 # р и след квадрата матрицы плотности меньше единицы: Тг р2 < 1.

Для наглядности рассмотрим изолированный квантово-запутанный «пакетник». Он состоит из двух квантовых элементов.

Пакетник находится в чистом когерентном состоянии суперпозиции всех четырех потенциально допустимых конфигураций двух переключателей {|00>; |01>; |01>; |11>} с амплитудами |аЬ> = Ою|00> + Сю|01> + С01101> + С„|11>.

Если при этом один переключатель находится в чистом когерентном состоянии суперпозиции двух потенциально допустимых конфигураций его положений {|0>; |1>} с амплитудами а|0> + Р|1>, а второй переключатель находится в чистом когерентном состоянии суперпозиции двух потенциально допустимых конфигураций его положений {|0>; |1>} с амплитудами у|0> + 5|1>, то в целом пакетник находится в незапутанном чистом квантовом состоянии |аЬ> = |а>|Ь> = (а|0> + р|1>) (у|0> + 5|1>) = = ау|00> + а5|01> + Ру|01> + Р5|11>. В факторизованном чистом квантовом состоянии |аЬ> полностью объективированы оба квантовых элемента и для изменения квантового состояния всего пакетни-ка в целом необходимо и достаточно изменять квантовое состояние каждого квантового элемента в отдельности.

В чистом (когерентном) квантовом состоянии нет классического «воплощения» в любые базисные состояния, так как они связаны синхронными квантовыми переходами, амплитуды которых задаются недиагональными элементами идемпотентной матрицы плотности. «Исключением» являются случаи, когда чистое состояние точно совпадает с одним из базисных состояний и матрица плотности имеет диагональный вид, в которой на диагонали стоит одна единица, а остальные элементы равны нулю. Недиагональные элементы исчезают потому, что формально «исчезают» остальные базисные состояния и квантовая частица объективируется в одном единственном базисном состоянии. Но это не соответствует «редукции» состояния квантовой частицы в одно из базисных состояний, так как в этом случае унитарное преобразование базисных состояний об-

наруживает наличие не равных нулю недиагональных матричных элементов матрицы плотности. Дело в том, что в одном из представлений чистого квантового состояния его матрицу плотности можно всегда сделать диагональной идемпотентной, надо просто выбрать тот базис, в котором текущее состояние является одним из базисных. В квантовой теории показано, что унитарные преобразования базиса не изменяют наблюдаемые средние значения физических величин квантовой частицы в чистых состояниях, поэтому нет никакой выделенности базисов и, следовательно, описание каждого квантового состояния в «собственном» представлении без квантовых переходов в другие базисные состояния имеет лишь относительный смысл тождественности квантового состояния с самим собой.

Пакетник может находиться и в запутанном чистом квантовом состоянии. Их два типа: |ab>entI = |(1/2)1/2|00> + (1/2)1/2|11> или другой ортогональный к первому |ab>entn = |(1/2)1/2|01> + (1/2)1/2|10>. В запутанных состояниях оба переключателя не находятся по отдельности в своих чистых когерентных состояниях суперпозиции двух потенциально допустимых конфигураций их положений {|0>; |1>} с амплитудами а|0> + Р|1>, и у|0> + 5|1>, соответственно. В этих нефакторизуемых чистых квантовых состояниях |ab>ent пакетника полностью необъекти-вированы оба квантовых элемента в отдельности, а объективирована только их квантовая пара -дублет. Для изменения запутанного квантового состояния всего пакетника в целом невозможно изменять квантовое состояние каждого квантового элемента в отдельности, а только их пары как не раздельного целого. Дублет объективирован в двух двумерных гильбертовых пространствах состояний: |ab>entI = G00|00> + G„|11> или |ab>entI1 = G0x|01> + + GJ0|10> - двух различных дублетных форм запутанности пары элементов внутри пакетника.

В представлении двух введенных гильбертовых подпространств запутывания, вводя обозначения для диагональных и недиагональных элементов: |G00|2 = a, |G„|2 = b, |G01|2 = c, |GW|2 = d; (8а)

G00+ G„|= m, G„+ G00 = n, G01+ Gw|=

= p, Gj0+ G01 = q, (8b)

матрицы плотности запутанных состояний можно в общем виде представить в блочно-диагональном виде:

(а n 0 0 ^

m Ъ 0 0

0 0 0 0

v 0 0 0 0 V

(0 0 0 0N

0 0 0 0

0 0 с q

V 0 0 Р d J

(9)

PentI(1|2) =

Pentn(1|2) =

Учитывая, что а + Ь = с + d = 1, аЬ = тп, cd = pq, можно показать идемпотентность матриц плотности

(9). В самом деле, для первого типа запутывания имеем:

При этом каждый из двух элементов а и Ь находится в смешанном состоянии с редуцированными

PentI(l|2)PentI(l|2) =

^ a(a + b) 0 + 0^ матрицами плотности:

a + ) a + ) 0 0 il cl

0 0 0 0 p(a) = p(b) = 2 0 - K 2

v 0 0 0 0; (10)

a n 0 0

m b 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

При этом в первом типе запутывания аЪ>еП = 000|00> + Оц|11> каждый из двух элементов 1 и 2 имеет редуцированную матрицу плотности в базисе {|0>, |1>} вида:

р(1) = р(2) =

a 0 0 b

р(1)р(1) = р(2)р(2) =

(11)

0 '

0 ЬЬ у

Матрицы плотности каждого из элементов 1 и 2 не являются идемпотентными и описывают их смешанные квантовые состояния:

Тгр = а + Ь = 1; Тгр2 = аа + ЬЬ < 1. (12)

При этом 0.5 < Тгр2 <1 и крайние значения соответствуют предельным случаям запутанности: максимальной (0.5) при а = Ь = 0.5; минимальной (1) при а = 1, Ь = 0 или а = 0, Ь = 1.

В типе запутывания II: |аЬ>еП = С01|01> + С10| 10> каждый из двух элементов 1 и 2 имеет редуцированную матрицу плотности в базисе {|0>, |1>} вида: с

р(1) = р(2) =

0 0 d

р(1)р(1) = р(2)р(2) =

0

dd

(13)

Матрицы не являются идемпотентными и описывают смешанные квантовые состояния:

Тгр = с + ё = 1; Тгр2 сс + dd < 1. (14)

Случай максимально запутанного состояния I типа пакетника был дан выше в (6), его матрицу плотности можно переписать в представлении (13) следующим образом

Р(12 ) =

( 1 2

1

2

0

1

2

1

2

0

0 0

0

0

Р(12 )Р(12 ) =

Тгр = 1; Тгр = 1.

0 0 0 J

( 1 1

0 0

2 2

1 1

0 0

2 2

0 0 0 0

v 0 0 0 0

(15)

p(a)p(a) = p(b)p(b) =

( 1

0

4

1

0

4

(16)

2 1

Trp = 1; Trp = —.

Вводя в качестве меры информации чистоты квантового состояния след квадрата матрицы плотности I = Tr р2, чистое квантовое состояние можно определить как состояние, имеющее максимальную информацию чистоты I = 1.

Снижение информации I = Tr р2 связывается с появлением согласованности (concurrence) элементов. Количественную меру согласованности для каждого элемента в системе в отдельности, например Са, вводят по формуле: 1 - Tr [р(а)]2 = [Са]2 /2. Видно, что мера степени согласованности, введенная выше, достигает максимального значения Са = 1 для квантовых состояний вида (16). Степень запутанности может изменяться от 0 (чистые факторизуемые состояния и минимально возможное запутывание) и до 1. Минимально возможное запутывание соответствует состояниям |00> или |11>.

В смешанном квантовом состоянии чистая информация снижается. Последнее трактуется как снижение запаса информации в информационных ресурсах самого элемента системы. Это означает, что появление определенных квантовых состояний у элемента (например, а) системы обусловлено одновременным возникновением определенных квантовых состояний в запутанных с ним других элементах составной квантовой частицы (в данном случае b) и, наоборот. Существует условная вероятность появления такого квантового состояния у данного элемента от возникновения определенных квантовых состояний у других элементов системы. Часть информации распределена по запутанным элементам внутри составной квантовой частицы -она делокализована по системе их квантовых корреляционных связей за счет кинематических условий запрета, но не каких-либо динамических связей. Объем делокализованной информации можно определить информационной энтропией Шеннона. По определению (формулы (8), (9)), делокализованная информация - сумма энтропий Sa , Sb Шеннона квантовых состояний для каждого элемента системы в отдельности за вычетом энтропии Sab Шеннона квантовых состояний составной квантовой системы: Sab = -2ijPijlog2Pij; Sa = -2iPilog2Pb Sb = -SjPjlog2Pj. (17)

Iab = (Sa + Sb) - Sab. (18)

В случае незапутанного чистого состояния системы нелокальная информация Iab равна нулю. В случае двухэлементной (двухбитовой) системы в чистом запутанном состоянии |00> + |11> или |10> + |01> энтропия Шеннона Sab системы снижается с двух битов до 1 бита, что означает появление в системе делокализованной информации Iab величиной в 1 бит: Iab = (Sa + Sb) - Sab = (1 + 1) - 1 = 1bit. (19)

При этом число различимых состояний системы уменьшилось из-за внутренней запутанности с 4 до 2. Или оба вверх (|00>) или оба вниз (|11>), в другом типе запутанности: или первый вверх, а второй вниз (|10>), или наоборот (|01>). В случае внутреннего запутывания составной квантовой частицы часть ее внешней информации уменьшается за счет перехода на внутренние корреляции. Но с учетом двух типов запутывания (механизмов «коммутации» элементов) суммарная сложность составной квантовой частицы осталась прежней: 2 х 2 = 4. Однако при реализации одного из механизмов запутывания число различимых состояний уменьшилось для внешнего наблюдателя вдвое - 2! Для того чтобы реализовать дополнительный мультиплет состояний, необходимо поменять коммутацию состояний двух внутренних элементов. Это требует особой операции перекоммута-ции элементов составной квантовой частицы.

Заметим, что для запутанного состояния (16) Tr [p2(a)] = '. Это величина, обратная к числу различимых квантовых состояний Wa = 2, в которых в смешанном состоянии может находиться квантовый элемент а. Вводя информацию Хартли для различимых квантовых состояний элемента а, получим связь со следом квадрата редуцированной матрицы плотности элемента а в смешанном состоянии вида: Ih (a) = Log2Wa = -log2{Tr [p2(a)]}. (20)

Квантовые состояния различимы в смешанном состоянии запутанной системы именно за счет принципиальной возможности анализа (верификации, наблюдения) квантовых состояний внешних для системы а квантовых элементов, запутанных с «измеряемым» элементом а. Последние выполняют роль сцепленного с элементом а анализатора его состояний без непосредственного воздействия на квантовый элемент а! В этом и заключается особая роль запутанных состояний составной квантовой системы (а)+(анализатор) для контроля и управления процессами переключения различимых квантовых состояний запутанного с анализатором квантового элемента а. Эти квантовые переходы в смешанном состоянии элемента а контролируются информационными процессами управления (нанотехнологии).

В случае стохастических флуктуационных смешанных состояний, наоборот, формула (18) описывает связь энтропии Хартли Sн с числом неразличимых квантовых состояний квантового элемента а:

Sн (а) = = —^{Тг [р2(а)]}. (21)

Эти квантовые переходы в смешанном состоянии элемента а контролируются энтропийными факторами стохастических флуктуационных процессов (химтехнологии).

Роение квантовых частиц - это механизм объединения и распада корпоративных систем квантовых частиц. Как показано ниже на схеме, квантовые частицы структурного уровня К являются роевыми корпорациями квантовых элементов нижележащего уровня К—1 и квантовыми элементами роевых корпоративных квантовых частиц вышележащего уровня К+1.

|___| |_____| |__| |_______| стр. уровень К+1

++++++++++++++++++++++++++ стр. уровень К

.............................. стр. уровеньК-1

Заключение. На основании вышеизложенного можно констатировать, что, используя формализм матриц плотности, можно развить подход к описанию квантово-запутанных механизмов процессинга неравновесных открытых наносистем материалов. В рамках этого подхода роевая квантовая наночастица Н8Ж имеет внутренние системные трансформации запутывания и распутывания ее элементов и внешние системные трансформации декогеренции и рекогеренции. При этом в результате объединения и распада роевых систем квантовых элементов заданная квантовая наночастица принимает участие в образовании роя более высокого структурного уровня. Вхождение в состав роя квантовых наночастиц более высокого уровня предопределяет возможность протекания системных процессов ее внешнего запутывания с другими элементами роя, что ведет к процессу декогеренции внутри квантовой наночастицы. В итоге декогеренции квантовая наночастица переходит во внутреннее смешанное состояние того или иного типа. Квантово-полевые флуктуации процессов объединения и распада роев квантовых составных наночастиц более высокого структурного уровня, а также запутывания и распутывания квантовых элементов внутри них ведут к стохастическим процессам декогеренции перехода в смешанные квантовые состояния и рекогеренции перехода в чистые квантовые состояния внутри самих квантовых наноэлементов.

Библиографический список

1. Местечкин, М.М. Метод матрицы плотности в теории молекул / М.М. Местечкин. - Киев, 1977.

2. Блум, К. Теория матрицы плотности и ее приложения / К. Блум. - М., 1983.

3. Мулдахметов, З.М. Теория электронного строения молекул: новые аспекты / З.М. Мулдахметов, Б.Ф. Минаев, С.А. Безносюк. - Алма-Ата, 1988.

4. Beznosjuk S.A., Minaev B.F., Dajanov R.D., Mul-dakhmetov Z.M. // Int. J. Quant. Chem. - 1990. - V. 38, №6.

5. Beznosjuk S.A., Minaev B.F., Dajanov R.D., Mul-dakhmetov Z.M. // J. Mol. Struct. (Theochem). - 1991.

- V. 227.

6. Beznosyuk S.A., Kolesnikov A.V., Mezentzev D.A., Zhukovsky M.S., Zhukovsky T.V. // Materials Science & Engineering C. - 2002. - V. 19, №1.

7. Beznosyuk S.A. // Materials Science & Engineering C.

- 2002. - V. 19/1.