УДК 539.2
М. С. Жуковский, С.А. Безносюк
Метод матриц плотности в теории процессинга открытых неравновесных наносистем
Ключевые слова: неравновесные наносистемы, процессинг, метод матриц плотности.
Key word: nonequilibrium nanosystem, processing,
method of density matrixes.
Введение. В настоящее время в ведущих научно-исследовательских коллективах ставятся задачи разработки нанотехнологий второго поколения, выполняющих в реальном времени (in situ) процессинг многоуровневых неравновесных наносистем материалов. Они включают в себя множество корпоративно действующих квантовых наноэлементов, размеры которых порядка 10 нм. Такие «критические» квантово-размерные наночастицы по физико-химическим и информационным свойствам оказались «равноудаленными» как от атомных квантовых систем, так и от микроскопических классических систем. Процессинг этих корпоративных наносистем в природе происходит на основе принципов квантово-запутанных самосборок и самоорганизаций. Предположительно именно такие наносистемы лежат в основе сложных биоэлементов. Это - мембраны, ферменты, «топливные элементы» биологических клеток. На основе компьютерных нанотехнологий процессинга второго поколения будут создаваться квантовые компьютеры. Именно необходимость процессинга нанобиомиметических систем и квантового компьютинга определяет потребность в наноинжиниринге, использующем наносистемные инструменты, устройства и нанороботы при переработке материалов.
Разработка фундаментальных научных основ наноинжиниринга нового поколения, включающего в себя структурированное знание квантовых механизмов измерения, контроля, управления и переработки неравновесных самособирающихся и самоорганизующихся наносистем материалов, предполагает использование мощного математического аппарата современной теории конденсированного состояния. С учетом особенностей многоуровнего строения наносистем материалов описание строится с помощью различных подходов в рамках метода матриц плотности [1-3]. Дальнейшее развитие в данной области требует постановку задачи использования формализма матриц плотности при исследовании подходов к описанию квантово-запутанных механизмов фемтосекундного процессинга неравновесных открытых наносистем материалов.
Таким образом, возникает необходимость систематизировать концептуальные возможности метода матриц плотности с целью реализации последовательного построения математической модели
движения неравновесных наносистем материалов в квантово-запутанных состояниях. Это позволит определить пути реализации высокоскоростного фемтосекундного измерения, контроля, управления самосборки и самоорганизации наносистем адаптивных материалов. Подходы к решению этих вопросов рассматриваются в данной работе.
Теория процессинга неравновесных наносистем в представлении матриц плотности. В квантово-полевой плазме конденсированного состояния происходят спонтанные нарушения динамической симметрии квантово-механических элементов - неравновесных наночастиц [4-7]. Они задаются гильбертовыми пространствами Ие[. финитных в пространственно-временном континууме электронноядерных подсистем. Механизмы спонтанного появления наночастиц определяются в рамках квантовополевой химии. Для них характерны спонтанные процессы «роения», включающие в себя: 1) объединение и распад систем квантовых элементов как составных квантовых наночастиц, задающихся гильбертовыми пространствами И8Ж; 2) запутывание и распутывание квантовых элементов И в составной квантовой наночастице И8Ж; 3) декогеренцию и ре-когеренцию составной квантовой наночастицы И8Ж. Задание корпоративных квантовых механизмов вышеуказанных системных квантовых процессов требует строгого математического определения понятий чистого и смешанного квантового состояния наночастицы (составной или элементарной).
Чистое квантовое состояние наночастицы полностью задается вектором ¥ гильбертового пространства Ие[. Матрица плотности р = |¥><¥| = р2 = = |¥><¥||¥><¥| = |¥><¥| чистого квантового состояния идемпотентна, т.е. совпадает со своим квадратом. Смешанное квантовое состояние описывается неидемпотентной матрицей плотности р = £;|¥;>Щ;<¥;| с неотрицательными весами 0 < < 1,
нормированными на единицу £;ш; = 1, и не описывается определенным вектором ¥ гильбертового пространства И. Неидемпотентность следует из соотношений: р2 = £;|¥;>щ;<¥;| £||¥|>щ^¥|| =
= £;|¥;>ш;ш; <¥;| Ф £;|¥;*>ш;<¥;| = р. При этом Тг р2 = < Тг р = = 1.
Для составной квантовой наночастицы есть только два типа чистых квантовых состояний - запутанные и незапутанные. В незапутанном состоянии каждый ее элемент сам находится в собственном чистом квантовом состоянии. В запутанном чистом состоянии ее элементы находятся не в собственном чистом состоянии, а в собственном смешанном состоянии. Основное отличие между чис-
тыми и смешанными квантовыми состояниями элемента состоит в следующем. В чистом квантовом состоянии переходы между векторами элемента идут за счет внутренних механизмов квантовой суперпозиции во внутреннем для элемента гильбертовом пространстве Не[, а в смешанном квантовом состоянии - за счет внешних механизмов квантовой суперпозиции во внешнем для элемента запутанном гильбертовом пространстве Н8Ж составной квантовой наночастицы более высокого структурного уровня. Другими словами, квантовые переходы в чистых состояниях элемента определяются только внутренними механизмами самого элемента, а в его смешанных состояниях - только внешними механизмами, задаваемыми типом запутывания с внешними квантовыми элементами, участвующими в роевой корпоративной организации составной квантовой частицы более высокого структурного уровня.
Внутренний суперпозиционный механизм один, а внешних корпоративных механизмов запутывания много, поэтому многочисленны типы декогеренции и смешанных состояний квантовых элементов (отображение «один» во «много»). Типов рекогеренции столько же, сколько типов декогеренции (отображение «много» в «один»). Рекогеренция переводит смешанные состояния в чистые состояния, которые задает гильбертово пространство Не[ наночастицы. Рекогеренция восстанавливает изолированность элемента внутри составной квантовой наночастицы.
Многоуровневое строение объектов в квантовополевой концепции базируется на иерархичности трех типов корпоративных процессов роения элементарных квантовых наночастиц. Для составной квантовой наночастицы определенного уровня ее составные части - это элементарные квантовые наночастицы. В то же время она сама считается элементарной квантовой наночастицей по отношению к составной квантовой наночастице вышележащего уровня строения, элементарной частью которой она является. Участвуя в системных процессах запутывания и распутывания с элементами, образующими наряду с ней составную квантовую наночастицу более высокого структурного уровня, она переходит внутри себя в смешанные и чистые состояния, соответственно. Это и есть переходы деко-геренции и рекогеренции составной квантовой наночастицы Н8Ж.
Модели квантовозапутанного процессинга неравновесных наносистем в представлении матриц плотности. Ниже представлены матрицы плотности для чистых квантовых состояний роевой системы из двух квантовых элементов а и Ь, имеющих по два ортогональных квантовых состояния |0> и |1> у каждого. В общем случае чистое квантовое состояние системы принадлежит линейной оболочке четырех базисных векторов {|00>; |01>; |01>; |11>} вида:
|аЬ> = Соо|00> + С10|01> + С01|01> + С11|11>, (1)
где для комплексных амплитуд Су = |Су|ехр(1’№у) требуются лишь условия нормировки:
1 = ВД2. (2)
Факторизованное чистое квантовое состояние принадлежит линейной оболочке (1), но имеет спе-
циальный вид произведения двух чистых квантовых состояний элементов:
|а>|Ь> = (а|0> + Р|1>) (у|0> + 5|1>) =
= ау|00> + а5|01> + Ру|01> + р5|11>. (3)
В частном случае а = в = у = 5 = (1/2)1/2 полная матрица плотности и редуцированные матрицы плотности для двух элементов а и Ь имеют вид:
1 О
р(а\Ъ ) =
(1 1
4 4
1 1
4 4
1 1
4 4
1 1
V 4 4
р(а\Ъ )р(а|Ъ ) =
4
1
4
1
4
1
4
Г1
4
1
4
1
4
1
4
1 1
4 4
1 1
4 4
1 1
4 4
1 1
4 4
(4)
Тгр = 1; Тгр2 = 1.
(1
Р(а )=Р(Ъ )= 2
V 2
1
2
1
2 у
Р(а )р(а ) = р(Ъ )р(Ъ ) =
(1 1 ^
2 2
1 1
V 2 2 У
(5)
Тгр = 1; Тгр2 = 1.
Все остальные нефакторизуемые в виде (3) чистые квантовые состояния в линейной оболочке (1) относятся к запутанным квантовым состояниям. Ниже, для примера, представлены матрица плотности для чистого запутанного состояния вида (1/2)1/2|00> + (1/2)1/2|11> и редуцированные матрицы плотности для двух его элементов а, Ь:
р(а|Ъ ) =
(1 2 0 0
1
2
0 0
0
0
0 0
1
2
0
0
1
2 у
р(а|Ъ )р(а|Ъ ) =
Тгр = 1; Тгр2 = 1.
(1 1
0 0 —
2 2
0 0 0 0
0 0 0 0
1 1
0 0
V 2 2
р(а ) = р(Ъ ) =
(1 ^
- 0
2
1 ’ ’
0 -
v 2 J
(1 ^
- 0
(Ъ )р(Ъ) = 4 1
0 -
V 4
(7)
2 1
Тгр = 1; Тгр =
В чистом состоянии матрица плотности идемпо-
2
тентна р = р и след квадрата матрицы плотности равен единице Тг р = Тг р2 = 1. В смешанном состоянии матрица плотности неидемпотентна р2 # р и след квадрата матрицы плотности меньше единицы: Тг р2 < 1.
Для наглядности рассмотрим изолированный квантово-запутанный «пакетник». Он состоит из двух квантовых элементов.
Пакетник находится в чистом когерентном состоянии суперпозиции всех четырех потенциально допустимых конфигураций двух переключателей {|00>; |01>; |01>; |11>} с амплитудами |аЬ> = Ою|00> + Сю|01> + С01101> + С„|11>.
Если при этом один переключатель находится в чистом когерентном состоянии суперпозиции двух потенциально допустимых конфигураций его положений {|0>; |1>} с амплитудами а|0> + Р|1>, а второй переключатель находится в чистом когерентном состоянии суперпозиции двух потенциально допустимых конфигураций его положений {|0>; |1>} с амплитудами у|0> + 5|1>, то в целом пакетник находится в незапутанном чистом квантовом состоянии |аЬ> = |а>|Ь> = (а|0> + р|1>) (у|0> + 5|1>) = = ау|00> + а5|01> + Ру|01> + Р5|11>. В факторизованном чистом квантовом состоянии |аЬ> полностью объективированы оба квантовых элемента и для изменения квантового состояния всего пакетни-ка в целом необходимо и достаточно изменять квантовое состояние каждого квантового элемента в отдельности.
В чистом (когерентном) квантовом состоянии нет классического «воплощения» в любые базисные состояния, так как они связаны синхронными квантовыми переходами, амплитуды которых задаются недиагональными элементами идемпотентной матрицы плотности. «Исключением» являются случаи, когда чистое состояние точно совпадает с одним из базисных состояний и матрица плотности имеет диагональный вид, в которой на диагонали стоит одна единица, а остальные элементы равны нулю. Недиагональные элементы исчезают потому, что формально «исчезают» остальные базисные состояния и квантовая частица объективируется в одном единственном базисном состоянии. Но это не соответствует «редукции» состояния квантовой частицы в одно из базисных состояний, так как в этом случае унитарное преобразование базисных состояний об-
наруживает наличие не равных нулю недиагональных матричных элементов матрицы плотности. Дело в том, что в одном из представлений чистого квантового состояния его матрицу плотности можно всегда сделать диагональной идемпотентной, надо просто выбрать тот базис, в котором текущее состояние является одним из базисных. В квантовой теории показано, что унитарные преобразования базиса не изменяют наблюдаемые средние значения физических величин квантовой частицы в чистых состояниях, поэтому нет никакой выделенности базисов и, следовательно, описание каждого квантового состояния в «собственном» представлении без квантовых переходов в другие базисные состояния имеет лишь относительный смысл тождественности квантового состояния с самим собой.
Пакетник может находиться и в запутанном чистом квантовом состоянии. Их два типа: |ab>entI = |(1/2)1/2|00> + (1/2)1/2|11> или другой ортогональный к первому |ab>entn = |(1/2)1/2|01> + (1/2)1/2|10>. В запутанных состояниях оба переключателя не находятся по отдельности в своих чистых когерентных состояниях суперпозиции двух потенциально допустимых конфигураций их положений {|0>; |1>} с амплитудами а|0> + Р|1>, и у|0> + 5|1>, соответственно. В этих нефакторизуемых чистых квантовых состояниях |ab>ent пакетника полностью необъекти-вированы оба квантовых элемента в отдельности, а объективирована только их квантовая пара -дублет. Для изменения запутанного квантового состояния всего пакетника в целом невозможно изменять квантовое состояние каждого квантового элемента в отдельности, а только их пары как не раздельного целого. Дублет объективирован в двух двумерных гильбертовых пространствах состояний: |ab>entI = G00|00> + G„|11> или |ab>entI1 = G0x|01> + + GJ0|10> - двух различных дублетных форм запутанности пары элементов внутри пакетника.
В представлении двух введенных гильбертовых подпространств запутывания, вводя обозначения для диагональных и недиагональных элементов: |G00|2 = a, |G„|2 = b, |G01|2 = c, |GW|2 = d; (8а)
G00+ G„|= m, G„+ G00 = n, G01+ Gw|=
= p, Gj0+ G01 = q, (8b)
матрицы плотности запутанных состояний можно в общем виде представить в блочно-диагональном виде:
(а n 0 0 ^
m Ъ 0 0
0 0 0 0
v 0 0 0 0 V
(0 0 0 0N
0 0 0 0
0 0 с q
V 0 0 Р d J
(9)
PentI(1|2) =
Pentn(1|2) =
Учитывая, что а + Ь = с + d = 1, аЬ = тп, cd = pq, можно показать идемпотентность матриц плотности
(9). В самом деле, для первого типа запутывания имеем:
При этом каждый из двух элементов а и Ь находится в смешанном состоянии с редуцированными
PentI(l|2)PentI(l|2) =
^ a(a + b) 0 + 0^ матрицами плотности:
a + ) a + ) 0 0 il cl
0 0 0 0 p(a) = p(b) = 2 0 - K 2
v 0 0 0 0; (10)
a n 0 0
m b 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
При этом в первом типе запутывания аЪ>еП = 000|00> + Оц|11> каждый из двух элементов 1 и 2 имеет редуцированную матрицу плотности в базисе {|0>, |1>} вида:
р(1) = р(2) =
a 0 0 b
р(1)р(1) = р(2)р(2) =
(11)
0 '
0 ЬЬ у
Матрицы плотности каждого из элементов 1 и 2 не являются идемпотентными и описывают их смешанные квантовые состояния:
Тгр = а + Ь = 1; Тгр2 = аа + ЬЬ < 1. (12)
При этом 0.5 < Тгр2 <1 и крайние значения соответствуют предельным случаям запутанности: максимальной (0.5) при а = Ь = 0.5; минимальной (1) при а = 1, Ь = 0 или а = 0, Ь = 1.
В типе запутывания II: |аЬ>еП = С01|01> + С10| 10> каждый из двух элементов 1 и 2 имеет редуцированную матрицу плотности в базисе {|0>, |1>} вида: с
р(1) = р(2) =
0 0 d
р(1)р(1) = р(2)р(2) =
0
dd
(13)
Матрицы не являются идемпотентными и описывают смешанные квантовые состояния:
Тгр = с + ё = 1; Тгр2 сс + dd < 1. (14)
Случай максимально запутанного состояния I типа пакетника был дан выше в (6), его матрицу плотности можно переписать в представлении (13) следующим образом
Р(12 ) =
( 1 2
1
2
0
1
2
1
2
0
0 0
0
0
Р(12 )Р(12 ) =
Тгр = 1; Тгр = 1.
0 0 0 J
( 1 1
0 0
2 2
1 1
0 0
2 2
0 0 0 0
v 0 0 0 0
(15)
p(a)p(a) = p(b)p(b) =
( 1
0
4
1
0
4
(16)
2 1
Trp = 1; Trp = —.
Вводя в качестве меры информации чистоты квантового состояния след квадрата матрицы плотности I = Tr р2, чистое квантовое состояние можно определить как состояние, имеющее максимальную информацию чистоты I = 1.
Снижение информации I = Tr р2 связывается с появлением согласованности (concurrence) элементов. Количественную меру согласованности для каждого элемента в системе в отдельности, например Са, вводят по формуле: 1 - Tr [р(а)]2 = [Са]2 /2. Видно, что мера степени согласованности, введенная выше, достигает максимального значения Са = 1 для квантовых состояний вида (16). Степень запутанности может изменяться от 0 (чистые факторизуемые состояния и минимально возможное запутывание) и до 1. Минимально возможное запутывание соответствует состояниям |00> или |11>.
В смешанном квантовом состоянии чистая информация снижается. Последнее трактуется как снижение запаса информации в информационных ресурсах самого элемента системы. Это означает, что появление определенных квантовых состояний у элемента (например, а) системы обусловлено одновременным возникновением определенных квантовых состояний в запутанных с ним других элементах составной квантовой частицы (в данном случае b) и, наоборот. Существует условная вероятность появления такого квантового состояния у данного элемента от возникновения определенных квантовых состояний у других элементов системы. Часть информации распределена по запутанным элементам внутри составной квантовой частицы -она делокализована по системе их квантовых корреляционных связей за счет кинематических условий запрета, но не каких-либо динамических связей. Объем делокализованной информации можно определить информационной энтропией Шеннона. По определению (формулы (8), (9)), делокализованная информация - сумма энтропий Sa , Sb Шеннона квантовых состояний для каждого элемента системы в отдельности за вычетом энтропии Sab Шеннона квантовых состояний составной квантовой системы: Sab = -2ijPijlog2Pij; Sa = -2iPilog2Pb Sb = -SjPjlog2Pj. (17)
Iab = (Sa + Sb) - Sab. (18)
В случае незапутанного чистого состояния системы нелокальная информация Iab равна нулю. В случае двухэлементной (двухбитовой) системы в чистом запутанном состоянии |00> + |11> или |10> + |01> энтропия Шеннона Sab системы снижается с двух битов до 1 бита, что означает появление в системе делокализованной информации Iab величиной в 1 бит: Iab = (Sa + Sb) - Sab = (1 + 1) - 1 = 1bit. (19)
При этом число различимых состояний системы уменьшилось из-за внутренней запутанности с 4 до 2. Или оба вверх (|00>) или оба вниз (|11>), в другом типе запутанности: или первый вверх, а второй вниз (|10>), или наоборот (|01>). В случае внутреннего запутывания составной квантовой частицы часть ее внешней информации уменьшается за счет перехода на внутренние корреляции. Но с учетом двух типов запутывания (механизмов «коммутации» элементов) суммарная сложность составной квантовой частицы осталась прежней: 2 х 2 = 4. Однако при реализации одного из механизмов запутывания число различимых состояний уменьшилось для внешнего наблюдателя вдвое - 2! Для того чтобы реализовать дополнительный мультиплет состояний, необходимо поменять коммутацию состояний двух внутренних элементов. Это требует особой операции перекоммута-ции элементов составной квантовой частицы.
Заметим, что для запутанного состояния (16) Tr [p2(a)] = '. Это величина, обратная к числу различимых квантовых состояний Wa = 2, в которых в смешанном состоянии может находиться квантовый элемент а. Вводя информацию Хартли для различимых квантовых состояний элемента а, получим связь со следом квадрата редуцированной матрицы плотности элемента а в смешанном состоянии вида: Ih (a) = Log2Wa = -log2{Tr [p2(a)]}. (20)
Квантовые состояния различимы в смешанном состоянии запутанной системы именно за счет принципиальной возможности анализа (верификации, наблюдения) квантовых состояний внешних для системы а квантовых элементов, запутанных с «измеряемым» элементом а. Последние выполняют роль сцепленного с элементом а анализатора его состояний без непосредственного воздействия на квантовый элемент а! В этом и заключается особая роль запутанных состояний составной квантовой системы (а)+(анализатор) для контроля и управления процессами переключения различимых квантовых состояний запутанного с анализатором квантового элемента а. Эти квантовые переходы в смешанном состоянии элемента а контролируются информационными процессами управления (нанотехнологии).
В случае стохастических флуктуационных смешанных состояний, наоборот, формула (18) описывает связь энтропии Хартли Sн с числом неразличимых квантовых состояний квантового элемента а:
Sн (а) = = —^{Тг [р2(а)]}. (21)
Эти квантовые переходы в смешанном состоянии элемента а контролируются энтропийными факторами стохастических флуктуационных процессов (химтехнологии).
Роение квантовых частиц - это механизм объединения и распада корпоративных систем квантовых частиц. Как показано ниже на схеме, квантовые частицы структурного уровня К являются роевыми корпорациями квантовых элементов нижележащего уровня К—1 и квантовыми элементами роевых корпоративных квантовых частиц вышележащего уровня К+1.
|___| |_____| |__| |_______| стр. уровень К+1
++++++++++++++++++++++++++ стр. уровень К
.............................. стр. уровеньК-1
Заключение. На основании вышеизложенного можно констатировать, что, используя формализм матриц плотности, можно развить подход к описанию квантово-запутанных механизмов процессинга неравновесных открытых наносистем материалов. В рамках этого подхода роевая квантовая наночастица Н8Ж имеет внутренние системные трансформации запутывания и распутывания ее элементов и внешние системные трансформации декогеренции и рекогеренции. При этом в результате объединения и распада роевых систем квантовых элементов заданная квантовая наночастица принимает участие в образовании роя более высокого структурного уровня. Вхождение в состав роя квантовых наночастиц более высокого уровня предопределяет возможность протекания системных процессов ее внешнего запутывания с другими элементами роя, что ведет к процессу декогеренции внутри квантовой наночастицы. В итоге декогеренции квантовая наночастица переходит во внутреннее смешанное состояние того или иного типа. Квантово-полевые флуктуации процессов объединения и распада роев квантовых составных наночастиц более высокого структурного уровня, а также запутывания и распутывания квантовых элементов внутри них ведут к стохастическим процессам декогеренции перехода в смешанные квантовые состояния и рекогеренции перехода в чистые квантовые состояния внутри самих квантовых наноэлементов.
Библиографический список
1. Местечкин, М.М. Метод матрицы плотности в теории молекул / М.М. Местечкин. - Киев, 1977.
2. Блум, К. Теория матрицы плотности и ее приложения / К. Блум. - М., 1983.
3. Мулдахметов, З.М. Теория электронного строения молекул: новые аспекты / З.М. Мулдахметов, Б.Ф. Минаев, С.А. Безносюк. - Алма-Ата, 1988.
4. Beznosjuk S.A., Minaev B.F., Dajanov R.D., Mul-dakhmetov Z.M. // Int. J. Quant. Chem. - 1990. - V. 38, №6.
5. Beznosjuk S.A., Minaev B.F., Dajanov R.D., Mul-dakhmetov Z.M. // J. Mol. Struct. (Theochem). - 1991.
- V. 227.
6. Beznosyuk S.A., Kolesnikov A.V., Mezentzev D.A., Zhukovsky M.S., Zhukovsky T.V. // Materials Science & Engineering C. - 2002. - V. 19, №1.
7. Beznosyuk S.A. // Materials Science & Engineering C.
- 2002. - V. 19/1.