CC BY
574
67
УДК 621.391, 621.396, 621.369
В. А. Пахотин, А. И. Бабинович, В. И. Строков
МЕТОД МАКСИМАЛЬНОГО ПРАВДОПОДОБИЯ В ПРИЛОЖЕНИИ К ЛЧМ-СИГНАЛАМ
Представлена обработка сигналов с линейной частотной модуляцией (ЛЧМ-сигналов) методом максимального правдоподобия. Получены основные выражения, определяющие оптимальный алгоритм обработки этих сигналов, а также выражения для дисперсии параметров ЛЧМ-сиг-налов (дисперсии Рао-Крамера). Приведены основные результаты модельных расчетов при приеме ЛЧМ-сигналов.
This article presents signal processing through linear frequency modulation (chirp signals) using the maximum likelihood method. The authors have obtained main expressions describing the optimal algorithm for processing these signals, as well as expressions for chirp signal dispersion (Rao-Cramér dispersion). The article presents key findings of model calculations during the reception of chirp signals.
Ключевые слова: сигналы с линейной частотной модуляцией, теория оптимального приема, метод максимального правдоподобия, цифровая обработка сигналов.
Key words: chirp signals, optimum reception theory, maximum likelihood method, digital processing of signals.
© Пахотин В. А., Бабинович А. И., Строков В. И., 2015
Вестник Балтийского федерального университета им. И. Канта. 2015. Вып. 4. С. 67 — 74.
68
Введение
Метод максимального правдоподобия широко используется для цифровой обработки сигналов в радиотехнических комплексах аппаратуры [2—5]. Он позволяет получить структуру оптимального приемника и оценить дисперсию параметров сигнала на его выходе (дисперсию Рао-Крамера). Однако самой важной при применении метода максимального правдоподобия становится возможность получения более общего решения задачи разрешения подобных сигналов. Оно снимает рэлеевское ограничение на разрешающую способность. Разрешающая способность оказывается зависящей от отношения сигнал/шум и в пределе может быть бесконечно большой. В работах [3 — 7] метод максимального правдоподобия рассматривается в приложении к частотной спектроскопии, пеленгации ионосферных сигналов, разрешению точечных источников в оптических приборах, ЯМР-спектроскопии, радиолокации. В настоящей работе изложены вопросы, связанные с обработкой сигналов с линейной частотной модуляцией (ЛЧМ-сигналов). Они относятся к классу сигналов с большой базой, отличаются высокой помехоустойчивостью и находят применение в разнообразных приложениях.
Основы теории
Запишем принятые сообщения у (/) в комплексном вице: дое К + ^ -))(?"?0) если t ;* + Т);
-V ( ) =
„ (!)
Uш (t), если € (о; ?q + T),
где U (t) — комплексная амплитуда ЛЧМ-сигнала; ®о — начальная
юь -юо
круговая частота сигнала; A = ——; юь — конечная круговая частота сигнала; T — длительность радиоимпульса; to — время приема ЛЧМ-радиоимпульса; Uш (t) — аддитивный стационарный шум, характеризующийся нормальным распределением, средним значением,
равным нулю, дисперсией ст2 и интервалом корреляции •
Для решения задачи оценки параметров ЛЧМ-сигнала запишем, следуя [1; 2], логарифм функции правдоподобия:
t0+T
¿I m'n 4- Zll t — fes I II t — fes I
dt, (2)
ln(l(*')) = --^ í V(t)-U' oe (ю0 +A(t-t0))(t-t0) 2ст
t0
где X ' — оценочный вектор параметров ЛЧМ-сигнала; штрихами отмечены оценочные параметры.
Дифференцируя выражение (2) по амплитуде и о и приравнивая дифференциал к нулю, можно получить уравнение правдоподобия, из которого следует решение
) = ^ ('К^0 +А('-'0 ))('-'0 ^. (3)
'0
Данное выражение определяет структуру оптимального приемника
для ЛЧМ-сигнала. Математическое ожидание от решения и 0 ('0 >ю0) приводит к выражению
'0 +Т | е ^ ,
'0
где у = А^-('0 + г)2) + Ю0г + О('0 + г), г = '0 "'0>^ = ю0 _ю0 .
После интегрирования выражения (4) можно получить двумерную функцию корреляции, зависящую от О и г:
"(□-2 Аг)(Т-г)"
М\и 0 ('0,®0 )\ = —е'
и 0 Г е-/(°-2Аг)
(4)
81П
Я (О,г) = и0в'У1
(□-2 Аг)(Т -г)
2
1
Т
(5)
где =-Аг(2'0 -Т) + О^'0 + —^) + Ю0г .
Нормированная функция корреляции (5) является основной для классического решения задачи разрешения двух и более сигналов ЛЧМ. Она носит название функции неопределенности [1; 2]. Если сечения двух функций неопределенности на уровне 0,5 от максимума не перекрываются, тогда выполняется условие их ортогональности. В таком случае, используя принцип ортогональности, можно получить информацию о параметрах ЛЧМ-сигналов раздельно. По сути это рэ-леевское ограничение на разрешающую способность оптимального приемника.
В сечении функции корреляции плоскостью г = 0 , по существу, создается спектр радиоимпульса длительностью Т и частотой Ю0. В зависимости от длительности Т полуширина спектральной линии Дю из-2л
меняется Дю = —.
Т
Следовательно, разрешение по частоте двух ЛЧМ-сигналов не связано с девиацией частоты ю£ -ю0, а зависит исключительно от длительности радиоимпульса.
В сечении функции корреляции плоскостью О = 0 получим
Я (0,г) = и 0е
I(ю0г-Аг(2'0-Т)) ат[Аг(Т-г)] Аг(Т -г)
1
(6)
69
70
Полуширина корреляционной функции в этом случае определяется условием
Лт(Г-т) = л. (7)
Выражение (7) является квадратным уравнением относительно X и
„ 2л
имеет два корня: т^ = 1 и Х2 = -—.
Второй корень определяет полуширину корреляционной функции, зависящей от девиации юк - гад частоты ЛЧМ-сигнала.
На рисунке 1 показан разрез модуля функции неопределенности плоскостью t = 0. На уровне 0,5 от максимума полуширина функции
неопределенности будет А/ = д6 и 7,5 кГц. Рисунок 2 демонстрирует
разрез модуля функции неопределенности плоскостью 0 = 0. На
уровне 0,5 от максимума полуширина функции неопределенности
А 0,6 равна Ат =-
/к - /н
: 0,006 мс.
0.006 мс.
Рис. 1. Разрез функции неопределенности по частоте
■0.04 -0.02 0.00 0.02 0.04 Бремя задержки в милисекундах
Рис. 2. Разрез функции
неопределенности по времени задержки
На рисунке 3 показаны срезы горизонтальной плоскостью на уровне 0,5 от максимума функции неопределенности при разных значениях девиации частоты /к - /н = 0, 50, 100 кГц. Длительность ЛЧМ-сигналов равна 80 мкс. Сечение имеет вид эллипсов, концы больших осей которых перемещаются вдоль двух вертикальных линий, образующихся при изменении девиации частоты. Образующие располагаются на расстоянии ± Т/2 (0,04 мс на рисунке 3). Пересечение линии эллипса с горизонтальной осью (т) определяет ширину функции корреляции т2.
-69-
1 1 1 \......^ 06 -0.04 -ШЙ" " ..... ЛШЕч 0.04 0.
-=66-
Смещение по времени в иилисекундах
Рис. 3. Сечение функции неопределенности на уровне 0,5, Т = 80 мкс
Она уменьшается с увеличением девиации частоты. Однако имеется и другая возможность изменения эллипса в сечении функции неопределенности. Если фиксировать девиацию частоты и менять длительность ЛЧМ-сигнала (г), тогда концы большой оси эллипса перемещаются по горизонтальной линии (образующей). Они определяют значение девиации частоты и находятся на расстоянии ± (/к - /н). В этом случае фиксируется точка пересечения линии эллипса с горизонтальной осью, которая обусловливает ширину корреляционной функции. Точка пересечения линии эллипса с вертикальной осью при этом будет определять ширину спектра радиоимпульса длительностью Т и частотой ю0.
Таким образом, при увеличении Т точность оценок частоты ЛЧМ-сиг-нала растет. При увеличении девиации частоты (/к - /н) попытается точность оценки времени приема ЛЧМ-сигнала. При одновременном увеличении девиации частоты и длительности ЛЧМ-сигнала растет точность оценок частоты и времени его приема. Другими словами, увеличивается эффективность использования ЛЧМ-сигналов, которые в связи с этим относятся к классу сигналов с большой базой. База В ЛЧМ-сигнала определяется произведением девиации частот (/к - /н) на длительность Т:
В = Т (/к - /н ) .
База обычного радиоимпульса не превышает единицы. Как следует из теории [1], объем тела неопределенности постоянен и не зависит от вида модуляции. Площадь сечения тела неопределенности на уровне 0,5 от максимума также является постоянной величиной. Следовательно, при увеличении временной базы ЛЧМ-сигнала Т и одновременно частотной базы сигнала (к — /н) эллипс вытягивается вдоль большой оси, в пределе стремясь к линии, проходящей через начало координат. Классическое разрешение в этом случае как по частоте, так и по времени приема будет бесконечно большим. Для обычного радиоимпульса, база которого не превышает единицы, эллипс сечения функции неопределенности на уровне 0,5 от максимума зависит лишь от одного параметра — длительности радиоимпульса Т. В связи с этим, если Т велико, то эллипс будет горизонтальным (большая ось) с малым разрешением по времени приема и хорошим разрешением по частоте Д/ = 1/Т. Если Т мало, тогда эллипс будет вертикальным (большая ось) с хорошим разрешением по времени приема и плохим разрешением по частоте. При этом возникает проблема одновременного повышения точности оценок времени приема и частоты. ЛЧМ-сигналы лишены этого недостатка.
Оценка точности параметров ЛЧМ-сигнала
Положения теории оптимального приема дают возможность оценки точности параметров ЛЧМ-сигналов. С этой целью выводятся выражения для дисперсии параметров сигнала (дисперсия Рао-Крамера). Вначале определяются элементы информационной матрицы Фишера по формуле [1; 2]
71
и ¿я = -М
Г й 2 [ы (Ь (X ')))
й Хуй X а
(8)
72
где М — оператор математического ожидания; Ь (X ' ) — функция правдоподобия (выражение 2); X ' — вектор параметров сигнала, координаты которого определяются индексом и
Если считать оценочными параметрами ЛЧМ-сигнала частоту ю0 и время приема '0, тогда матрица Фишера определяется двойным дифференцированием логарифма функции правдоподобия по указанным параметрам в точке максимума корреляционной функции, где ю0 = Ю0
и '0 = '0.
В результате информационная матрица Фишера размерностью 2 будет определена выражением
У =■!
и 0
ст^гк
3
ю0Т
2 (
л 4 АТ 1 + —
ю0Т
2
(
л 4 АТ 1 +—
3 3ю0
ю0Т 2
1+4
3
3 3ю0 ' АТ )2
ю0
+ 2
АТ
(9)
//
Диагональные элементы матрицы, обратной матрице Фишера, определяют дисперсии частоты и времени приема :
Цю0 =■
9ст2
и 0 ЫТ 2
(„ V
1+
5 Юк 4 ю0
(10)
Б'0 =
4ст
и 0 N ю^
где N = — — количество некоррелированных по шуму отсчетов. гк
Аналогично, считая Ю0 и '0 известными, получим выражения для дисперсий амплитуды Цц/0 и дисперсии начальной фазы :
2
2
Ц0 = Ы; Би0 = 72
(11)
700Ы
Дисперсия амплитуды не зависит от значения последней и равна 2
дисперсии шума ст . Параметр N определяет уменьшение дисперсии
2
шума в результате обработки. Дисперсия начальной фазы обусловлена амплитудой сигнала и уменьшается с увеличением количества некоррелированных по шуму отсчетов.
Дисперсия частоты обратно пропорциональна Т2, как и для обычного радиоимпульса, и повышается с увеличением отношения частот юк! Ю0. Но если время приема ЛЧМ-сигнала известно, тогда выражение для дисперсии будет:
3ст2
Бю0 = Г. . (12)
и 2 и0
Т 2 N
Оно не зависит от девиации частоты и определяется длительностью ЛЧМ-сигнала. Дисперсия времени приема £>'0 (выражение (3.3)) определяется начальной частотой ю0 и не зависит от девиации частоты. Выражение для Ц'0 аналогично подобному выражению для дисперсии
обычного радиоимпульса. Данный вывод кажется странным в связи с тем, что ширина корреляционной функции зависит от девиации частоты. Однако в данном случае выражение (3.3) для дисперсии времени приема Ц'0 обусловливает дисперсию Рао-Крамера. Она определяется
радиоимпульсом сферичности в точке максимума функции корреляции и не зависит от ширины корреляционной функции. В практике локации дисперсия времени приема радиоимпульса оценивается по огибающей корреляционной функции. В этом случае выражение для дисперсии Ц'0 описывается формулой Вудворда:
Ц'0 =ст2гк, (13)
0 р2ЕБ
2 2 2 2 где ЕБ = 7 Т — энергия ЛЧМ-сигнала; р = (Д/) =(/к - /н) ; следовательно,
ст2 ст2г2
Ц'0 = —-Г = —Л (14)
2
и\ N (юк -юн )
2
2
У N
и дисперсия для времени приема ЛЧМ-сигнала по Вудворду (по огибающей) определяется квадратом полуширины корреляционной функции (г^).
Таким образом, дисперсия оценки времени приема ЛЧМ-сигнала по огибающей, определенная формулой Вудворда, дает большее значение, чем дисперсия, рассчитанная по формуле Рао-Крамера. Однако при оценке времени приема косинусной квадратурной составляющей необходимо знание начальной фазы.
73
Заключение
74
В настоящей работе на основе положений теории оптимального приема проведен анализ решения задачи оценки параметров ЛЧМ-сигналов, выведены выражения для оптимальной оценки их комплексной амплитуды. Приведены решения, определяющие оптимальные оценки частоты и времени приема ЛЧМ-сигнала. Они отличаются своеобразной весовой обработкой. Выведены выражения для дисперсий основных параметров ЛЧМ-сигнала: амплитуды, начальной фазы, начальной частоты, времени приема (дисперсии Рао-Крамера). Обсужден вопрос о дисперсии Рао-Крамера и дисперсии Вудворда при оценке времени приема ЛЧМ-сигнала.
Список литературы
1. Перов А. И. Статистическая теория радиотехнических систем : учебное пособие для вузов. М., 2003.
2. Пахотин В. А., Бессонов В. А., Молостова С. В., Власова К. В. Курс лекций для радиофизических специальностей. Калининград, 2008.
3. Пахотин В. А., Пахотина К. В., Жукова Н. В. Метод обработки данных, полученных при приеме ионосферных сигналов // Геомагнетизм и аэрономия. 2004. Т. 44, № 4. С. 511-517.
4. Пахотин В. А., Бессонов В. А., Иванова С. В. и др. Частотное разделение сигналов в области высокой корреляции несущих частот // Изв. вузов России. Радиоэлектроника. 2005. Вып. 4. С. 124—131.
Об авторах
Валерий Анатольевич Пахотин — д-р физ.-мат. наук, проф., Балтийский федеральный университет им. И. Канта, Калининград. E-mail: VPakhotin@kantianf.ru
Александр Игоревич Бабинович — асп., Балтийский федеральный университет им. И. Канта, Калининград. E-mail: VPakhotin@kantianf.ru
Виталий Игоревич Строков — асп., Балтийский федеральный университет им. И. Канта, Калининград.
E-mail: VPakhotin@kantianf.ru
About the authors
Prof. Valery Pakhotin, I. Kant Baltic Federal University, Kaliningrad. E-mail: VPakhotin@kantiana.ru
Aleksandr Babinovich, PhD student, I. Kant Baltic Federal University, Kaliningrad. E-mail: VPakhotin@kantiana.ru
Vitaly Strokov, PhD student, I. Kant Baltic Federal University, Kaliningrad. E-mail: VPakhotin@kantianf.ru
