Метод линеаризации передаточной характеристики аналого-цифрового преобразователя, основанный на методе наименьших квадратов Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

МЕТОД ЛИНЕАРИЗАЦИИ ПЕРЕДАТОЧНОЙ ХАРАКТЕРИСТИКИ АНАЛОГО-ЦИФРОВОГО ПРЕОБРАЗОВАТЕЛЯ, ОСНОВАННЫЙ НА МЕТОДЕ НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ

Панюков Алексей Геннадьевич

Магистр, аспирант кафедры «Системы Передачи Информации», Омский Государственный Университет Путей Сообщения, г. Омск

E-mail: panukov ag@mail.ru

METHOD OF LINEARIZATION OF THE TRANSMITTING CHARACTERISTIC OF THE ANALOG-TO-DIGITAL CONVERTER, BASED ON THE LEAST-SQUARES METHOD

Alexey Panyukov

Master, post-graduate of «Information Transmitting Systems» chair of

Omsk State Transport University, Omsk

АННОТАЦИЯ

В данной работе рассматривается метод линеаризации передаточной характеристики аналого-цифровых преобразователей, основанный на методе наименьших квадратов. Дается метод, его обоснование и способы реализации. Выводятся соотношения, позволяющие с легкостью находить оценку нелинейности аналого-цифрового преобразователя, строить алгоритмы по снижению указанной нелинейности. Также приводятся результаты моделирования данной методики в среде Matlab.

ABSTRACT

In this paper is considered the method of a linearization of the transmitting characteristic of the analog-to-digital converters, based on a method of least squares. The method, its justification and ways of realization is described. The formulae allowing finding an assessment of nonlinearity of an analog-to-digital converter are deduced, to build algorithms on decrease the specified nonlinearity. Also results of model operation of this technique in the environment of Matlab are given.

Ключевые слова: аналого-цифровой преобразователь; АЦП; дискретизация; интегральная нелинейность; дифференциальная нелинейность;

метод наименьших квадратов; МНК; линеаризация; передаточная характеристика.

Keywords: analog-to-digital converter; ADC; digitization; integral nonlinearity; differential nonlinearity; method of least squares; linearization; transmitting characteristic.

Идеальный аналого-цифровой преобразователь имеет линейную характеристику преобразования [1]. Реальные аналого-цифровые преобразователи обладают нелинейной характеристикой, описываемой такими параметрами, как дифференциальная и интегральная нелинейности [3, 5].

В данной работе рассматривается метод линеаризации характеристики преобразования, базирующийся на методе наименьших квадратов [2].

Суть метода заключается в оценке спектрального состава отклика аналого-цифрового преобразователя на некоторый тестовый сигнал.

Введем следующие обозначения:

• x - последовательность отсчетов некоторого сигнала на выходе аналого-цифрового преобразователя.

• xi - последовательность исходных значений сигнала (до обработки аналого-цифровым преобразователем) - считаем, что его параметры нам известны.

• y - последовательность оценок сигнала искомой моделью.

Применение данного метода позволяет найти аппроксимацию нелинейной

характеристики АЦП в виде полинома по степеням текущей выборки сигнала:

m

Hn (X) = X ^ (1)

k=1

Исходя из модели передаточной характеристики (1), можно сделать вывод, что последовательность оценок сигнала искомой моделью можно выразить соотношением (2):

m

У = (& (2)

k=0

то есть модель - полином на базе истинных значений сигнала.

Метод наименьших квадратов заключается в минимизации функции, равной сумме квадратов разностей между значениями модели и процесса, описываем искомой моделью. Разности для нахождения такой функции описываются соотношением (3):

d = x - (3)

Сама функция, которую необходимо минимизировать, описывается соотношением (4):

5 = X d2 (4)

i=1

Используя соотношение (2) можно переписать (4) в виде:

n n f m \2

s=X (x - yt )2=x - X a, (*;)k| (5)

i=1 i=1 V k=0 J

Примем, что нам известны параметры тестового сигнала. Неизвестными параметрами являются коэффициенты разложения нелинейной передаточной характеристики (1).

Таким образом, задавая тестовый сигнал и регистрируя отклик системы, мы можем вычислить параметры модели. Для этого, согласно методу наименьших квадратов, приравняем к нулю производные функции S по коэффициентам %

as =-2X (*;)j f x - tak (x;)k 1=0 (6)

i=1 V k=0

Упрощая данное выражение, получаем:

X

i=i

( xj)j f x - ±ak ( X;)k Л V k=0 J

(7)

Таким образом, имеем систему алгебраических линейных уравнений относительно коэффициентов модели ак. Данная система легко решается методом последовательных приближений либо методом Ньютона. В качестве начального приближения можем выбрать вектор

ак = д1,к (8)

0

где 8ХЛ - символ Кронекера:

*-{"'Л (9)

Так же (7) решается точно методом Гаусса. Для этого упростим систему уравнений, раскрыв скобки и сгруппировав подобные слагаемые:

(О*+7

1-1

1-1

т

к-0

обозначим для простоты:

Ей = Т (О*+'

Т X (X)7 - О

[, 7

1-1

(10)

- Т х (7

7

1-1

В итоге получаем простую систему уравнений:

т

Т , 7 - ^ - 0 (11)

к -О

где Б^ и не зависят от искомых параметров.

Таким образом, выделим основные шаги для реализации данного линеаризации передаточной характеристики аналого-цифровых преобразователей:

• Исходя из параметров АЦП, определяется необходимый порядок полинома, аппроксимирующего характеристику преобразования, т.

• На вход аналого-цифрового преобразователя подается некоторый заранее известный пробный сигнал.

• Используя соотношения (10), находится система уравнений (11) для нахождения аппроксимирующей модели.

• Полученные коэффициенты используются для вычисления значений входного сигнала в рабочем режиме.

Для иллюстрации результатов, которые могут быть получены с применением описанной методики, зададим нелинейную характеристику преобразования в виде:

Н5(X) - х - 0.1x3 + 0.1x5 (12)

На рисунке 1 изображены характеристики в идеальном случае (пунктирная линия) и при нелинейности, описываемой соотношением (12) (сплошная линия).

1

у

0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1

Рисунок 1. Характеристики преобразования идеального (пунктирная линия)

и реального (сплошная линия) АЦП.

В качестве тестового сигнала использовался моногармонический радиоимпульс и линейно нарастающий сигнал, охватывающие весть динамический диапазон аналого-цифрового преобразователя.

Была исследована точность восстановления параметров нелинейного АЦП при различных разрядностях АЦП. В таблице 1 представлено максимальное относительное отклонение найденных параметров модели от исходных для различных значений разрядности аналого-цифрового преобразователя.

Таблица 1.

Результаты моделирования метод а линеаризации

Разрядность АЦП Ошибка, % (линейно нарастающий сигнал) Ошибка, % (гармонический радиоимпульс)

5 46,3289 1,3724

6 37,3857 0,549

7 2,9761 0,0819

8 13,0585 0,2256

9 5,6197 0,207

10 2,506 0,0451

11 1,6001 0,0127

12 0,405 0,0089

13 0,3764 0,0029

14 0,1625 0,0008

15 0,0448 0,0018

16 0,0366 0,0002

17 0,0029 0,001

18 0,0128 0,0002

19 0,0055 0

20 0,0024 0

Из полученных результатов можно сделать вывод, что предлагаемый метод позволяет оценивать и устранять нелинейности аналого-цифровых преобразователей. Его использование может помочь расширить динамический диапазон существующих АЦП.

Список литературы:

1. Бондарь М. С. Повышение Точности Процесса Аналого-Цифрового Преобразования. Материалы IV Международной научной конференции студентов, аспирантов и молодых ученых «Научный потенциал студенчества в XXI веке» Том первый. Естественные и технические науки. Ставрополь: СевКавГТУ, 2010. - 582 с.

2. Дрейпер Н., Смит Г. Прикладной регрессионный анализ. Множественная регрессия. 3-е изд. - М.: Диалектика, 2007. - С. 912.

3. Сергиенко А. Б. Цифровая обработка сигналов. - СПб.: Питер, 2002. -604 с

4. Melkonian L. Improving A/D Converter Performance Using Dither. USA: National Semiconductor, 1992. - 32 c.

5. Widrow B., Kollar I. Quantization Noise, Roundoff Error in Digital Computation, Signal Processing, Control, and Communications. - Cambridge: Cambridge University Press, 2008. - 752 c.