CC BY
11
Посилання на статтю_
Момот В.М. Метод коррекции параметров проекта в условиях параметрической неопределенности/ В.М. Момот// Управлшня проектами та розвиток виробництва: Зб.наук.пр. - Луганськ: вид-во СНУ iм. В.Даля, 2005 - №2(14). С. 121-127._
УДК 519.86
В.М. Момот
МЕТОД КОРРЕКЦИИ ПАРАМЕТРОВ ПРОЕКТА В УСЛОВИЯХ ПАРАМЕТРИЧЕСКОЙ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ
Рассматриваются вопросы коррекции задачи планирования проекта в случае предъявления несовместной противоречивой системы ограничений к параметрам реализации проекта. Ист. 5.
Ключевые слова: планирование проекта, параметрическая неопределенность, стратегия проекта, вероятностная устойчивость относительно целеуказания, несовместная противоречивая система ограничений, корректирующая задача.
В.М. Момот
МЕТОД КОРЕКЦП ПАРАМЕТР1В ПРОЕКТУ В УМОВАХ ПАРАМЕТРИЧНО1 НЕВИЗНАЧЕНОСТ1
Розглянут питання корекцп' задачi планування проекту в умовах пред'явлення несумюно!' суперечно!' системи обмежень до параметрiв реалiзацiï проекту. Дж. 5.
V.M. Momot
CORRECTION METHOD FOR PROJECT PARAMETERS IN CONDITIONS OF PARAMETRICAL UNCERTAINTY
Questions of correction the project planning task in case of incompatible inconsistent system of restrictions to the project realization parameters are considered.
Постановка проблемы в общем виде. На этапе предынвестиционного анализа проекта определяются все необходимые параметры реализации проекта: продолжительность по каждому из контролируемых элементов проекта, доступность и достаточность ресурсов, сроки поставки сырья, материалов и комплектующих, сроки и объемы привлечения других организаций, затраты на проект с учетом непредвиденных факторов. Об успешности проекта судят по тому, насколько результат соответствует по своим затратным (доходным), качественным, временным, экологическим и другим характеристикам запланированному уровню.
Для разработки эффективных методов планирования проектов широко используется аппарат математического программирования, в том числе методы линейного программирования. При их использовании большое практическое значение приобретают вопросы учета параметрической неопределенности модели. Актуальность данной проблемы обусловлена как наличием
"Управлшня проектами та розвиток виробництва", 2005, № 2(14)
1
неопределенности в исходных данных, которая связана с погрешностями и неточностями в описании характеристик и параметров задачи, так и изменением параметров проекта во времени.
Вопросы анализа стратегий планирования проекта в условиях вариаций параметров среды на основе вероятностного критерия устойчивости относительно целеуказания и выбора среди них наилучшей стратегии, достигающей области заданного уровня характеристик проекта, изучались в работах [1-3]. Однако в ряде случаев вероятность достижения целевой функцией минимального допустимого уровня показателя в рамках реализации рассматриваемых стратегий проекта мала или же задача неразрешима вследствие несовместности ограничений к решению. В этом случае необходимо скорректировать исходную задачу планирования проекта.
Анализ публикаций. В настоящее время достаточно хорошо разработаны методы коррекции несобственных задач линейного программирования [4,5]. При этом корреляционная модель является собственной задачей линейного программирования. Однако применение вероятностной модели вносит существенную нелинейность в задачу и методы коррекции, использующие линейную модель, становятся непригодными.
Цель статьи. Таким образом, разработка методов коррекции задач планирования проектов, использующих существенно нелинейную модель, является актуальной проблемой. Исходя из вышеизложенного, целью статьи является разработка концептуальных подходов решения нелинейных корректирующих задач планирования проектов.
Изложение основного материала. Рассмотрим задачу оптимального планирования проекта, описываемую в виде задачи оптимизации
шах{Р^0(х) > яо *(х) > *]> Р1 *; х > 0;х е О}; (I = \г). (1)
В задаче традиционно обозначен х - вектор параметров проекта (I = \,п); О - множество допустимых ресурсов проекта; (х) и - система
характеристик проекта и их плановых значений; Яо(х) и Яо - выделенный критерий и его плановое значение, которые определяют окончательный выбор
стратегии проекта; Р( ) и р - соответственно вероятность выполнения
целеуказания относительно характеристик проекта и требуемый уровень достижения вероятности.
Данная задача может оказаться неразрешимой вследствие несовместности системы ограничений, накладываемых на решение задачи.
Каждая из подсистем ограничений р{я1 (х)> }> Р1 для I = \,Г
допускает нахождение решения тахр|яо(х)> Яо ]} при х > 0 и х е О , а
вместе взятые подсистемы образуют несовместную противоречивую систему уравнений.
Причины этого могут заключаться в следующем. Может оказаться, что не хватает плановых ресурсов для достижения плановых значений показателей проекта или, наоборот, завышены показатели планового задания по отношению к ресурсным возможностям. Также возможно установление завышенных
2
"Управлшня проектами та розвиток виробництва", 2005, № 2(14)
требований по вероятности выполнения целеуказания к системе плановых показателей проекта по отношению к используемым ресурсам и (или) величине самих плановых показателей.
Ресурсоемкость производства обуславливается имеющейся технологией производства и характеристиками использующегося оборудования. Эти параметры остаются стабильными на протяжении длительного отрезка времени и могут быть изменены только за счет реконструкции, модернизации производства, замены имеющегося оборудования более современным и высокопроизводительным. Эти мероприятия требуют длительного времени на реализацию, поэтому способы коррекции задачи за счет изменения параметров производительности в работе не рассматриваются. Таким образом развязка противоречивых требований может быть осуществлена только за счет приобретения дополнительных ресурсов, требуемых для реализации проектов, из условия минимизации затрат на их приобретение или за счет минимального ухудшения плановых значений показателей проекта (увеличения стоимости, издержек по проекту, увеличения временных параметров, ухудшения качества проектных решений, применяемых ресурсов и т.д.) в рамках имеющихся запасов.
В этом случае для выбора стратегии проекта необходимо решать одну из нижеприведенных корректирующих задач:
тах{р[яо(х) > Яо* - А8о ]р[&(х) > я*]> Р*; х > 0;х е 0}; (2) тах{Р^0(х) > Яо*]р[я/ (х) > я* - А& ]> Р*; х > 0;х е 0}; (3) тахРяо(х) > Яо*]Р[Я/(х) > я*]> Р*; х > 0;х е 0+}; (4) тах{Р[Яо(х) > Яо*]Р[Я/(х) > я*]> Р* - Ар1 ;х > 0;х е 0} (5)
или одну из комбинированных задач, получаемых из обобщенной задачи вида max{p[g0(х) > go* - Ago]p[gz(х) > g* - Ag{ ]> P* - AP/;
x > 0;x e Q +j. (6)
Здесь Q+ = Q + AQ - расширенное множество используемых ресурсов
проекта, Ago и Agi - изменение величины плановых показателей проекта,
Aр■ - изменение требуемого уровня достижения вероятности выполнения
целеуказания относительно характеристик проекта, обеспечивающих совместность системы ограничений.
При этом необходимо учесть, что P[gi (х)> g i + P[gi (х)< g i ]= 1 и соответственно значение вероятности выполнения условия
x)< g* = 1 - p\gj (x)> g* |< 1 - Pi* < P** = ), где
P[gl (x)< g*]= 1 - P[gi (x)> g*]< 1 - Pi* < Pi** = ),
ф(?)- интеграл вероятности. Последнее условие
"Управлшня проектами та розвиток виробництва", 2005, № 2(14) 3
I / \ * I ** Р|&* (х) — Я* ] — Р1 эквивалентно назначению условия
(я* — Vя )/ СТ ^ — , где Vи Ст^ - соответственно математическое
ожидание и среднее квадратичное отклонение оцениваемого показателя
Я*(х); - значение безразмерного аргумента, соответствующее уровню
** *
вероятности Р* = \ — Р* . Таким образом, исходное требование * I *
х)> Я* ]> Р* может быть переписано через статистические
характеристики показателя эффективности проекта в виде
*
> Р* —АР*
Р\я*(х) > Я* ]> Р!* может быть <арактеристики показателя эфф
(я* — Vё1)/СТЯ1 — , а условие вида р\я* (х) > Я*"
эквивалентно назначению условия (я* — V^ )/СТ^ — + А^ [3].
Решение корректирующих задач, обеспечивающих нахождение параметров стратегии проекта, можно выполнить такими методами:
- методом последовательной коррекции;
- методом ранжирования весов;
- методом Парето-оптимизации;
- методом оптимизации на покрытиях [3-5]. Рассмотрим кратко предложенные методы.
Метод последовательной коррекции заключается в следующем. Проанализируем все ограничения исходной задачи и разделим их на две группы: директивные ограничения - обязательные для выполнения, которые обозначим в
виде Яд (х) — Яд и рекомендуемые (необязательные, но желательные)
ограничения Яр(х) — Яр . Предполагаем, что все директивные ограничения являются совместными. В противном случае задача решения не имеет. Рекомендуемые ограничения допускают нарушение ограничений. Однако эти ограничения должны быть минимальными. Ранжируем рекомендуемые
ограничения по их важности, значимости для выполнения. Пусть значимость
р ■ р ■ *
рекомендуемых ограничений Я } (х) — Я ] уменьшается по мере роста ] . Тогда допустимая область совместного выполнения ограничений может быть получена путем последующего решения таких задач:
1) X1 = {х > о Яд — Яд*, (г(1), (Яр\ (х) — *)) — а\};
2)X2 = {х > о (г(2),(яР2(х) — Я?2*)) — а2, х е X1}; (8)
(7)
3) Хт = {х > о (г(т), (Ярт (х) — Ярт*)) — ат,х е Хт—1} (9)
4
"Управлшня проектами та розвиток виробництва", 2005, № 2(14)
, обеспечивающего тах{р|Яо(х)> Яо ]||х е Хт }.
и нахождения решения, обеспечивающего тахр\Яо(х)> Яо |(|х е
Векторы {г(^}т=\ > о представляют собой меру потерь качества
характеристик проекта при коррекции плановых показателей в единицах
р ■ р •*
критерия, приходящуюся на невязку условия Я } (х) — Я } .
Метод ранжирования весов. Если в рассматриваемой задаче нет
директивных ограничений, а оптимальный план оценивается одним выделенным
*
критерием тах{Р[Яо(х) > Яо ]}, то решение может быть получено как решение оптимизационной задачи вида
или задачи
•т
тах{Р[Яо(х) > Яо
•т»
тах{р[Яо(х) > Яо ]
т
(г[]), Т(ЯРп](х) — \))} (10)
]=\
т
(4]), Ех] • (ЯРр](х) — \)); ]=\
т
X] > о; £Х] = \}. (11)
]=\
т
Здесь (гП , Е((ЯП](х) — \)) - обобщенная величина потерь,
]=\
связанных с нарушением системы характеристик проектов
р ■ р * Я?] (х) (Я 3(х) — Я ] ), приведенных к безразмерному виду (-^— — \) ;
X] — ранговые веса, упорядочивающие по предпочтительности выполнение
ограничений; векторы {г(]}у=\ > о представляют собой меру потерь
характеристик проектов при коррекции плановых показателей, приходящуюся на невязку безразмерного условия.
Метод Парето-оптимизации. Если ввести в рассмотрение функции
ф](х) = (Я^(х) — яр] _), которые не упорядочены по важности, то исходной корректирующей задаче можно поставить в соответствие задачу Парето- минимизации вектора ^(х) = [ф\(х), Ф2(х),...,фт(х)]
на множестве М = {х > о
р ■ р * V ](^}(х) — ^] )}, т.е. задачу поиска
"Управлшня проектами та розвиток виробництва", 2005, № 2(14)
5
minn {F(x)\x e M} . Если теперь выделить совокупность элементов этого
множества п = arg{minn[F(x)\x e M]} , то исходная задача заключается
*
в нахождении максимального значения max{P[go(x) > go ] на этом множестве, т.е.
* I
max{P[go(x) > go ]|xen}. (12)
Метод оптимизации на покрытиях. Произвольно разобьем систему
Р' Р * ■ -
неравенств g J(x) — g J < 0 (j = 1,m) на произвольные множества ее
индексов Nfc, таких, что Nm = UNk , и выделим ограничения для каждого
k=1
p ■ p * . — множества в виде подсистем g j (x) — g j < 0 ; j e Nk; к = 1,5 .
Например, одно множество будет состоять из ограничений к вероятности выполнения плановых характеристик проекта, а другое - из ограничений к используемым ресурсам и плановым значениям показателей проекта. Совокупность подсистем называется покрытием системы [4]. Если все подсистемы совместны, то покрытие исходной системы называется совместным.
~(к)
Найдем решение x для каждой из подсистем в виде подзадачи
* I
max{P[go(x) > go ]\x e Dk}, где Dk - множество решений,
p ■ p *
определяемое подсистемой неравенств g j (x) — g j < o ; j e Nk;
к = 1,5. Очевидно, что оптимальным решением всей задачи следует считать такую альтернативу, при которой величина отклонения от
max{P[go(~(k^) > go ]при значениях 'x(k) для каждой из подсистем
достигает минимального значения 8. Такое решение может оказаться не оптимальным ни для одной из подсистем неравенств, но вместе с тем оно оказывается наилучшим решением с учетом всех ограничений одновременно.
Корректирующая задача в такой постановке формулируется таким образом. Найти min8 в области допустимого множества решений, ограниченного
5
областью Dm = UDk при условии выполнения ограничения
k=1
go* — go(x(kCTg > tp —Pk8,(k = l5),{l = l.-.n), (13)
6
"Управлшня проектами та розвиток виробництва", 2005, № 2(14)
tp - значения безразмерного аргумента интеграла вероятности,
Pk
~(k) *
соответствующее значению max{P[gg(x[ J) > gg ]; Pk — постоянные
весовые коэффициенты, удовлетворяющие соотношению ^Pk = 1. Выбор
k
значений весовых коэффициентов Pk будем интерпретировать как
предпочтение подсистем друг перед другом, выраженное в количественной шкале.
Выводы. Рассмотренные методы позволяют произвести коррекцию плановых показателей проектов с целью обеспечения их совместности и получения эффективных стратегий в условиях параметрического разброса.
ЛИТЕРАТУРА
1. Момот В.М. Вероятностная устойчивость задачи оперативного планирования. // Моделювання та шформацшы технологи. - К.: НАНУ, 1ПМЕ. - 2003. - Вип. 22. - С. 121-127.
2. Чумаченко И.В., Момот В.М. Выбор стратегии оперативного управления. // Управлшня проектами та розвиток виробництва: Зб.наук.пр. - Луганськ: Вид-во СНУ iм. В.Даля,
2003. - № 3(8). - С. 123-130.
3. Чумаченко И.В., Момот В.М., Федоренко Н.М. Обеспечение ресурсов оперативного планирования в условиях параметрической неопределенности. // Управлшня проектами та розвиток виробництва: Зб.наук.пр. - Луганськ: Вид-во СНУ iм. В.Даля,
2004. - № 3(11). - С. 116-122.
4. Еремин И.И., Мазуров В.Д., Астафьев Н.Н. Несобственные задачи линейного и выпуклого программирования. - М.: Наука, 1983. - 336 с.
5. Мирзоахмедов Ф., Мошеев Л.И. Анализ несобственных задач линейного программирования и их приложения. - Киев. - 1990 - 24 с. (Препринт АН УССР, Институт кибернетики им. В.М. Глушкова, 90 - 30).
Стаття надшшла до редакцп 10.06.2005 р.
"Управлшня проектами та розвиток виробництва", 2005, № 2(14)
7
